Cơ sở lý luận của vấn đề Khi giải một bài toán về chứng minh quan hệ song song trong không gian ngoài yêu cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả thuyết bài toán, vẽ hình đúng ta còn phải chú
Trang 12.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 3
Trang
Trang 21 ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất ngại học môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu tính thực tế khách quan Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập hình học không gian Qua nhiều năm giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy toán học nói chung và môn hình học không gian nói riêng
Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hoá các kiến thức và tổng hợp thành
một kinh nghiệm: “Phương pháp giải một số dạng toán về quan hệ song song trong không gian”
2 GIẢI QUYÊT VẤN ĐỀ
2.1 Cơ sở lý luận của vấn đề
Khi giải một bài toán về chứng minh quan hệ song song trong không gian ngoài yêu cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả thuyết bài toán, vẽ hình đúng ta còn phải chú ý đến nhiều yếu tố khác như: Có cần xác định thêm các yếu tố khác trên hình
vẽ hay không? Hình vẽ như thế có tốt chưa? Có thể hiện được hết các yêu cầu của
đề bài hay chưa? Để giải quyết vấn đề này ta phải bắt đầu từ đâu? Nội dung kiến thức nào liên quan đến vấn đề được đặt ra, trình bày nó như thế nào cho chính xác
và lôgic… có được như thế mới giúp chúng ta giải quyết được nhiều bài toán mà không gặp phải khó khăn Ngoài ra chúng ta còn nắm vững hệ thống lý thuyết, phương pháp chứng minh cho từng dạng toán như: tìm giao tuyến của hai mặt
Trang 3hàng, chứng minh 3 đường thẳng đồng quy, chứng minh hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song
2.2 Thực trạng của vấn đề
Khi gặp các bài toán liên quan đến việc chứng minh quan hệ song song trong không gian đa học sinh số chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng khi làm bài tập Trong khi đó bài toán liên quan đến chứng minh quan hệ song song trong không gian có rất nhiều dạng bài tập khác nhau, nhưng chương trình hình học lớp 11 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho việc làm bài tập các dạng bài toán này là rất ít Qua việc quá trình giảng dạy và việc khảo sát kiểm tra định kỳ nhận thấy nhiều học sinh thường lúng túng hoặc trình bày cách không chính xác hoặc có học sinh còn không làm được bài tập liên quan đến việc chứng minh quan hệ song song trong không gian
2.3 Các biện pháp để tiến hành giải quyết vấn đề
I Dạng toán 1: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng
Trước tiên giáo viên cần cho học sinh nắm được phương pháp làm bài toán này
- Trong cách này giáo viên cần rèn cho học sinh kĩ năng tìm điểm chung của và
cụ thể: Chọn lấy đường thẳng a và đường thẳng b sao cho a và b cùng nằm trên mặt phẳng thứ 3
+) Cách 2: Tìm 1 điểm chung và dựa vào một trong các kết quả sau:
Trang 4Hệ quả (SGK – trang 57): Nếu
/ /
/ / / /( )
( )
a b
a b a
a b
* Nhận xét: Trong 2 cách trên giáo viên cần chú ý cho học sinh thông thường nếu
phát hiện được 2 điểm chung trên hình vẽ thì dùng cách 1, còn nếu chỉ phát hiện 1 điểm chung thì nên suy nghĩ theo cách 2
- Với câu a): Giáo viên có thể đặt ra các câu hỏi để học sinh phát hiện:
Câu hỏi: Dựa vào hình vẽ ta xác định được những điểm
chung nào của 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD)? Vì sao?
Với câu hỏi này học sinh dễ dàng phát hiện ra điểm chung
thứ nhất là S
Trang 5F A
D
E S
- Với câu b) tương tự cách làm câu a)
Học sinh có thể phát hiện ra ngay giao tuyến là SF,
nhưng với câu b) giáo viên cần yêu cầu học sinh tự mình
Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành H, K lần lượt là
trung điểm của BC và CD, M là điểm bất kỳ thuộc SA Xác định giao tuyến của (MHK) và (SAD)
Hướng dẫn giải
- Với VD1 học sinh dễ dàng xác định được 2 điểm chung nhưng với ví dụ 2 để xác định được điểm chung thứ 2 học sinh cần linh hoạt vận dụng phương pháp
Giáo viên có thể đưa ra một số câu hỏi
Câu hỏi 1: (MHK) và (SAD) có điểm chung
thứ nhất là điểm nào?
Với câu hỏi này học sinh dựa và hình vẽ thấy
S = (MHK) (SAD)
Câu hỏi 2: Để tìm điểm chung thứ 2 ta chọn 2
đường thẳng nào lần lượt thuộc (MHK), (SAD)
Trang 6Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi Gọi O là giao điểm
hai đường chéo AC và BD Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
đi qua O, song song với AB và SC
* Nhận xét: GV cần cho học sinh hiểu rõ các điều kiện của và cần xác định giao tuyến của với các mặt của hình chóp Khi làm bài học sinh sẽ lúng túng không biết xác định giao tuyến với mp nào trước Khi đó giáo viên cần chỉ cho học sinh nên ưu tiên với những mp chứa điểm đi qua và chứa đường thẳng mà
song song
* Hướng dẫn
Giáo viên có thể đưa ra các câu hỏi để gợi ý học sinh
Câu hỏi 1: Xác định giao tuyến với mp nào trước?
+ Xác định giao tuyến của với mp (ABCD)
Câu hỏi 2: mặt phẳng và (ABCD) có những điểm
chung nào?
Câu hỏi 3: Xác định giao tuyến của với (ABCD) ta
làm thế nào? Vì sao?
Thấy O = ABCD
Trang 7Theo Định lý 2 (SGK – 61) có giao tuyến của và
(ABCD) phải song song với AB
Từ O kẻ đường thẳng d // AB, d BC = N, d AD = M
+ Xác định giao tuyến của với (SBC)
Câu hỏi 4: Xác định được mấy điểm chung và đó là
điểm nào?
Câu hỏi 5: (SBC) và có quan hệ gì?
Câu hỏi 6: Xác định giao tuyến của và (SBC) bằng
giao tuyến của và (SBC)
phải song song với SC
Từ N kẻ d’ // SC cắt SB tại P Vậy (SBC) = d’ hay đoạn giao tuyến là NP + Xác định (SAB)
Câu hỏi 7: Xác định được mấy điểm chung và đó là
điểm nào?
Câu hỏi 8: (SAB) và có quan hệ gì?
Câu hỏi 9: Xác định giao tuyến của và (SAB) bằng cách nào?
Trang 8Từ P kẻ d’’// AB cắt SA tại Q Vậy d’’ = (SAB) hay đoạn giao tuyến là PQ
+ Xác định (SAD)
Câu hỏi 10: và (SAD) có mấy điểm chung và đó là
những điểm nào?
Câu hỏi 11: (SAD) là đoạn giao tuyến nào?
Thấy M = (SAD) và Q = (SAD)
Vậy (SAD) theo đoạn giao tuyến là MQ
Câu hỏi 12: Xác định thiết diện?
Thiết diện là hình thang MNPQ
I.3 Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC lần lượt lấy các điểm M,N sao cho
MN không // BC,trong tam giác BCD lấy điểm I Tìm các giao tuyến sau:
a) (MNI)(ABC) b) (MNI)(BCD)
c) (MNI)(ABD) d) (MNI)(ACD)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang.Tìm các giao tuyến
sau: a) (SAC)(SBD) b) (SAB)(SCD) c) (SAD)(SBC
Bài 3: Cho tứ diện ABCD.Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm M,N Tìm
các giao tuyến sau: a) (BMN)(ACD) b) (CMN)(ABD) c) (DMN)(ABC)
Bài 4: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB lấy điểm I, trong 2 tam giác BCD và
ACD lần lượt lấy 2 điểm J,K.Tìm các giao tuyến sau:
a) (ABJ)(ACD) b) (IJK)(ACD)
c) (IJK)(ABD) d) (IJK)(ABC)
Bài 5: Cho tứ diện ABCD.Gọi I, J là trung điểm của AD và BC
a)Chứng minh rằng IB và JA là 2 đường thẳng chéo nhau
b)Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) (JAD)
Trang 9c)Gọi M là điểmnằm trên đoạn AB;N là điểm nằm trên đoạn AC Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) (DMN)
II Dạng toán 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và
II.1 Phương pháp: Để tìm giao điểm của d và ta có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Chọn mặt phẳng chứa d (Nên chọn mặt phẳng sao cho dễ tìm giao tuyến với )
Trang 10Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB Gọi I, J
lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là một điểm tùy ý thuộc đoạn SD
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp (SBC)
c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM)
Câu hỏi 2: Xác định giao tuyến của (SBD) và (SAC)?
Với bước này học sẽ xác định được 2 điểm chung của
(SAC) và (SBD)
Dễ thấy S = (SAC) (SBD)
Gọi O = AC BD Khi đó O = (SAC) (SBD)
Vậy SO = (SAC) (SBD)
Câu hỏi 3: Xác định giao điểm E của SO và BM?
Câu hỏi 4: Chứng minh E = BM (SAC)?
Với bước này học sinh sẽ xác định được ngay điểm E vì SO và BM cùng thuộc mp (SBD)
Gọi E = SO BM
Trang 11b) Giáo viên nên đặt các câu hỏi để phát hiện vấn đề
Câu hỏi 5: Mặt phẳng chứa IM và dễ xác định giao tuyến
c) Với ý c) học sinh sẽ khó phát hiện và tìm ra được
mặt phẳng chứa SC, giáo viên cần hướng dẫn để học
sinh có thể phát hiện ra được mặt phẳng cần xét
Câu hỏi 8: Trong hình vẽ có nhiều mặt phẳng chứa
SC hãy chọn 1 mặt phẳng mà dễ xác định giao tuyến
Trang 12Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB Gọi I và J lần lượt
là trung điểm của SB và SC
a) Xác định giao tuyến (SAD) và (SBC)
b) Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AIJ)
c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AIJ)
Bài 2: Cho tứ diện ABCD Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm I, J Tìm các
giao điểm sau: a) IJ (SBC) b) IJ(SAC)
Bài 3: Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC Trên
đoạn BD ta lấy điểm P sao cho BP = 2PD Tìm giao điểm của:
a) CD và (MNP) b) AD và (MNP)
Bài 4: Cho tứ diện SABC Gọi I và H lần lượt là trung điểm của SA và AB Trên
đoạn SC ta lấy điểm K sao cho CK = 3KS
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng (IHK)
b) Gọi M là trung điểm IH Tìm giao điểm của KM với mặt phẳng (ABC)
III Dạng toán 3: Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng
III.1 Phương pháp: Để chứng minh cho d // ta chứng minh cho d // a với a là một đường thẳng nằm trong mp
- Việc khó nhất của phương pháp này là chọn được
đường thẳng a Nên giáo viên cần hướng dẫn cụ thể để học sinh có thể xác
Trang 13III.2 Ví dụ cụ thể
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của AB và CD
b) Nhận xét: Để chứng minh SB // (MNP) học sinh dễ phát hiện ra đường thẳng a
là đường MP Đây là một ví dụ mà học sinh có thể làm được nhờ một sự gợi ý nhỏ của giáo viên
* Hướng dẫn:
Câu hỏi 1: Hãy chứng minh SB // MP?
Ta có MP là đường trung bình trong tam giác SAB nên
SB // MP
Mà MP (MNP) nên SB // (MNP)
c) Nhận xét: Để chứng minh SC // (MNP), với câu hỏi
này học sinh rất khó phát hiện ra được đường thẳng a
Lúc này cần sự hướng dẫn cụ thể của giáo viên thì
học sinh mới có thể giải quyết được vấn đề
* Hướng dẫn:
Câu hỏi 2: Lấy O = MN AC
Chứng minh SC // OP?
Trang 14Vì O = MN AC => O là trung điểm của AC
=> OP là đường trung bình của tam giác SAC
=> SC // OP
Câu hỏi 4: Chứng minh SC // (MNP)?
Do SC // OP mà OP (MNP)
=> SC // (MNP)
Ví dụ 2: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt
phẳng Gọi M là trọng tâm của tam giác ABD và N là trọng tâm của tam giác ABE Chứng minh MN // (CEF)
* Hướng dẫn
- Để làm được bài toán này học sinh rất khó phát hiện
đường thẳng a trong mp (CEF) Khi đó giáo viên phải
chỉ cho học sinh thấy mp(CEF) cũng chính là mp
(CDFE) Như vậy chứng minh MN // (CEF) cũng
chính là chứng minh MN // (CDEF)
Câu hỏi 1: Chứng minh MN // DE ?
Do M là trọng tâm của tam giác ABD => 1
Trang 15a) Chứng minh rằng BD//(AIJ)
b) Gọi H, K là trọng tâm của các tam giác ABC và ACD
Chứng minh rằng HK//(ABD)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M và N là
trung điểm của SA và SC
a) Tìm các giao tuyến (SAC) và (SBD); (BMN) và (ABCD); (BMN) và (SBD)
b) Tìm giao điểm K của SD và (BMN) Chứng minh rằng SK = 1
3 SD c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BMN)
d) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh rằng MI //(SBC)
và (IJN)//(SAD)
IV Dạng toán 4: Chứng minh hai mặt phẳng song song
IV.1 Phương pháp: Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta chứng minh cho
mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia
/ /
a b
a b I a
IV.2 Ví dụ cụ thể
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M và
N lần lượt là trung điểm của SA và CD
a) Chứng minh (OMN) // (SBC)
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SD, AD và K là một điểm nằm trên mp(ABCD) và cách đều AB, CD Chứng minh (IJK) // (SAB)
* Hướng dẫn
Trang 16a) Với câu hỏi này học sinh sẽ không khó để chỉ ra 2 đường thẳng cắt nhau cần chứng minh cho song song với mặt phẳng còn lại Có thể chọn 2 đường là OM, ON hoặc BC, SC
Câu hỏi 1: Chứng minh OM // (SBC)?
Ta có OM // SC (Vì OM là đường trung bình của tam
giác SAC)
Mà SC (SBC) Vậy OM // (SBC)
Câu hỏi 2: Chứng minh ON // (SBC)?
Ta có ON // BC (Vì ON là đường trung bình trong
b) Với ý này trước tiên giáo viên phải hướng dẫn học sinh xác định điểm K
Gọi P là trung điểm của BC Khi đó những điểm
nằm trên JP sẽ cách đều AB và CD Do đó ta chỉ cần
lấy K JP
Câu hỏi 1: Chứng minh IJ // (SAB)?
Có IJ là đường trung bình trong tam giác SAD
=> IJ // SA (SAB) => IJ // (SAB)
Câu hỏi 2: Chứng minh JK // (SAB)?
Có JP // AB mà K JP nên JK // AB (SAB) => JK // (SAB)
Trang 17Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ Gọi I, G, K lần lượt là trọng tâm của các
tam giác ABC, ACC’, A’B’C’
Câu hỏi 1: Chứng minh IK // (BB’C’C)?
Do I, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và
tam giác A’B’C’ => ' 1
MI M K
MB M B Mà MM’ // BB’
=> IK // BB’ (BB’C’C) => IK // (BB’C’C)
Câu hỏi 2: Chứng minh IG // (BB’C’C)?
Do G là trọng tâm của tam giác ACC’
Trang 18b) Để làm được ý b) học sinh càng khó khăn hơn trong
việc tìm ra 2 đường thẳng a và b Giáo viên có thể hướng
dẫn học sinh mở rộng các mặt phẳng bằng cách lấy thêm
các trung điểm E, F của BC và B’C’
Câu hỏi 1: Mặt phẳng (AIB’) được mở rộng thành mặt
Do F là trung điểm của B’C’ => A’, K, F thẳng hàng
Do G là trọng tâm của tam giác ACC’
=> A’, G, C thẳng hàng
Do đó (A’GK) chính là (A’FC)
Câu hỏi 3: Chứng minh (AEB’) // (A’FC)?
Do BB’C’C là hình bình hành => B’E // FC => B’E // (A’FC)
Mặt khác ta lại có AE // A’F => AE // (A’FC)
Vậy (AEB’) // (A’FC) hay (AIB’) // (A’GK)
IV.3 Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi H, K, L là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD,
ACD Chứng minh rằng (HKL) // (BCD)
Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’
a) Chứng minh rằng (BA’C’) // (ACD’)
b) Tìm các giao điểm I = B’D (BA’C’); J = B’D(ACD’) Chứng minh rằng 2 điểm I, J chia đoạn B’D thành 3 phần bằng nhau
c) GọiM, N là trung điểm của C’B’ và D’D Dựng thiết diện của hình hộp