SKKN lôi quấn học sinh vào tiết học qua những câu truyện kể về các nhà bác học, về lịch sử tìm ra các nguyên tố hóa họchm

TRƯỜNG THPT SỐ 1 BÁT XÁT ----ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: PHÁT HIỆN VÀ KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH THPT Họ và tên: NGUYỄN DUY LONG Chức vụ: Phó Hiệu trưởng Ch

TRƯỜNG THPT SỐ 1 BÁT XÁT

 ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

PHÁT HIỆN VÀ KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH THPT

Họ và tên: NGUYỄN DUY LONG Chức vụ: Phó Hiệu trưởng

Chuyên môn: Toán học Đơn vị: Trường THPT số 1 Bát Xát

Bát Xát, tháng 6 năm 2014

2.1.1 Yêu cầu đối với lời giải một bài toán 3

2.2.1 Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng 32.2.2 Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt 72.2.3 Sai lầm khi nắm các khái niệm Toán học 92.2.4 Sai lầm liên quan đến sử dụng định lý 112.2.5 Sai lầm liên quan đến thao tác tư duy 122.2.6 Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tương ứng 142.2.7 Sai lầm liên quan đến chủ nghĩa hình thức 152.2.8 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán 16

khắc phục các nhận định sai lầm cho học sinh Vì điều này nên ở học sinh nhiều

khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm.

Từ những sự phân tích trên đây, cùng với kinh nghiệm 10 năm giảng dạytại trường THPT số 1 Bát Xát, tôi nghiên cứu đề tài:

“Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT”

nhằm giúp các em học sinh nhà trường khắc phục được các sai lầm của mình,đặc biệt là các em học sinh chuẩn bị thi tốt nghiệp, Cao đẳng-Đại học năm2014

Tôi xin chân thành cảm ơn sự cộng tác và giúp đỡ của các thầy cô giáotrong nhà trường, đặc biệt là các thầy cô trong nhóm Toán trong thời giannghiên cứu và tiến hành áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này Dù bản thân tác giả

đã hết sức cố gắng bằng việc tham khảo một lượng lớn kiến thức từ các tài liệumới và cũ nhưng chắc chắn đề tài nghiên cứu không tránh khỏi thiếu sót bởikinh nghiệm và kiến thức còn hạn chế Tác giả rất mong nhận được những góp ýquý báu của quý đồng nghiệp

Bát Xát, tháng 6 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Duy Long

2 NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Ngoài ra, đối với những bài toán có nhiều cách giải thì phải nêu được cáchgiải ngắn gọn, trình bày hợp lý và dễ hiểu nhất.

2.1.2 Các căn cứ tìm lời giải:

- Bài toán thuộc dạng nào đã biết

- Giả thiết và kết luận của bài toán

- Các kiến thức cơ bản và kiến thức liên quan để giải bài toán

2.1.3 Kiểm tra lời giải.

- Sau khi có lời giải, phải tiến hành kiểm đáp án, lời giải Sau đó tìm hướngkhác giải bài toán và so sánh với lời giải vừa tìm được về tính chính xác, tínhngắn gọn và dễ hiểu

2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

Với thời gian giảng dạy 10 năm tại trường THPT số 1 Bát Xát, tôi thấy cónhiều sai lầm của học sinh phổ biến từ khóa này đến khóa khác Cụ thể như sau:

2.2.1 Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng.

Học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm sau đây khi giải nhữngbài toán có liên quan đến việc phân chia trường hợp

2.2.1.1 Không nắm vững bản chất của tham số, không hiểu nghĩa của cụm từ “giải và biện luận”, lẫn lộn giữa “biện luận theo m” và “tìm m” Khi giải biện luận phương trình (bất phương trình) có tham số m, nhiều học sinh quy về tìm m để phương trình (bất phương trình) có nghiệm

Sai lầm: Có học sinh giải như sau: với x 1 nghiệm của phương trình là1

x m  ; với x < 1 nghiệm của phương trình là 1

3

m

Lời bình: Học sinh này dù đã nắm được khái niệm giá trị tuyệt đối nhưng

vẫn chưa ý thức được rằng, tham số được xem như là những số đã biết nhưngchưa rõ cụ thể là bao nhiêu, bởi vậy không chắc gì m – 1 đã lớn hơn hoặc bằng

1; 1

3

m 

đã nhỏ hơn 1

Ví dụ 2: Giải và biện luận bất phương trình: m(x – m + 3)  m(x - 2) + 6.

Sai lầm: Bất phương trình  mx - m2 + 3m  mx - 2m +6  m2 – 5m +

6  0  2  m  3 Vậy nghiệm của bất phương trình là: 2 m 3

Lời bình: Thực ra 2m3 chỉ là điều kiện để bất phương trình cónghiệm chứ không phải là nghiệm của bất phương trình Khi m nằm ngoài [2; 3]thì bất phương trình sẽ vô nghiệm và ta vẫn phải đề cập đến trường hợp nàytrong khâu biện luận

2.2.1.2 Không ý thức được sự suy biến của tham số, áp dụng thuật giải một cách máy móc vào những trường hợp không thuộc hệ thống.

Ví dụ 3: Giải và biện luận bất phương trình:







Lời bình: Với cách giải như trên cho thấy học sinh chưa nắm vững khái

niệm giá trị tuyệt đối, mặt khác chưa nắm vững điều kiện để thực hiện được các phép biến đổi tương đương cơ bản trên các bất phương trình

2.2.1.3 Nắm không chính xác về điều kiện để có thể thực hiện phép biến đổi tương đương.

Ví dụ 4: Tìm m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất:

Lời bình: Thực ra phương trình (1) đã cho chỉ tương đương với phương

trình: x2 + 2mx = x – 1 (2) với điều kiện

Do đó đáng lẽ phải nói: phương trình x2 + x(2m - 1) + 1 = 0 có duy nhất

một nghiệm x > 1, rồi từ đó chuyển về xét hai trường hợp:

012

b a

2.2.1.4 Không biết tìm ra tiêu chí làm cơ sở cho sự phân chia.

Ví dụ 5: Giải và biện luận theo tham số a bất phương trình:

x a  x a  x a (1)

Sai lầm: Gặp bài toán này, học sinh hầu như không biết nên phân chia

tham số a thành những trường hợp nào Nhiều học sinh cứ ngỡ rằng 3 số: a, 2a, 3a thì dĩ nhiên 3a là lớn nhất, do đó điều kiện của bất phương trình chỉ là x > 3a

TH 1: Nếu a = 0, bất phương trình (1) vô nghiệm

TH 2: Nếu a > 0, điều kiện của x là x  3a, khi đó bất phương trình tươngđương với 4a - x > x 2a x   3a (2), vì a > 0 nên

Việc phân chia 3 trường hợp a = 0; a < 0; a > 0 căn cứ một phần quan trọng vào việc tìm điều kiện chung để thay thế cho 3 điều kiện: x a ; x2a;3

x a Phần sau của đề tài sẽ trở lại vấn đề này

2.2.1.5 Do hiểu sai yêu cầu của bài toán nên phân chia thiếu trường hợp.

nghiệm thỏa mãn x > 3

Sai lầm: Có nhiều học sinh lập luận: yêu cầu của bài toán tương đương

với phương trình có nghiệm kép lớn hơn 3

10

453

2

2

m S

2

af

m S

Lời bình: Theo kiểu thứ nhất học sinh phiên dịch sai yêu cầu của bài

toán, với cụm từ “chỉ có một nghiệm lớn hơn 3”, học sinh đồng nhất với “có hai nghiệm bằng nhau lớn hơn 3” Theo kiểu thứ 2 học sinh đã gộp hai trường hợp

x  x và 3 x 1 x2 thành một trường hợp x1 3 x2 Tuy nhiên đã viết

điều kiện bỏ sót trường hợp 1 3 2

2

S

Ngoài các sai lầm trên thì, trong phân chia trường hợp riêng, học sinh còn mắc nhiều sai lầm khác, chẳng hạn, trong quá trình phân chia có thể bỏ sót các trường hợp; phân chia trồng chéo; trùng lặp hoặc mắc phải sai lầm trong biến đổi và tính toán.

2.2.2 Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt.

Học sinh thường mắc phải các kiểu sai lầm ngôn ngữ phổ biến sau:

không hiểu bản chất Toán học

Ví dụ 8: Dấu “=” có rất nhiều hình thái sử dụng như chỉ sự đồng nhất,

toàn đẳng, chỉ sự thay đổi, chỉ một hành động cần tiến hành, Trong trường hợp này nói riêng ta nói tới dấu “=” trong nguyên hàm Vì mang một phong cách rất “vần” nên học sinh dễ nhớ được

Trong thực tế dạy học, ta đã bắt gặp hiện tượng, một bài toán tìm nguyênhàm nhưng với hai cách giải đúng khác nhau đã cho ra kết quả có vẻ rất khácnhau, nên đã dẫn đến sự hoài nghi về một trong hai kết quả Khi hai người chọnhai kết quả F(x) + C và G(x) + C, tuy G(x) và F(x) mang hình thức khác nhaunhưng giữa chúng có thể chỉ sai khác một hằng số Điều này rất hay gặp ở cáchàm lượng giác ngược Có nhiều học sinh “nắm được” cú pháp một cách hìnhthức nhưng không hẳn hiểu được ngữ nghĩa của kí hiệu toán học.

2.2.2.2 Lẫn lộn giữa đối tượng được định nghĩa và đối tượng dùng để chỉ đối tượng ấy.

Ví dụ 9: Học sinh thường hay nói “Tổ hợp chập k của n là k

Ví dụ 10: Học sinh nghĩ: “Tổng của hai hàm số lẻ là một hàm số chẵn” do

bắt chước tính chất “Tổng của hai số lẻ là một số chẵn”, hoặc xuất phát từ tínhchất mỗi số nguyên không chẵn thì lẻ, nên nghĩ rằng chẳng có hàm nào vừakhông chẵn, vừa không lẻ

2.2.2.4 Lạm dụng thuật ngữ và kí hiệu Toán học để thay thế một số từ của ngôn ngữ tự nhiên.

Ví dụ 11: a Đa thức có hệ số bậc 3 < 0 (đa thức có hệ số bậc ba âm).

b Giá trị của hàm số f(x) tại x = - 2 = 3 (f(- 2) = 3).

c  ngày như  ngày (một ngày như mọi ngày)

2.2.2.5 Ảnh hưởng của thói quen ngôn ngữ không đúng đắn.

2.2.2.6 Đồng nhất ngôn ngữ có nội dung gần giống nhau.

x  là các điểm cực trị.

Học sinh dễ mắc mớ rằng, tại sao các cực trị là những số dương lại còn thêm giả thiết điểm cực trị mang giá trị âm, phải chăng đề không đúng?

2.2.3 Sai lầm khi nắm các khái niệm Toán học

Thực tiễn sư phạm cho thấy trong quá trình vận dụng khái niệm, việckhông nắm vững nội hàm và ngoại diên khái niệm sẽ dẫn tới học sinh hiểukhông trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bản chất khái niệm Mặt khác, nhiều kháiniệm Toán học là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước đó, việc khôngnắm và hiểu không đúng khái niệm có liên quan làm học sinh không hiểu, không

có biểu tượng đúng về khái niệm mới

Sai lầm về các khái niệm Toán học (đặc biệt là các khái niệm ban đầu cótính chất nền tảng) sẽ dẫn đến hệ quả tất yếu học kém toán Vì vậy có thể nói sự

“mất gốc” của học sinh về kiến thức Toán học trước hết coi là sự “mất gốc” vềcác khái niệm Từ nhiều nguyên nhân khác nhau có thể dẫn tới sự nhận thứckhái niệm Toán học một cách hình thức biểu hiện ở:

+ Học sinh không nắm vững nội hàm và ngoại diên của khái niệm nênnhận dạng và thể hiện khái niệm sai.

+ Hiểu sai ngôn ngữ, kí hiệu trong định nghĩa khái niệm nên diễn đạt vàvận dụng sai khái niệm (khi xây dựng khái niệm khác, khi biến đổi tính toán, khisuy luận chứng minh)

Ví dụ 14: Không nắm vững sự mở rộng khái niệm góc hình học sang khái

niệm góc lượng giác dẫn đến nắm sai bản chất các hàm lượng giác dẫn tới sailầm kế tiếp biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn đơn vị, khi kết hợp nghiệmcủa phương trình, bất phương trình lượng giác thường thiếu, thừa nghiệm hoặckhi viết nghiệm của hệ phương trình thì viết một họ nghiệm dẫn tới thiếunghiệm, chẳng hạn, khi giải phương trình tích các hàm lượng giác đều viết các

họ nghiệm chung kí hiệu nên dẫn đến thu hẹp tập nghiệm:

Khi giải phương trình sin2x.sin3x.sinx = 0, học sinh cho kết quả: x=

2

k

; x=3

k

;x=k.

Trong đơn vị đo góc lượng giác là radian và độ, học sinh không hiểu đây

là hai đơn vị đo khác nhau nên dẫn tới sai lầm viết nghiệm của các phương trình

sin x sin x là x = 4 + k3600 hoặc x = 600 - 2 0

360

3k .Không nắm vững khái niệm nghiệm của phương trình và bất phương trìnhnên khi giải phương trình x 1 x 1 2    1 x 1 học sinh không thừanhận kết quả trên là nghiệm, do lâu nay học sinh nghĩ rằng nghiệm của phươngtrình là các giá trị rời rạc, đơn lẻ mà không phải là một khoảng, một đoạn

Học sinh không hiểu kháiniệm nguyên hàm, dẫn tới việc chứng minh hệ thức giữa các nguyên hàm bằngcách chứng minh “đạo hàm hai vế bằng nhau” Lẽ ra phải hiểu rằng nguyên hàmcủa hàm số f(x) là một tập hợp các hàm F(x) sao cho F x,( )f x( ) nên chứngminh hai nguyên hàm bằng nhau, tức là phải theo nguyên tắc chứng minh hai tậphợp bằng nhau

Do không nắm vững khái niệm đường cong trên mặt phẳng tọa độ và đồthị hàm số nên học sinh xem parabol trong hình học giải tích có phương trình y2

= x là đồ thị của hàm số ngược của hàm số y =x2, hoặc khi tìm tiếp tuyến củađường cong như đường tròn có phương trình x a 2 y b 2 R2 đã khôngxét trường hợp tiếp tuyến vuông góc với Ox là x = a R mà chỉ xét tiếp tuyến

có dạng y = ax + b như trong đồ thị hàm số nên đã thiếu trường hợp Ta biếtrằng đồ thị hàm số là một đường cong trên mặt phẳng tọa độ nhưng không hẳnbất cứ đường cong nào trên mặt phẳng tọa độ cũng đều là đồ thị hàm số Căn cứvào định nghĩa hàm số ta có: trong mặt phẳng tọa độ một đường cong (C) là đồthị hàm số y = f(x) khi chỉ với mỗi x thuộc tập xác định của hàm số thì đường0

thẳng x = x0 song song với Oy chỉ cắt (C) tại một điểm duy nhất

Nắm khái niệm hàm số; khái niệm giới hạn hàm số một cách hình thứcnên không ít học sinh cho rằng kí hiệu f(x) là kí hiệu của tích hai đại lượng fx,xem    0; 0. 0; 1 1



2.2.4 Sai lầm liên quan đến sử dụng định lí.

Cấu trúc thông thường của định lí có dạng A B trong đó A là giả thiếtcủa định lí, B là kết luận của định lí Sai lầm phổ biến khi học định lí do xemthường ngôn ngữ và các điều kiện của giả thiết A nên suy ra các kết luận sailầm: không có A vẫn suy ra B; không có A suy ra không có B; sử dụng định lítương tự chưa đúng Không nắm vững kết luận B nên sử dụng B mà không nhớA; có B suy ra có A; có A nhưng suy ra không phải B, mà chỉ chú trọng tớiphương pháp giải Toán Do đó trong quá trình áp dụng vào giải Toán học sinhhay áp dụng thiếu điều kiện hoặc sử dụng đúng nhưng không chính xác; sử dụngđịnh lí như định nghĩa Đặc biệt là những định lí học sinh bị “mất gốc” hoặckhông hiểu bản chất nên khi sử dụng định lí không hiểu rõ phạm vi sử dụng củađịnh lí

( 1)1

d x x

y x



 gián đoạn tại x = -1   2; 2

nên không sử dụng được công thức Niutơn – Lepnít để tính tích phân trên Giảthiết của công thức Niutơn – Lapnít là hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] nêncách giải trên thiếu việc kiểm tra điều kiện áp dụng định lí Thực ra tích phântrên không tồn tại



   , ,

2sinlim 0, ,

n

n n



 1sin

n

n n n



 



 Nên I = 0 + 0 + + 0 = 0

Lời bình: Định lí về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương các dãy chỉ phát

biểu cho một số hữu hạn các dãy, các dãy này phải có giới hạn, nhưng học sinh

2sin sin 2sin sin 2sin sin

chứ không phải là 0 như lời giải sai trên đây của học sinh

2.2.5 Sai lầm liên quan đến thao tác tư duy

a e

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta được: 0, từ đó suy ra đpcm

Học sinh có thể tổng quát hóa bài toán từ cách giải 2 như sau: Do a là một số cốđịnh nên mở rộng cho n số hạng tiếp theo ta được:

đẳng thức tổng quát hóa không đúng.

Vậy bài toán tổng quát như thế nào? Ta trở lại với cách giải 1 vì vế trái có

a

a n

a a n

2.2.6 Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tương ứng

Khi làm những bài toán có liên quan đến tư duy hàm, học sinh hay sai lầmtrong việc phát hiện, thiết lập sự tương ứng giữa các đối tượng tham gia trongbài toán, đặc biệt nổi bật trong các bài toán về hàm số, phương trình, bất phươngtrình, hệ phương trình có chứa tham số, hoặc cần đặt ẩn phụ

Ví dụ 17: Tìm m điều kiện để phương trình sau có nghiệm:

t = x 1 3 x với x 1; 3 , thì bài toán trở thành: tìm m để phương trình

Lời bình: Với cả ba phương án điều kiện ẩn phụ như trên, học sinh đều

có sai lầm vì không nhận thấy sự tương ứng giữa ẩn t và ẩn x Lẽ ra điều kiệncủa t là t 2; 2

2.2.7 Sai lầm liên quan đến “chủ nghĩa hình thức”

Ví dụ 18: Tìm m để hàm số y x 3 m1x2 2m 3x3 đồng biếnvới mọi x > 3

Sai lầm: Bài toán trở thành tìm m để :

f S

Lời bình: Thực tiễn dạy học cho thấy: nếu học sinh không nắm được lược

đồ giải dạng bài toán trên, nếu giáo viên không làm nổi rõ lí do tại sao vị trítương đối giữa x1; x1;   là thế này, thế khác, thì dù có được giáo viên làm;mẫu một số bài đến lượt học sinh, chỉ cần thay đổi một chút thôi, ví như lúc làmmẫu là 3;   còn bây giờ là  3;   họ vẫn có thể gặp sai lầm!

Vì sao họ sai lầm? đơn giản là vì họ nghĩ rằng: Với bài 3;   thì x1 < x2 3, bây giờ với bài 3;   không còn dấu “=” nữa, thế thì cũng phải bỏdấu “=” ở x1 < x23 để thành x1 < x2 < 3 (!?).

Thực ra, nếu nắm vững kiến thức về tập hợp lôgíc, nếu thông thạo cáchbiểu diễn tập nghiệm trên trục số, thì học sinh dễ nhận thức được rằng: trongtrường hợp bây giờ, ta có  ;x1  x2;  chứa 3;   , thế thì biểu diễntrên trục số:

3

x1 x2

ta vẫn có x1 < x2 3 (bởi, cho dù x2 = 3 thì  x   vẫn cứ chứa 2;  3;   ).

Lẽ ra có thể giải bài toán như sau: Ta có  , m2  4m10, ta thấy  , 0

m R

  thế thì f(x) có hai nghiệm phân biệt, kí hiệu hai nghiệm đó là x1, x2 vớix1 < x2 Theo Định lí thuận thì f(x)  0 tương đương với x ;x1  x2; ,mặt khác theo giả thiết thì cứ hễ x  3 là có f(x)  0, cho nên cứ hễ x 3;  

là x ;x1  x2;  Bằng sự minh họa của trục số, ta suy ra x1< x2  3 3

x1 x2

3 (3) 032

f S

2.2.8 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán

2.2.8.1 Do đặt điều kiện của ẩn phụ.

Khi đặt ẩn phụ thường lãng quên đặt điều kiện của ẩn phụ, và cho rằng,phương trình f(x) = 0 có nghiệm khi và chỉ khi phương trình g(t) = 0 có nghiệm,trong đó g(t) là biểu thức thu được từ f(x) thông qua một phép đặt ẩn phụ( )

t x nào đó Nói cách khác, nếu phương trình xuất phát có dạng f[g(x)] thìhọc sinh thường đặt t = g(x) để đưa về phương trình f(t) = 0, và quan niệm rằng,phương trình f[g(x)] = 0 có nghiệm khi và chỉ khi f(t) = 0 có nghiệm