SKKN một số cách hướng dẫn học sinh tiếp cận cách giải hệ phương trình lớp 10 nhằm phát triển năng lực tư duy, khả năng sáng tạo cho học sinh trường THPT

Để làm được việc này chính người giáo viên phải có những khả năng trên, cùng với sự yêu nghề và đam mê khoa học, đồng thời phải có phương pháp tạo ra tình huống có vấn đề cho học sinh và

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lý do chọn đề tài:

Với tư tưởng dạy học không chỉ dạy kiến thức cho các em, mà cần dạy cả phương pháp suy luận, khả năng vận dụng, khả năng kết nối các môn khoa học, hướng tư duy khái quát và cả sự phát minh khoa học Giáo viên phải thực hiện điều

đó và hướng dẫn học sinh thực hiện ngay trong mỗi tiết học

Để làm được việc này chính người giáo viên phải có những khả năng trên, cùng với sự yêu nghề và đam mê khoa học, đồng thời phải có phương pháp tạo ra tình huống có vấn đề cho học sinh và từ đó đưa tư tưởng phát minh vào trong tiết học

Với hy vọng và mong muốn sẽ đem đến cho các em những kỹ năng, những phương pháp nhằm giúp các em nâng cao năng lực tư duy trong học Toán Từ đó giúp các em yêu thích và có hứng thú hơn khi học tập môn Toán Chính vì những

lý do trên tôi đã chọn nghiên cứu đề tài:

“Một số cách hướng dẫn học sinh tiếp cận cách giải hệ phương trình lớp 10 nhằm phát triển năng lực tư duy, khả năng sáng tạo cho học sinh trường

THPT Số 2 Văn Bàn”

II Mục đích nghiên cứu

Thực hiện đề tài này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho các bạn đồng nghiệp Trong đề tài này tôi đề cập đến một số cách hướng dẫn học sinh tiếp cận và giải quyết một bài toán theo nhiều cách từ đó phát huy năng lực tư duy, khả năng sáng tạo linh hoạt trong giải toán cho học sinh.Từ đó học sinh sẽ thấy thích thú và say mê hơn trong học tập, do vậy sẽ đem lại kết quả cao hơn Mặt khác

để đáp ứng với sự đổi mới của nền giáo dục:

 Cần giúp học sinh phái triển tư duy trừu tượng và tư duy sáng tạo

 Biết cách nhìn nhận một vấn đề dưới nhiều góc độ

 Giúp học sinh có khả năng tổng quát hoá các vấn đề ( lối tư duy xây dựng )

III Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu về các phương pháp tiếp cận giải một bài toán

IV Phạm vi nghiên cứu

- Làm tài liệu cho giáo viên

- Áp dụng cho học sinh khối 10,11, 12 Đặc biệt là học sinh lớp 12 tham gia thi học sinh giỏi, đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp

V Phương pháp nghiên cứu.

Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, thực nghiệm

B NỘI DUNG

1 Cơ sở lý luận

Để giải quyết vấn đề đó tôi đề xuất ý tưởng sau:

Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả năng tư duy Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt học sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt kiến thức nâng cao và cũng không áp đặt học sinh giải quyết bài toán theo một cách cụ thể nào )

Trong đề tài này tôi sẽ hướng dẫn học sinh giải quyết một số bài toán giải hệ phương trình theo các hướng sau:

- Hướng tổng quát hóa: Hướng này dựa trên quan điểm tổng hợp, chuyển

từ một tập hợp đối tượng trong bài toán sang một tập hợp khác lớn hơn và chứa đựng tập hợp ban đầu

- Hướng cụ thể hóa: Hướng này dựa trên quan điểm phân tích, chuyển bài toán ban đầu thành những bài toán thành phần có quan hệ logic với nhau Chuyển tập hợp các đối tượng trong bài toán ban đầu sang một tập hợp con của nó, rồi từ tập hợp con đó tìm ra lời giải của bài toán hoặc một tình huống hữu ích cho việc giải bài toán đã cho

- Hướng chuyển bài toán về bài toán trung gian: Khi gặp bài toán phức tạp, học sinh có thể đi giải các bài toán trung gian để đạt đến từng điểm một, rồi giải bài toán đã cho hoặc có thể giả định điều đối lập với bài toán đang tìm cách giải và xác định hệ quả của điều khẳng định kia hay đưa về bài toán liên quan dễ hơn, một bài toán tương tự hoặc một phần bài toán, từ

đó rút ra những điều hữu ích để giải bài toán đã cho

2 Cơ sở thực tiễn

Thực trạng ở trường THPT số 2 Văn Bàn, đa số các em học sinh chưa thực sự tích cực trong học toán Các em đã quen với cách học thụ động đó là thầy cô giáo đưa dạng bài tập và cách giải từ đó học sinh vận dụng theo một cách máy móc mà không cần phải suy nghĩ gì

Để khắc phục tình trạng trên theo tôi: Trong các tiết học thông qua các vấn

đề hoặc các bài tập trong sách giáo khoa, người thầy phải hướng dẫn học sinh khai thác, mở rộng bài toán, biết nhìn bài toán dưới nhiều góc độ

Để cụ thể hoá điều trên, tôi đã trình bày trong đề tài này : Xuất phát từ một bài toán rất đơn giản trong sách giáo khoa dành cho học sinh trung bình yếu, với cách giải là áp dụng thuật toán có sẵn Nhưng nếu suy nghĩ ta sẽ:

* Tìm thấy nhiều cách giải thú vị

* Đồng thời từ bài này đặt ra nhiều bài toán nâng cao, tổng quát thành nhiều bài toán mới

*Qua đó đưa ra và giải quyết những vấn đề mới, có liên quan trực tiếp đến thi đại học và thi học sinh giỏi

3 Ví Dụ

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình :













 4 2

8

4 2 2

y x

y x

((21))

Thông thường học sinh sẽ nghĩ ngay dùng phương pháp thế để giải hệ phương trình trên

Cách 1:

Từ (2) rút ra x =4-2y (3) thế vào (1)

( Rút x hoặc rút y nhưng rút x biểu thức sau khi rút sẽ gọn hơn)

Ta được :( 4 2 ) 2 4 2 8 16 16 4 2 4 2 8 2 2 1 0























 y1 y2  1 thay vào biểu thức (3) ta có : x=2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất :









 1

2

y x

Giáo viên giúp học sinh phát triển năng lực tư duy bằng cách hướng dẫn động viên để học sinh có thể tự tin thoải mái suy nghĩ tìm tòi cách giải theo nhiều hướng khác nhau, không nên hướng học sinh theo một cách cho dù cách làm

đó nhanh và ngắn nhất Trong trường hợp học sinh chưa nghĩ ra giáo viên có thể gợi ý.

Giáo viên hướng dẫn bằng cách cho học sinh nhận xét về các số hạng tương ứng ở hai phương trình(1) và (2).

Rõ ràng đây không phải là hệ đối xứng với hai ẩn x,y, nhưng hãy tìm ẩn mới

để hệ đối xứng? Học sinh sẽ nghĩ ra cách gải thứ 2:

Cách 2: Hệ (1.2)

















4 2

8 ) 2

2

y x

y x

Đặt : 2y = t khi đó hệ trở thành













 4

8

2 2

t x

t x

(Đây là hệ đối xứng với hai ẩn x và t )

Hệ















4

8

2 2

t x

t x

































4

4 4

8 2 )

xt

t x t

x

xt t

x

Vậy x, t là nghiệm của phương trình 2 4 4 0





 x

2

2

1  

 x x nên hệ có nghiệm x=t=2 Suy ra nghiêm của hệ (1.2) là :









 1

2

y

x

Để rèn luyện tư duy cho học sinh giáo viên đặt câu hỏi : Nếu ta thay 8 bằng 0

ai trả lời nhanh nghiệm của phương trình :













 4 2

0

4 2 2

y x

y x

?

Trả lời : Ta thấy 2 0 ; 2 0



x Suy ra 2 2 0



y

x vậy PT trên có nghiệm x=y=0 nhưng khi đó : x 2 y 4 nên hệ VN

Giáo viên hướng dẫn: Từ phương trình (*) ở cách 1 và (**) ở cách 2 ta thấy chúng đều có nghiệm kép hay hai PT đó đều là “danh giới của sự vô ngiệm”.

Từ đó học sinh sẽ phát hiện ra để gải hệ trên ta có coa thể sử dụng phương pháp đánh giá.

Vấn đề bây giờ là phải đánh giá như thế nào ?

Ta để ý : Hạng tử thứ nhất của PT thứ nhất là x2

Hạng tử thứ nhất của PT thứ hai là x

Hạng tử thứ hai của PT thứ nhất là 4y 2 ( 2y) 2

Hạng tử thứ hai của PT thứ hai là 2y

Giáo viên: Các em nghĩ đến bất đẳng thức nào liên hệ giữa các số a, b và a2, b2? Học sinh nhớ lại

a2 b2c2 d2acbd2

(bất đẳng thức này chính là bất đẳng thức bunhiacôxki cho 4 số)

Ta có cách 3( Đây là cách giải phức tạp so với hai cách trên)

Tuy nhiên người giáo viên luôn có ý thức động viên, khích lệ học sinh suy nghĩ để tìm ra các cách giải khác nhau cho dù đó không phải là cách đơn giản và ngắn gọn

Để làm được như vậy giáo viên cần lựa chọn hệ thống câu hỏi gợi mở cho phù hợp Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức này cho 4 số : x; 2y; 1; 1 ta có:

2 4

2 1 2 1 1

1  x y x  y  x  y x y (4)

Vậy theo (2) ta có :2x2  4y2 4 2  x2  4y2  8

Để có (1) cần có x y x 2y

1

2

1    , thay vào (2) ta được : y=1 ; x=2

Giáo viên : Vẫn với phân tích để tìm ra cách 3 , ta còn thấy một phép toán hình học có liên quan đến mối liên hệ giữa 2 cặp số (a,b) và a2,b2 Đó là :

a,b ,u a2 b2





Vậy nếu chọn v    1 , 1  u.v ab Từ đó gợi cho ta cách giải 4

Cách 4:

Đặt   , 2  ;   1 , 1 





v y x u

 

y x v

u

v y x u

2

; 2

;

2





















Mặt khác : u.v u.v cos  





















v u,

  u v uv

Giáo viên lưu ý cho học sinh: ở bên trái là trị tuyệt đối của một số

ở bên phải là độ lớn của một véc tơ

Vậy ta được : x 2y  2 x2   2y

 x 2y2  2 x2  4 y2 (5)

(Trở lại bất đẳng thức (4)), dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

o

0 1

cos      hoặc  



 cùng phương hay tồn tại

k  R để :





























1

; 2 2

1 2

1

k y

k x v k u

Giáo viên hướng dẫn : Ta để ý bất đẳng thức (4) ở cách 3 và bất đẳng thức (5) ở cách 4 là giống nhau mặc dù hai cách dẫn đến là khác nhau

Vì vậy mà gợi cho ta nghĩ đến việc đặt vấn đề ngược lại, tìm cách chứng minh bằng cách sử dụng tích vô hướng của hai véc tơ

Nếu bắt trước cách làm 4 của bài 1.a ta có cách chứng minh bài 8.a như sau:

Xét u  a,b ;v  c,d





2 2 2

2 b ;v c d

a







,và u.v a.cb.d





do:    

v

u . nên a.cb.d  a2 b2 c2 d2  a.cb.d 2 a2 b2 .c2 d2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ; ( : )

0

0

.





















































d

b c

a hay b b d a d

b

d k c

b k a v

v k u

Giáo viên : Cũng với việc phân tích để dẫn đến cách 3 gợi cho ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức quen thuộc khác:

ab 2 a2 b2; (hay: ab 2  2 a2 b2) (***)

từ đó ta có cách 5:

Cách 5: Áp dụng BĐT (***) với a = x và b = 2.y ta sẽ trở về BĐT(4)

GV: Nếu để ý đến phương trình (1) ta thấy VT có dạng : x2+(2y)2 Điều đó lại gợi cho ta liên tưởng đến một công thức trong hình học

1 cos

sin 2   2   ( 0o 180o)



  (SGK hình học 10) Nhưng vấn đề vế trái của công thức là 1 , đế được điều đó ta chia hai vế của phương trình (1) cho 8 khi đó:

(1) 1

2 2























Vậy nếu có góc α để

2 2

sin   x thì

2

cos   y Nhưng để có :

2 2 sin   x cần có

điều kiện 0

2

x

Ta quay lại xét hệ (1.2) Ta thấy :

4 2

4 8

4

8

2

2



























y

x y

x

Nếu có một trong hai số x hoặc 2y nhỏ hơn không thì từ PT(2):x+2y=4 dẩn đến số

còn lại phải lớn hơn 4, điều này mâu thuẫn với (*) Vậy ta được 1

2 2

;

1

2

0  y 

Từ đây ta có cách 6:

Cách 6:

Theo lý luận trên thì có góc α để sin  2x2 ( 0o 90o)



 

Thay vào PT(1) suyra:

2 cos

sin 1 2 2

1 2

2 2

2 2

2







































Ta được 2 2222sincos;





y

x

thay vào phương trình (2) ta được : sin   cos   2

GV: Ta đã có bài tập: Với 0o    180o thì sin   cos   2 cos   45o

(Bài tập này có thể ra cho hoc sinh làm ở phần tích vô hướng của hai véc tơ)

45 0

45 1

45

cos

         

Suy ra 222cossin4545 1;2









o o y

x

Ta đã biết BĐT Bunhiacoxki có một cách chứng minh dựa vào việc xét phương trình bậc hai rất đặc biệt

Ta thử bắt trước cách đó để làm ví dụ 1.

Cách 7:

Gọi (xo,yo) là nghiệm của hệ phương trình, tức















4 2

8 4

0 0

2 0

2 0

y x

y x

Ta xét phương trình bậc hai ẩn α :   x02  2y02  0 (**)

Rõ ràng PTđã cho nếu có nghiệm thì nghiệm đó là : α = x0= 2y0

Mặt khác ta thấy

phương trình (**) 2 2  2   4 2 0 2 2 2 4 8 0 2

0

2 0 0 0 2























Vậy xo = 2 ; yo =1 Thử lại kết quả ta thấy thoả mãn

GV: Ta đã có cách giải rất mới và thú vị

GV: Mặt khác nếu để ý khi đặt : 2y = t ta được hệ phương trình :













 4

8

2 2

t x

t x

thì phương trình 2 2 8



t

x là phương trình đường tròn tâm O(0,0) và bán kính

R = 2 2

(Ở lớp 10 đặc biệt là các lớp mũi nhọn ta nên giới thiệu cho hoc sinh biết phương trình đường tròn tâm O(0,0) và bán kính a có dạng x2 t2 a2 Thông qua các bài toán như : CMR điểm M(x0;y0) thoả mãn :x o2 y o2 a2 là cách gốc toạ độ một khoảng a (a>0) hoặc bài toán : cho điểm M(x,y) nằm trên đường tròn tâm O(0,0) bán kính a > 0 hãy tìm mối liên hệ giữa x và y

Hai bài này làm không khó, chỉ cần học sinh học xong phần toạ độ của một điểm là làm được )

Còn phương trình thứ hai của hệ : x + t = 4 là phương trình đường thẳng cắt trục Ox tại điểm A(4,0) cắt trục Ot tại điểm B(0,4) Khi thử biểu diễn hình học của hai đường, trên hệ trục toạ độ Oxt ta thấy đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, vậy

ta có cách giải thứ 8 :

Cách 8:

Đường thẳng x+t=4 cắt Ox tại điểm A và Ot tại điểm B, khi đó ∆OAB là tam giác vuông cân, suy ra khoảng cách từ O đến đường thẳng có phương trình :

x+t =4 là độ dài đường cao OH = 8 2 2

4

1 4 1

1

2

























đường tròn có phương trình 2 2 8



t

x , vậy đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại

điểm H, hay nghiệm của hệ













 4

8

2 2

t x

t x

là toạ độ điểm H Mặt khác ∆OAB là tam

giác vuông cân tại O nên



































1

2 2

2

2 2

y

x t

t t

x x x

B A H

B A H

GV: Tinh tế hơn ta còn thấy một cách giải khác

Cách 9:

Nhân phương trình (2) với -4 sau đó cộng vế với vế vào phương trình (1) ta được:

































1

2 0

1 4 2 8

16 4

2

y

x y

x y

y x x

thế vào hệ (1.2) thấy thoả mãn, vậy hệ có nghiệm duy nhất x=2 ,y=1

Giáo viên: Ta chưa dừng lại ở đây, nếu ta tham số hoá hệ phương trình ta sẽ

có những bài toán mới

Như vậy để phát triển tư duy, khả năng sáng tạo cho học sinh ngoài việc khuyến khích học sinh giải quyết một bài toán theo nhiều hướng khác nhau, không nên hướng học sinh đến một cách giải cho dù cách đó là ngắn, đơn giản

và mất ít thời gian Và nếu được khi giải xong một bài toán giáo viên có thể hướng dẫn học sinh suy nghĩ phát triển bài toán đó thành một bài toán khác

và tìm cách giải quyết chúng từ đó học sinh sẽ thu được rất nhiều kiến thức Dưới đây là một vài cách phát triển bài toán trong ví dụ 1.

Chẳng hạn: ta thay 8 bởi m ( tham số)

ta được hệ















4 2

4 2 2

y x

m y x

((76))

và ta có thể đưa ra một số bài toán.

Ví dụ 2: Tìm m để hệ (6.7) có nghiệm

Bài làm:

Cách 1:

Dựa vào cách 1 của ví dụ 1 ta có cách sau:

Rút từ phương trình (7) : x= 4- 2y (6’) thế vào phương trình (6) ta được :

(4-2y)2 + 4y2 = m  8y2- 16y+ 16- m = 0

Giáo viên : ta nên chia hai vế cho 8 để được phương trình với hệ số gọn hơn:

0

8 2 2

2







y

ta để ý với mỗi nghiệm y0 của phương trình (7’) ta được một nghiệm (xo,yo)

Vậy để hệ (6, 7) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (7’) có nghiệm tức là

  0  m 8 Cách 2:

Giáo viên: Nếu ta phân tích cách giải 2 ở ví dụ 1 với phép đặt 2y= t ta đưa hệ về dạng





































S t

x

P

m t

x t

x

m t x

42

8 4

2 2

Để hệ có nghiệm cần và đủ là:

) 4 8

2 8 ( 4

2  P   m   m

S

GV: yêu cầu học sinh phân tích cách 8 của ví dụ 1 để tìm cách giải 3

Ví dụ 3 : Tìm m để hệ (6.7) có nghiệm duy nhất

Bài làm:

Cách 1:

Với việc phân tích ví dụ 1 ta thấy để hệ có nghiệm duy nhất cần và đủ là

’=0  m 8

Giáo viên : để rèn luyện thói quen kiểm tra kết quả sau khi giải toán và khả năng

tư duy biện chứng cho học sinh, ở đây giáo viên có thể đặt câu hỏi cho học sinh như :

Giáo viên : Ta thấy đáp số là đáng tin cậy Vì sao?

TL: vì m= 8 ta trở lại bài toán trong ví dụ 1

Giáo viên : còn nếu học sinh làm ra đáp số không phải là 8 giáo viên khẳng định ngay kết quả là sai mặc dù chưa cần kiểm tra các bước tính toán

Giáo viên : yêu cầu học sinh phân tích cách 2 và cách 8 của ví dụ 1 để tìm cách 2

và 3 của bài này

Giáo viên : với phép đặt : 2y = t ta đã đưa hệ về dạng hệ đối xứng













 4

2 2

t x

m t x

Theo tính chất của hệ đối xứng nếu (x0,to) là nghiệm của hệ thì (x0,to) cũng là nghiệm của hệ, vậy để hệ có nghiệm duy nhất cần x0=to(chú ý đây mới là điều kiện

đủ ) từ đây ta có cách giải :

Cách 4 :

Điều kiện cần : (x0, to) là nghiệm của hệ thì (x0, to) cũng là nghiệm của hệ, vậy để

hệ có nghiệm duy nhất cần x0=to 8

42

2

















x

m x

o o

Điều kiện đủ : Thay m =8 vào hệ ta thấy thoả mãn

Vậy m=8 là kết quả cần tìm

Giáo viên : Đây là một phương pháp rất quan trọng để giải bài toán nghiệm duy nhất của hệ đối xứng

Ví dụ 4: Tìm m để hệ (6.7) có hai nghiệm (x1, y1) và (x2, y2) sao choy1  0 y2

Bài làm :

Cách 1:

Để hệ có 2 nghiệm (x1,y1) và (x2,y2) sao cho sao choy1  0 y2cần và đủ là phương trình (7’) phải có 2 nghiệm y1,y2 thoả mản điều kiện y1  0  y2 tức a.c < 0