SKKN ứng dụng phương pháp hàm số để giải một số lớp bài toán đại số

Để giải quyết các bài toán loại này thìhọc sinh ngoài việc phải nắm chắc kiến thức cơ bản và kĩ năng giải phươngtrình, hệ phương trình sinh còn phải nắm chắc các kiến thức về hàm số, về

PHẦN I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài.

Trong chương toán THPT các bài toán về phương trình, hệ phương trình

là những bài toán quen thuộc với học sinh, đặc biệt là các học sinh ôn thi Đạihọc, Cao đẳng và học sinh giỏi các cấp Để giải quyết các bài toán loại này thìhọc sinh ngoài việc phải nắm chắc kiến thức cơ bản và kĩ năng giải phươngtrình, hệ phương trình sinh còn phải nắm chắc các kiến thức về hàm số, về mốiquan hệ giữa phương trình, hệ phương trình và sự tương giao của đồ thị hàm số.Trong những năm gần đây thì bài toán giải phương trình, hệ phương trình có vậndụng phương pháp hàm số để giải quyết ngày càng xuất hiện càng nhiều trongcác đề thi Đại học và Cao đẳng thường gây cho học sinh nhiều khó khăn bởi lẽnếu sử dụng các phương pháp truyền thống như phương pháp thế, cộng đại sốthì rất khó khăn có thể giải quyết được bài toán, mà để giải quyết được được vấn

đề đó thì học sinh phải biết khai thác tốt các tính chất của hàm số sau đó sử dụngcác kiến thức của nó để giải quyết chúng thì sẽ đơn giản hơn nhiều và lời giải trởnên gọn gàng hơn, trong sáng hơn

Là giáo viên THPT và đang trực tiếp giảng dạy môn toán khối 11, khối 12

và ôn thi đại học,ôn thi học sinh giỏi khối 12 tôi thấy nhiều học sinh gặp rấtnhiều khó khăn khi giải dạng toán này Để phần nào giúp các em tìm ra đườnglối để giải quyết lớp các bài toán này trong quá trình luyện thi đại học tôi đưa ramột số kĩ thuật giải phương trình, hệ phương trình nhờ ứng dụng của hàm số

2 Mục đích nghiên cứu.

Trong những gần đây trong đề thi đại học cao đẳng, đề thi học sinh giỏicác cấp thì dạng toán giải phương trình, hệ phương trình xuất hiện khá nhiều,nhưng đa số học sinh của trường THPT số 1 Bảo Yên khi gặp bài toán giải bằngphương pháp hàm số các em còn gặp nhiều khó khăn và bỡ ngỡ Nên với việcnghiên cứu đề tài này tôi y vọng sẽ giúp các em phần nào giảm bớt được các khókhăn khi giải các bài toán dạng này

3 Đối tượng nghiên cứu.

Học sinh lớp 12A1, 11A1 và các lớp ôn thi đại học, ôn thi học sinh giỏikhối 11,12

4 Giới hạn phạm vi nội dung nghiên cứu.

Là các buổi ôn thi đại học cho học sinh khối11,12 và khi học song chươngkhảo sát và vẽ đồ thị hàm số năm học 2013 – 2014

5 Nhiệm vụ nghiên cứu.

Giúp học sinh biết vận dụng những ứng dụng của bài toán khảo sát hàm

số vào giải phương trình, hệ phương trình

6 Phương pháp nghiên cứu

Xây dựng hệ thống cơ sở lí luận dựa trên chương trình sách giáo khoa vàcác tài liệu liên quan và trao đổi với các đồng nghiệp Trên cơ sở đó xây dựng hệthống phương pháp giải toán

7 Thời gian nghiên cứu.

Năm học 2013 – 2014, trong các buổi ôn thi đại học cho học sinh lớp 12

và bồi dưỡng học sinh giỏi khối 11,12

PHẦN THỨ 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN

1 Nếu hàm số y f x( ) đơn điệu trên D thì phương trình f x( ) knếu có

nghiệm x x trên D thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình trên D. 0

2 Nếu hàm số f(x) có đạo hàm trên D và phương trình f’(x) = 0 có knghiệm phân biệt trên D thì phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất k + 1 nghiệmtrên D

3 Nếu hàm số f(x) có đạo hàm cấp 1, cấp 2, cấp k trên D mà đạo hàmcấp k vô nghiệm trên D thì phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất k + 1 nghiệmtrên D

4 Nếu hàm số yf x( ) đơn điệu trên D và u x v x( ), ( )là các hàm số nhậncác giá trị thuộc D thì f u x    f v x     u x  v x 

Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp hàm số.

Vấn đề quan trọng nhất khi sử dụng phương pháp hàm số là chúng ta phảinhận ra được hàm số đơn điệu và nhẩm được nghiệm của phương trình

Để phát hiện tính đơn điệu của hàm số chúng ta cần nắm vững các tính chấtsau:

2.1 Nếu hàm số y f x( ) xác định và có đạo hàm không đổi dấu trên Dthì f(x) đơn điệu trên D Cụ thể:

+) Nếu hàm số yf x( ) xác định trên D và f x '( ) 0 với mọi x D thìf(x) đồng biến trên D

+) Nếu hàm số yf x( ) xác định trên D và f x '( ) 0 với mọi x D thìf(x) nghịch biến trên D

2.2 Nếu f x'( ) 0 vô nghiệm trên D hoặc có toàn bộ các nghiệm kép trên

D thì f(x) đơn điệu trên D Khi đó, lấy x x bất kì trên D nếu 0

'( ) 0 '( ) 0

f x  f x  thì f(x) đồng biến ( nghịch biến trên D)

2.3 Nếu y f x( ) đồng biến ( nghịch biến) trên D thì

+) y n f x đồng biến ( nghịch biến) trên D( )

2.4 Tổng của các hàm số đồng biến ( nghịch biến) trên D là một hàm sốđồng biến (nghịch biến) trên D.

2.5 Tích của các hàm số dương đồng biến ( nghịch biến) trên D là mộthàm số đồng biến (nghịch biến) trên D

Ví dụ : từ tính chất đơn điệu của các hàm số sau: y x 3;y 3 x y;  2 x

nếu nắm được các tính chất trên ta có thể phát hiện được ngay các hàm số :

5 phương trình f(x) = m có nghiệm trên D khi và chỉ khi m thuộc tập giátrị của hàm số y = f(x) vợi x thuộc D và số nghiệm phương trình trên D là sốgiao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = m trên D

6 Xét bất phương trình f(x)  m với f(x) liên tục trên [a; b]

Khi đó: m = minf(x)  f(x)  maxf(x) = M

Nếu f(x) đồng biến trên [a; b] thì minf(x) = f(a); maxf(x) = f(b) với mọi xthuộc [a; b]

Nếu f(x) nghịch biến trên [a; b] thì minf(x) = f(b); maxf(x) = f(a) với mọi

x thuộc [a; b]

*) f(x)  m có nghiệm x thuộc D  m  maxf(x) với x thuộc D

*) f(x)  m vô nghiệm trên D  m > maxf(x) với mọi x thuộc D

*) f(x)  m có nghiệm x D  m  minf(x) với x D

*) f(x)  m có nghiệm x thuộc D  m  minf(x) với x thuộc D

*) f(x)  m vô nghiệm trên D  m  minf(x) với mọi x thuộc D

*) f(x)  m có nghiệm x D  m  maxf(x) với x D Trong một số trường hợp cụ thể thì có thể không lấy dấu bằng, hoặc hàm

số không có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên D điều đó còn phụ thuộc vào đặcđiểm của từng hàm số và miền nghiệm D

CHƯƠNG II THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

Bài toán khảo sát hàm số và các bài toán liên quan là một vấn đề khá quenthuộc với đa số học sinh phổ thông , nhưng để vận dụng nó vào giải phươngtrình, hệ phương trình thì đó là vấn đề khá mới mẻ với đa số học sinh Nên khigặp các bài toán giải phương trình, hệ phương trình có sử dụng phương pháphàm số làm cho học sinh rất bỡ ngỡ và rất xa lạ, từ đó gây cho học sinh cảm giáckhó khăn khi giải toán

Để tháo gỡ vấn đề này tôi sẽ xây dựng hệ thống bài tập có vân dụngphương pháp hàm số cho học sinh làm quen và từ đó hình thành kĩ năng giảiquyết bài toán

CHƯƠNG 3 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Một số bài toán về phương trình, hệ phương trình áp dụng giải pháp Vấn đề 1: Các bài toán giải phương trình và hệ phương trình :

Bài toán 1: Giải các phương trình sau:

Nếu |x| > 1 thì 3  2  1

2

Nếu |x| x 1 thì đặt xcos , 0; Khi đó (1) trở thành

Nhận xét: Trong bài toán trên ta cần chú ý quan sát đặc điểm của

phương trình ta biến đổi phương trình về dạng f(u) = f(v), sau đó ta xét tính đơn điệu của hàm số đặc trựng f(t) và tấy hàm số đơn điệu trên D và suy ra u = v và

ta có một lời giải thật đơn giản.

Bài toán 2: Giải các phương trình:

= 0 có tối đa 2 nghiệm.

Ta có g(0) = g(1) = 0 Vậy phương trình g(t) = 0 có 2 nghiệm t=0 và t = 1.Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 1 và x = 2

có thể thấy điều đó qua bài toán sau :

Bài toán 3 : Giải các phương trình :

Nên f(x) là hàm số đồng biến trên , mà f(0) = 1.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

Nhận xét: khi gặp phương trình f(x) = g(x) trong đó f , g có một hàm

đồng biến, một hàm nghịch biến thì cách giải thường dùng là nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất, tuy nhiên trong bài toán của ta

2

( )  1, ( ) 3 x

được, vì vậy ta chia 2 vế của phương trình cho x x2 1để đưa một vế là hằng số và vế còn lại là một hàm số mà ta có thể xét được tính đơn điệu của nó cũng là cách mà ta làm ở bài toán sau 2.

Bài toán 4: Giải các phương trình:

là hàm số nghịch biến, mà f(1) 1 nên phương trình (2) có nghiệm t = 1.

Do đó 3x   1 4 x1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Nhận xét : Đây là bài toán mà ta áp dụng thật đơn giản tính chất : hàm

số f(x)đơn điệu trên D thì phương trình f(x) = k có nghiệm duy nhất trên D, sau

đó ta tiến hành nhẩm nghiệm là lời giải xong rồi Thật đơn giản phải không ?

Bài toán 5 Giải các phương trình:

Ta có f x'( ) x sin ,x f x''( ) 1 cos  x0,  x 0; suy ra f’(x)

đồng biến trên 0; nên '( ) f x f '(0) 0,  x 0 do đó f(x) đồng biến trên

0; Mà f(0) =1.

Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình trên 0; và đó cũng là

nghiệm duy nhất của phương trình

b) Nếu n = 2 thì phương trình trở thành sin2xcos2x1 nên mọi

'( ) sin cos sin  2 cos  2 

2

f’(x) - 0 +

Nhận xét: Đây là bài toán khá phức tạp, nên khi giải chúng ta cần chú ý

chia trường hợp cẩn thận nếu không trong quá trình giải ta sẽ gặp khó khăn Đay là bài toán mà chúng ta cần phải biết lập bảng biến thiên của hàm số vafd

từ đó kết luận về nghiệm của phương trình

Bài toán 6: Tìm nghiệm dương của phương trình:

Vậy phương trình có nghiệm dương duy nhất x = 1.

Nhận xét: Khi bài toán mà xét dấu đạo hàm quá phức tạp ta có thể vậ

dụng các kiến thức sau để giải quyết bài toán: a b, cùng dấu thì a.b >0 và

a/b>0; a<0, b< 0 thì a+b < 0; a>0, b> 0 thì a+b >0.Với bài toán này chúng ta thấy rất hiệu quả phải không.

Bài toán 7 Giải phương trình: 27x2 6x2  4x1 9 x

Giải quyết bài toán.

Ta có 27x2 6x2 4x 1 9 x 33x2 2x 2(3x2 2 ) 1 0x

Xét hàm số ( ) 3f t  t 2t 1 0 liên tục trên R và có:

f t'( ) 3 ln3 2; '( ) 3 ln 3 0 t  f t  x 2 

Nên phương trình f(t) = 0 có tối đa 2 nghiệm trên R

Ta lại có f(1) = f(0) = 0 nên Phương trình f(t) = 0 có 2 nghiệm t=0 và t=1

Nhận xét : Trong bài toán này chúng ta vận dung kiến thức rất cơ bản đó

là nếu đạo hàm cấp n vô nghiệm trên D thì phương trình f(x) = k có không quá

n nghiệm trên D

Bài toán này ta thấy đạo hàm cấp hai không đổi dấu do đó đạo hàm cấp 1

có không quá một nghiệm trên D, do đó phương trình không có quá 2 nghiệm trên D, sau đó ta nhẩm hai nghiệm của phương trình là xong, thật là đơn giản

Bài toán 8 Giải phương trình : 3 3 2  

2ln 0 (1)2ln 0 (2)

g(x)

 

0

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình g(x) =0 có nghiệm duy nhất x =1

Nhận xét : Một bài toán mà lời giải khá phức tạp, với bài toán này ta tiến

hành giải bài toán bằng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn đưa phương

trình về hệ phương trình đối xứng loại 2 Trừ vế với vế của phương trình bao giờ ta cũng thu đượng phương trình dạng f(x) = f(y), với bài này ta suy ra x = y nhò tính đơn điệu của hàm đặc trưng khá đơn giản Tuy nhiên khi thế y = x vào phương trình chings ta lại nhận được một phương trình khá phức tạp, rõ rang g’(x) đổi dấu trên D, g’’(x) không đổi dấu trên D nghưng phương trình g(x) = 0

ở đay chỉ có một nghiệm Với bài này mà ta không lập bảng biến thiên để quan sát mà lại áp dụng cách làm của bài toán 7 thì không thể giải được

Bài toán 9: Giải phương trình: 3 x + 5 x = 6x + 2 (*)

Giải quyết bài toán :

f(x)

f '(x) x

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f(x) cắt trục hoành tới 2 lần nên phươngtrình đã cho có tối đa 2 nghiệm Ta thấy f(0) = f(1) = 0 dó đó phương trình có 2nghiệm x = 0 và x = 1

Nhận xét: Bài tập này ta áp dụng kĩ thuật giải của bài toán 7 thật đơn

giản phải không ?

Một số bài toán tương tự áp dụng giải pháp

Giải quyết bài toán.

Nhận xét: Đây là bài toán rất hay trong đề thi tuyển sinh đại học và cao

đẳng 2010 Nếu chúng ta không quan sát kĩ phương trình đầu tiên hoặc chúng

ta cố gắng bình phương hai vế của phương trình thì bài toán sẽ đi tới chỗ bế tắc Tuy nhiên khi ta quan sát kĩ và sử lí khéo léo ở phương trình (1) của hệ ta

có dạng f(u) = f(v) và ta ddaxddua hệ đã cho thành một hệ đơn giản hơn rất nhiều.Thế y bởi x vào phương trình thứ hai , tiến hành khảo sát hàm số ta thấy g’(x) > 0 do đó tnhẩm nghiệm là xong

Bài toán 11 Giải hệ phương trình: 32 32 ( )( 8)

Nên f(t) đồng biến trên R

Do đó phương trình (1) tương đương với x = y Thế vào phương trình (2)

ta có: 2x2  8 x2 x = y = 2; x = y = - 2

Vậy hệ có 2 nghiệm (x,y) = (2;2) và (x,y) =(-2;-2)

Nhận xét : Trong bài toán nãy ta cần quan sát ta thay số 8 ở phương

trình 1 bởi x2  y2 và ta có một hệ phương trình thật đơn giản

Bài 12 Giải hệ phương trình:

Ta có g(0) = 0 nên (4) có nghiệm duy nhất u = 0 suy ra v = 0 do đónghiệm của hệ đã cho là (x,y) =(1;1).

Nhận Xét :Trong bài toán này thì chúng ta cần biết quan sát và tiến hành

đổi biến trong các phương trình của hệ ta thu được một hệ phương trình đơn giản , tuy nhiên khi đánh giá dấu của đạo hàm ta khéo léo đưa từ bất phương trình mũ về bất phương trình logarit thì ta thấy có kết quả ngay, còn ngược lại chung ta sẽ gặp khá nhiều khó khăn khi xét dấu đạo hàm

Bài toán 13 Giải hệ phương trình:

Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (1;0)

Nhận xét : Đây là bài toán khá phức tạp chúng ta cần phải quan sát kĩ

các hệ số của phương trình, chúng thật đặc biệt, cần phải chế biến cho đẹp và

ta thu được dạng f(u) = f(v) tương tự như các bài toán trên Bài toán này khá giống đề thi đại học khối A - 2012

Bài toán 14 : Giải hệ phương trinh :

Giải quyết bài toán:

Thế x2  xy y 2 7 Từ phương trình (1) vào phương trình (2) ta cóphương trình

2x3  28y3 x3 y3  x3 3y3  x3y

Thế vào (1) ta có : 7y2  7 y1

Vậy hệ có hai nghiệm: (x,y) = (3;1); (x;y) = (-3;-1)

Bài toán 15: Giải hệ phương trình:

12

Giải quyết bài toán:

Ta có: x3 3x2  9x22y3+3y2  9y

 x 13 12(x 1) ( y1)3  12(y1) (3)

( Đề thi đại học khối A – 2013)

Giải quyết bài toán:

Xét hàm số g y( )y7 2y4 y 4 (y 0)

Ta có : g y'( ) 7 y68y3  1 0 (y 0)

Nên g(y) là hàm số đồng biến suy ra phương trình g(y) = 0 có nhiều nhất

1 nghiệm Ta lại có g(1) = 0

Vậy phương trình g(y) = 0 có nghiệm duy nhất y = 1 suy ra x = 2

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt (1;0) và (2;1)

Một số bài toán tương tự áp dụng giải pháp

= m (2)Khi đó phương trình (1) có nghiệm (2) có nghiệm thoả : 0  t  2

trên [0; 2]Xét hàm số f(t) =

, t[0; 2]  hàm số nghịch biến trên [0; 2]Vậy phương trình (1) có nghiệm  f( 2 mf( 0 )  2  1 m 1

Nhận xét : Trong bài toán này chúng ta cầ quan sát mối liên hệ giữa các

biểu thức của phương trình để tách độc lập tham số m sang một vế và cần phải biết đổi biến để ta chuển từ một bài toán có biểu thức phức tạp về một hàm số

có biểu thức đơn giản hơn Trong quá trình làm với bài toán đổi biến ta cần chú

ý tìm điều kiện chặt chẽ của biến mới Trong bài tập này chúng ta thấy lời giải trở nên khá đơn giản vì hàm số ta xét đã liên tục trên đoạn nên ta không cần lập

bảng biến thiên vẫn có thể kết luận được điều kiện của m

Bài toán 2: Tìm m để phương trình: 3 x 1 m x  1 2 4 x2  1 (1) cónghiệm

( Đề thi đại học khối A – 2007)

Giải quyết bài toán :



1 1

1 3

Vậy phương trình có nghiệm khi 1;1

3

m   

Nhận xét: Tương tự như bài tập trên chúng ta cũng tiến hành đổi biến và

tìm điều kiện chặt chẽ của biến mới và khảo sát hàm số f(t) Từ bảng biến thiên

ta quan sát rất đơn giản điều kiện để phương trình có nghiệm Tuy nhiên với bài toán này ta cũng có thể không lập bảng biến thiên giống như bài toán 1.

Bài toán 3: Chứng minh rằng với mọi m > 0 phương trình sau luôn có

hai nghiệm phân biệt : x2 + 2x – 8 = m x ( 2) (1) ( Đề thi đại học khối B – 2007)

Giải quyết bài toán :

Điều kiện: x  2

(1)  (x – 2)( x3 + 6x2 – 32 – m) = 0  3 2 2

Dựa vào bảng biến thiên ta có : m > 0 Phương trình (*) có nghiệm trongkhoảng (2; +)

Vậy m > 0 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Nhận xét:Với bài toán này chúng ta cần biết phương pháp giải phương

trình vô tỷ với phương pháp bình phương hai vế và biết đưa phương trình về dạng tích, nhiều học sinh mắc sai lầm khi chia cả hai vế của phương trình cho x