Vấn đề duy nhất cho ánh xạ phân hình với một họ siêu phẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘILÊ NGỌC QUỲNH VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI MỘT HỌ SIÊU PHẲNG Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 60.46.01.05 LUẬN VĂN THẠ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LÊ NGỌC QUỲNH

VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI MỘT HỌ SIÊU

PHẲNG

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô

Mã số: 60.46.01.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS SĨ ĐỨC QUANG

HÀ NỘI, 2012

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của

TS Sĩ Đức Quang Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đếnngười Thầy đã tận tình giúp đỡ tôi và xin chân thành cảm ơn các Thầy,

Cô phản biện đã dành thời gian đọc và góp những ý kiến quý báu choluận văn này

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các Thầy, Cô trongKhoa Toán - Tin ĐHSP nói chung và các Thầy, Cô trong bộ môn Hìnhhọc Khoa Toán - Tin ĐHSP nói riêng, đã tận tình dạy dỗ chúng tôi trongsuốt thời gian học cao học Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồngnghiệp, những người luôn động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốtnhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 9 năm 2012

Tác giả

Lê Ngọc Quỳnh

MỤC LỤC

1 Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào đa tạp

3 Định lý về tính duy nhất cho ánh xạ phân hình với họ các

LỜI GIỚI THIỆU

Lý thuyết Nevanlinna, hay thường được gọi là Lý thuyết phân bố giátrị, được xây dựng đầu tiên bởi R Nevanlinna vào năm 1925 cho trườnghợp một biến phức Sau khi bài báo của ông được công bố, lý thuyết này

đã được mở rộng và nghiên cứu sâu sắc bởi nhiều nhà toán học như A.Bloch, H Cartan, H J Weyles, L Ahlfors, W Stoll, J Noguchi và nhiềutác giả khác

Năm 1926, R Nevanlinna đã chỉ ra rằng hai hàm phân hình phân biệtkhác hằng f và g trong mặt phẳng phức C thì không thể có cùng ảnhngược của năm giá trị phân biệt Đặc biệt, g là một biến đổi phân tuyếntính của f nếu chúng có cùng ảnh ngược tính cả bội của bốn giá trị phânbiệt Hai kết quả trên được gọi là định lý năm điểm và bốn điểm củaNevanlinna

Trong những năm qua, việc tổng quát kết quả nói trên của Nevanlinnacho trường hợp ánh xạ phân hình nhiều biến đã thu hút sự quan tâmnghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới với nhiều kết quả đẹp đẽ

và sâu sắc đã được công bố như L Smiley, H Fujimoto, Y Aihara, M

Ru, G Dethloff, D D Thai, T V Tan và S D Quang

Mục đích chính của luận văn là nhằm tìm hiểu về lý thuyết Nevanlinnacho ánh xạ phân hình vào không gian phức và áp dụng nó để nghiên cứubài toán về tính duy nhất của các ánh xạ phân hình có chung ảnh đối vớimột họ các siêu phẳng

Luận văn gồm có ba chương:

Chương I Trình bày lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào

đa tạp phức compact

Chương II Trình bày lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vàokhông gian xạ ảnh phức.

Chương III Là chương chính của luận văn, nghiên cứu về vấn đề duynhất của ánh xạ phân hình đối với một họ siêu phẳng Mục đích chínhcủa chúng tôi trong chương này là tổng quát các kết quả về vấn đề duynhất cho ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của một số các siêu phẳng

Cụ thể, chúng tôi chứng minh hai định lý sau:

Định lý 3.1.1 Với 1 ≤ k ≤ n và q = (n + 1)k + n + 2 ta có:

] G(f, {Hi}qi=1, k, 1) = 1

Trong đó họ G(f, {Hi}qi=1, k, d) được định nghĩa trong Chương 3

Định lý 3.1.2 Cho f , g là hai ánh xạ phân hình khác hằng từ Cmvào Pn(C), k là một số nguyên dương (1 ≤ k ≤ n) Cho {Hj}qj=1 (q =2nk + n + 2) là họ các siêu phẳng trong Pn(C) ở vị trí tổng quát thỏa mãn:dim f−1

Chương 1

Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ

phân hình vào đa tạp phức compact

Với z = (z1, · · · , zm) ∈ Cm, ta kí hiệu: kzk = (|z1|2 + · · · + |zm|2)12,

B(a, r) = {z ∈ Cm; kz − ak < r}, S(a, r) = {z ∈ Cm; kz − ak = r},B(r) = B(0, r), S(r) = S(0, r) (r > 0),

Với D là một divisor trên M khi đó tồn tại duy nhất một họ hữuhạn địa phương phân biệt các siêu mặt giải tích bất khả quy {Aλ}λ∈Λ

và họ các số nguyên khác không {kλ}λ∈Λ sao cho D được viết dưới dạng

D = P

λ∈Λ

kλAλ Biểu thức trên gọi là phân tích bất khả quy của D Khiđó:

(1) Siêu mặt SuppD = ∪λ∈ΛAλ được gọi là giá của D.

(2) D gọi là không âm nếu kλ ≥ 0 ∀λ ∈ Λ, ta viết D ≥ 0

Ta nói D ≥ D0 nếu D − D0 ≥ 0

(3) Xem D: M → Z là một ánh xạ xác định bởi D (z) = P

A λ 3z

kλ.(4) D gọi là divisor rút gọn nếu kλ = 1, ∀λ ∈ Λ

Tập hợp các divisor trên M được kí hiệu là Div(M ), đây là một nhómAbel

Định nghĩa 1.1.3 (Dòng sinh bởi divisor) Cho D = P

λ

kλAλ là divisortrên M Khi đó dòng 2 (m − 1)-chiều sinh ra bởi D trên M , kí hiệu là D,được định nghĩa bởi:

D (φ) = X

λ

kλZ

A λ

φ với φ ∈ D2m−2(M )

Ta có D là dòng bậc 0 và là dòng dương nếu D là divisor không âm.Cho f là hàm chỉnh hình trên M , A = {f = 0} là siêu mặt giải tíchtrong M Giả sử A có phân tích bất khả quy A = ∪λAλ Khi đó với mỗi

x ∈ R (Aλ) \ S (A), tồn tại một lân cận U 3 x cùng với một hệ tọa độ địaphương (z1, , zm) trên U sao cho x = (0, , 0), U ∩ A = {z ∈ U ; z1 = 0}

và f |U (z) = (z1)mλ

gλ với gλ là hàm chỉnh hình không có không điểm trên

U Khi đó divisor xác định bởi f được định nghĩa bởi:

gλ với gλ 6≡ 0 và {h = g = 0} là tập con giải tích có đối chiều ≥ 2.Khi đó:

hλ

gλ =

hβ

gβ ⇒ (hλ) = (hβ), (gλ) = (gβ) trên Uλ∩ Uβ 6= ∅

Ta định nghĩa divisor không điểm, divisor cực điểm và divisor xác định bởi

f lần lượt như sau: (f )0 = (hλ), (f )∞ = (gλ) và (f ) = (f )0−(f )∞ trên Uλ

Ngược lại, nếu D là divisor trên M thì với mọi x ∈ M , tồn tại lân cận

U 3 x và một hàm phân hình ϕ trên U sao cho D|U = (ϕ) Như vậy tồntại họ {Uα, ϕα} với {Uα} là phủ mở của M và ϕα là hàm phân hình trên

i

= (f )

Định nghĩa 1.2.1 (Phân thớ đường thẳng chỉnh hình) Cho L, M là các

đa tạp phức, dim M = m, dim L = m + 1, π : L → M là toàn ánh chỉnhhình Khi đó bộ ba (L, π, M ) được gọi là một phân thớ đường thẳng chỉnhhình trên M nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Với mỗi x ∈ M , Lx = π−1(x) là không gian véc tơ phức 1 chiều(thớ tại điểm x)

(ii) Với mỗi điểm x ∈ M , tồn tại lân cận Vx và song chỉnh hình

φx : L|Vx = π−1(Vx) → Vx×C sao cho p1◦φ = π, p2◦φx|π−1 (y) : π−1(y) → C

là đẳng cấu tuyến tính với mọi y ∈ Vx, ở đó p1, p2 lần lượt là phép chiếucủa Vx× C lên thành phần thứ nhất và thứ hai

Cho (L, π, M ) là phân thớ đường thẳng chỉnh hình (ta có thể viết là

π : L → M hoặc viết tắt đơn giản là L) Khi đó tồn tại một phủ mở{Vλ} của M , các song chỉnh hình φλ : L|Vλ = π−1(Vλ) → Vλ × C thỏamãn φλ|Lx : Lx → {x} × C ∼= C là ánh xạ tuyến tính và các hàm chỉnhhình không có không điểm φλµ xác định trên tập Vλ∩ Vµ 6= ∅ thỏa mãn:

φλ ◦ φ−1µ |(Vλ∩Vµ)×C : (x, z) ∈ (Vλ ∩ Vµ) × C 7→ (x, φλµ(x)z) ∈ (Vλ∩ Vµ) × C

là song chỉnh hình Khi đó họ φλµ thỏa điều kiện đối chu trình, tức làthỏa mãn:

Γrat(U, L))

Khi U = M , ϕ như trên được gọi là nhát cắt toàn cục trên M Tathường dùng kí hiệu H0(M, L) để chỉ Γ (M, L) Nhát cắt s ∈ Γ (U, L)thỏa mãn s(x) 6= 0x ∈ Lx được gọi là một mục tiêu chỉnh hình địaphương trên U của L

Giả sử {Uλ, φλ} và {φλµ} là phủ tầm thường hóa địa phương và hệhàm chuyển của L Đặt sλ(x) = φ−1λ (x, 1), ∀x ∈ Uλ, khi đó sλ là một mụctiêu chỉnh hình địa phương trên M Đôi khi ta cũng gọi họ ({Uλ} , {φλ})

là phủ tầm thường hóa địa phương của M

Lấy σ ∈ Γrat(M, L)\{0}, ta có σ (x) = σλ(x) sλ(x) = σλ(x) φ−1λ (x, 1),với σλ(x) là hàm phân hình trên Uλ Khi đó trên Uλ ∩ Uµ 6= ∅, ta có:

σλ(x) φ−1λ (x, 1) = σµ(x) φ−1µ (x, 1) = σµ(x) φλµ(x) φ−1λ (x, 1)

Do vậy 2 divisor (σλ) = (σµ) trên Uλ∩ Uµ 6= ∅ Ta đặt (σ) = (σλ) trên Uλvới mỗi λ Như vậy ta được (σ) ∈ Div(M ), gọi là divisor sinh bởi σ Tađặt:

|L| = {(σ) ; σ ∈ Γ (M, L) \ {0}} Định nghĩa 1.2.3 (Metric Hermitian) Cho phân thớ đường thẳng chỉnhhình π : L → M Họ H = {Hx}x∈M được gọi là một metric Hermitiantrên L nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Hx là dạng Hermitian trên Lx.

(ii) Với Umở ⊂ M , s ∈ Γ (U, L) thì Hx(s (x) , s (x)) ∈ C∞(U ).Chú ý 1.2.4 (1) Lấy ({Vλ} , {sλ}) là một phủ tầm thường địa phươngcủa L và {φλµ} là hệ hàm chuyển Đặt Hλ(x) = Hx(sλ(x) , sλ(x)), khi

đó Hλ ∈ C∞(U ) thỏa mãn hai điều kiện sau:

(i) Hλ > 0, ∀x ∈ Uλ

(ii) φ2λµHλ(x) = Hµ(x), ∀x ∈ Uλ∩ Uµ

Khi đó họ hàm {Hλ} cũng được gọi là metric Hermitian trên L

(2) Đồng thời ta định nghĩa hàm k.k trên L như sau: Với a ∈ Lx,

x ∈ Uλ, a = vλ.sλ(x) ta đặt kak = |vλ|pHλ(x) Hàm k.k cũng được gọi

là metric Hermitian trên L

Ba định nghĩa trên là tương đương và phân thớ đường thẳng chỉnhhình L với một metric Hermitian trên đó được gọi là phân thớ đườngthẳng Hermitian, ta viết (L, H)

Định nghĩa 1.2.5 (Dạng Chern) Cho L là phân thớ đường thẳng mitian trên M với metric Hermitian {Hλ} Khi đó dạng vi phân kiểu(1,1):

Her-ωL,H = − i

2π∂ ¯∂logHλ.được gọi là dạng Chern của (L, H)

Định nghĩa 1.2.6 (Hàm đếm của dòng) Với T là dòng bậc 0 kiểu (1,1)trên Cm Ta định nghĩa hàm đếm của T như sau:

Với D ∈ Div(M ), D có thể xem như là hiệu của 2 divisor không âm trên

M Mặt khác, mỗi divisor không âm được xem như một dòng dương kiểu(1,1), do vậy D là một dòng bậc 0 kiểu (1,1) trên M Hàm số N (r, D)được gọi là hàm đếm của D

Với D ∈ Div(M ), giả sử D có biểu diễn bất khả quy: D = λaλVλ.Với k, l là số nguyên dương hay k = ∞, đặt D(k) = P

Hàm N(k)(r, D) được gọi là hàm đếm chặn bội đến bậc k của D Khi

k = ∞, ta bỏ kí tự (k) trong các kí hiệu trên và hàm số N (r, D) được gọi

là hàm đếm của D

Cho F là một hàm chỉnh hình khác không trên một miền Ω trên

Cm Với một tập gồm các số nguyên không âm α = (α1, , αm), ta đặt

|α| = α1 + + αm và DαF = ∂

|α|F

∂α1z1 ∂αmzm.Khi đó ta định nghĩa hàm số νF : Ω → Z cho bởi:

νF(z) := max{l : DαF (z) = 0, ∀α : |α| < l} (z ∈ Ω)

Để tiện lợi, chúng ta có thể xem một divisor trên miền Ω ⊂ Cm làmột ánh xạ ν : Ω → Z sao cho với mỗi a ∈ Ω, có các hàm chỉnh hìnhkhác không F và G trên một lân cận liên thông U ⊂ Ω thỏa mãn ν(z) =

νF(z) − νG(z) với mỗi z ∈ U ngoài một tập giải tích có chiều ≤ m − 2.Hai divisor được gọi là tương đương nếu chúng cùng đồng nhất ngoàimột tập giải tích có số chiều ≤ m − 2 Với mỗi divisor ν trên Ω, ta đặt

|ν| := {z : ν(z) 6= 0}, là một tập con giải tích (m − 1) chiều của Ω hoặc

là tập rỗng

Với ν là divisor trên Cm và số nguyên dương k, l hay k = ∞, ta địnhnghĩa hàm đếm của ν bởi:

ν(k)(z) = min{k, ν(z)}

Trường hợp k = ∞, ta bỏ kí tự (k) trong các kí hiệu trên.

Cho M là đa tạp phức compact n chiều, f : Cm → M là ánh xạphân hình được xác định bởi ánh xạ chỉnh hình f0 : W → M Trong đó

W = Cm\ I(f ), với I(f ) là tập không xác định của f , nó là một tập congiải tích có đối chiều ≥ 2 của Cm

Định nghĩa 1.2.7 (Hàm đặc trưng của ánh xạ phân hình) Cho ω làdạng vi phân thực liên tục kiểu (1,1) trên M Hàm đặc trưng của f tươngứng với ω được định nghĩa như sau:

Tf (r, ω) = N (r, [f∗ω]) Cho L là phân thớ đường thẳng Hermitian trên M với mêtric Hermitiank.k Cho D là divisor trên M sao cho D = (σ) với σ ∈ Γ (M, L) (Vì Mcompact nên ta có thể giả sử kσk < 1) và f (Cm) 6⊂ SuppD

Định nghĩa 1.2.8 (Hàm xấp xỉ của ánh xạ phân hình) Hàm xấp xỉ của

f tương ứng với D được định nghĩa (sai khác một hàm bị chặn) như sau:

f (Cm) 6⊂ D, ta có:

Tf (r, ω) = N (r, f∗D) + mf (r, D) − mf (1, D)

Chương 2

Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ

phân hình vào không gian xạ ảnh

phức

2.1.1 Ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức

Kí hiệu Pn(C) là không gian xạ ảnh n chiều trên C liên kết với khônggian véctơ Cn+1 Ta cố định một mục tiêu xạ ảnh trên Pn(C) và gọi(ω0 : · · · : ωn) là tọa độ thuần nhất của Pn(C) trong mục tiêu xạ ảnh trên.Khi đó ωi

ωj là hàm phân hình trên Pn(C)

Cho f : Cm → Pn

(C) là ánh xạ phân hình Ta giả sử f (Cm) 6⊂ {ω; ω0 =0} Gọi H là divisor rút gọn trên Pn(C) thỏa mãn SuppH = {ω; ω0 = 0}.Khi đó tồn tại hàm chỉnh hình f0 trên Cm sao cho (f0) = f∗H Mặtkhác, fi = f0.(ωi

ω 0 ◦ f ) là các hàm chỉnh hình trên Cm, i = 1, · · · , n Với

z /∈ Suppf∗H hiển nhiên có f (z) = (f0(z) : · · · : fn(z))

Như vậy, với mỗi ánh xạ phân hình f : Cm → Pn

(C) tồn tại các hàmchỉnh hình f0, · · · , fn không đồng thời đồng nhất bằng không sao cho

f (z) = (f0(z) : · · · : fn(z)) với z /∈ {f0 = · · · = fn = 0} Bộ (f0 : · · · : fn)được gọi là một biểu diễn của f Nếu tập {f0 = · · · = fn = 0} là tập congiải tích có đối chiều ≥ 2 thì f = (f0 : · · · : fn) được gọi là biểu diễn rút

gọn (hay chấp nhận được của f ).

H (siêu mặt D) nào của Pn(C)

Mỗi một siêu phẳng H trên Pn(C) được xác định bởi phương trìnhtuyến tính có dạng:

Họ các siêu phẳng {Hi}qi=0, q ≥ n + 1 (các siêu mặt {Di}qi=0) được gọi

là ở vị trí tổng quát nếu giao của bất kì n + 1 siêu phẳng (siêu mặt) trongchúng đều bằng rỗng

Cho N ≥ n, khi đó họ các siêu phẳng {Hi}qi=0, q ≥ n + 1 (các siêu mặt{Di}qi=0) được gọi là ở vị trí N - dưới tổng quát nếu mỗi tập con gồm

N + 1 siêu phẳng (siêu mặt) trong chúng đều có giao bằng rỗng

2.1.2 Phân thớ siêu phẳng của không gian xạ ảnh phức

Cho Pn(C) là không gian xạ ảnh phức với hệ tọa độ thuần nhất (ω0 :

· · · : ωn) Khi đó Pn(C) là đa tạp phức n chiều với hệ bản đồ (Vi, φi),

Lấy H là một siêu phẳng tùy ý trong Pn(C), H = {ω;

n

P

i=0

aiωi = 0}với a0, · · · , an là các số phức không đồng thời bằng không Khi đó H làtập con giải tích chiều thuần túy n − 1 của Pn(C) và xác định cho chúng

ta một divisor rút gọn, vẫn kí hiệu là H, được cho bởi họ các hàm chỉnhhình {ϕi : ω ∈ Ui 7→

Giả sử g ∈ Γ(Pn(C), H0)\{0}, khi đó tồn tại duy nhất g∗ ∈ Γ(Pn

(C))sao cho với (x0, , xn) ∈ Cn+1\{0} thì:

|H0| = {H; H là siêu phẳng trong Pn(C)}

2.1.3 Dạng Fubini Study trên không gian xạ ảnh phức

(a) Cho H0 là phân thớ siêu phẳng trên Pn(C) Trên H0 ta định nghĩamột metric Hermitian xác định bởi họ các hàm Hi lớp C∞ trên Vi đượcđịnh nghĩa như sau:

Hi(ω0 : · · · : ωn) = |ωi|2

Pn k=0|ωk|2

Như vậy, ta có |ϕij|2Hi = Hj trên Vi ∩ Vj Vậy {Hi}n

i=0 xác định mộtmetric Hermitian trên H0 Chuẩn k.k sinh bởi metric được cho bởi:

p

Hi(ω0 : · · · : ωn) = |Pn

k=0akωk|(Pn

i=0aixi

Ta đặt kHk = (|a0|2 + · · · + |an|2)12, kf k = (|f0|2 + · · · + |fn|2)12(∼maxi=0,n|fi|)) và (f, H) = Pn

i=0aifi Nếu f (Cm) 6⊂ H hay (f, H) 6≡ 0 thìdivisor không điểm của hàm (f, H) không phụ thuộc vào biểu diễn rút

gọn của f và các hệ số ai Ta kí hiệu divisor này là (f, H) nếu không có

gì nhầm lẫn Như vậy, (f, H) = f∗H theo nghĩa của divisor

S(r)

log kf kη −

Z

S(1)

log kf kη (Theo công thức Jensen)

(c) Lấy H là siêu phẳng như mục (a) sao cho f (Cm) 6⊂ H Theo côngthức Poincaré - Lelong thì (f, H) = ddc[log |(f, H)|2] theo nghĩa của dòng

Do vậy, kí hiệu N(f,H)(r) là hàm đếm của f tương ứng với H, ta có:

log |(f, H)|η (Theo công thức Jensen)

Kí hiệu m(f,H)(r) là hàm xấp xỉ của f tương ứng với H, ta có:

Cho ϕ : Cm → C và k, l là số nguyên dương hay k = ∞, ta định nghĩa:

Nϕ(r) = N (r, νϕ), Nϕ(k)(r) = N(k)(r, νϕ), Nϕ,>l(k) (r) = N>l(k)(r, νϕ).Trường hợp k = ∞, ta bỏ kí tự (k) trong các kí hiệu trên

Cho f : Cm → Pn

(C) là ánh xạ phân hình có biểu diễn rút gọn f =(f0 : : fn) và H là một siêu phẳng trong Pn(C) xác định bởi H ={a0ω0 + + anωn = 0} với a := (a0, , an) 6= (0, , 0) Ta định nghĩadivisor tương ứng f∗H xác định bởi f∗H(z) = ν(f,H)(z) (z ∈ Cm), địnhnghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đại diện của f Từ đây,chúng ta sẽ viết ν(f,H) thay cho f∗H nếu không có gì nhầm lẫn

(b) Cho ϕ là hàm phân hình khác hằng trên Cm, ta xem ϕ là ánh xạphân hình từ Cm vào P1(C) có biểu diễn rút gọn ϕ = (ϕ0 : ϕ1) với ϕ0, ϕ1

là các hàm chỉnh hình thỏa mãn tập {z ∈ Cm; ϕ0(z) = ϕ1(z) = 0} là tậpgiải tích có đối chiều ≥ 2

Ta định nghĩa hàm xấp xỉ của ϕ bởi:

m(r, ϕ) =

Z

S(r)

log+|ϕ|η

trong đó log+t = max{0, log t} với t > 0 Hàm đặc trưng Nevanlinna của

ϕ được định nghĩa bởi:

T (r, ϕ) = N1

ϕ(r) + m(r, ϕ)