TRUNG TÂM GIÁO DỤC THƯỜNG XUYấN SA PAsáng kiến kinh nghiệm "Phơng pháp Phân loại bài toán tìm toạ độ đỉnh, viết phơng trình các cạnh của tam giác" Họ và tên: Lưu Võn Hương Năm học: 2013-
Trang 1TRUNG TÂM GIÁO DỤC THƯỜNG XUYấN SA PA
sáng kiến kinh nghiệm
"Phơng pháp Phân loại bài toán tìm toạ độ đỉnh,
viết phơng trình các cạnh của tam giác"
Họ và tên: Lưu Võn Hương
Năm học: 2013- 2014
Trang 2Mục lục
Trang
1 Mục lục: 02
2 Lý do thực hiện: 03
3 Phạm vi thực hiện: 03
4 Thời gian thực hiện: 03
5 Quá trình thực hiện: 04
6 Nội dung: 05
Phần I - Nhắc lại kiến thức cơ bản: 05
Phần II - Phơng pháp chung để giải toán: 06
Phần III - Các dạng bài tập thờng gặp : 06
7 Kết quả thực hiện: 19
8 Kiến nghị sau khi thực hiện: 19
9 Tài liệu tham khảo: 20
Trang 3
A- Lý do chọn đề tài
Bài toán tìm tọa độ đỉnh, viết phơng trình các cạnh trong tam giác khi biết
tr-ớc 1 số yếu tố của tam giác là dạng toán hay và không quá khó trong chơng trình lớp 10; để làm bài toán dạng này đòi hỏi phải nắm vững kiến thức hình học phẳng, mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác và các điểm đặc biệt của tam giác nh: Trọng tâm, trực tâm, tâm đờng tròn ngoại tiếp, nội tiếp Mức độ t duy lời giải toán vừa phải nhẹ nhàng, lô gíc
Đây cũng là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều trong phần phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng trong các đề thi vào đại học, cao đẳng
Là giáo viên giảng dạy ở TTGDTX và đang trực tiếp giảng dạy khối 10 tôi thấy nhìn chung đối tợng học sinh ở mức trung bình mức độ t duy vừa phải, các em
dễ nhầm lẫn khi giải bài toán dạng này bởi các em học sinh rất hay nhầm lẫn các yếu tố trong tam giác nên việc giải các bài tập về tìm tọa độ đỉnh và viết phơng trình các cạnh trong tam giác gặp nhiều khó khăn Để giúp học sinh không bị khó khăn khi gặp dạng toán này tôi đa ra phơng pháp phân loại bài tập từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận một cách đơn giản, dễ nhớ và từng bớc giúp học sinh hình thành lối t duy giải quyết vấn đề
Qua đó giúp các em học tốt hơn về bộ môn Hình học lớp 10, tạo cho các em
tự tin hơn khi làm các bài tập Hình học và tạo tâm lý không "bí" khi giải bài tập hình
B- Phạm vi thực hiện đề tài
Đề tài này đợc thực hiện trong phạm vi lớp 10 TTGDTX Sa Pa
C- Thời gian thực hiện đề tài
Là những buổi phụ đạo sau khi học xong chơng phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng, các tiết bài tập hình học, các buổi ôn thi đại học năm học 2013-2014
D- Quá trình thực hiện đề tài Chuẩn bị trớc khi thực hiện đề tài:
- Hệ thống bài tập và phơng giải các dạng toán trên
- Yêu cầu các em học sinh thực hiện làm một số bài tập:
Bài 1: Tìm tọa độ các đỉnh A, B của tam giác ABC biết đỉnh C 1; 2(− − ) ; đ-ờng trung tuyến kẻ từ A có phơng trình: 5x y 9 0+ − = và đờng cao kẻ từ B có
ph-ơng trình là: x 3y 5 0+ − =
Bài 2: Lập phơng trình các cạnh của ABC∆ nếu cho C 4; 5(− − ) và 2 đờng cao xuất phát từ A và B có phơng trình lần lợt là 2x y 1 0− + = và 3x 8y 13 0+ + =
Bài 3: Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết C 4; 1( − ) ; đờng trung tuyến hạ từ A có phơng trình là: 2x 3y 0+ = ; đờng cao hạ từ đỉnh A có phơng trình là: 2x 3y 12 0− + =
Số liệu khảo sỏt cụ thể trớc khi thực hiện đề tài:
Kết quả của lớp 10A (sĩ số 30 hs)
Làm đúng Làm sai Số h/s không có lời giải
Kết quả của lớp 10B (sĩ số 32)
Trang 4Làm đúng Làm sai Số h/s không có lời giải
Kết quả của lớp 10C (sĩ số 34)
Làm đúng Làm sai Số h/s không có lời giải
Nh vậy với một bài toán khá quen thuộc thì kết quả là không cao; sau khi nêu lên lời giải và phân tích từng bớc làm bài thì hầu hết các em học sinh đều hiểu bài và tỏ ra hứng thú với dạng bài tập này
E- Nội dung thực hiện đề tài Phần I: Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan
1 Véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng d
Vectơ u 0r r≠ và có giá song song hoặc trùng với d thì urlà vectơ chỉ phơng của d
Nếu ur là vectơ chỉ phơng của d thì k urcũng là vectơ chỉ phơng của d ( k 0≠ )
2 Véc tơ pháp tuyến của đờng thẳng d
Vectơ n 0r r≠ và có giá vuông góc với d thì nr là vectơ pháp tuyến của d
Nếu nr là vectơ pháp tuyến của d thì k nrcũng là vectơ pháp tuyến của d (
k 0≠ )
3 Phơng trình của đờng thẳng
Nếu đờng thẳng d đi qua điểm M x ; y và có véc tơ chỉ phơng là ( 0 0) u a;br( )
với
2 2
a +b ≠0 thì:
+ Phơng trình tham số của đờng thẳng d là: 0
0
x x at
y y bt
= +
= +
( t R∈ là tham số)
+ Phơng trình chính tắc của đờng thẳng d là : x x0 y y0
− = − (a.b 0≠ )
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng d có dạng: Ax By C 0+ + =
Phơng trình đờng thẳng d qua M x ; y , có vectơ pháp tuyến ( 0 0) n A;Br( )
với
2 2
A +B ≠0 là: A x x( − 0) +B y y( − 0) =0
Phơng trình đờng thẳng d qua M x ; y có hệ số góc k: ( 0 0) y k x x= ( − 0) +y0 Phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A x ; y , ( 1 1) B x ; y có dạng:( 2 2)
− = −
Phơng trình đoạn thẳng chắn trên các trục tọa độ: x y 1
a + =b (đi qua 2 điểm A a;0( )∈Ox; B 0;b( )∈Oy)
Trang 5Phơng trình đờng thẳng d song song với đờng thẳng : Ax By C 0∆ + + = có dạng Ax By m 0 m C+ + = ( ≠ )
Phơng trình đờng thẳng d vuông góc với đờng thẳng : Ax By C 0∆ + + = có dạng Bx Ay m 0− + =
4 Các kiến thức khác
Cho A x ; y ; ( A A) B x ; y ; ( B B) C x ; y( C C)
- Véc tơ AB xuuur( B −x ; yA B −yA)
- Toạ độ trung điểm I của AB là xA xB yA yB
- Độ dài vectơ ABuuurlà ( ) (2 )2
ABuuur =AB= x −x + y −y
- Nếu điểm M x ; y( M M) chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k 1≠ thì
M
M
x
1 k
MA kMB
y ky y
1 k
−
=
=
uuuur uuur
AB kAC
uuur uuur
- Nếu A, B, C là 3 đỉnh 1 tam giác, gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì ta có:
Quy ớc: Pháp tuyến của đờng thẳng ký hiệu là nr
Chỉ phơng của đờng thẳng ký hiệu là ur
Phần II: Nêu phơng pháp chung để giải toán:
Trong bài toán Viết phơng đờng thẳng d thì phơng pháp chung nhất là đi xác
định véc tơ chỉ phơng hoặc vetơ pháp tuyến của đờng thẳng và toạ độ một điểm mà
đờng thẳng đi qua sau đó áp dụng các dạng phơng trình đờng thẳng nêu trên để viết
phơng trình đờng thẳng đó
Phần III: Các dạng bài tập thờng gặp
Dạng 1: Tam giác ABC biết đỉnh A, biết hai trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh
còn lại BM, CN Tìm toạ độ B; C, viết phơng trình các cạnh của tam giác
Phơng pháp:
Cách 1:
B1: Tìm toạ độ trọng tâm G x ; y của ABC( G G)
B2: Tham số hoá toạ độ của B x ; y ; C x ; y theo phơng trình BM,( B B) ( C C)
CN
B3: Tìm toạ độ của B, C: áp dụng công thức:
G
x
3
+ +
G
y
3
+ +
=
B4: Viết phơng trình các cạnh
Cách 2:
Trang 6B1: Tìm toạ độ trọng tâm G x ; y của ABC( G G)
B2: Xác định điểm H đối xứng với A qua G theo công thức trung điểm Khi đó tứ giác BGCH là hình bình hành
B3: Lập phơng trình đờng thẳng HC qua H và song song với trung tuyến BM
C là giao điểm của HC với CN
B4: Lập phơng trình đờng thẳng HB qua H và song song với trung tuyến CN
B là giao điểm của HB với BM
B5: Viết phơng trình các cạnh
Ví dụ:
1 Cho tam giác ABC có A 1;3 và hai đờng trung tuyến BL: x 2y 1 0( ) − + =
và CK: y 1 0− = Viết phơng trình các cạnh của tam giác ABC
Bài giải:
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là nghiệm của hệ phơng trình:
( )
G 1;1
Gọi G' là điểm đối xứng với A qua G Ta có:
A G ' G
G
y
2
+
=
=
Tứ giác BGCG' là hình bình hành nên G'C // BL nên phơng trình G'C có dạng:
x 2y m 0− + = G ' G 'C∈ ⇒ − − + = ⇔ = −1 2 1( ) m 0 m 3
Phơng trình G'C là: x 2y 3 0− − =
Tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ: y 1 0 x 5 C 5;1( )
− − = =
Lại có G'B // CK nên phơng trình G'B có dạng:
y n 0+ = mà G ' G 'B∈ ⇒ − + = ⇔ =1 n 0 n 1
Phơng trình G'B là: y 1 0+ =
Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ: y 1 0 x 3 B 3; 1( )
− + = = −
Khi đó: Phơng trình cạnh AB là: x y 2 0− + =
Phơng trình cạnh AC là: x 2y 7 0+ − =
Phơng trình cạnh BC là: x 4y 1 0− − =
2 Cho tam giác ABC có A 2;3(− ) và hai đờng trung tuyến BM: x 2y 1 0− + =
và CN: x y 4 0+ − = Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC
Lời giải
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là nghiệm của hệ phơng trình:
( )
G 1;3
+ − = =
Vì B thuộc đờng thẳng BM nên giả sử B x ; y thì: ( B B)
Trang 7B B
− + = ⇔ = ⇒ ữ
Tơng tự C x ;4 x( C − C)
Mặt khác vì G 1;3 là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:( )
1
2
3
− + +
B
B
C
C
x
Vậy B 2 5; ; C 13; 1
−
BBTT: Cho tam giác ABC có A 3;1 và hai đờng trung tuyến BM:( )
2x y 1 0− − = và CN: x 1 0− = Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC
Dạng 2: Tam giác ABC biết đỉnh A và 2 đờng cao BH, CK Tìm tọa độ các
đỉnh B; C, lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC
Phơng pháp:
B1: Lập phơng trình cạnh AB đi qua A và vuông góc với CK
Lập phơng trình cạnh AC đi qua A và vuông góc với BH
B2: Tìm toạ độ điểm B, C
B3: Lập phơng trình cạnh BC
Ví dụ
1 Lập phơng trình các cạnh của ABC∆ nếu cho A 2; 1( − ) và 2 đờng cao xuất phát từ B và C có phơng trình lần lợt là 2x y 1 0− + = và 3x y 2 0+ + =
Bài giải:
Vì BH AC⊥ nên cạnh AC có phơng trình x 2y m 0+ + = , AC qua A nên
2 2 m 0− + = ⇔ =m 0 Phơng trình cạnh AC là: x 2y 0+ =
Vì CK AB⊥ nên cạnh AB có phơng trình x 3y n 0− + = , AB qua A nên
2 3 n 0+ + = ⇔ = −n 5 Phơng trình cạnh AB là: x 3y 5 0− − =
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ
4 x
5
= −
+ =
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ
8
5
8 11
;
x
x y
y B
= −
− − =
− + =
⇒ − − ữ
Trang 8Khi đó BC 4 13; 1(4;13)
= ữ=
uuur
nên vectơ pháp tuyến của BC là nuuurBC =(13; 4− )
Ph-ơng trình cạnh BC có dạng: 13 x 8 4 y 11 0 13x 4y 12 0
+ − + = ⇔ − + =
2 Tam giác ABC có A 1;2 và phơng trình hai đờng cao lần lợt là BH:( )
x y 1 0+ + = và CK: 2x y 2 0+ − = Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC
Bài giải:
Cạnh AB đi qua A 1;2 và vuông góc với CK: 2x y 2 0( ) + − = nên AB có
ph-ơng trình: 1 x 1( − −) (2 y 2− = ⇔ −) 0 x 2y 3 0+ =
Tơng tự cạnh AC đi qua A 1;2 và vuông góc với BH: x y 1 0( ) + + = nên AC
có phơng trình: 1 x 1( − −) (1 y 2− = ⇔ − + =) 0 x y 1 0
Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ:
5
;
3
= −
− + =
x
B
x y
y
Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ:
1 x
y 3
=
− + =
BBTT:
1 Lập phơng trình các cạnh của ABC∆ nếu cho A 1; 3(− − ) và 2 đờng cao xuất phát từ B và C có phơng trình lần lợt là 5x 3y 25 0+ − = và 3x 8y 12 0+ − =
2 Cho ABC∆ có phơng trình cạnh AB: 5x 3y 2 0− + = và 2 đờng cao xuất phát từ A và B có phơng trình lần lợt là 4x 3y 1 0− + = và 7x 2y 22 0+ − =
Dạng 3: Tam giác ABC biết 1 đỉnh A, phơng trình đờng cao BH và trung
tuyến xuất CK Xác định tọa độ đỉnh B, C; lập phơng trình các cạnh
Phơng pháp:
B1: Lập phơng trình cạnh AC đi qua A và vuông góc với BH
Từ đó tìm đợc tọa độ điểm C là giao điểm của AC và trung tuyến CK
B2: Tham số hoá toạ độ B x ; y ; K x ; y (với K là trung điểm của AB)( B B) ( K K)
theo phơng trình BH, CK Tìm toạ độ B nhờ:
A B K
A B K
x
2
y
2
+
=
=
B3: Lập phơng trình cạnh AB; BC
Ví dụ:
1 Xác định tọa độ của các đỉnh A; C của ABC∆ biết B(0; 2)− và đờng cao (AH) : x 2y 1 0− + = ; trung tuyến (CM) : 2x y 2 0.− + =
Bài giải:
Theo bài ra BC đi qua B(0; 2)− và vuông góc với (AH) : x 2y 1 0− + = nên phơng trình cạnh BC là: 2x y 2 0+ + =
Suy ra toạ độ C là nghiệm của hệ:
Trang 92 2 0 1
+ + = = −
− + = =
x y y vậy C 1;0(− )
Giả sử A x ; y ta có: ( A A)
Vì M thuộc trung tuyến CM nên A A
−
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
A
A
11 x
x
3
= −
− + =
Vậy A 11; 4
− −
; C 1;0(− )
2 Xác định tọa độ của các đỉnh B; C của ABC∆ biết A(4; 1)− và đờng cao (BH) : 2x 3y 0− = ; trung tuyến (CK) : 2x 3y 0.+ =
Bài giải:
Theo bài ra AC đi qua A(4; 1)− và vuông góc với (BH) : 2x 3y 0− = nên
ph-ơng trình cạnh AC là: 3x 2y 10 0+ − =
Suy ra toạ độ C là nghiệm của hệ: 3 2 10 0 6 (6; 4)
C
Giả sử B x ; y ta có: ( B B) 2xB−3yB =0nên yB 2xB
3
= vậy B x ; xB 2 B
3
Tơng tự toạ độ của K x ;K 2xK
3
−
Vì K là trung điểm của AB nên ta có:
B
K
K K
K
B
4 x
2
2
11 x
x
4
+
=
− =
BTTT: Lập phơng trình các cạnh của ABC∆ biết C(3;5) và phơng trình đ-ờng cao và đđ-ờng trung tuyến xuất phát từ 1 đỉnh lần lợt là 5x 4y 1 0+ − = và 8x y 7 0+ − =
Trang 10Dạng 4: Tam giác ABC biết hai cạnh AB, AC và biết trọng tâm G Xác định
tọa độ các đỉnh, lập phơng trình cạnh còn lại
Phơng pháp:
B1 (Chung cho 2 cách): tìm toạ độ điểm A là giao điểm của AB và AC
Suy ra toạ độ điểm M là trung điểm của BC nhờ : AG 2GMuuur= uuuur hoặc 3
2
=
uuuur uuur
Cách 1:
B2: Tham số hoá toạ độ của B x ; y ; C x ; y theo phơng trình AB, AC( B B) ( C C)
B3: Tìm toạ độ của B; C nhờ:
M
M
x
2
y
2
+
=
=
B4: lập phơng trình của BC
Cách 2:
B2: Viết phơng trình đờng thẳng MN qua M và song song với AC với N là trung điểm của AB Tìm tọa độ điểm N
B3: Từ AB 2ANuuur= uuur suy ra tọa độ điểm B Phơng trình cạnh BC qua B và nhận
BMuuur
làm vectơ chỉ phơng Từ đó tìm tọa độ C
Ví dụ:
1 Tam giác ABC biết phơng trình AB: 4x y 15 0+ + = ; AC: 2x 5y 3 0+ + =
và trọng tâm G 2; 1(− − ) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, viết phơng trình BC
Bài giải
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
A 4;1
+ + = = −
+ + = =
Gọi M x; y là trung điểm của BC, vì G là trọng tâm tam giác ABC nên: ( )
3
2
=
M M
3
2
= −
Gọi N là trung điểm của AB Phơng trình đờng thẳng MN // AC có dạng: 2x 5y m 0+ + = Điểm M MN∈ ⇒ − − + = ⇔ =2 10 m 0 m 12
Phơng trình MN là: 2x 5y 12 0+ + =
Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ
7
2
B
= ⇒ − = − ⇔ = − ⇒ − −
uuur uuur
Đờng thẳng BC qua B và nhận BMuuur=( )2;1 làm vectơ chỉ phơng có dạng:
Trang 11x 3 y 3
x 2y 3 0
+ = + ⇔ − − =
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ: x 2y 3 0 x 1 C 1; 1( )
+ + = = −
2 Tam giác ABC biết phơng trình AB: x y 1 0+ − = ; AC: x y 3 0− + = và trọng tâm G 1;2 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC( )
Bài giải
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
A 2;1
+ + = = −
− + = =
Gọi M x; y là trung điểm của BC, vì G là trọng tâm nên: ( )
AG 2GMuuur= uuuur ( )
5 x
2
=
= −
Vì B thuộc AB nên toạ độ B x ; y với ( B B) xB +yB − = ⇔1 0 yB = −1 xB
nên B x ;1 x( B − B) Tơng tự C x ;x( C C +3)
Mà M 5 5;
2 2
ữ
là trung điểm của BC nên ta có:
M
C
M
y
+ − + + − + = =
nên B 1;0 ; C 4;7( ) ( )
BBTT: Tam giác ABC biết phơng trình AB: 2x 3y 7 0− − = ; AC:
x 9y 28 0+ + = và trọng tâm G 4; 2( − ) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Dạng 5: Tam giác ABc biết hai cạnh AB, AC và trực tâm H Tìm tọa độ các
đỉnh của tam giác ABC, viết phơng trình cạnh BC
Phơng pháp:
B1: tìm toạ độ điểm A là giao điểm của AB và AC
B2: Tham số hoá toạ độ của B(xB ; yB) theo AB
B3: Tìm toạ độ của B:
Vì H là trực tâm nên HBuuur là vectơ pháp tuyến của AC Vậy HB.uuuur uuurAC =0
B4: Phơng trình cạnh BC qua B và có HAuuur là véc tơ pháp tuyến
Ví dụ:
Tam giác ABC biết phơng trình cạnh AB: 5x 2y 6 0− + = và cạnh AC: 4x 7y 21 0+ − = và H 0;0 là trực tâm của tam giác Tìm tọa độ các đỉnh và lập( )
phơng trình cạnh BC
Bài giải:
Toạ độ của A là nghiệm của hệ phơng trình:
Trang 12( )
A 0;3
+ − = =
Mặt khác vì H là trực tâm nên HB AC⊥ Suy ra HBuuur là vectơ pháp tuyến của
2
+
uuur uuur
Tơng tự, HAuuur là vectơ pháp tuyến của BC Vậy phơng trình cạnh BC là:
0 x 4+ +3 y 7+ = ⇔ + =0 y 7 0
Tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ:
35
2
BTTT: Tam giác ABC biết phơng trình cạnh AB: 3x 2y 1 0− − = và cạnh AC:
x y 3 0+ − = và H 2;4(− ) là trực tâm của tam giác Tìm tọa độ các đỉnh và lập
ph-ơng trình cạnh BC
Dạng 6: Tam giác ABC biết hai cạnh AB, AC và I là tâm đờng tròn ngoại tiếp
tam giác Xác định tọa độ các đỉnh và lập phơng trình cạnh BC
Phơng pháp:
B1: Tìm toạ độ điểm A là giao của AB và AC
Gọi M là trung điểm cạnh AB Vì I là trực tâm nên IM AB⊥ ⇒M
Tìm toạ độ của B nhờ M là trung điểm của AB
B2: Gọi N là trung điểm của AC Vì I là trực tâm nên IN AC⊥ ⇒N
Tìm toạ độ của C nhờ N là trung điểm của AC
B3: Lập phơng trình cạnh BC
Ví dụ:
Tam giác ABC biết phơng trình cạnh AB: x y 1 0+ − = ; cạnh AC: 2x y 2 0− − = và I 1;1 là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác Xác định tọa độ các( )
đỉnh
Bài giải:
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ x y 1 0 x 1 A 1;0( )
− − = =
Gọi M x ; y( M M) là trung điểm của AB Ta có
x +y − = ⇔1 0 y = −1 x ⇒M x ;1 x−
= ⇔ − − + − = ⇔ = ⇒ ữ
uuuruuur
Tơng tự N x ;2x( N N −2) trung điểm của AC
= ⇔ − + − = ⇔ = ⇒ ữ
uur uuur
Mặt khác vì M là trung điểm của AB nên suy ra B 0;1( )
Tơng tự vì N là trung điểm của AC nên suy ra C 9 8;
5 5
ữ