Điểm bất động của ánh xạ đa trị co

Các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra các lớp ánhxạ và không gian khác nhau, đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực và được tập hợp lại dưới cái tên chung là: lý thuyết đi

Trường đại học Vinh

Trường đại học Vinh

Người hướng dẫn khoa học

TS Phạm Ngọc Bội

Vinh - 2006

Mục lục

Mục lục 2

Mở đầu 3

Chương 1 : kiến thức mở đầu 5 1.1 Tập lồi và bao lồi của một tập 5

1.2 Hằng số Jung, hằng số Jung tự thân 7

1.3 Khoảng cách Hausdorff 12

Chương 2 : Điểm bất động của ánh xạ co 14 2.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach 14

2.2 Mở rộng nguyên lý ánh xạ co 16

2.2.1 ánh xạ co yếu 16

2.2.2 Định lý bất động Meir-Keeler 18

2.2.3 Định lý điểm bất động Caristi 20

2.2.4 Điểm bất động của ánh xạ đơn trị co thô 25

2.2.5 Điểm bất động của ánh xạ đa trị k-co 28

2.2.6 Điểm bất động của ánh xạ đa trị k-co r-thô 31

Kết luận 35

Mở đầuCho C là một tập con của một không gian X, T là một ánh xạ từ C vào X,

điểm x0 trong C sao cho T x0 = x0 được gọi là điểm bất động của ánh xạ T Một câu hỏi được đặt ra rất tự nhiên là với những điều kiện nào của C, X, Tthì tồn tại những điểm bất động của ánh xạ T Những điều kiện như vậy khôngchỉ liên quan đến quan hệ giữa C và X mà còn liên quan đến cấu trúc tôpô trên

X

Những định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ 20, trong

đó phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lý ánh xạ

co Banach (1922) Các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra các lớp ánhxạ và không gian khác nhau, đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực và

được tập hợp lại dưới cái tên chung là: lý thuyết điểm bất động Trong lý thuyếtnày, ngoài việc quan tâm đến các định lý tồn tại điểm bất động của ánh xạ,người ta còn nghiên cứu đến cấu trúc hình học của tập gồm các điểm bất động,các phương pháp tìm điểm bất động và các ứng dụng của chúng Lý thuyếtnày gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học lớn trước đây như Brouwer,Banach, Schauder, Kakutani, Browder, Ky Fan,

Các kết quả kinh điển của lý thuyết này đã được mở rộng theo nhiều hướngkhác nhau Chẳng hạn, song song với sự ra đời của giải tích thô, người ta đã

mở rộng các kết quả đó cho các ánh xạ thô Theo hướng này, những năm gần

đây, đã thu được những kết quả quan trọng, trong đó có kết quả của tác giảHoàng Xuân Phú về điểm bất động của ánh xạ đơn trị co thô

Mục đích của luận văn này là trình bày một số kết quả về điều kiện tồn tại

điểm bất động của ánh xạ co, chứng minh một số tính chất về cấu trúc của tậpgồm các điểm bất động của ánh xạ ánh xạ co Với mục đích như trên, luận văn

được trình bày thành hai chương

Chương 1 Trình bày một số khái niệm và một số kết quả cơ bản của giảitích lồi và giải tích thô Trong chương này, tác giả chứng minh chi tiết một sốtính chất liên hệ giữa khái niệm bán kính tự thân và bán kính tuyệt đối, chứngminh một số tính chất về khoảng cách Hausdorff Đây là các kết quả có liênquan trực tiếp đến các vấn đề được nghiên cứu ở chương hai.

Chương 2 là chương chính của luận văn Trong chương này, luận văn trìnhbày một số định lý về sự mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach Đồng thờitrong chương này tác giả cũng trình bày một số tính chất về cấu trúc của tậpgồm các điểm bất động của ánh xạ k-co đa trị, chứng minh mệnh đề về điểmbất động của ánh xạ đa trị k-co r-thô Các kết quả: Hệ quả 2.2.4.3, hệ quả2.2.5.4, nhận xét 2.2.5.5, mệnh đề 2.2.6.2, hệ quả 2.2.6.3, hệ quả 2.2.6.4, hệquả 2.2.6.5, hệ quả 2.2.6.6 là các kết quả do chúng tôi đề xuất và chứng minh.Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Phạm NgọcBội Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến giáo viên hướng dẫn-người đã dànhcho tác giả những giúp đỡ tận tình trong quá trình học tập, cũng như trong thờigian nghiên cứu hoàn thành luận văn

Tôi chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán và khoa Đào tạosau Đại học, đặc biệt PGS TS Nguyễn Hữu Quang, TS Nguyễn Huy Bình, TS.Phan Thành An và PGS TS Nguyễn Huỳnh Phán đã đóng góp nhiều ý kiếnquý báu trong quá trình tôi học tập và hoàn thành luận văn Cảm ơn các anhchị học viên Cao học 12-Toán, đã nhiệt tình giúp đỡ và động viên tôi cố gắngtrong suốt thời gian tham gia khoá học Tôi bày tỏ lời cảm ơn đến gia đình,bạn bè đã dành cho tôi sự quan tâm, động viên, giúp đỡ vô cùng quý báu trongquá trình học tập cũng như hoàn thành luận văn

Vinh, tháng 12 năm 2006

Tác giả

Chương 1

kiến thức mở đầu

Trong chương này, luận văn hệ thống lại một số kết quả về giải tích thô,giải tích lồi và trình bày chứng minh một số tính chất liên quan đến khái niệmbán kính tự thân, bán kính tuyệt đối, khoảng cách Hausdorff Các này kết quả

sẽ phục vụ trực tiếp cho chứng minh các định lý về điểm bất động của chươnghai

Để trình bày các vấn đề này, luận văn bắt đầu từ định nghĩa tập lồi, bao lồicủa một tập hợp Tiếp đó luận văn trình bày khái niệm hằng số Jung và một sốkết quả về hằng số Jung của không gian tuyến tính định chuẩn - một vấn đề đã

được nhà toán học H Jung nêu ra và nghiên cứu từ những năm đầu thế kỉ 20.1.1Tập lồi và bao lồi của một tập

Trong phần này, chúng ta giả thiết (X, k.k) là không gian tuyến tính địnhchuẩn

Chứng minh Giả sử {Ai}i∈I là một họ tuỳ ý các tập lồi của X Đặt A =

∩i∈IAi, lấy x, y ∈ A, λ ∈ [0, 1] Để chứng minh A là tập lồi, chúng ta chứngminh z = λx + (1 − λ)y ∈ A

Thật vậy, ta có x, y ∈ Ai, ∀i ∈ I và do Ai lồi với mọi i ∈ I, nên suy ra

z ∈ Ai, ∀i ∈ I Do đó z ∈ A, điều này chứng tỏ A là một tập lồi 

1.1.3 Định nghĩa [1] - Cho A ⊂ X, bao lồi của tập A là giao của tất cả cáctập lồi chứa A, và được kí hiệu là convA.

- Điểm x ∈ X được gọi là tổ hợp lồi (hữu hạn) của các điểm x1, x2, , xn ∈

X, nếu x có thể biểu diển dưới dạng

- convA là tập lồi nhỏ nhất chứa A

- convA là tập hợp tất cả các tổ hợp lồi của A

1.1.5 Định lý Caratheodory [1] Trong không gian tuyến tính định chuẩnhữu hạn chiều, mỗi điểm của tập convA là tổ hợp của không quá n + 1 điểmkhác nhau của A

Chứng minh (Xem [1])

1.1.6 Mệnh đề [8] Bao lồi của một tập compact trong không gian tuyến tính

định chuẩn hữu hạn chiều là một tập compact

Chứng minh Giả sử X là không gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều,

M là tập compact trong X và dãy {xk} ⊂ convM Theo nhận xét 1.1.4, vớimỗi k = 1, 2, ta có

xk = λ0,ka0,k + λ1,ka1,k + + λn,kan,k

với ai,k ∈ M, λi,k ≥ 0 (i = 0, 1, , n) và Pn

i=0

λi,k = 1

Do M ì [0, 1] là tập compact nên tồn tại dãy con {λi,k tai,kt} sao cho

λi,ktai,kt → àiai, khi kt → ∞, với ai ∈ M, ài ≥ 0 (i = 1, 2, , n),

n

P

i=0

ài = 1.Khi đó ta có xk t → à0a0 + à1a1 + ànan ∈ convM

Vậy convM là tập compact 1.1.7 Định nghĩa [1] - Tập A ⊂ X được gọi là tập affin nếu với mọi x, y ∈ A

ta có

λx + (1 − λ)y ∈ A, ∀λ ∈ R

- Cho A là một tập con của X, khi đó giao của tất cả các tập affin chứa A

được gọi là bao affin của A, và kí hiệu là affA

- Cho A là một tập con của X, khi đó phần trong tương đối của A là phầntrong của A trong affA và kí hiệu là riA

1.1.8 Chú ý [7] Nếu z ∈ convA \ A, khi đó tồn tại một tập Ak ={x1, x2, , xk} là tập con của A gồm k > 2 điểm độc lập tuyến tính saocho z ∈ ri(convAk)

1.2Hằng số Jung, hằng số Jung tự thân.

Giả sử (X, k k) là không gian tuyến tính định chuẩn

1.2.1 Định nghĩa - Cho A là một tập con của X, S là tập con bị chặn của X,khi đó

tương ứng được gọi là đường kính và bán kính tương đối của S theo A

Trong trường hợp đặc biệt, rX(S), rconvS(S) tương ứng được gọi là bán kínhtuyệt đối và bán kính tự thân của S

- Tỉ số giữa bán kính và đường kính đã được nghiên cứu bởi H Jung Nó

®­îc gäi lµ h»ng sè Jung cña kh«ng gian X.

1.2.2 NhËn xÐt Víi mäi tËp con S cña X ta cã

Như vậy nhận xét được chứng minh Người ta đã chứng minh được rằng

Bây giờ chúng ta trình bày hai mệnh đề giúp cho việc chứng minh định lý

về điểm bất động của ánh xạ đơn trị co thô

1.2.3 Mệnh đề [7] Cho S là một tập bị chặn của không gian định chuẩn hữuhạn chiều X và z ∈ convS \ S Khi đó tồn tại s ∈ S sao cho

k z − s k6 1

2Js(X)diamS.

Chứng minh Từ z ∈ convS \ S và chú ý 1.1.8, suy ra tồn tại một tập

Sk = {x1, x2, , xk} ⊂ S gồm k > 2 điểm độc lập tuyến tính sao cho

min{k z − x1 k, k z − x2 k} 6 12 k x1 − x2 k6 12Js(X)diamS

Bây giờ giả sử (1.5) đúng với 2 6 k 6 l, chúng ta phải chứng minh (1.5)

đúng với k = l+1 Xét tập hợp tâm tương đối của Sk tương ứng với tập convSk

y∈S

k x − y k= rconvSk(Sk)}

tập này khác rỗng (xem [7]) Với bất kì điểm cố định c ∈ CconvS k(Sk), (1.1) và(1.2) suy ra

min

2Js(X)diamShoặc

k z − xi k= rconvS(S) 6 1

2Js(X)diamS (i = 1, , k).

Chứng minh Nhờ (1.2), bất đẳng thức rconvS(S) 6 12Js(X)diamS hiển nhiên

đúng Để chứng minh mệnh đề, chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu

min

k z − xi k= rconvS(S), (i = 1, , k) (1.8)Chúng ta sẽ chứng minh (1.8) được suy từ (1.7) bằng quy nạp theo số chiềucủa S

Nếu dimS = 1, thì mọi điểm của S nằm trên đoạn nào đó, chẳng hạn, trên

đoạn [x1, xk] nối x1 và xk Khi đó

k z − z0 k<k c − z0 k6 rX(S) = rconvS(S),

mâu thuẫn với (1.7) Do đó, z0 ∈ convSl \ Sl và Sl ∩ L = ∅ Vậy với mọi

y ∈ Sl, hàm g(x) =k x − y k lồi ngặt trên L, điều mà suy ra nhờ k c − y k6

rX(S), k z − y k> rconvS(S) = rX(S) và z0 ∈ L \ [c, z] rằng

k z0− y k> rX(S) > rX(Sl) = rconvSl(Sl) (y ∈ Sl), (1.9)Mặt khác theo giả thiết quy nạp (1.7) được thoả mãn với z = z0 và S = Sl.Suy ra kz0 − yk = rconvSl(Sl) Điều này mâu thuẫn với (1.9)

b Nếu c 6= z /∈ ri(convS), khi đó z ∈ convS \ S suy ra z ∈ ri(convSl) với

Sl ⊂ S với dimSl 6 l Nhờ giả thiết quy nạp, từ

k 1

2(c + z) − y k< rX(Sl) (y ∈ Sl),

điều này mâu thuẫn với định nghĩa của rX(Sl) 1.3Khoảng cách Hausdorff

1.3.1 Định nghĩa Cho (X, d) là không gian mêtric và x là một phần tử của

X, kí hiệu CB(X) là họ gồm các tập con không rỗng, đóng và bị chặn của X,B(X) là họ gồm các tập con không rỗng, bị chặn của X

- Cho A là một tập con của X, khi đó khoảng cách từ điểm x đến tập hợp

A là số

d(x, A) = inf

y∈Ad(x, y)

- Với A, B ∈ B(X), khi đó khoảng cách Hausdorff giữa A và B được xác

Chương 2

Điểm bất động của ánh xạ co

Nguyên lý ánh xạ co Banach ra được phát biểu và chứng minh vào năm

1922 Đây là một kết quả kinh điển về điểm bất động, có nhiều ứng dụng Tuynhiên điều kiện co của định lý như ta biết là khá ngặt Do đó, người ta tìm cách

để mở rộng kết quả của nó Theo đó, ngày càng có nhiều định lý về điểm bất

động được phát biểu và chứng minh

Đây là chương chính của luận văn Trong chương này, luận văn trình bàymột số kết quả về mở rộng nguyên lý ánh xạ co, luận văn cũng trình bày chứngminh một số mệnh đề về cấu trúc của tập gồm các điểm bất động của ánh xạ

đa trị k-co Nhất là trong chương này, luận văn đưa ra khái niệm ánh xạ đa trị

k-co r-thô và chứng minh mệnh đề về điểm bất động của ánh xạ này, từ đó suy

ra được hai hệ quả về điểm bất động của ánh xạ đa trị k-co

Trước hết chúng ta phát biểu lại nguyên lý ánh xạ co Banach

2.1Nguyên lý ánh xạ co Banach

2.1.1 Định nghĩa Một ánh xạ T : X −→ Y từ không gian metric (X, d) vàokhông gian (Y, ρ) được gọi là ánh xạ k-co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho

ρ(T x, T y) 6 kd(x, y), với mọi x, y ∈ X

2.1.2 Nguyên lý ánh co Banach [2] Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ,

T : X −→ X là ánh xạ co trong X Khi đó tồn tại duy nhất x∗ ∈ X sao cho

T x∗ = x∗ Ngoài ra, với mọi x0 ∈ X chúng ta có Tnx0 −→ x∗ khi n −→ ∞.Chứng minh Lấy x0 tuỳ ý trong X và đặt xn+1 = T xn với n = 0, 1, 2, Dễdàng kiểm tra rằng: d(xn, xn+1) 6 knd(x0, x1)

6 kn.d(x0, x1)B©y giê lÊy n < m, ta cã

đã được chứng minh Nguyên lý ánh xạ co có nhiều ứng dụng quan trọng, chẳng hạn, nó được

sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy trong lý thuyếtphương trình vi phân, Tuy nhiên như trên ta thấy, điều kiện co là khá ngặt

Do đó, có nhiều tác giả đã cố gắng tìm cách để mở rộng nguyên lý này bằngcách giảm nhẹ giả thiết Bây giờ chúng ta sẽ xét một số mở rộng như vậy.2.2Mở rộng nguyên lý ánh xạ co

a Tập gồm các ánh xạ k-co là tập con của tập gồm các ánh xạ co yếu

b Với lớp ánh xạ co yếu, nguyên lý ánh xạ co không đúng nữa Nghĩa làkhông phải mọi ánh xạ co yếu đều có điểm bất động Chẳng hạn, xét X =[1, ∞), và T là ánh xạ xác định bởi

Nhưng điều này là hiển nhiên do hàm số h(t) = 1

t + 2t đồng biến với mọi

2.2.1.3 Định lý [2] Cho (X, d) là không gian mêtric compact và T là ánh xạ

co yếu trong X Khi đó T có điểm bất động duy nhất trong X

Chứng minh Với mỗi x ∈ X, đặt f(x) = d(x, T x) Vì T là ánh xạ co yếunên cũng là ánh xạ liên tục, do đó f là hàm số liên tục trên không gian compact

X Vậy tồn tại x0 ∈ X sao cho f(x0) = min{f (x) : x ∈ X} Nếu f(x0) > 0thì x0 6= T x0 nên f(T x0) = d(T x0, T2x0) < d(x0, T x0) = f (x0), ta gặp mâuthuận Vậy f(x0) = 0 và x0 là điểm bất động của ánh xạ T Bây giờ ta chứngminh tính duy nhất của ánh xạ T Giả sử ngược lại có x1 6= x0 và x1 cũng là

điểm bất động của T Khi đó ta có

d(x0, x1) = d(T x0, T x1) < d(x0, x1),

đây là điều vô lý Vậy ánh xạ T có điểm bất động duy nhất Tiếp theo chúng ta xét một sự mở rộng khác liên quan đến khái niệm ánhxạ (, δ)-co Đây là một kết quả được cho bởi Meir-Keeler

2.2.2 Định lý bất động Meir-Keeler

2.2.2.1 Định nghĩa Một ánh xạ T : X −→ X trong không gian mêtric (X, d)

được gọi là (, δ)-co nếu với mọi  > 0 đều tồn tại δ > 0 sao cho:

nếu  6 d(x, y) <  + δ thì d(T x, T y) <  (2.1)2.2.2.2 Nhận xét [2]

a Lớp các ánh xạ (, δ)-co chứa lớp các ánh xạ k-co Thật vậy, giả sử T là

ánh xạ k-co, khi đó d(T x, T y) 6 kd(x, y) Chọn δ = 1−k

k  chúng ta có

 6 d(x, y) <  + δ =  + 1 − k

k  =

ksuy ra kd(x, y) < 

Do đó d(T x, T y) <  Vậy T là (, δ)-co, với δ = 1−k

k 

b Lớp các ánh xạ co yếu chứa lớp các ánh xạ (, δ)-co Thật vậy, giả sử T là

ánh xạ (, δ)-co, khi đó với x 6= y, đặt  = d(x, y) > 0, ta có  = d(x, y) < +δ

Do đó (2.1) trở thành d(T x, T y) <  = d(x, y)

2.2.2.3 Định lý Meir-Keeler [2] Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy

đủ và T là một ánh xạ (, δ)-co trong X Khi đó, T có điểm bất động duy nhất

x∗ và với mọi x0 ∈ X, ta có Tnx0 −→ x∗ khi n −→ ∞

Chứng minh Lấy tuỳ ý x0 thuộc X, đặt xn+1 = T xn và cn = d(xn, xn+1),

n = 0, 1, 2, Nếu cn = 0 ⇒ d(xn, xn+1) = 0 ⇒ d(xn, T xn) = 0, do đó

xn = T xn Vậy xn là điểm bất động của ánh xạ T

Bây giờ giả thiết rằng cn > 0 Vì T là co yếu nên

cn = d(xn, xn+1)

= d(T xn−1, T xn)

< d(xn−1, xn)

= cn−1, ∀n = 1, 2, 3,

chứng tỏ (cn) là dãy số giảm và không âm, do đó cn −→  > 0 Nếu  > 0 thìtồn tại δ > 0 để có (2.1) Chọn k ∈ N sao cho nếu n > k thì cn = d(xn, xn+1) <

 + δ Theo (2.1), ta có d(T xn, T xn+1) <  suy ra cn+1 <  Đây là điều vô lí.Vậy  = 0, tức là cn −→ 0

Ta sẽ chứng minh (xn) là dãy Cauchy bằng phản chứng

Giả sử có  > 0 sao cho với mọi k ∈ N tồn tại m, n > k mà d(xn, xm) > 2.Chọn k sao cho nếu i > k thì ci < α4 với α = min{, δ} Chọn m > n > k

để cho d(xn, xm) > 2 và xét các số d(xn, xn+1), d(xn, xn+2), , d(xn, xm).Khoảng cách giữa hai số liên tiếp là

| d(xn, xi) − d(xn, xi+1) |6 d(xi, xi+1) = ci < α

4.Vì d(xn, xn+1) = cn < α4 6 4, còn d(xn, xm) > 2

nên tồn tại j ∈ {n, n + 1, , m} sao cho  + α

=  + α

2.

Điều này mâu thuận với d(xn, xj) >  + α2 Vậy (xn) là dãy Cauchy và do X

là không gian mêtric đầy đủ nên xn −→ x∗ ∈ X

Vì T là (, δ)-co nên T co yếu Do đó, với mọi n ta có

d(x∗, T x∗) 6 d(x∗, xn+1) + d(xn+1, T x∗)

= d(x∗, xn+1) + d(T xn, T x∗)

6 d(x∗, xn+1) + d(xn, x∗)