CHUYÊN đề hội THẢO các TRƯỜNG CHUYÊN PHƯƠNG TÍCH và TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG

Trong bài viết này, tác giả đề cập đến một số ứng dụng cơ bản của phương tích, trục đẳng phương như bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp; vuông góc, song song; thẳng hàng, đồng quy; các

PHƯƠNG TÍCH – TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG

A LỜI NÓI ĐẦU

Phương tích, trục đẳng phương là một trong những công cụ đã rất quen thuộc trong giải toán hình học phẳng Kiến thức liên quan đến chúng khá đơn giản nhưng lại có nhiều ứng dụng mạnh trong các bài toán hình học phẳng, có thể xử lý các bài toán khó với cách xử lí đẹp

và ấn tượng

Trong bài viết này, tác giả đề cập đến một số ứng dụng cơ bản của phương tích, trục đẳng phương như bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp; vuông góc, song song; thẳng hàng, đồng quy; các yếu tố cố định…nhằm giúp các em học sinh nắm bắt được phần nào ứng dụng của chúng.

B KIẾN THỨC CƠ SỞ

I Phương tích của một điểm đối với một đường tròn

1 Định lí 1

Cho đường tròn (O; R) và điểm P cố định, OP = d Một đường thẳng thay đổi qua P cắt đường

tròn tại hai điểm M và N Khi đó: PA PB PO  2  R2 d2 R2

 Điểm P nằm ngoài (O; R)  P O/    0

 Điểm P nằm trong (O; R)  P O/    0

 Điểm P nằm trên (O; R)  P O/    0

Tính chất 2:

Cho đường tròn (O; R) và một điểm M nằm trên (O) Qua M kẻ cát tuyến MAB và tiếp tuyến

MT tới (O) Khi đó MA MB MT  2 MO2 R2

MA MB MT thì đường tròn ngoại tiếp tam giác ABT tiếp xúc với MT tại T

II Trục đẳng phương của hai đường tròn

1 Định lí

Cho hai đường tròn không đồng tâm O R1; 1 , O R2; 2 Tập hợp các điểm M có phương tích đối

với hai đường tròn bằng nhau là một đường thẳng Đường thẳng này gọi là trục đẳng phươngcủa hai đường tròn đã cho

Chứng minh

Giả sử điểm M có phương tích đến hai đường tròn bằng nhau

Gọi H là hình chiếu của M trên O1O2, I là trung điểm của O1O2 Ta có:

 Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường nối tâm.

 Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng phương

 Nếu điểm M có cùng phương tích với hai đường tròn thì đường thẳng qua M và vuônggóc với đường nối tâm là trục đẳng phương

 Nếu hai điểm M, N có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì đường thẳng MN làtrục đẳng phương

 Nếu ba điểm có cùng phương tích với hai đường tròn thì chúng thẳng hàng

 Nếu    O1 , O2 cắt nhau tại A thi đường thẳng qua A vuông góc với O O1 2 là trục đẳng

phương

3 Cách xác định trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm

Cho hai đường tròn (O1) và (O2) không cắt nhau, ta có cách dựng trục đẳng phương của haiđường tròn như sau:

 Dựng đường tròn (O3) cắt cả hai đường tròn (O1) và (O2) lần lượt tại A, B và C, D

 Đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M

 Đường thẳng qua M vuông góc với O1O2 chính là trục đẳng phương của (O1) và (O2)

M

B

C

D A

b) Các tính chất

 Nếu 3 đường tròn đôi một cắt nhau thì các dây cung chung cùng đi qua một điểm

 Nếu 3 trục đẳng phương song song hoặc trùng nhau thì tâm của 3 đường tròn thẳnghàng

 Nếu 3 đường tròn cùng đi qua một điểm và có các tâm thẳng hàng thì các trục đẳngphương trùng nhau.

C CÁC DẠNG TOÁN

I Ứng dụng giải các bài toán định lượng

Bài 1 (Phương tích trọng tâm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Xác định phương tích của trọng tâm G của tamgiác ABC với (O) theo các cạnh BC = a, CA = b, AB = c

Bài 2 (Phương tích trực tâm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Xác định phương tích của trực tâm H của tamgiác ABC đối với (O) theo R và các góc A, B, C

Giải

Xét trường hợp tam giác ABC nhọn

Gọi K, A lần lượt là giao điểm của AH với

BC, (O) Áp dụng định lí sin cho tam giác

Do tam giác ABC nhọn nên H O/  HA HA  HA HA   8 cos cos cos R2 A B C

Trường hợp tam giác ABC vuông hay tù chứng minh tương tự

IBA  BIA  AIE BIE   nên A IB cân tại A  IA BA  

Áp dụng định lí sin cho tam giác BAA, 2 sin 2 sin

       Gọi ,R R lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC và  I , M là trung điểm đoạn BC.

a) Chứng minh rằng I là trực tâm tam giác ABC;

Bài 5 Cho hai đường tròn   O1 , O không đồng tâm và M là một điểm tùy ý Gọi d là trục2đẳng phương của  O và 1 O , H là hình chiếu vuông góc của M trên d Chứng minh rằng2

Bài 6 (USA MO 2008) Cho hai đường tròn  C và 1 C có cùng tâm (2 C chứa  2 C ) và1

một điểm A trên  C Tiếp tuyến tại A của đường tròn 1  C cắt đường tròn 1 C tại hai điểm B2

và C Gọi D là trung điểm của AB Một đường thẳng qua B cắt  C tại hai điểm E, F Biết rằng1

các đường trung trực của DE và CF cắt nhau tại một điểm I trên đường thẳng BC Tính tỉ số

IB

IC .

Giải

I E

D

C B

O A

đó tứ giác DEFC nội tiếp một đường tròn Mà điểm I là giao của hai đường trung trực của DE,

FC nên I chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DEFC, suy ra I là trung điểm CD Khi đó,1

Bài 7 (Romani TST 2006) Cho đường tròn  O và một điểm A nằm ngoài  O Từ A kẻ cát

tuyến ABC, ADE ( B, D theo thứ tự thuộc đoạn AC, AE) Qua D kẻ đường thẳng song song với

AC cắt  O lần thứ hai tại F AF cắt  O tại G, EG cắt AC tại M Chứng minh rằng

M G

F D

Bài 8 (Russian MO 2008) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O R , ngoại tiếp đường , 

tròn I r Đường tròn ,   I tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại X, Y Gọi K là điểm chính giữa

cung AB không chứa C Giả sử XY chia đôi đoạn AK Tính BAC

S abc

II Ứng dụng giải các bài toán định tính

1 Bài toán chứng minh tứ giác nôi tiếp

Bài 1 (IMO shortlist 1995) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn  I Đường tròn  I

tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F Gọi X là điểm nằm trong tam giác ABC sao chođường tròn ngoại tiếp tam giác XBC tiếp xúc với XB, XC, BC lần lượt tại Z, Y, D Chứngminh rằng tứ giác EFZY nội tiếp

Bài 2 Cho hai đường tròn   O1 , O ngoài nhau, 2 A A là tiếp tuyến chung của hai đường tròn1 2

Do KA1 KA2 KB1KB2 nên tứ giác A B B A nội tiếp, suy ra 1 1 2 2 LB LA1 1 LB LA2 2

 KL là trục đẳng phương của hai đường tròn   O1 , O 2  KLO O1 2

Dễ thấy các tứ giác KPB A KPB A Khi đó áp dụng định lí Miquel cho tam giác 1 1, 2 2 A A L ta có 1 2

điều phải chứng mịnh

Bài 3 (IMO shortlist 2006) Cho hình thang ABCD, AB CD , AB CD/ /  Gọi K, L lần lượt làhai điểm trên AB, CD sao cho AK DL

BK CL Giả sử P, Q là hai điểm nằm trên đường thẳng KL

sao cho APB BCD CQD , ABC Chứng minh rằng P, Q, B, C cùng thuộc một đường tròn

P Q

L C E

BK CL suy ra AD, BC, KL đồng quy tại một điểm E.

Dựng đường tròn  O qua C, D và tiếp xúc với BC, đường tròn 1 O qua A, B tiếp xúc với 2BC

Vì DQC ABC DCE  Q O1 Tương tự PO2

Gọi F là giao điểm thứ hai của EQ với  O , suy ra 1 EF EQ EC  2  1

Từ (1) và (2) suy ra EP EQ EC EB   P, Q, B, C cùng thuộc một đường tròn

Bài 4 Cho hai đường tròn    O1 , O2cắt nhau tại hai điểm phân biệtA B, Một đường thẳng d

đi qua B lần lượt cắt    O1 , O2 tại M1 và M2, điểm N bất kì nằm trong đoạn AB Đường

thẳng M N1 cắt đường tròn  O2 tại P Q2, 2 Đường thẳng M N2 cắt đường tròn   O1 tại

NP NQ  NA NB NP NQ   bốn điểm P P Q Q1, , ,2 1 2cùng nằm trên một đường tròn   O .

Gọi R là bán kính của đường tròn   O ta có

suy ra OB  M M1 2 (theo định lí Các - nô)

2 Bài toán chứng minh vuông góc, song song

Bài 1 Cho hình thang ABCD vuông tại A và B M là trung điểm của AB Các đường cao AH,

BK của các tam giác AMD, BMC cắt nhau tại N Chứng minh MN CD

Giải

Cách 1

Gọi E là giao điểm của MN và CD Từ giả thiết ta suy

ra tứ giác MHNK nội tiếp  MHK MNK   1

M A

I O

Gọi O, I lần lượt là trung điểm của AH, MH

Ta có

DEH DAH DBC FEH FED FEH DBC DMC

Suy ra tứ giác EDMF nội tiếp

Từ đó ta có NE ND NF NM  , suy ra N nằm trên trục đẳng phương của đường tròn

(O, OH) và đường tròn (I, IH) Mặt khác H là giao điểm của đường tròn

(O, OH) và đường tròn(I, IH), suy ra NH chính là trục đẳng phương của (O) và (I)

N M

Q

I O

G F

E A

P

D

Gọi M là giao điểm thứ hai của AB và (PDG), N là giao thứ hai của AC và (PFG)

Ta có AMP PGD và PGD PCB (đồng vị), suy ra AMP PCB , suy ra BMPC nội tiếp.Chứng minh tương tự PNCB nội tiếp

Suy ra BMNC nội tiếp, suy ra AM AB AN AC  Mà AD AE

AB  AC (định lý Thales)

Suy ra AM AD AN AE 

Do đó A thuộc trục đẳng phương PQ của (PDG) và (PEF) suy ra AQ OI 

Bài 4 Cho ABC BA  BC Giả sử đường tròn tâm O bán kính R đi qua hai điểm , A C cắt các cạnh BA và BC lần lượt tại ,K N Các đường tròn ngoại tiếp ABC và BKN cắt nhautại hai điểm phân biệt B, M Chứng minh rằng OM  BM

Giải

Gọi O O lần lượt tâm đường tròn ngoại tiếp 1, 2 ABC,BKN

Ta sẽ chứng minh AC không song song với KN

Giả sử AC/ /KN  BNK BCA, mà BNK BAC  BCA BAC  ABC cân tại B (vô lý).Vậy ACkhông song song KN

Gọi P là giao điểm của ACvà KN

Ta có P O/   P O/  1;P O/   P O/  2  P O/  1 P O/  2  P B M, , thẳng hàng

Bài 5 (IMO shortlist 2012 – G3) Cho tam giác ABC nhọn với các đường cao AD, BE, CF.

Gọi I I lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AEF, BDF Gọi 1, 2 O O lần lượt là tâm1, 2

đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACI BCI Chứng minh rằng 1, 2 I I1 2 / /O O 1 2

Giải

Đặt CAB,ABC, BCA 

Gọi I là giao điểm của AI BI ; E, F lần lượt là các giao điểm khác B, C của đường tròn đường1, 2

kính BC với các cạnh AC, AB

Do AEF ABC AFE, ACB nên AEF ABC với tỉ số đồng dạng AE cos

A

B

Khi đó I có cùng phương tích với hai đường tròn   O1 , O Mà C là một giao điểm của2

  O1 , O nên CI là trục đẳng phương của 2   O1 , O , suy ra 2 CI O O1 2  1

Gọi Q là giao điểm của CI với I I Ta có1 2

3 Bài toán chứng minh thẳng hàng, đồng quy

Bài 1 Cho tam giác ABC, một đường tròn cắt cạnh BC tại A A1, 2; cắt cạnh CA tại B B1, 2; cắtcạnh AB tại C C1, 2 Chứng minh rằng AA BB CC1, 1, 1 đồng quy khi và chỉ khi AA BB CC2, 2, 2 đồngquy

Giải

Khi đó AA BB CC1, 1, 1đồng quy khi và chỉ khi AA BB CC2, 2, 2 đồng quy.

Bài 2 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm H thuộc đoạn AB Đường thẳng qua

H cắt đường tròn tại C Đường tròn đường kính CH cắt AC, BC và  O lần lượt tại D, E và F

a) Chứng minh rằng AB, DE và CF đồng quy

b) Đường tròn tâm C bán kính CH cắt  O tại P và Q Chứng minh rằng P, D, E, Q thẳng

hàng

Giải

Q

M

F E D

C

O

A

B H

CA CD CH CB CE, suy ra ADEB nội tiếp Xét các đường tròn (ADEB), (O) vàđường tròn đường kính CH, thì DE, AB và CF lần lượt là các trục đẳng phương của các cặpđường tròn trên nên chúng đồng quy

b) Ta có PQ là trục đẳng phương của (C) và (O) nên OCPQ Ta cũng dễ thấy ODDEHơnnữa H chính là tâm đẳng phương của ba đường tròn (O), (C) và đường tròn đường kính CH.Suy ra PQ đi qua H

Vậy DE, PQ cùng đi qua H và cùng vuông góc với OC nên trùng nhau Hay D, E, P, Q thẳnghàng

Bài 3 Trên đường thẳng d lấy 4 điểm A, B, C, D (theo thứ tự đó) Đường tròn đường kính AC

và BD cắt nhau tại X, Y Đường thẳng XY cắt BC tại Z Lấy P là một điểm trên XY khác Z.Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai là M, và BP cắt đường trònđường kính BD tại điểm thứ hai là N Chứng minh rằng AM, DN và XY đồng qui

Giải

M N

Gọi Q, Q’ lần lượt là giao điểm của DN và AM với XY Ta cần chứng minh Q Q

Tứ giác QMCZ nội tiếp, suy ra PM PC PQ PZ 

Tứ giác NQ’ZB nội tiếp, suy ra PQ PZ   PN PB

Mà P thuộc XY là trục đẳng phương của đường tròn đường kính AC và đường tròn đường kính

BD nên PN PB PX PY  PM PC Suy ra PQ PZ  PQ PZ   Q Q  

Vậy XY, AM và DN đồng quy

Bài 4 (Iran MO 2001) Cho tam giác ABC nội tiếp  O Gọi    I , I lần lượt là đường tròn a

nội tiếp, đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC Giả sử II cắt BC và a  O lần lượt tại

,

A M Gọi N là điểm chính giữa cung MBA NI NI cắt , a  O lần lượt tại S, T Chứng minh

rằng , ,S T A thẳng hàng.

S N

M A'

I a

I O

IBI ICI   IBI Cnội tiếp Ta thấy II là trục đẳng phương của a I TIS và a 

IBI C BC là trục đẳng phương của a   O và IBI C TS là trục đẳng phương của a   O và

I TIS Suy ra a  II BC TS đồng quy tại a, , A S T A, ,  thẳng hàng

Bài 5 (Vietnam TST 2009) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp  O Gọi A B C lần lượt là 1, ,1 1

chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ A, B, C A B C lần lượt là điểm đối xứng của2, ,2 2

1, ,1 1

A B C qua trung điểm của BC, CA, AB Các đường tròn  AB C2 2 , BC A2 2 , CA B cắt2 2

 O lần thứ hai tại A B C tương ứng Chứng minh rằng 3, ,3 3 A A B B C C đồng quy.1 3, 1 3, 1 3

AA AG

     G là trọng tâm tam giác ABC

Tương tự ta cũng có B B C C đi qua G Vậy 1 3, 1 3 A A B B C C đồng quy tại G.1 3, 1 3, 1 3

4 Bài toán chứng minh điểm cố định, đường cố định

Bài 1 Cho đường tròn O R và hai điểm cố định P, Q (P nằm ngoài ,   O , Q nằm trong  O ).

Dây cung AB của  O di động đi qua Q PA, PB lần lượt cắt  O lần thứ hai tại C, D Chứng

minh rằng CD luôn đi qua một điểm cố định

A Q

Gọi E là giao điểm thứ hai của PQ vơi đường tròn (PAB) CD cắt EF tại F

Ta có OQ2 R2 QA QB QP QE  Vì O P, Q cố định nên E cố định Mặt khác,

PDCPBA PEA nên tứ giác DAEF nội tiếp Khi đó PO2 R2 PD PA PE PF  Vì P, E

cố định nên F cố định Suy ra CD đi qua F cố định

Bài 2 (VMO 2003) Cho đường tròn O R tiếp xúc ngoài với 1, 1 O R tại M,2, 2 R2 R1 Xét điểm A di động trên đường tròn O R sao cho 2, 2 A O O không thẳng hàng Từ A kẻ tiếp tuyến, ,1 2

AB, AC đến  O MB, MC lần lượt cắt lại 1 O tại E, F D là giao điểm của EF với tiếp tuyến2tại A của O Chứng minh rằng D di động trên một đường thẳng cố định.2

Qua M kẻ tiếp tuyến chung Mx của   O1 , O Ta có2

Bài 3 Cho đường tròn (O) và điểm I cố định nằm trong đường tròn, I khác O Một đường thẳngquay quanh I, cắt (O) tại A và B Các tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại M Chứng minhrằng M chạy trên một đường thẳng cố định

B I

Gọi K là giao điểm của OM và AB, H là hinh chiếu của M trên đường thẳng OI

Khi đó tứ giác MKIH nội tiếp  OK OM OI OH   1 Tam giác OAM có

OI OH R OH

OI

    H cố định Vậy M chạy trên đường thẳng qua H

và vuông góc với OI tại H

Bài 4 Cho đường tròn (O) tiếp xúc đường thẳng d tại H Hai điểm M, N di động trên d sao cho

2

H) Chứng minh rằng

a) Đường tròn (OMN) luôn đi qua 2 điểm cố định

b) Đường thẳng AB luôn đi qua 1 điểm cố định

Giải

a) Gọi P là giao điểm của OH với đường tròn (OMN), có HM HN HO HP k2 Mà H, O

cố định, k không đổi nên P cố định Vậy đường tròn (OMN) luôn đi qua hai điểm cố định O, P.b) Gọi IH là đường kính của (O); E, F là giao điểm của IA, IB với d Dễ thấy M, N lần lượt làtrung điểm của EH, FH

Ta có HE HF 2.HM HN.2 4k2 Dựng đường tròn (IEF) cắt IH tại điểm thứ hai J

     K cố định Vậy AB luôn đi qua điểm K cố định

Bài 5 Cho bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự nằn trên một đường thẳng Hai đường tròn có tâm

1, 2

O O lần lượt thay đổi qua A, C và B, D, giao nhau tại M, N Các tiếp tuyến chung của

   O1 , O2 tiếp xúc với  O1 tại P Q1, 1, tiếp xúc với  O2 tại P Q2, 2 Gọi I, J, X, Y lần lượt làtrung điểm của các đoạn P P Q Q P Q PQ1 2, 1 2, 2 1, 1 2

a) Chứng minh rằng các điểm M, N, X, Y, I, J cùng thuộc một đường thẳng d;

b) Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định

Giải

d P

J

K

F E

I

N M

O

H A

B

Y X

J

I

N

M C

D

O2

O1A

Suy ra X, Y, I, J cùng thuộc trục đẳng phương là đường thẳng MN của    O1 , O2 .

Bài 6 Cho hai đường tròn   O1 , O cắt nhau tại hai điểm phân biệt Tiếp tuyến tại A, B của2

 O cắt nhau tại Q M là một điểm nằm trên 1  O AM, BM cắt lại 1 O tại N, P Chứng minh2

MQ luôn đi qua một điểm cố định

Giải