Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.. Tam giác OIJ là tam giác gì?. Tính diện tích của tam giác đó.. Chứng minh rằng C’ nằm trên một đường tròn cố định khi M di chuyển trên đường
Trang 1Câu I (4,0 điểm): Cho biểu thức 3 9 3 1 1 2 : 1
1
A
x
1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
2) Rút gọn biểu thức A.
3) Tìm giá trị của x để 2
A là số tự nhiên.
Câu II (4,0 điểm)
1) Giải phương trình: x 1 3x 2x1
2) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p;q) sao cho: p2 - 2q2 = 1
Câu III (4,0 điểm): Cho hai đường thẳng: y = x+3 (d1) ; y = 3x+7 (d2)
1) Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Oy Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.
2) Gọi J là giao điểm của (d1) và (d2) Tam giác OIJ là tam giác gì? Tính diện tích của tam giác đó.
Câu IV (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB Gọi M là điểm nằm giữa A và B Qua M vẽ dây
CD vuông góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M.
1) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?
2) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên AC và BC Chứng minh rằng:
4
HK MC R
3) Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua A Chứng minh rằng C’ nằm trên một đường tròn
cố định khi M di chuyển trên đường kính AB (M khác A và B).
Câu IV (2,0 điểm)
Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a+b+c =1 Chứng minh rằng:
2
c ab a bc b ac
Họ và tên thí sinh: SBD:
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2015-2016
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN TĨNH GIA
Môn thi: Toán - Lớp 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN TĨNH GIA
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2015-2016 Môn thi: Toán - Lớp 9
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 08/12/2015
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
I
(4.0đ)
1
(0.5đ) Điều kiện:
0 1
x x
0.5
2
(2.0đ)
2 :
1
1
1
A
x
x
x
1.0
0.5 0.5
3
(1.5đ)
Với ĐK: 0
1
x x
Ta có: A x12
Vì A x12 1 với mọi x 0 nên
2
1
x
Do đó:
A x khi x 12 1 hoặc x 12 2
Mà x 1 0 nên x 1 1 hoặc x 1 2
Do đó: x = 0 hoặc x 2 1 2 3 2 2 Vậy 2
A là số tự nhiên khi x = 0 hoặc x 3 2 2
0.5 0.25 0.25 0.25 0.25
II
(4.0đ)
1
(2.0đ)
Giải phương trình: x 1 3x2x1 (1) ĐK: x 0
Đặt a 3 ,x b x1, a b, 0 Khi đó ta được PT: b a a 2 b2 (a b a b )( 1) 0
Mà a + b + 1 > 0 nên a = b
Do đó (1) 3 1 3 1 1 /
2
Vậy nghiệm của PT là 1
2
x
0.25 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25
2
(2.0đ) Ta có: p2 -2q2 = 1 p2 =2q2 + 1 p lẻ
Đặt p = 2k+1 (kN*) (2k+1)2 = 2q2 + 1 q2 = 2(k2+k)
q chẵn mà q nguyên tố nên q = 2 p = 3 (thỏa mãn)
0.5 0.75 0.5 0.25
Trang 3Vây cặp số nguyên tố (p;q) cần tìm là (3;2)
III
(4.0đ)
2a
(1.5đ)
Tìm được A(0;3); B(0;7) suy ra I(0;5)
0.75 0.75
2b
(2.5đ)
Hồnh độ giao điểm J của (d1) và (d2) là nghiệm của PT: x+3 = 3x+7
x = -2 yJ = 1 J(-2;1) Suy ra: OI2 = 02 + 52 = 25; OJ2 = 22 + 12 = 5; IJ2 = 22 + 42 = 20
OJ2 + IJ2 = OI2 tam giác OIJ là tam giác vuơng tại J 1 1
5 20 5
SOIJ OJ IJ (đvdt)
0.5 0.5 0.75 0.25 0.5
IV
(6.0đ)
A
B O'
C'
E C
D
K H
1
(2.0đ)
Vì CD AB CM=MD tứ giác ACED có AE cắt CD tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành
mà AE CD tứ giác ACED hình thoi
0.75 0.5 0.75
Trang 4(2.0 đ)
Vì tam giác ABC có AB là đường kính (O) nên ABC vuông tại C suy ra tứ giác CHMK là hình chữ nhật
Áp dụng hệ thức lượng vào các tam giác vuông ta có:
MA MC
MH AC=MA MC MH=
AC tương tư
2
2
2
MB MC
ï ta có: MK=
BC
MA MB MC
MH MK=
AC BC mà MA.MB=MC , AC.BC=MC.AB (do tam giác ABC vuông tại C)
MH MK=
mà MC=HK (do CHMK là hình chữ nhật)
MH MK MC
4
2MC CD
HM MK CD
0.25
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 0.25
3
(2.0 đ)
Lấy O’ đối xứng với O qua A suy ra O’ cố định
Tứ giác COC’O’ là hình bình hành vì cĩ hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm A của mỗi đường
Do đĩ O’C’ = OC = R khơng đổi Suy ra C’ nằm trên đường trịn (O’,R) cố định khi M di chuyển trên đường kính AB
0.5 0.5 0.5 0.5
V
(2.0đ)
Vì a + b + c = 1 nên
c ab c a b c ab c a c b
a bc a a b c bc b a b c
b ac a a b c ac a b a c
Nên BĐT cần chứng minh tương đương với:
2
2
c a c b b a b c a b a c
c a c b b a b c a b a c
Mặt khác dễ thấy: x2 + y2 + z2
xy + yz + zx , với mọi x, y, z (*)
Áp dụng (*) ta cĩ:
2
VT b c a b c a Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
3 Đpcm
0.5
0.25 0.25 0.5
0.25 0.25
Chú ý:
1) Nếu thí sinh làm bài khơng theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2) Bài hình khơng vẽ hình thì khơng chấm điểm.