Toán HHKG Ôn Luyện HSG-Nguyễn Minh Đức

Đây là bài viết tổng hợp một số các bài toán nâng cao điển hình về Hình Học Không Gian cho Nguyễn Minh Đức biên soạn. Bài viết phục vụ thiên về luyện thi HSG toán THPT. Các bài toán được tổng hợp từ các đề thi HSG Tỉnh, Thành phố và kèm theo đáp án chi tiết. Mong tài liệu là nguồn kiến thức bổ trợ hiệu quả cho người đọc. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ độc giả.

Bài Viết Toán Học Ôn Luyện

Hình Học Không Gian

Part 1 Bồi Dưỡng HSG Toán THPT

THPT Lê Quảng Chí-Tx Kỳ Anh-T Hà Tĩnh

Bài Toán 1: Cho góc tam diện vuông Oxyz Gọi , , a b c lần lượt là khoảng cách từ

một điểm I ở bên trong góc tam diện theo thứ tự đến ba mặt phẳng Oyz , Ozx

và Oxy Qua I vẽ mặt phẳng   P cắt Ox Oy Oz, , lần lượt tại A B C, , Phải chọn mặt phẳng  P như thế nào để thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất ?

(Đề nghị Olympic 30-4)

Bài Giải:

Ta có:

1 1

IOAB IOBC IOCA

OABC OABC OABC

Do đó:

3

3

OABC

Dấu “=” xảy ra khi:

3 1

3 3

3









Như vậy ta cần chọn mặt phẳng  P đi qua I sao cho OA3 ,a OB3 ,b OC3 c

Bài Toán 2: Cho góc tam diện vuông Oxyz Gọi S là điểm cố định trên tia Oz và ,

A B là hai điểm lần lượt di động trên các tia Ox Oy sao cho , OA OB OSa

1 Xác định theo a giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SOAB Nêu cách

dựng tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tự diện SOABvà tính theo a bán kính R

của mặt cầu ấy khi thể tích khối tứ diện SOAB đạt giá trị lớn nhất

2 Khi ,A B di động, chứng minh rằng tổng các góc phẳng tại đỉnh S của tứ

diện SOABluôn bằng

2



(Đề nghị Olympic 30-4)

Bài Giải:

1

1

SOAB

OA OB

2

a

OAOB Vậy

3 24

SOAB

a

2

a

OAOB Cách dựng tâm I:

 Gọi M là trung điểm AB Qua M dựng đường thẳng Mt vuông góc với mặt phẳng OAB 

 Trong mặt phẳng Oz Mt dựng đường thẳng ,   qua trung điểm N của

SO và song song với OM

 Vậy I chính là giao của của đường thẳng Mt với đường thẳng  vì theo cách dựng đó ta có IAIBISIO

Bán kính R được tính bởi:

OS AB OS OA OB a

ROI MN  ON OM          

2 Ta đặt các góc phẳng tại đỉnh S như sau: ASB , OSA,OSB

0 , ,

2



  

Khi đó ta có:

2

cos

2

SO OA OB

dpcm





  



   

Bài Toán 3: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ', cạnh a Trên cạnh AA kéo '

dài về phía A' lấy một điểm M, và trên cạnh BC kéo dài về phía C lấy một điểm

N sao cho MN cắt cạnh C D' ' Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn MN

(Đề nghị Olympic 30-4)

Bài Giải:

Gọi MNC D' 'I AN', CDI

Vì









Đặt AM  x 0,BN y 0

Theo định lý Thales ta có:



1

MN  AM AN  AM BN AB  x y a

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :

 

a   x y x y   

Lại có :

(*)

Do

Từ (1) và (2) suy ra:MN3 a Dấu “=” xảy ra khi x y 2 a

Vậy giá trị nhỏ nhất của MN là 3a đạt được khi AM BN2 a

Bài Toán 4: Cho hai nửa đường thẳng Ax By chéo nhau Hai điểm ,, C D thay đổi

lần lượt trên Ax và By sao cho: 1 2 3

AC BD  AB

1 Chứng minh rằng: Mặt phẳng   chứa CD và song song với AB luôn đi

qua một điểm cố định I trong mặt phẳng   chứa Ax và   song song với By

2 Tìm vị trí của C và D sao cho thể tích tứ diện ABCD là nhỏ nhất

(Đề nghị Olympic 30-4)

Bài Giải:

1 Dựng Ay' song song với By Trên Ay' lấy D' sao cho AD'BD

Khi đó     DCD' ,     ACD' 

Ta có:

 

1 1

3 3 '

AB AB

AC BD  AB  AC AD  Giữa hai điểm C D, thỏa giả thiết, luôn tồn tại điểm I thuộc CD' sao cho: '

D C  AC

Với điểm I trên, gọi MAy N', Ax sao cho MI Ax NI, Ay'

Khi đó, áp dụng định lý Thales ta có:

 

'

*

AN D I AB AB

AN

AC  D C  AC  

 

 

1

Do

AM

Từ (*) và (**) suy ra M N, cố định hay I cố định Do đó   luôn đi qua

điểm I cố định trong  

2 Vì ABD DD A' nên V ABCDV C ABD. V C DD A. ' V D AD C. '

Do đó V ABCD nhỏ nhất khi V D AD C. ' nhỏ nhất

Vì

D By

d D d D AD C const







Suy ra: V D AD C. ' nhỏ nhất khi diện tích S AD C' nhỏ nhất

AD C

S  AC AD A AC BD A Nhận thấy S AD C' nhỏ nhất khi AC BD nhỏ nhất

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

2

9

Dấu “=” xảy ra khi

2

4 2

3

AB AC

AB

AB

BD





Vậy V ABCD nhỏ nhất khi hai điểm C D, thỏa mãn 2 ; 4

AB AB

AC BD

Bài Toán 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có

2

SAa và vuông góc với đáy M và N là các điểm di động trên BC CD ,

45

NAM

  Xác định vị trí của M N để hình chóp , S AMN

có thể tích đạt giá trị lớn nhất Tìm các giá trị ấy

Bài Giải:

Đặt MAB;NAD

90 MAN 45

Ta có:

0

3

3 2

3cos 2

a

 



Vì

0

0

2

 



 

   

 



Từ đó suy ra:

3

2 max

6

S AMN

a

45 ; 0

0 ; 45





3

.

3

S AMN

a V



 Đạt được khi   22 30'.0

Bài Toán 6: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có khoảng cách từ A tới mặt phẳng SBC bằng  2 a Gọi  là góc giữa mặt bên và đáy của hình chóp Với giá trị nào của  thì thể tích của hình chóp là nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Bài Giải:

Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AD và BC

Khi đó ta có: SNM 

Vì DA BC nên DA SBCd A SBC ,  d M SBC ,    1

Ta có: BCSMN  SBC  SMN

Do đó nếu kẻ MH SN HSN thì MH SBC.Vậy d M SBC ,  MH  2

Từ (1) và (2) ta suy ra MH 2 a

Từ đó ta có:

2

S ABCD ABCD

Từ (*) suy ra, để V S ABCD. nhỏ nhất thì Asin2cos0 phải đạt giá trị lớn nhất

Ta có:

2

A

Dấu “=” xảy ra khi:

sin 2 2sin 3sin 2 sin arcsin

          

Suy ra:

3

3

4

2 3

2 3 3 9

S ABCD

a

3

   

 

S ABCD

Bài Toán 7: Hình chóp A BCD có ACB ADB90 ,0 AB2 a Đáy BCD là tam giác cân tại B, có CBD2 và CDa Tính thể tích khối chóp A BCD theo a và 

(HSG Tỉnh Toán 12 Hà Tĩnh năm học 2010-2011)

Bài Giải:

Gọi I là trung điểm AB Dễ dàng nhận thấy

2

AB

IBICID a

Gọi H là hình chiếu của I trên BCD , M là trung điểm  CD, ta có ngay:







Theo định lí hàm sin ta có:

2sin 2sin 2

CD a BH

CBD 



2

4sin 2 2sin 2

sin 2

a

d A BCD d I BCD 



Từ tam giác BMC vuông tại M ta có: tan cot

2

a

BM DM    Vậy

2



Bài Toán 8: Cho hình chóp S ABCD có đáyABCD là hình vuông vớiAB2 ,a tam giác SAB vuông tại S Mặt phẳng SAB vuông góc với  ABCD Biết góc tạo bởi 

đường thẳng SD và SBC bằng   với sin 1

3

  Tính thể tích khối chóp S ABCD

và khoảng cách từ C đến SBD theo  a

Bài Giải:

Ta có: BCABBCSABSABC Lại có SASB,suy ra: SASBC

Vì góc tạo bởi đường thẳng SD và SBC bằng   với sin 1

3

  nên ta có:

d D SBC SD   d A SBC A S  Do AD SBC

Xét tam giác SAD vuông tại A (do DASAB) ta có:

2

a

SA AD SD SA  a  SA SA

Áp dụng định lý Py-ta-go ta được: 2 2 14

2

a

SB AB SA 

Khi đó ta có:

4

SH



Vậy

3 2

V  SH S  a 

Ta có:

3

C SBD S ABCD

a

V  V 

SB SD SA BD a

SB SD DB nên suy ra tam giác SBD vuông tại S

Do đó

2

1 14 3 2 3 7

SBD

a a a

3

.

2

7 3

3

4

C BCD

BCD

a

d C SBD

Bài Toán 9: Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh bằng a Gọi M N, lần lượt là trung điểm của DB AC, .Trên đường thẳng AB lấy điểm P, trên đường thẳng DN

lấy điểm Q sao cho PQ CM Tính độ dài PQ và thể tích khối AMNP

Bài Giải:

Gọi F là trung điểm AM, khi đó FN CM

Vậy PDFAB Trên DPNdựng PQ QDN song song với FN

Gọi E là trung điểm của PB Khi đó ME PF|| suy ra PF là đường trung bình của tam giác AME

Ta có:

PF  ME PDDF  PD

3

CM a

FN  

Suy ra:

3

a

PQ

PQ  DP   PQ   

AMNP ABMC

V

V  AB AC    

2 12

ABCD

a

V 

Từ (1) và (2) ta suy ra:

3 2 144

AMNP

a

V 

Bài Toán 10: Cho hình chóp S ABC có các mặt phẳng SBC và  ABC vuông 

góc với nhau Các cạnh ABACSASBa Tìm độ dài cạnh SC sao cho khối chóp S ABC có thể tích

3 8

a

V 

(HSG Tỉnh Toán 12 Hà Tĩnh năm học 2012-2013)

Bài Giải:

Gọi H là hình chiểu của A trên BC

Ta có các tam giác vuông sau bằng nhau AHB AHC AHS (ch-cgv)

Từ đó suy ra: HBHCHS SBCvuông tại S

Đặt SC x 0 Khi đó:

BC a x

BC a x  AH  AC    

Vậy

a x ax a x

V  AH S   ax 

Ta cần tìm x sao cho

3 8

SABC

a

Vậy độ dài SC cần tìm bằng 6

2

a

Trong quá trình gõ bài viết, không thể tránh khỏi những sai sót Rất mong được sự

đóng góp ý kiến từ mọi người để Nguyễn Minh Đức có thể hoàn thành tốt bài viết và phục vụ cho việc hoàn thành part2 bổ sung của bài viết Cảm ơn!

Sẽ tiếp tục cập nhật…

My Facebook: www.facebook.com/minhduck2pipu

“Tôi thích sự truyền đạt”

Nguyễn Minh Đức