SKKN phân tích một số sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm tích phân

Giải tích là ngành toán học nghiên cứu về các khái niệm: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân...Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn"; Các yếu tố được nghiên cứu tron

MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU 2

I Lý do chọn đề tài 2

II Mục đích nghiên cứu 3

III Nhiệm vụ nghiên cứu 3

IV Đối tượng nghiên cứu – Phạm vi nghiên cứu 3

V Phương pháp nghiên cứu 3

PHẦN II: NỘI DUNG 4

I Cơ sở lý luận của vấn đề 4

II Thực trạng vấn đề 8

III Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 8

IV Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa 10

V Hiệu quả từ sáng kiến đem lại 17

PHẦN III: KẾT LUẬN 19

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các

phép biến đổi Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về " hình vàsố." Theo quan điểm chính thống, toán học là môn học nghiên cứu về các cấu trúctrừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng Luận lý học (lôgic) và kýhiệu toán học Toán học là nền tảng cho tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác

Có thể nói rằng không có toán học, sẽ không có ngành khoa học nào cả Do khảnăng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là " ngônngữ của vũ trụ" Môn Toán được chia thành nhiều phân môn nhỏ, trong đó có

phân môn: Giải tích toán học còn gọi đơn giản là Giải tích Giải tích là ngành

toán học nghiên cứu về các khái niệm: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn"; Các yếu tố được nghiên cứu

trong giải tích thường mang tính chất "động" hơn là tính chất "tĩnh" như trong Đại

số Chính vì vậy mà phần lớn học sinh THPT rất lúng túng và gặp khó khăn khi học

Giải tích nói chung và Nguyên hàm, Tích phân nói riêng Bên cạnh đó, trong đề thitốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN của các năm, bài toán liên quan đếntích phân hầu như không thể thiếu

Trong thực tế, đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là:tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tíchphân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất

ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm củahàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến mới trong phươngpháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không?

Vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc những sai lầm dẫn đếnlời giải sai Với hy vọng giúp học sinh khắc phục được những nhược điểm kể trên,nắm vững kiến thức về Nguyên hàm – Tích phân, biết phân loại được một số dạng

toán tính tích phân, nắm được phương pháp giải cho một số dạng bài tập, từ đógiúp học sinh tính tích phân dễ dàng hơn, đạt được kết quả cao khi giải toánNguyên hàm – Tích phân nói riêng , đạt kết quả cao trong quá trình học tập mônToán nói chung, và học sinh phát huy được khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát

hóa qua các bài tập nhỏ, tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số sai lầm thường gặp khi giải toán Nguyên hàm – Tích phân”.

II Mục đích nghiên cứu

- Chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải Qua đó, học sinhhiểu đúng bản chất của vấn đề

- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó họcsinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo

III Nhiệm vụ nghiên cứu

- Đánh giá thực tế quá trình vận dụng giải bài tập tích phân (Chương trìnhGiải tích 12 – Ban cơ bản) để có được bài giải toán hoàn chỉnh và chính xác

IV Đối tượng nghiên cứu – Phạm vi nghiên cứu

- Các bài toán tính tích phân chương III, giải tích lớp 12

- Học sinh 02 lớp phụ trách 12A1, 2 trường THPT số 1 Mường Khương vàkinh nghiệm của một số năm học trước

V Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp đối chứng

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

PHẦN II: NỘI DUNG

I Cơ sở lý luận của vấn đề

1 Định nghĩa nguyên hàm:

F(x) là nguyên hàm của f(x)  F’(x) = f(x)

* Định lí:

+ F(x) là nguyên hàm của f(x)  F(x) + C củng là nguyên hàm với C là hằng số

Kí hiệu: f(x)dx (đọc là tích phân bất định của f(x)) Như vậy:

f(x)dx = F(x) + C+ F(x) và G(x) là nguyên hàm của f(x)  F(x) – G(x) = C (C: hằng số)

dx

1 ln

C e

cos sin

C x xdx  

sin cos

C b

ax a dx b

dx b

( 1 ) 1ln

C e

a dx

x axb  axb 

C a

a p dx

dx b

cos( ) 1sin( )

C b ax a

dx b

sin( ) 1cos( )

C u

du 



C

u du

1 ln

C e du

a du a

u

u  

C u udu 

cos sin

C u udu   

sin cos

C tgx dx

x  

cos 2

1

C gx dx

x  

C b ax tg a

dx b

cos2(1 ) 1 ( )

C b ax g a

dx b

sin2(1 ) 1cot ( )

C tgu du

u  

cos 2

1

C gu du

a, Phương pháp sử dụng định nghĩa và tính chất của tích phân:

b, Phương pháp đổi biến:

Vậy

1

2 0

Giải :Đặt x= 2 tan t

Đổi cận : x= 0  t = 0

x=2  t =

4



 I=4

0

2 cos (4 4 )

1

2t



=8



b Đổi biến dạng 2:

*Dấu hiệu sử dụng tích phân đổi biến dạng 2:

Hàm số dưới dấu tích phân thường có dạng tích của 2 hàm, trong đó một hàm hoặc một biểu thức của hàm có đạo hàm bằng hoặc gần bằng hàm số còn lại ( sai khác nhau một hằng số) Ta sử dụng phương pháp tích phân đổi biến dạng 2

Ví dụ 1: Tính tích phân: 3

0

sin cos cos

xdx I

1 2





* Lưu ý: Thường ưu tiên đặt u theo thứ tự: Lôgarit, lũy thừa, mũ, lượng giác

Ví dụ 1: Tính tích phân sau:  cos 

dx du x x v

3x   x x 1 dx =

cos



dx x x

II Thực trạng vấn đề

Khi học sinh học chương III “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng” thường gặp phải những khó khăn sau:

- Không nắm vững định nghĩa Nguyên hàm, Tích phân

- Không nắm vững phương pháp đổi biến số

- Không nắm vững phương pháp nguyên hàm ( tích phân ) từng phần

- Không nắm vững công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay

III Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện một số giải pháp như sau:

1 Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt

- Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó

- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí

- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng

- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải

2 Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp

- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh,

- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề

- Phương pháp: phương pháp giải toán

3 Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )

- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế

- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh

- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu để học sinh thấy được hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng (ví dụ như ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình thang cong)

4 Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá

- Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với 6 mức độ nhận thức: nhận biết - thông hiểu - vận dụng - phân tích - tổng hợp - đánh giá

- Giáo viên đánh giá học sinh

- Học sinh đánh giá học sinh

5 Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với

từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài toán về nguyên hàm, tích phân Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập

6 Phân dạng bài tập và phương pháp giải

- Hệ thống kiến thức cơ bản

- Phân dạng bài tập và phương pháp giải

- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao

- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả mới, bài toán mới Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo

IV Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa

1 Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm

*Một học sinh đã giải như sau:

F’(x) = -e - x + (1+x)e- x =f(x) với mọi x =>F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên R

x

dx I

f (x)dx

 cần chú ý kiểm tra xem hàm số

y = f(x) có liên tục trên đoạn [a, b] không? Nếu có thì áp dụng các phương pháp được học để tính tích phân đã cho, còn nếu không thì kết luận ngay tích phân đó không tồn tại

cos 1



2/ x x 2dx

1 3

x x

 

1

3 2

3

Ví dụ 5: tính tích phân: I = 





0 1 sin x dx

* Sai lầm thường gặp : Đặt t = tan 2x thì dx = 1 2

do tan2 không tồn tại nên tích phân trên không tồn tại

*Nguyên nhân sai lầm:

4 2 2

cos 1

x x

x d x

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:

Phép biến đổi (x 3)  2   x 3; x [0,4]  là không tương đương

* Lời giải đúng:

     , ta phải xét dấu hàm số f(x) trên đoan [a, b] rồi dùng

tính chất để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

5 Sai lầm khi vận dụng phương pháp đổi biến

Ví dụ 7: Tính tích phân

1 2

0

I 1 x dx 

*Một học sinh đã giải như sau:

Đặt x = sint suy ra dx = costdt

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: học sinh đổi biến nhưng không đổi cận

* Lời giải đúng: Đặt x = sint suy ra dx = cost.dt

I c  x dx, nếu tích phân tồn tại thì thông thường

ta tính tích phân bằng cách đặt x = c.sint( hoặc x = c.cost) đổi cận, chuyển về tính tích phân theo t

Ví dụ 8: Tính tích phân

1 3 4

2 0

*Một học sinh đã giải như sau:

Đặt x = sint suy ra dx = costdt Đổi cân: x 0 t 0;x 1 t arcsin1

6 Sai lầm vì dùng công thức không có trong sách giáo khoa

*Một học sinh đã giải như sau:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 9 – x2; y = 0; x = 1; x = 4.

*Một học sinh đã giải như sau: diện tích hình phẳng cần tìm là

dx 1/

5 3

2 0

Ban đàu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải toán tích phân như

đã nêu ở trên Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn tỉ mỉ cách phân tích một bài toántích phân từ hàm số dưới dấu tích phân, cận của tích phân đẻ lựa chọn phương phápphù hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phảitrong quá trình suy luận, trong các bước tính tích phân rồi từ đó hướng các em đếnlời giải đúng

Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tậptích phân trong sách giáo khoa giải tích 12 và một số bài trong đề thi tốt nghiệp, đạihọc cao đẳng trong các năm thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lờigiải được một số lượng bài tập

2 Kết quả thực nghiệm

Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2013 - 2014

Bài kiểm tra trên hai đối tượng: Lớp 12A6 ( 27 hs) không áp dụng sáng kiến

và lớp 12A2 ( 39 hs) áp dụng sáng kiến như sau:

PHẦN III: KẾT LUẬN

Bài viết SKKN này của tôi nhằm cung cấp tới các thầy cô giáo và các emhọc sinh như một tài liệu tham khảo Với lượng kiến thức nhất định về nguyênhàm, tích phân và những kiến thức liên quan, học sinh sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn vềnhững sai lầm thường mắc phải khi giải toán Đồng thời, qua những sai lầm ấy mà

rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương pháp giải toán cho riêng mình; họcsinh có thể quay trở lại để kiểm chứng những lí thuyết đã được trang bị để làmtoán Từ đó thấy được sự lôgic của toán học nói chung và của nguyên hàm, tíchphân nói riêng.Nói riêng, với học sinh thì những kiến thức về nguyên hàm, tíchphân cũng là tương đối khó, nhất là đối với những em có lực học trung bình trởxuống Các em thường quen với việc vận dụng hơn là hiểu rõ bản chất của các kháiniệm, định nghĩa, định lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học Đó làchưa kể sách giáo khoa hiện nay đã giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừutượng và thậm chí mang tính hàn lâm ; những nội dung này học sinh sẽ được tiếpcận thêm khi có cơ hội học sâu hơn (chủ yếu ở bậc Đại học).

Ở cấp độ trường trung học phổ thông số 1 Mường Khương, SKKN có thể ápdụng để cải thiện phần nào chất lượng bộ môn, củng cố phương pháp giải toán, gópphần nâng cao chất lượng dạy và học ; giúp học sinh hiểu rõ hơn bản chất của cáckhái niệm, định nghĩa, định lí cũng như những kiến thức liên quan đã được học,giúp các em tránh khỏi lúng túng trước một bài toán đặt ra và không mắc phảinhững sai lầm thường gặp

Bản thân tôi là một giáo viên trực tiếp giảng dạy lớp 12 chưa nhiều năm songvới thực tế trên lớp tôi đã đi sâu nghiên cứu về lĩnh vực này Khi áp dụng SKKNnày vào giảng dạy tôi nhận thấy kết quả nhận biết của các em tăng lên rõ rệt, các

em không còn nỗi lo sợ khi làm toán tích phân mà ngược lại còn rất hứng thú đốivới loại toán này

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa giải tích 12 ( Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) –

2 Phương pháp giải toán Tích phân ( Trần Đức Huyên – Trần Chí Trung – NXB Giáo

dục)

3 Sách giáo khoa giải tích 12 Nâng cao ( Đoàn Quỳnh( Tổng chủ biên) – Nguyễn Huy

Đoan (Chủ biên) – Trần Phương Dung – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng)

4 Phương pháp giải toán Tích phân ( Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội –