phần i phần mở đầu I.Tính cấp thiết đề tµi: Trong thực tế giảng dạy lớp 12 tốn viết phương trình tiếp tuyến với đường cong toán bản, thường xuyên xuất đề thi tốt nghiệp, cao đẳng đại học hàng năm Vì giáo viên dạy Tốn THPT nhiều năm dạy ơn luyện học sinh lớp 12 tơi có lao động sáng tạo nhỏ hệ thống lại toán viết phương trình tiếp tuyến với đường đồ thị hàm số điểm, đưa phương pháp giải đồng thời số sai lầm mà học sinh hay mắc phải em chưa có nhiều tập để rèn luyện kĩ phân tích trình bày tốn Các em học sinh chưa có phương pháp khái quát toán thường gặp viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Chính vậy, tơi tìm hiểu viết sáng kiến kinh nghiệm: “Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm ” nhằm giúp em học sinh nắm kiến thức tốn viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, để em có chuẩn bị tốt cho kỳ thi tốt nghiệp THPT k thi i hc, cao ng II Tình hình nghiên cøu: Bằng phương pháp nghiên cứu lí luận, quan sát v tng kt kinh nghim số kết nghiên cứu ban đầu để thấy rõ đợc kết luyện tập học sinh III Mục đích nhiệm vụ s¸ng kiÕn: Bằng phương pháp nghiên cứu lí luận áp dụng vào thực tiễn giảng dạy Để giúp học sinh vận dụng lí thuyết vào tập Đưa tốn khó tốn thường gặp IV ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI: Häc sinh líp 12A2 - Trờng THPT số Bảo Yên Thời gian nghiên cứu: Trong năm học 2013 - 2014 PHN II TểM TT LÝ THUYẾT 1.Tiếp tuyến đường cong phẳng Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (C): y = f(x) M(x ; f (x )) ∈ (C ) kí hiệu M’(x; f(x)) điểm di chuyển ( C) y M, f(x) M f (x ) O T x0 x x Đường thẳng MM’ cát tuyến ( C) Khi x →x M’(x; f(x)) di chuyển ( C) tới M(x ; f (x )) ngược lại Giả sử MM’ có vị trí giới hạn, kí hiệu MT MT gọi tiếp tuyến ( C) M Điểm M gọi tiếp điểm Định lý: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến tại M(x ;y ) ∈ (C ) có dạng: y=f’(x ).( x -x ) + y Với: f’(x ) hệ số góc tiếp tuyến y = f (x ) Chú ý: Dạng bài: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm M o ( xo ; yo ) ∈ (C ) Phương pháp giải: - Tính f ' ( x) - Tính hệ số góc tiếp tuyến k = f ' ( xo ) - Phương trình tiếp tuyến với độ (C) điểm M o ( xo ; yo ) là: y − yo = f ' ( xo )( x − xo ) PHẦN III BÀI TẬP ÁP DỤNG A CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN Bài tập Cho hàm số y = f ( x) = x + x − 15 x + 12 có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm A(2; - 2)∈(C) Giải f ' ( x) = 3x + x − 15 ⇒ f ' (2) = Phương trình tiếp tuyến với (C) A có dạng: y + = 5( x − 2) ⇒ y = x − 12 Bài tập Cho hàm số: y = x + x + (C ) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có tung độ Giải Gọi xo hồnh độ tiếp điểm ⇒ ta có = x0 + x0 + ⇔ xo = ±1 4 7  +Với xo = ⇒ f ' (1) = ⇒ phương trình tiếp tuyến M  − 1;  là:  y− 4 = 2( x − 1) ⇔ y = x − 4 7  +Với xo = −1 ⇒ f ' (−1) = −2 ⇒ phương trình tiếp tuyến M  − 1;  là:  y− 4 = −2( x + 1) ⇔ y = −2 x − 4 Nhận xét 1: Bài tập cho hồnh độ tung độ viết phương trình tiếp tuyến tương đối đơn giản, học sinh cần tính đạo hàm tìm hệ số góc tiếp tuyến, Đến tập độ khó tăng nên đầu cho tung độ cần hướng dẫn học sinh tìm hồnh độ quay tập 1,ngồi tập cịn cho biết hồnh độ phải tìm tung viết phương trình tiếp tuyến cụ thể sau(( Cho hàm số: y = x + x + (C ) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có hồnh độ -2 )) Các tập tương tự Bài tập 3: Cho hàm số y = 2x +1 có đồ thị (C) Gọi M điểm thuộc (C) có tung độ x −1 Tiếp tuyến (C) M cắt trục tọa độ Ox Oy A B Tính diện tích tam giác OAB ÐỀ CAO ĐẲNG NĂM 2013 Giải Hoành độ tiếp điểm nghiệm 2x +1 =5 ⇔ x = x −1 Phương trình tiếp tuyến : y – = y’(2)(x – 2) ⇔ y = -3x + 11 Tiếp tuyến (C) M cắt trục tọa độ Ox Oy A B A (0; 11); B( 11 121 ; 0); S∆OAB = OA.OB = (đvdt) 2 Cho hàm số y = f ( x) = x − 3x + có đồ thị (C) Viết PTTT đồ thị (C ) điểm có hồnh độ nghiệm phương trình f’’(x) = Cho hàm số y = f(x) = -x3 + 3x2 + 9x + có đồ thị (C) Viết PTTT đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hồnh độ tiếp điểm x0 nghiệm phương trình f’’(x0) =-6 Cho hàm số y = f(x) = 2x −1 có đồ thị (C) Viết PTTT đồ thị (C) điểm x+3 có hồnh độ x0 nghiệm phương trình f’(x0) = Bài tập Cho hàm số y = x+3 x −1 có đồ thị (C) Cho M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) , tiếp tuyến M cắt tiện cận đồ thị hàm số (C) hai điểm A, B Chứng minh M trung điểm AB M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) ⇒ yo = x0 + , x0 − Giải y' = −4 −4 ⇒ k= , ( x − 1) ( x0 − 1) tiếp tuyến M có dạng (d) : x0 + x02 + x0 − −4 −4 −4 y= ( x − x0 ) + y0 ⇔ y = ( x − x0 ) + ⇔y= x+ ( x0 − 1) ( x0 − 1) x0 − ( x0 − 1) ( x0 − 1) Gọi A giao điểm tiếp tuyến (d) tiệm cận đứng x = suy tọa độ điểm A nghiệm hệ :  x02 + x0 − −4 x = x + x +7 y =  2 ) ( x0 − 1) ( x0 − 1) ⇔  x0 + ⇒ A (1,  y = x − x =  x0 −   Gọi B giao điểm tiếp tuyến tiệm cận ngang y = , suy tọa độ B nghiệm hệ :  x02 + x0 − −4 y = x +  x = x0 −  ⇒ B (2 x0 − 1,1) ( x0 − 1) ( x0 − 1) ⇔   y =  y =1   x A + xB + x0 − = x0 = xM  =  x −7 ⇒ M trung diem AB (đpcm) Nhận xét :  1+  y A + yB x0 − x0 + = = = yM  x0 −  Nhận xét 2: Đây tập phải tính tốn tương đối phức tạp, ta phải giải x +3 tích điểm M thuộc đồ thị (C) nghĩa M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) ⇒ yo = x − Phương trình tiếp tuyến viết theo điểm M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) Xác định tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị, sau tìm giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận cách giải hệ phương trình tìm tọa độ điểm A, B Bài tập Cho hàm số y = 2x x +1 có đồ thị (C) Tìm điểm M ∈ (C ) cho tiếp tuyến đồ thị hàm số M cắt hai trục tọa độ A, B cho tam giác OAB có diện tích (ĐH 2007 khối D) Giải M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) → y0 = x0 , x0 + y'= ( x + 1) Tiếp tuyến M có dạng : x0 x02 2 y = y '( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇔ y = ( x − x0 ) + ⇔y= x+ (d ) ( x0 + 1) x0 + ( x0 + 1) ( x0 + 1) Gọi A = (d ) ∩ Ox ⇒ tọa độ điểm A nghiệm hệ :  x02 x +  x = − x02 y = 2 ⇔ ⇒ A(− x02 , 0) ( x + 1) ( x + 1)   0 y = y =  Gọi B = (d ) ∩ Oy ⇒ tọa độ điểm B nghiệm hệ :  x02 y = x +  x = x02 x02  2 ⇔ ⇒ B (0, ) ( x + 1) ( x + 1)   0 2 y = ( x + 1) ( x + 1)  0 x =  2 Tam giác OAB vuông O ; OA = − x0 = x0 ; OB = x02 x02 = ( x0 + 1) ( x0 + 1) Diện tích tam giác OAB : S = OA.OB = 2 x04 = ⇔ x04 = ( x0 + 1) 2 ( x0 + 1)   x02 = x0 +  x02 − x0 − = x0 = − ⇒ y0 = −2  ⇔ ⇔ ⇔   x0 = − x0 −  x0 + 1x0 + (vn)  x0 = ⇒ y0 = 1 Vậy tìm hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán : M (− ; −2) ; M (1,1) Nhận xét 3: Đây tập phải tính tốn tương đối phức tạp cách giải tương tự tập 4, sau tìm tọa độ điểm A, B phải nhận xét tam giác OAB có đặc điểm để tính diện tích cách nhanh Cụ thể tam giác OAB tam giác vng O OA.OB Bài tập Cho hàm số y = x3 − 3x + có đồ thị (C), điểm A( x0 , y0 ) ∈ (C) , tiếp diện tích tam giác OAB S = tuyến đồ thị (C) điểm A cắt (C) điểm B khác điểm A Tìm hồnh độ điểm B theo x0 Giải A ( x , y ) ∈ Điểm (C) ⇒ y0 = x03 − 3x0 + , y ' = 3x − ⇒ y ' ( x0 ) = 3x02 − 0 Tiếp tuyến đồ thị hàm có dạng : y = y ' ( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇔ y = (3x02 − 3)( x − x0 ) + x03 − 3x0 + ⇔ y = (3x02 − 3)( x − x0 ) − x03 + (d ) phương trình hồnh độ giao điểm (d) (C) : x − 3x + = (3x02 − 3)( x − x0 ) − x03 + ⇔ x − 3x02 x + x03 = ⇔ ( x − x0 ) ( x + x0 ) = ( x − x0 ) =  x = x0 ⇔ ⇔ ( x0 ≠ x) x = − x x + x = 0   Vậy điểm B có hồnh độ xB = −2 x0 Nhận xét 4: Đây tập thuộc dạng quen thuộc A( x0 , y0 ) ∈ (C) ⇒ y0 = x03 − 3x0 + ta làm theo bước thơng thường - Tính f ' ( x) - Tính hệ số góc tiếp tuyến k = f ' ( xo ) - Phương trình tiếp tuyến với độ (C) điểm M o ( xo ; yo ) là: y − yo = f ' ( xo )( x − xo ) Tìm giao điểm tiếp tuyến đồ thị ta hoành độ điểm B, ý hoành độ điểm A phải khác hoành độ điểm B 2x − Bài tập Cho hàm số y = có đồ thị (C) x +1 Gọi M điểm đồ thị (C), tiếp tuyến M cắt tiệm cận (C) A, B Chưng minh diện tích tam giác ABI (I giao hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí M Giải  2a −  Gọi M  a; ÷∈ ( C ) a ≠ −1  a +1  Tiếp tuyến M có phương trình: y = 2a − ( x − a) + a +1 ( a + 1) 2a − 10   Giao điểm với tiệm cận đứng x = −1 A  −1; ÷ a +1   Giao điểm với tiệm cận ngang y = B ( 2a + 1;2 ) Giao hai tiệm cận I(-1; 2) 12 1 IA = ; IB = ( a + 1) ⇒ S IAB = IA AB = 24 = 12 ( dvdt ) a +1 2 Suy đpcm Bài tập Cho hàm số y = 2x − có đồ thị (C) x −1 Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M thuộc đồ thị, biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến Giải *Tiếp tuyến (C) điểm M (x0 ; f (x0 )) ∈ (C ) có phương trình y = f '(x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) Hay x + (x0 − 1)2 y − 2x0 + 2x0 − = (*) *Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*) ⇔ − 2x0 + (x0 − 1) = giải nghiệm x0 = x0 = *Các tiếp tuyến cần tìm : x + y − = x + y − = 2x − có đồ thị (C) x +1 Tìm tọa độ điểm M cho khoảng cách từ I (−1; 2) tới tiếp tuyến (C) M Bài tập Cho hàm số y = lớn Giải  Gọi M  x0 ; −    ∈ (C ) Thì phương trình tiếp tuyến M đồ thị x0 +  3 = ( x − x0 ) hay 3( x − x0 ) − ( x0 + 1) ( y − 2) − 3( x0 + 1) = x0 + ( x0 + 1) Khoảng cách từ I (−1;2) tới tiếp tuyến là: 3(−1 − x0 ) − 3( x0 + 1) x0 + d= = = 4 + ( x0 + 1) + ( x0 + 1) + ( x0 + 1) 2 ( x0 + 1) + ( x0 + 1) ≥ = , Theo bất đẳng thức Cơsi ta có: ( x0 + 1) y−2+ Vậy d ≤ Khoảng cách d lớn = ( x0 + 1) ⇔ ( x0 + 1) = ⇔ x0 = −1 ± ( x0 + 1) Có hai điểm M thỏa mãn M : M ( − + ;2 − ) hc M ( − − ;2 + ) Nhận xét 5: Bài tập mở rộng tập 8,chỉ khác chỗ tập sau tính khoảng cách từ điểm tới đường thẳng phải lập luận cho khoảng cách từ I (−1; 2) tới tiếp tuyến (C) M lớn Cách 1: sử dụng bất đẳng thức Côsi Cách 2: sử dụng đạo hàm cách đặt ẩn phụ sau d= 3(−1 − x0 ) − 3( x0 + 1) + ( x0 + 1) = x0 + + ( x0 + 1) = ( x0 + 1) + ( x0 + 1) ( x0 + 1) d= + ( x0 + 1) Đặt t = (x0 + 1)2, với t ≥ Ta xét hàm số f (t ) = t [ 0; +∞ ) + t2 Tính đạo hàm kẻ bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên kết cần tìm B CÁC BÀI TẬP MỞ RỘNG: Bài tốn 1: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) số k ∈ ¡ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) có hệ số góc k Bài tập 10: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x −1 (C) có hệ số x +1 góc Giải x = ( x + x + 1) = ⇔ x + x = ⇔  = => ( x + 1)  x = −2 Có toạ độ tiếp điểm (0; −1), ( −2;3) Hai phương trình tiếp tuyến: y = 3x − y = 3x + −x + Bài tập 11 Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) : y = biết tiếp tuyến song 2x + y'= 2 song với d : y = −7 x − Ta có −7 ( x0 + 1) Giải x=0 = −7 ⇔ = ⇒  ( x0 + 1)  x = −1 Có hai phương trình tiếp tuyến y = −7 x + 3, y = −7 x − Bài tập 12 Cho hàm số y=x − x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng ∆ : x − y − = Giải Đường thẳng ∆ có hệ số góc k∆ = Vì tiếp tuyến d cần tìm vng góc với đường thẳng ∆ nên hệ số góc tiếp tuyến cần tìm kd = − Hồnh độ tiếp điểm tiếp tuyến nghiệm phương trình :  x1 =  5 y ' = − ⇔ x − x = − ⇔ x − 18 x + = ⇔  3 x =  Thay x1 , x2 vào phương trình tiếp tuyến tổng quát, ta tiếp 61 31 tuyến là: y = − x + y = − x − 7 Nhận xét 6: Các tập 10, 11, 12 ta nhận thấy có chung cách làm toán Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) số k ∈ ¡ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) có hệ số góc k Cách làm -Tìm hồnh độ tiếp điểm f’(x ) hệ số góc tiếp tuyến y = f (x ) - Tìm tung độ tiếp tuyến viết phương trình tiếp tuyến cho hệ số góc - Chú ý: mối quan hệ hai đường thẳng y = a1x + b1 y = a2x + b2 Hai đường thẳng song song với a1 = a2 b1 khác b2 Hai đường thẳng vuông góc với a1 a2 = -1 Bài tốn Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) điểm A ( a; b ) cho trước Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C) 10 Bài tập 13 Cho hàm số y = x3 − 3x + Viết phương trình tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm A( 23 ; −2) Giải Đường thẳng d qua điểm A có hệ số góc k có dạng 23   y = k  x − ÷− (*)   Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) hệ sau có nghiệm  23   23    2  x − x + = k  x − ÷−  x − 3x + = (3 x − x)  x − ÷−   ⇔    2 3 x − x = k 3 x − x = k    x = k =     x = ⇔  ⇔ k = −    x = k =   3 x − x = k Thay k vào (*), ta phương trình tiếp tuyến 61 d1 : y = −2, d : y = − x + d3 : y = x − 25 27 3 (C ) ViÕt pttt cđa (C) ®i qua A(0; ) Bài tập 14 Cho hµm sè y = x − 3x + 2 Giải Phơng trình đờng thẳng qua A(0; ) có dạng: y = kx + (d ) Đờng thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C) hệ sau: 3 1  x − x + = kx + 2 cã nghiÖm 2 2 x − x = k  x =  Suy 3x − x = ⇔  x = x = −  +) Víi x = ⇒ k = Pttt lµ: y = +) Víi x = ⇒ k = −2 Pttt lµ: y = −2 x + 11 +) Víi x= - ⇒ k = 2 Pttt lµ: y = 2 x + KÕt luËn: VËy có ba tiếp tuyến kẻ từ A(0; ) đến đến thÞ (C) y= y = −2 x + y = −2 x + Nhận xét 7: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) điểm A ( a; b ) cho trước Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) qua điểm A Cách giải Đường thẳng d qua điểm A có hệ số góc k có dạng y = k ( x − a ) + b (*) Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) hệ sau có nghiệm  f ( x) = k ( x − a) + b  /  f ( x) = k Giải hệ phương trình ta tìm k, thay k vào y = k ( x − a ) + b (*) 12 Bài toán Áp dụng phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm vào chứng minh bất đẳng thức a + b + c = a b c Chứng minh rằng: + + ≤ a + b + c + 10 Bài tập 14 Cho a, b, c ≥ − Giải • Bất đẳng thức có dạng nhất, đối xứng biến • Bất đẳng thức cho có dạng f (a) + f (b) + f (c) ≤ M • Xét hàm số f (x) = x   x ∈  − ;3 ta có với   x2 +1 f ′(x) = 1− x2 (x + 1)2 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm có hồnh độ x = y= 18 x+ 25 50 Ta chứng minh : 18   x+ ∀x ∈  − ;3 25 50     Thật : ∀x ∈  − ;3 xét   f ( x) ≤ f ( x) − ( 18 −(3 x − 1) (4 x + 3) x+ )= ≤ 25 50 50( x + 1) Do với a,b,c thuộc    − ;3 a+b+c = ta có : a 18 b 18 c 18 ≤ a + , f (b) = ≤ b + , f (c ) = ≤ c + a + 25 50 b + 25 50 c + 25 50 a b c 18 18 9 ⇒ + + ≤ (a + b + c) + = + = a + b + c + 25 50 25 50 10 Bất đẳng thức chứng minh f (a) = Bài tập 15 Cho a, b, c > Chứng minh rằng: (2a + b + c)2 (2b + c + a) (2c + a + b) + + ≤8 2a + (b + c)2 2b2 + (c + a) 2c + (a + b)2 Giải • Bất đẳng thức có dạng ,đối xứng biến • Bất đẳng thức cho chưa có dạng f (a) + f (b) + f (c) ≤ M Ta biến đổi sau : Do vai trị a, b, c bình đẳng nên đặt a + b + c = 13 dự đoán đẳng thức xảy a = b = c = BĐT cho trở thành (a + 3)2 (b + 3) (c + 3) + + ≤8 2a + (3 − a) 2b + (3 − b) 2c + (3 − c) • Bất đẳng thức có dạng f (a) + f (b) + f (c) ≤ M x + 6x + Xét hàm số y = f (x) = với x ∈ (0; 3) 3x − 6x + −4(2x + 3x − 9) ′ f (x) = 3(x − 2x + 3) 4 Tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = là: y = x + 3  3x + 6x + 4 −(4x + 3)(x − 1) 4 − x− = < 0, ∀x ∈ (0;3) Xét f (x) −  x + ÷ =  3x − 6x + 3 3(x − 2x + 3) 3 Từ ta có: Vậy (a + 3)2 4 (b + 3) 4 (c + 3) 4 ≤ a + , ≤ b + , ≤ c+ 2 2 2 3 2b + (3 − b) 3 2c + (3 − c) 3 2a + (3 − a) (a + 3)2 (b + 3) (c + 3) 4 + + ≤ (a + b + c) + = + = đpcm 2 2 2 3 2a + (3 − a) 2b + (3 − b) 2c + (3 − c) Nhận xét 8: Bài tập 14, 15 dạng tập chứng minh bất đẳng thức dựa vào phương trình tiếp tuyến ta tổng quát thành bước làm sau: Bước 1: Chọn điểm rơi bất đẳng thức đầu cho 14, vai trò biến bình đẳng nên đặt a + b + c = dự đoán đẳng thức xảy a = b = c = 15 Bước 2: Bất đẳng thức cho chưa có dạng f (a) + f (b) + f (c) + ≤ M Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến hàm số y = f (x) điểm rơi, chứng minh bất đẳng thức Bài tập tương tự Cho a, b, c số thực dương thỏa điều kiện a + b2 + c2 = CMR: a b c 3 + 2+ ≥ 2 b +c c +a a +b 14 Cho a, b, c số thực thỏa điều kiện : a + b + c = Chứng minh : 1 b c  a + + ≥ + + c÷  a b 3a 3b 3c 3 3  Cho x,y,z > x + y + z ≤ 1 x + + y + + z + ≥ 82 Chứng minh : x y z 4.Chứng minh : a(b + c) ( b + c )2 + a + b(c + a) (c + a)2 + b2 + c( a + b ) (a + b)2 + c2 ≤ 15 PHẦN IV THỜI GIAN VÀ HIỆU QUẢ ÁP DỤNG Kết luận Học xong chương trình lớp 11 học sinh viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm, phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc Đến lớp 12 học sinh học viết phương trình tiếp tuyến qua điểm Đa số học sinh chưa phân biệt hay nói cách khác cịn nhầm lẫn dạng phương trình tiếp tuyến với Học sinh thường hay nhầm lẫn mặc định điểm M (x0; y0) thuộc đồ thị tiếp tuyến điểm Sau hướng dẫn em phân chia loại phương trình tiếp tuyến đa số em khơng cịn nhầm lẫn phân biệt trình bày làm tốt kể phương trình tiếp tuyến đề thi đại học đề thi thử đại học Thời gian áp dụng: Học kì I năm học 201 3- 2014 Phạm vi: Lớp 12A2 Kết trước áp dụng: Giái Líp SÜ sè 12A2 38 Kh¸ SL % SL 2,6% % Trung b×nh Ỹu SL % SL % 25% 25 61,9 % 10,5% Kết sau áp dụng: Giỏi Lớp Sĩ số 12A2 38 Khá Trung bình Yếu SL % SL % 32% 5,2% SL % SL % 10 26% 14 36,8% 12 16 PHẦN V TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa giải tích 12 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12 Bài tập giải tích 12 Bài tập giải tích nâng cao 12 Các đề thi ĐH - CĐ đề dự bị môn toán BGD& ĐT PHẦN VI PHỤ LỤC TT Nội dung Trang bìa Phần I Mở đầu Phần II Tóm tắt lí thuyết Phần III Bài tập Phần IV Thời gian áp dụng hiệu Phần V.Tài liệu tham khảo Phần VI Phụ lục Trang 4- 15 16 17 17 KẾT LUẬN CỦA HỘI ĐỒNG THẨM ĐỊNH …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 17 …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 18 ... xong chương trình lớp 11 học sinh viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm, phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc Đến lớp 12 học sinh học viết phương trình tiếp tuyến qua điểm Đa số học sinh... toán Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) điểm A ( a; b ) cho trước Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C) 10 Bài tập 13 Cho hàm số y = x3 − 3x + Viết phương trình tiếp tuyến. .. Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) có hệ số góc k Cách làm -Tìm hồnh độ tiếp điểm f’(x ) hệ số góc tiếp tuyến y = f (x ) - Tìm tung độ tiếp tuyến viết phương trình tiếp tuyến cho hệ số góc