Xây dựng các mô hình phần mềm để đánh giá hệ thống xếp hàng

các thông số hiệu năng:Trớc khi đi vào cụ thể các hệ thống xếp hàng đơn, chúng ta cần phảinghiên cứu qui luật xuất hiện của khách hàng, tính toán các thông số hiệu năng để xác định mức đ

Mở Đầu

Chúng ta đang sống ở thế kỷ 21 là thế kỷ bùng nổ thông tin Do con ng ờingày càng có nhu cầu cao hơn về việc trao đổi thông tin Để đáp ứng yêu cầu đóthì các mạng tốc độ cao cũng đã phát triển rất nhanh, trong đó có hai khía cạnh t-

ơng đối quan trọng là phơng pháp tính toán và chu kỳ phát triển sản phẩm Điều

đó đã làm tăng nhanh tốc độ truy xuất các luồng thông tin khác nhau trên mạng,việc nhận và gửi các thông báo Email sẽ trở nên nhanh hơn và rẻ hơn rất nhiều.Ngày nay các mạng và các hệ thống thông tin truyền đợc thiết kế và xây dựngtinh vi hơn trớc Nhằm đáp ứng nhu cầu xử lý, chuyển tải thông tin của xã hội thìmột nhiệm vụ hết sức quan trọng đặt ra là phải phân tích, đánh giá đợc hiệu năng,chất lợng cũng nh độ tin cậy của các hệ thống đó

Lý thuyết xếp hàng có nguồn gốc từ đầu thế kỷ 20 với các nghiên cứu khởi

đầu của nhà toán học ngời Đan Mạch A.K.Erlang Ngày nay lý thuyết xếp hàng

đợc dùng rộng rãi cho các ứng dụng khác nhau, hơn nữa nó vẫn đang đợc tiếp tụcnghiên cứu và phát triển Để đánh giá hiệu năng của các mạng viễn thông ta cóthể chọn một trong hai phơng pháp: phơng pháp đo lờng hoặc phơng pháp thống

kê Trong thực tế, đánh giá hiệu năng các hệ thống bằng phơng pháp thống kê đãchiếm một vai trò ngày càng quan trọng bởi vì nó có thể đánh giá các thông sốhiệu năng dựa trên các mô hình toán học của các mạng đang trong giai đoạnnghiên cứu Trớc khi đi xây dựng một hệ thống cụ thể thì việc đi đánh giá cácthông số hiệu năng là vô cùng quan trọng ở đây ta sử dụng lý thuyết xếp hàng

để làm cơ sở toán học cho việc đánh giá hiệu năng của mạng Chính vì thế nênluận văn lấy tên: “Xây dựng các mô hình phần mềm để đánh giá hệ thống xếphàng”

Luận văn đợc trình bày trong ba chơng tơng ứng với những nội dung sau:

Chơng I, trình bày sơ lợc về một số độ đo hiệu năng Sau đó các mô hình

xếp hàng đơn tổng quát đợc trình bày Từ các mô hình tổng quát đó áp dụng chocác mô hình xếp hàng đơn cụ thể (nh mô hình xếp hàng M/M/1 , mô hình xếp

hàng M/M/2, vv , ) cùng với việc khảo sát các khái niệm có liên quan về phânphối dòng khách hàng đến (phân phối Poisson, ), phân phối thời gian phục vụkhách hàng (phân phối mũ, ) và các công thức xác định các độ đo hiệu năngcủa các hệ thống này Phần cuối của chơng I là nghiên cứu về các hệ thống xếp

hàng dạng phi Markov, chẳng hạn nh hệ thống xếp hàng M/G/1 (có phân phối

thời gian phục vụ khách hàng tuỳ ý).

Chơng II, trình bày các nghiên cứu ở dạng tổng quát của các hệ thống xếp

hàng đó là mạng xếp hàng Các phân tích đều tập trung vào các mạng xếp hàngdạng Markov Trong phần này chúng ta nghiên cứu cả mạng xếp hàng đóng vàmạng xếp hàng mở trong đó có đề cập đến một khái niệm mới trong lý thuyết

xếp hàng đó là “ nghiệm dạng tích” (PFS - Product Form Solution) Để làm giảm

bớt đi khối lợng tính toán khi xác định các độ đo hiệu năng cho mạng xếp hàngPFS đóng trong chơng II này cũng đã đa ra thuật toán phân tích giá trị trung bìnhMVA (Mean Value Analysis)

Chơng III, thiết kế phần mềm đánh giá hiệu năng các mô hình xếp hàng

Do thời gian hạn hẹp và cha có điều kiện tiếp cận đối tợng nghiên cứu đợctốt nên luận văn không thể tránh đợc các sai sót Vì vậy rất mong nhận đợc sựthông cảm và góp ý của các thầy cô giáo và các bạn bè sinh viên để luận văn đợchoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn sự hớng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo

- ThS Lê Anh Ngọc Tôi cũng xin đợc cảm ơn toàn thể bạn bè trong lớp đã tạomọi điều kiện về thời gian và góp nhiều ý kiến quý báu trong quá trình thực hiệnluận văn này

Vinh, ngày 5 tháng 5 năm 2003

Chơng I Các hệ thống xếp hàng đơn1.1 các thông số hiệu năng:

Trớc khi đi vào cụ thể các hệ thống xếp hàng đơn, chúng ta cần phảinghiên cứu qui luật xuất hiện của khách hàng, tính toán các thông số hiệu năng

để xác định mức độ xếp hàng vừa phải để không gây tắc nghẽn hay bất bình vớicác khách hàng đồng thời đảm bảo đợc hệ số sử dụng một cách hợp lý Để thựchiện đợc nhiệm vụ đó ta cần phải đa ra đợc các thông số hiệu năng, sau đó trêncơ sở các thông số đó có thể chọn ra đợc phơng án thiết kế hệ thống tối u Cácchỉ tiêu đánh giá hay các thông số hiệu năng quan trọng thờng dùng khi phân tíchmạng đó là:

a) Tốc độ đến của khách hàng ( - arrival rate):

 =

T

A

, trong đó A - số các khách hàng đến hệ thống

T - thời gian quan sát (thời gian đo)

Và đơn vị đo là: Khách hàng/ đơn vị thời gian

b)Thông lợng (throughput) của hệ thống xếp hàng hay là tốc độ trung

bình của khách hàng chuyển qua hệ thống

Throughput = X =

T

C (với C là số khách hàng hoàn thành dịch

vụ).

Dạng biểu diễn khác: Throughput = Y = 



 1 ) (

n n

Cách biểu diễn khác: R = S + W (thời gian thờng trú bằng tổng thời gian

phục vụ và thời gian mà khách hàng đó phải đợi trớc khi đợc phục vụ)

e) Thời gian phục vụ (S - Server time): S =

C

B

, trong đó B - tổng thờigian hệ thống bận trong khoảng thời gian T Đại lợng này không phải là tốc độ

mà nó biểu diễn tổng thời gian trung bình để hoàn thành phục vụ một yêu cầu

đến

f) Thời gian đợi (W - Waiting time): W = SQ, trong đó Q - số các khách

hàng trung bình trong hàng đợi và S - thời gian phục vụ

g) Xác suất để hệ thống xếp hàng là rỗng: P0

h) Độ hiệu dụng hay là xác suất để hệ thống xếp hàng là không rỗng và

tất cả các sesver bận (trờng hợp nhiều sesver)

U = 1 - p0

i) Độ hiệu dụng trung bình (U - utilitization): U =

T B

= S

j) Xác suất để tất cả các kênh phục vụ đến bận hay xác suất để 1 khách

hàng bị từ chối là PN hay P[queueing] (trong đó N - kích thớc hệ thống)

Hình I.1: Một mô hình hệ thống xếp hàng

Trong hệ thống xếp hàng này các khách hàng vào từ phía bên trái và ra

khỏi phía bên phải Vòng tròn miêu tả server ( hệ thống phục vụ) Ví dụ trong

dãy quầy thanh toán tiền trong một siêu thị, server sẽ là các nhân viên thao tácmáy đếm tiền Trong mạng dữ liệu, server là phơng tiện truyền dẫn liên kết đầu

ra, các đờng dây, trung kế,CPU, còn hàng chữ nhật mô tả hàng đợi (queue) màchứa các khách hàng trớc khi đợc vào phục vụ tại server Đôi khi ta có thể gọi hệthống nh vậy là một hệ thống xếp hàng hay một hàng đợi phụ thuộc vào từnghoàn cảnh cụ thể Trong trờng hợp đó, khi dùng từ hàng đợi ta hiểu là toàn bộ hệthống xếp hàng bao gồm các yêu cầu đang đợi dịch vụ và các yêu cầu đang đợcphục vụ Do đó thuật ngữ độ dài hàng đợi đợc hiểu là số các yêu cầu đang đợicộng thêm các yêu cầu đang đợc phục vụ

1.2.2 Các đặc trng của 1 mô hình xếp hàng:

Để phân tích 1 trung tâm hàng đợi, ta cần phải chỉ rõ các đặc trng sau:

- Tính chất của dòng khách hàng đến hàng đợi hay phân phối xác suất của

khoảng thời gian giữa các yêu cầu đến vào hàng đợi.

- Phân phối xác suất của khoảng thời gian dịch vụ cho mỗi yêu cầu trong hàng đợi.

- Số các server tại hàng đợi.

- Dung lợng bộ đệm hay dung lợng lu trữ tại hàng đợi.

- Tổng số các yêu cầu hiện có mặt tại hàng đợi.

- Các kiểu dịch vụ.

Một số các phân phối thời gian chung đợc sử dụng để mô hình hoá khoảngthời gian giữa các khách hàng đến và đợc phục vụ bao gồm các phân phối sau:

+) Phân phối xác định (D - Determistic): Khoảng thời gian giữa 2 khách

hàng đến hay rời liên tiếp bằng nhau

+) Phân phối mũ (M - Exponential): khoảng thời gian giữa 2 khách hàng

hoàn toàn độc lập với khoảng thời gian đến trớc đó Do đó các khoảng thời gian

là không tơng quan với nhau về thời gian Và biến ngẫu nhiên mô tả các khoảngthời gian đó có phân phối mũ (tuân theo luật chỉ số) Quá trình ngẫu nhiên tơngứng đợc gọi là quá trình có tính chất không nhớ (đây là đặc trng của một quátrình ngẫu nhiên Poisson) Phân phối này đợc sử dụng khắp nơi trong các môhình xếp hàng của các máy tính

+) Phân phối đều (U - Uniform): Các khoảng thời gian đến và khoảng

thời gian dịch vụ đợc giới hạn bởi một số các giá trị hữu hạn Các đặc trng xếphàng nằm giữa các phân phối mũ và phân phối xác định

+) Phân phối tổng quát (G - General): Các khoảng thời gian đến hay rời

không đợc đặc trng bởi bất kỳ một phân phối nào bởi vì quá trình đến hay rời

là một quá trình hoàn toàn tuỳ ý

1.2.3 Trật tự phục vụ khách hàng

Hầu nh các hệ thống xếp hàng ngày nay đợc sử dụng để phục vụ các khách

hàng theo trình tự mà chúng tới Trình tự phục vụ đó gọi là FIFO (First in First

out) hay FCFS (Fist Come First Server) Bên cạnh đó còn một số kiểu dịch vụ

khác nh LIFO, FIFOPR,

Theo kí pháp của Kendall một trung tâm xếp hàng hay nói chung là hàng

đợi đợc phân loại qua các kí hiệu của bộ mô tả Kendall tổng quát có dạng:

Q N

N - số lợng khách hàng cho phép chuyển qua hệ thống.

Q - phơng thức phục vụ (FIFO, LIFO)

Qui ớc: khi  và N là vô hạn và kỷ luật xếp hàng là FIFO khi đó bộ mô tả

có thể đợc rút ngắn lại thành M/M/m

1.3 Các hệ thống xếp hàng đơn:

1.3.1 Hệ thống xếp hàng M/M/1.

Hệ thống M/M/1 này có 2 đặc trng chủ yếu:

- Có tiến trình đến là một quá trình phân phối Poisson.

- Hệ thống phục vụ (Server) có thời gian dịch vụ là một biến ngẫu nhiên phân phối mũ.

Tiến trình Poatxông Server phân phối mũ

Chúng ta xem xét đặc tính của quá trình này nh sau: giả sử trục thời gian

đợc chia thành vô số các khoảng thời gian nhỏ có độ rộng là t ( t  0 ) và xácsuất của 1 khách hàng đến trong một khoảng thời gian nh vậy tỷ lệ với độ dài t

với một hằng số tỷ lệ  (mô tả tốc độ đến của quá trình đến).

t

t t + t Hình I.3: Trục thời gian đợc phân chia

Khi đó, điều kiện để nhận biết một quá trình Poisson gồm các tính chất:

1 Tính đơn nhất.

Prob(có một khách hàng đến trong đoạn[t,t+ t])=t+(t)

Prob(không có khách hàng nào đến trong đoạn [t,t+ t] )= 1- t+(t)

Prob(có hơn 1 khách hàng đến trong đoạn [t,t+ t] ) = (t)

đó đã có k khách hàng đến là 2 biến cố độc lập với nhau với mọi k:

x

e t t

a x a tt



Trong đó a(t,t) là số khách hàng đến trung bình trong khoảng thời gian [t,t+t]

3 Tính dừng: Dòng các khách hàng có tính dừng nếu xác suất xuất hiện x

khách hàng trong khoảng thời gian t không phụ thuộc vào điểm đặt của khoảngthời gian đó:

Px(t, t)=Px(t)Nói cách khác, mật độ dòng khách hàng là không đổi: a(t)=t và khi đó:

Px(t)=

!

) (

Từ đó ta thấy, quá trình Poisson cũng tơng tự nh quá trình tung đồng xu.Mỗi đoạn t tơng ứng giống nh một lần tung đồng xu với t là xác suất của cómột khách hàng đến trong đoạn thời gian này (tơng ứng mặt ngửa của đồng xuxuất hiện) và 1 - t là xác suất để không có khách hàng đến trong đoạn t (t-

ơng ứng với mặt sấp của đồng xu xuất hiện) Khi các khoảng chia t0 , ta sẽ

có tiến trình Poisson thời gian liên tục Qua tính tơng tự với quá trình tung đồng

xu, ta có thể thấy rằng các khách hàng đến là độc lập với các khách hàng khác vàvào một thời điểm bất kỳ chỉ có tối đa 1 khách hàng đến hệ thống vì chúng chỉ làkết quả của một số rất lớn các phép thử độc lập tung đồng xu

Ví dụ: Một trong những ứng dụng cơ bản nhất của quá trình Poisson trongtruyền thông là mô hình các cuộc gọi đến một tổng đài điện thoại Mỗi cuộc gọi

điện thoại có thể đợc mô hình nh là một quá trình Poisson Chúng đợc kết hợpthành một dòng các cuộc gọi có phân phối Poisson tại tổng đài Mô hình này rấtphù hợp cho việc mô hình hoá việc kết hợp của một số lớn những ngời dùng độclập theo cách này Tuy nhiên không phải bao giờ nó cũng có hiệu lực Ví dụ nhtrờng hợp mà tổng đài quá tải Các cuộc gọi bị tắc nghẽn (đó là trờng hợp đa đến

từ những lần thử gọi lặp đi lặp lại của ngời sử dụng để đợc thông tuyến) hay cónhững sự tơng quan giữa một cuộc gọi của cá nhân gọi điện thoại Trong trờnghợp này mô hình trở nên rất phức tạp

1.3.1.2 Các đặc trng của quá trình Poisson

a. Kỳ vọng của quá trình Poisson

Giả sử n là số các khách hàng đến trung bình trong một khoảng thời gian

) (

n

n t nP n

Trong đó P n t là xác suất để có khách hàng đến hệ thống tại thời điểm t là n và

 t

p,j  là xác suất để hệ thống có i khách hàng chuyển đến có j khách hàngtrong khoảng thời gian t giây

Thay giá trị của Pn (t) vào biểu thức trên, ta có:

t te e n

t t e n

t e

n

t n e

e n

t n

n n

t n

n t

n n

t t n n

1 1

) (

!

) ( )!

1 (

) (

!

) (

Do vậy: n=t

b Phơng sai của quá trình Poisson:

Đối với phơng sai (độ phân tán), đầu tiên chúng ta tính:

t n

n t

n n

e n

t e

n

t n

n n

!

) ( ) 1 ( ))

1 ( (

2 2

0

!

) ( ) ( )) 1 (

n

t t

e n

n

n

n t

)) 1 ( (n n E n E n t

E      hay E(n2)  ( t)2  t

Ta cũng dùng định nghĩa phơng sai của số khách hàng n là:

2 2 2

2 2

2 E(n n) E(n ) E(n) 2n E(n) E(n ) n



Do vậy: n2  ( t)2 t ( t)2  t

Nh vậy, kỳ vọng và phơng sai của phân phối Poisson đều là t

1.3.1.3 Qui luật về thời gian giữa các khách hàng đến với hệ thống

Ta xem xét về phân phối khoảng thời gian giữa các khách hàng đến với hệthống Đối với một quá trình đến là dòng Poisson thì các khoảng thời gian đó làcác biến ngẫu nhiên có phân phối mũ độc lập với nhau Có thể nhận thấy điềunày là đúng Thật vậy, gọi X - biến ngẫu nhiên liên tục biểu diễn “thời gian giữacác khách hàng đến”, ta có:

P(X t) =1-P( X> t)P(X t) = 1-P0(t)P(X t) = 1 -e t

Nếu ta lấy vi phân của đẳng thức trên, ta có hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X(thời gian giữa các khách hàng đến): f t e t

 ) (

Đây chính là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên có phân phối mũ

Nhận xét:

- Một biến ngẫu nhiên phân phối mũ chỉ là một biến ngẫu nhiên liên tục

mà có tính không nhớ Nói một cách không chặt chẽ lắm thì điều đó có nghĩa là

“quá khứ ” của biến ngẫu nhiên không giúp đợc gì cho việc đoán trớc “ tơng lai ”của nó

- Dới dạng quá trình đến Poisson, tính không nhớ có nghĩa là phân phốithời gian cho tới sự kiện tiếp theo là giống nhau tại bất kỳ thời điểm quan sát nào

Để chứng minh rằng điều này là đúng, ta trở lại với sự lý giải quá trìnhPoisson thông qua quá trình tung đồng xu trong một khoảng thời gian vô cùng

bé Khi thời gian tiếp tục trôi đi ta sẽ có đợc một số rất lớn các lần tung đồng xu.Với quá trình Poisson trong hoàn cảnh này, dễ dàng thấy rằng phân phối thờigian cho đến kết quả tiếp theo không phụ thuộc vào bất kỳ kết quả nào vừa mớixảy ra Có nghĩa là không thể đoán trớc đợc khi nào sẽ tung đợc mặt ngửa trongkhi biết rằng vừa mới tung đợc mặt ngửa

1.3.1.4 Tính chất Markov của quá trình ngẫu nhiên

Tính không nhớ đợc xem xét một cách chính xác hơn nh là tính Markov.Một cách trực quan, nó nói rằng ta có thể đoán trớc trạng thái tơng lai của hệthống dựa trên trạng thái hiện tại cũng nh nếu ta có tập các trạng thái có thể cócủa quá khứ

Dới dạng thời gian T là biến ngẫu nhiên không âm liên tục, tính chấtMarkov có thể đợc biểu diễn: P(T>t + t0/T>t0) = P( T> t) với mọi t, t0 > 0

Dới dạng một biến ngẫu nhiên rời rạc X(T n)chúng ta có thể phát biểu rằng:P(X(tn+1)= xn+1/ X(tn)=xn, X(tn-1) = xn-1, , X(t1) = x1) =P(X(tn+1) = xn+1/ X(tn)=xn)với ti là một dãy tăng đều và xn nhận một số giá trị từ không gian trạng thái rờirạc

Các hệ thống Markov đều là các hệ thống không nhớ Điều này khiếnchúng tơng đối đơn giản khi phân tích do khi ta mô tả trạng thái của hệ thống takhông cần đa vào các giá trị thời gian tính từ khách hàng vừa đến hoặc thời giandịch vụ đang thực hiện Khi dòng khách hàng đến không phải là dòng Poissonhoặc thời gian dịch vụ không phải là phân phối mũ thì ta mới phải quan tâm tới

các giá trị đó Điều này khiến ta biết đợc hành vi của hệ thống xếp hàng đơnngay cả dới các điều kiện không tầm thờng.

1.3.1.5 Thời gian dịch vụ phân phối mũ

Trong một hệ thống xếp hàng M/M/1, thời gian dịch vụ là các biến ngẫunhiên độc lập có phân phối mũ Có nghĩa là chúng xuất hiện theo mật độ xác suất

e-t với  là tốc độ dịch vụ trung bình là 1/ là thời gian dịch vụ trung bình Nh

đã xét ở trên, hệ thống phục vụ kiểu này là không nhớ và do vậy rất tiện dụng khiphân tích

Vậy một server phân phối mũ trên thực tế nh thế nào? Nó đợc xem là môhình hợp lý cho việc mô hình hoá thời gian của các cuộc gọi điện thoại Nhng nócũng đợc dùng trong các tình huống mà cơ sở hạ tầng vật lý cho việc sử dụngcác thiết bị là yếu dần( đợc sử dụng để mô hình tuổi thọ của các thiết bị vật lý)

Ví dụ: thời gian chuyển các gói tin có độ dài cố định trong mạng máy tính thờng

đợc mô hình hoá bởi biến ngẫu nhiên phân phối mũ

1.3.1.6 Phơng pháp phân tích hệ thống xếp hàng M/M/1:

Nh đã biết, khi xét quá trình Poisson ta có 2 biến cố xảy ra:

- Xác suất để một khách hàng đến trong đoạn [t,t+ t] là t

- Xác suất để không có khách hàng nào đến trong đoạn [t,t+ t] là (1- t)

Với hệ thống M/M/1 thêm vào đó ta có 2 biến cố nữa:

- Xác suất để một dịch vụ hoàn thành trong đoạn [t,t+t] là t

- Xác suất để không có dịch vụ hoàn thành trong đoạn [t,t+t] là(1-t)

Tơng tự nh trớc đây, ta định nghĩa:

Gọi Pn(t) là xác suất để có số khách hàng đến tại thời điểm t là n và gọi pi,j

(t) là xác suất để hệ thống từ i khách hàng chuyển thành có j khách hàng trongkhoảng thời gian t giây

Trong khi trớc đây, trạng thái của hệ thống đợc xem là số các hàng đến với

hệ thống theo dòng Poisson Thì giờ đây số các khách hàng trong hệ thống lạibao gồm cả khách hàng đang đợc dịch vụ Ta có:

) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) (t t P t p , t P 1 t p 1, t P 1 t p 1, t

P n    n n n   n n n   n n n 

Phơng trình này thể hiện rằng, hệ thống có thể rơi vào tình huống với khách hàng đến hệ thống tại thời điểm (t+t) trong khi hoặc đã có n-1 hoặc nhoặc (n+1) khách hàng tại thời điểm t Do vậy đây là quá trình huỷ và sinh nênchúng chỉ là các khả năng Tại trạng thái 0 (thời điểm t0) ta có phơng trình sau:

n-) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0,0 1 1,0

( )

)(

( )

1 )(

1 )(

( )

P n    n        n    n  

) )(

( ) 1 )(

( )

n n

n n

Tính toán các xác suất trạng thái trong trờng hợp cân bằng:

Chúng ta có thể tính toán đợc các xác suất ở trạng thái cân bằng của bất kỳ

hệ thống xếp hàng nào với một số lợng các trạng thái hữu hạn theo cách sau:

Thuật toán

Bớc1: Tơng tự với mỗi trạng thái, ta viết một phơng trình cân bằng toàn cục của

nó Do vậy ta có N phơng trình tuyến tính với N cha biết Chú ý rằng, bất kỳ mộtphơng trình nào trong tập các phơng trình đó cũng d thừa và có thể thay thế bằngmột phơng trình:

1

2 1

Trên thực tế cho thấy, cách tiếp cận này là rất khó vì thông thờng các môhình xếp hàng có không gian các trạng thái là rất lớn nên các tính toán bằng cácphơng pháp số thông thờng là khó có thể thực hiện đợc.

Bây giờ ta xét một hệ thống xếp hàng M/M/1 cụ thể hơn theo cách nhtrên

1.3.1.7 Công thức Little

Chúng ta hãy xem xét một kết quả đơn giản đợc ứng dụng rộng rãi trongnhiều tình huống trong thực tế, đó là công thức Little Công thức này thiết lậpmối quan hệ giữa các đại lợng:

 n - số khách hàng trung bình trong hệ thống xếp hàng

  - tốc độ đến trung bình của các khách hàng tới hệ thống xếp hàng

  - thời gian đợi trung bình của mỗi khách hàng cho tới khi đợc phục vụxong (chính là tổng thời gian đợi để đợc phục vụ và thời gian phục vụ)

n    ( trong đó n Q, Q là các đại lợng tơng tự nh trên đối với hàng đợi)

Công thức Little đã có trớc khi đợc phát biểu và chứng minh bởi J D CLittle Theo kí pháp Little đa ra luật đó thờng đợc viết dới dạng: L = W

(L - độ dài hàng đợi, W – thời gian đợi)

Để tính thời gian đợi trung bình trong một hệ thống xếp hàng M/M/1

/ 1

(theo công thức Little)

Nh đã biết, dòng vào một hệ thống xếp hàng M/M/1 là dòng Poisson, vậycâu hỏi đặt ra là dòng khách hàng sau khi đợc phục vụ sẽ có tính chất gì? TheoBurke (1956) thì cũng chính là một quá trình Poisson Định lý Burke phát biểurằng: “Dòng khách hàng sau khi rời khỏi hệ thống xếp hàng M/M/1 trong trạngthái cân bằng cũng là dòng Poisson”

1.3.1.8 Tính toán chi tiết với hệ thống xếp hàng đơn (M/M/1)

Để hiểu đợc dễ dàng hơn thì trớc hết chúng ta đi xem xét một quầy bánhàng tạp phẩm Khi bạn đến cửa hàng để mua một đồ gì đó? Muốn đợc phục vụthì bạn phải chờ để những ngời đến trớc bạn đợc phục vụ xong Lúc đó thời gianphục vụ trung bình sẽ đúng bằng S

Thời gian ở lại cửa hàng của bạn là R (thời gian thờng trú bằng số thờigian phục vụ khách hàng đến trớc bạn cộng với thời gian phục vụ riêng bạn khibạn đợc phục vụ)

Khi đó thời gian c trú đợc viết chính thức bằng

S R



 (4)Chúng ta còn có thể làm đơn giản hơn biểu thức trên hơn nữa Nếu chúng ta sửdụng phiên bản khác của qui luật Little thay U = XS Khi đó kết quả cuối cùng

là:

U

S R





1 (5)Chú ý: ở trong biểu thức trên thì thời gian phục vụ trung bình và thông lợng làcác đại lợng có thể đo đợc trực tiếp

- Nếu nhân cả 2 vế của biểu thức trên với thông lợng X thì khách hàngtrung bình trong hệ thống sẽ là:

U

U Q





1 (6)

- Nếu nhân cả 2 vế của biểu thức trên với thời gian phục vụ trung bình thì

ta có biểu thức cho thời gian đợi là:

U

SU W





1 (7)VD1: Phép đo của việc gửi các gói tin vào cổng của mạng trung bình là 125 gói(PPS) với thời gian phục vụ trung bình là 2ms Từ thông tin này chúng ta có thểxác định theo chế độ làm việc riêng biệt của cổng vào

Performance metric Value Unit

Ví dụ 2: Cho thời gian phục vụ trung bình là S = 1 giây và cho thời gian quan sát

là 2 giây Tìm thời gian đáp ứng và chiều dài trung bình của hàng đợi?

Khi đó: U = 0.5 * 1 = 0.5

Trung bình là 50% Server đang bận Vậy thời gian đáp ứng là:

) ( 0 2 5 0 1



U

U Q

1.3.2 Hệ thống xếp hàng M/M/1 phụ thuộc trạng thái:

Cho tới bây giờ ta mới chỉ xem xét hệ thống xếp hàng có tốc độ và dịch vụ

là không đổi và ngoài ra chúng còn độc lập với nhau về số khách hàng trong hệthống Tuy nhiên, trong thực tế có rất nhiều hệ thống xếp hàng đợc xây dựngbằng cách cho tốc độ đến hoặc tốc độ dịch vụ phụ thuộc vào số các khách hàngtrong hệ thống:

1 , 0 , ) 1 ( )

(i p i   i p i1 i  n



) 1 (

) (

p i

) 1 ( 1

 Thông lợng của hệ thống xếp hàng hoặc tốc độ trung bình mà tại đó cáckhách hàng đợc chuyển qua:







 1 ) (

n

n

p n

n n

np

n (số khách hàng)

(đây là một giá trị trung bình hệ số các khách hàng trong hệ thống xếp hàng vớicác xác suất trạng thái đợc dùng nh các hệ số)

 Vì đối với hệ thống xếp hàng M/M/1 có hàng đợi vô hạn thông lợng

trung bình bằng với tốc độ đến  (theo định lý Burke), do đó ta có thể dùng công

thức Little để viết ra biểu thức đối với độ trễ thời gian trung bình

p n

np Y

n



(trong công thức trên, tử số có đơn vị là số khách hàng và mẫu số có đơn vị là sốcác khách hàng trên giây nên  có đơn vị là giây)

 Độ đo hiệu dụng hay là xác suất để hệ thống xếp hàng là không rỗng vàserver bận:

0

1 p

U   Nhắc lại rằng hệ thống M/M/1 có độ dài hàng đợi vô hạn và có các tốc độ đến vàdịch vụ không phụ thuộc trạng thái, khi đó, độ hiệu dụng:

1.3.3 Hệ thống xếp hàng M/M/1/N:

Đây là hệ thống xếp hàng M/M/1 có dung lợng bộ đệm giới hạn – có tối

đa N khách hàng trong hệ thống.Trờng hợp có N khách hàng trong hệ thống(gồm cả một khách hàng đang đợc dịch vụ), khi đó nếu có một khách hàng đến

với hệ thống sẽ đợc xem là bị “bỏ đi” hoặc “mất” hoặc “từ chối” Điều đó có

nghĩa là khách hàng đến thực sự bị mất đi và không quay trở lại lần sau đó

(không phản hồi lại) Nếu các khách hàng đó quay trở lại hệ thống sau đó thì quá

trình đến sẽ không phải là dòng Poisson nữa Các tốc độ đến và dịch vụ phụthuộc vào trạng thái của hệ thống này là:

N n n

N n

0

1

1 1

Xem xét công thức đối với p0 nhận xét thấy: Tử số cũng giống nh p0 trong

hệ thống xếp hàng M/M/1 có bộ đệm vô hạn (số khách hàng trong hệ thống là vô

hạn) Mẫu số giải thích rằng không gian trạng thái đã đợc rút gọn lại thành một

số hữu hạn các trạng thái Chú ý rằng pn tăng hoặc giảm đều theo n còn phụthuộc tơng ứng vào các giá trị  và 

n N

Ví dụ: Nếu cần phải xác định xác suất tắc nghẽn ( P N hay P [queueing] )

là xác suất mà hệ thống xếp hàng là đầy Khi đó số khách hàng bị từ chối trong 1giây sẽ là P N Trong đó P N đợc xác định:

1 1

Nhận thấy, khi  tăng dần thì khả năng từ chối của hệ thống sẽ cao hơn Nếu  =

1 phải dùng luật L’Hopital để xác định P N Đối với hệ thống M/M/1 với bộ đêmvô hạn,  có thể không lớn hơn  do đó  có thể không lớn hơn 1, dẫn đến hàng

đợi cứ tăng mãi Với hệ thống M/M/1 có vùng đệm hữu hạn thì  có thể lớn hơn

, do vậy số khách hàmg nếu vợt quá giới hạn thì đơn giản là sẽ bị hệ thống từchối

Nhận thấy rằng các phân tích hệ thống xếp hàng đơn có từ chối là tơng đối

dễ Tuy nhiên đối với mạng các hệ thống xếp hàng có từ chối thì vấn đề sẽ trởnên khó hơn

 Theo trên chúng ta đã đợc tìm hiểu hệ thống xếp hàng M/M/1 có dung lợng bộ

đệm giới hạn – có tối đa N khách hàng trong hệ thống Trờng hợp có N kháchhàng trong hệ thống, khi đó nếu có 1 khách hàng đến với hệ thống sẽ đợc xem là

bị “ bỏ đi” hoặc bị “từ chối” Điều đó có nghĩa khách hàng đến thực sự bị mất đi

và không quay trở lại lần sau đó Còn bây giờ, chúng ta sẽ đi xem xét 1 hệ thốngngợc lại hệ thống nh vậy ở trong hệ thống này, trờng hợp nếu khách hàng đến

cha đợc dịch vụ thì khách hàng đó không bị mất đi mà sẽ quay trở lại để đợi đếnkhi đợc phục vụ.

Trong hệ thống này  đợc gọi là tốc độ chuyển động của khách hàng Cònkhách hàng đến hệ thống cha đợc phục vụ phải quay lại hàng đợi là  Kháchhàng quay trở lại lập thành dòng 1 cùng với tốc độ  mới đến của khách hàng,

nh vậy hàng đợi mới đến có kết quả sẽ là:

Nh vậy độ hiệu dụng lúc này sẽ là: U  1S

Mặt khác ta có tốc độ đến thăm trung bình là:





 1

1

V

Và dịch vụ yêu cầu sẽ là: D  VS

Từ đó ta có tổng thời gian gửi đi trong hệ thống sẽ bằng:

D

D R





 1

p i

) 1 ( 1





Nên ta có:

0 0

1

0

1 )

(

) 1 (

p n

p i

p i

i p

n n

i i p

1 )

(

) 1 ( 1

n n

! 1

Nhận thấy,đây chính là phân phối Poisson với kỳ vọng là n Đối với mô

 Chúng ta sẽ viết q(M/M/1) biểu thị hàng đợi trung tâm mô tả trong hình

trên, khi đó  U q cho nhiều Server hoặc nhiều hàng đợi

Nên:





 1

S R

Rõ ràng, số hàng đợi trung tâm tăng thêm,  trở thành nhỏ nhất và R cũng vậy

Ví dụ: Một số nhà cung cấp Internet dùng giao diện kiểu dáng thiết bị đầu cuốigọi là “chatrows” Một lần gọi là “chatrows” đợc lựa chọn Tất cả sự thảo luận vàtrao đổi thông tin đều thông qua bàn phím.

Phép đo cho thấy một ngời gọi kết nối có tốc độ trung bình là 3 phút Nếuthời gian đợi trung bình là 3 phút thì hơi lâu, cho nên nhà sản xuất phải tìm racách để giảm bớt thời gian chờ đợi đi 1 phút Chúng ta có thể đa ra mô hình

“chatrows” với 10 hàng đợi song song

Tốc độ trung bình là   3 có đơn vị là phút (CPM) thời gian phục vụ trung

bình là S = 2 phút Từ công thức tính U ta có U = 3 * 2 = 6.00 Từ định nghĩa  =u/q với q = 10, khi đó  = 0.60 Thời gian dịch vụ có thể đợc tính toán nh sau:

00 5 6 0 1

Thời gian phục vụ, S 2.00 Min

Độ hiệu dụng, U  XS 6.00 Percent

Tải,  U q 0.60 Percent

Thời gian đáp ứng, R 5.00 Min

Thời gian đợi, W 3.00 Min

Nếu  = 18 thì thời gian đợi giảm xuống còn 1 min Thay đổi đa ra đã đợctổng kết trong bảng tiếp theo

Độ hiệu dụng, U  XS 6.00 Percent

Tải,  U q 0.33 Percent

Thời gian đáp ứng, R 3.00 Min

Thời gian đợi, W 1.00 Min

1.3.5 Tính toán chi tiết với hệ thống xếp hàng M/M/2: (Hệ thống xếp hàng có 2 Server)

Ta có mô hình xếp hàng nh sau:

HìnhI.5 : Hệ thống xếp hàng M/M/2

Hình trên biểu diễn hệ thống xếp hàng có 2 Server mắc song song Trong

hệ thống này mỗi khách hàng đến sẽ đợc phục vụ bởi một Server riêng và mỗiServer đều có thời gian phục vụ giống nhau là S Luồng đến đợc chia thành hailuồng riêng biệt Bởi vậy ta thấy mỗi hàng đợi xuất hiện ngẫu nhiên và có thể coi

đó giống nh 1 hàng đợi đơn Khi đó công thức tính thời gian c trú có thể thay đổi

và mang lại kết quả nh sau:

S S

R   1 2

Lu ý rằng số hạng thứ 2 trong công thức trên có thể viết lại nh sau  1 2 S  Q

, trung bình tạo thành hệ thống có 2 hàng đợi, có thời gian dịch vụ tơng tự nhthời gian dịch vụ của hệ thống xếp hàng đơn Chúng ta đi tính toán R tơng tự

nh ở hệ thống xếp hàng đơn, chúng ta tìm thấy:

S

S R

* 2 1 1



1

2

Nhận xét:

Nếu trong hệ thống chỉ có 1 khách hàng thì thời gian phục vụ có thể tínhtoán nh sau:

S S

 22

1.3.6 Hệ thống xếp hàng M/M/m: (Hệ thống có m-server phục vụ song song với 1 hàng

m n n

n

., 0 ,

Ta đi tìm các xác suất trạng thái cân bằng trong hai trờng hợp riêng biệt:

Nếu n  m (số các khách hàng bé hơn hoặc bằng số server)

ta có:

m n p n

p i

p i

i p

n n

(

) 1 (

0 0

Đây cũng chính là kết quả đối với hệ thống M/M/

Nếu n  m ( số các khách hàng lớn hơn hoặc bằng số server), ta có:

0 0

1

0 1

(

) 1 (

p m

m

p m m

p m i

p i

i p

n

m n n

m i

m n

m i

vËy p n m

m m

p

Ta cã:

1 1

1

1 1

m n m n

m n

m n

n m

n

m m

n m

m n

1 0

m n

m n

1 0

m n

m n

P[ queueing] =



m n n

m m

m n

n m

1

1

! 1

m n

m n

m

m n

 Trong lúc cả 2 serveer đều bận thì chiều dài hàng đợi sẽ tăng lên Kết

hợp cả hai yếu tố này chúng ta biết đợc thời gian dịch vụ có hiệu lực bằng:

  S 2

Thay thế S  cho công thức RSSQ thì:

Q S S

XR S S

1

Nh ta đã biết:

1

2

2 2

U SX

Đây là kết quả chính xác khi đó chiều dài hàng đợi là:

2 1

S Q

m S





 1

Và độ dài hàng đợi là:

m

m Q







 1Bình thờng thời gian dịch vụ đợc báo trớc và đợc trình bày trong bảng dới đây.tuỳ vào cấu hình của mỗi server mà chọn lựa cho phù hợp

, 1

m

m C S R

ở đây Cm, S là khả năng có thể xảy ra tất cả server đều bận và khách hàng đến

m

m

m k

m m

m m

Lu ý rằng thời gian dịch vụ khi m=1 và m=2 ở 2 bảng là giống hệt nhau

Phơng trình RS 1  m đánh giá không chính xác thời gian dịch vụ Bởi vì nóthiếu một số hệ số trong công thức Erlang

Giả sử lấy hệ thống M/M/m đã nói trớc đây và không cho phép các khách

hàng hay các cuộc gọi đợc phép đợi (xếp hàng) Có nghĩa là nếu 1 khách hàng

đến khi tất cả các server đều bận thì nó sẽ bị mất đi (bị từ chối)

n n

0 0