Nghiên cứu nghiệm soliton của các phương trình trường chuẩn yang mills

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM HỮU HOÀNG CHIẾN NGHIÊN CỨU NGHIỆM SOLITON CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG CHUẨN YANG - MILLS Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và v

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

PHẠM HỮU HOÀNG CHIẾN

NGHIÊN CỨU NGHIỆM SOLITON CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG CHUẨN YANG - MILLS

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Thuận, thầy đã tận tìnhhướng dẫn, giúp đỡ, động viên em trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luậnvăn

Em xin cảm ơn các thầy, cô giáo trong Bộ môn Vật lý lý thuyết, Khoa Vật lý,Phòng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Trường Đại học Tây Nguyên đãtạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thànhluận văn

Xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và những tình cảm quý báu mà gia đình, đồngnghiệp và bạn bè đã dành cho tôi

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 5

Tính cấp thiết của đề tài 5

Mục đích nghiên cứu của đề tài 6

Phương pháp nghiên cứu 6

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 6

CHƯƠNG 1 NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS-HIGGS 8

1.1 Nghiệm soliton của trường Yang-Mills SU(2) thuần túy 8

1.1.1 Các phương trình của trường Yang-Mills SU(2) thuần túy 8

1.1.2 Một số dạng nghiệm 9

1.1.2.1 Các nghiệm riêng hằng số 9

1.1.2.2 Các nghiệm tổng quát 10

1.2 Nghiệm soliton của hệ Yang-Mills-Higgs 11

1.2.1 Trường Higgs và sự phá vỡ đối xứng tự phát 11

1.2.2 Các phương trình trường trong hệ Yang-Mills-Higgs 12

1.2.3 Một số dạng nghiệm 12

1.2.3.1 Nghiệm monopole từ ‘t Hooft-Poliakov 12

1.2.3.2 Nghiệm dyon 15

1.2.3.3 Nghiệm Singleton 16

CHƯƠNG 2 NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS VỚI NGUỒN NGOÀI ĐỐI XỨNG CẦU 19

2.1 Tham số hóa vectơ của nhóm SU(2) 19

2.2 Các phương trình Yang-Mills tĩnh khi có nguồn ngoài 19

2.3 Nghiệm của các phương trình Yang-Mills tĩnh với nguồn ngoài yếu có định hướng Su(2) cho trước 25

2.3.1 Nguồn dạng xuyên tâm 25

2.3.2 Nghiệm của các phương trình Yang-Mills tĩnh với nguồn yếu có định hướng SU(2) cho trước 28

2.3.3 Năng lượng của trường Yang-Mills với nguồn ngoài yếu 31

CHƯƠNG 3 HẠT YANG-MILLS TRONG TRƯỜNG SINGLETON 32

3.1 Các phương trình Wong mở rộng 32

3.2 Đối xứng Lorentz định xứ và bài toán hạt trong trường Yang-Mills

tựa Schwarzschild (Schwarzschild-like) 33

3.3 Chuyển động của hạt trong trường Singleton tựa Schwarzschild 34

KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

PHỤ LỤC A 44

PHỤ LỤC B 46

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Mô hình chuẩn và các hướng mở rộng khác nhau của mô hình này đã cho phép

mô tả hiện tượng luận phong phú của các tương tác cơ bản trong tự nhiên Cùng vớiviệc khai thác các ứng dụng hiện tượng luận về tương tác dựa trên các mô hình chuẩn,một hướng nghiên cứu khác thu hút sự quan tâm lớn, đó là nghiên cứu các tính chất cơbản của lý thuyết trường chuẩn không Abel (còn gọi là lý thuyết trường Yang-Mills)như là các hệ động lực học phi tuyến

Vật lý toán phi tuyến là lĩnh vực được phát triển mạnh mẽ trong những năm gầnđây Như đã biết, các phương trình phi tuyến là đối tượng nghiên cứu của vật lý toánphi tuyến, lĩnh vực mà về công cụ và các đặc trưng khác xa vật lý toán truyền thống.Một trong những đặc điểm quan trọng là sự tồn tại các nghiệm soliton của các phươngtrình trường phi tuyến Nó có thể mô tả như các sóng đơn lẻ dạng như bó sóng hoặcxung Soliton bảo toàn dạng theo thời gian và sự bảo toàn này liên quan đến bản chấttopo của nghiệm, nghĩa là các nghiệm được phân thành những lớp có topo khác nhau

và đặc trưng topo (chỉ số topo) của nghiệm là tích phân chuyển động Soliton là đốitượng nghiên cứu của nhiều lĩnh vực vật lý như: quang học phi tuyến, vật lý hạt cơbản, vũ trụ học, vật lý chất rắn,… Đối với lý thuyết trường của các hạt cơ bản, người

ta thấy rằng, ngay ở mức độ cổ điển (chưa lượng tử hóa) hoặc ở gần đúng chuẩn cổđiển, các soliton của các phương trình trường phi tuyến đã có dạng gần đúng như cáchạt: mật độ năng lượng trường là hữu hạn, tập trung trong miền không gian và dịchchuyển theo thời gian Các nghiệm soliton được nghiên cứu nhiều phải kể đến là cácsoliton của lý thuyết Yang-Mills hoặc lý thuyết Yang-Mills-Higgs trong không gianMincopxki (nghiệm Wu-Yang, monopole ‘t Hooft-Polyakov, dyon Julia-Zee, nghiệmBogomolny-Prasad-Sammerfield), hay trong không gian Euclid (nghiệm instanton),…Các nghiên cứu theo hướng này hiện vẫn tiếp tục phát triển và thu hút được sự quantâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết [1-7] Các kết quả nghiên cứu có nhiều ứng dụngvật lý Chẳng hạn như, monopole từ không Abel không những có ý nghĩa quan trọngđối với các mô hình thống nhất các tương tác của các hạt cơ bản, mà nó còn liên quanđến những quá trình lạm phát của vũ trụ ở giai đoạn rất sớm Thậm chí nó còn ảnh

hưởng đến quá trình tiến hóa của vũ trụ Hay như việc phát hiện ra instanton của cácphương trình trường phi tuyến là một trong những kết quả gây ấn tượng nhất của lýthuyết yang-Mills cổ điển Sự tồn tại của instanton có thể liên hệ với hiệu ứng đườngngầm trong không gian Mincopxki giữa các chân không khác nhau [8] Để giải thích

sự cầm tù quark người ta cho rằng khi mật độ instanton đủ lớn, có thể có sự chuyểnpha từ trường chuẩn không khối lượng tới trường chuẩn có khối lượng Khi đó liên kếtYang-Mills là lớn giữ cho các quark ở bên trong các hadron Ngành soliton học nghiêncứu các tính chất của các soliton cùng các khả năng ứng dụng của chúng đang trởthành một lĩnh vực vật lý phát triển mạnh trong những năm gần đây

Trên đây là một số nhận xét về vai trò và tầm quan trọng của các soliton khinghiên cứu lý thuyết trường Yang-Mills Qua đó cho thấy việc nghiên cứu đề tài:

Nghiên cứu nghiệm soliton của các phương trình trường chuẩn Yang-Mills, mang

tính cập nhật, có ý nghĩa khoa học và thực tiễn

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

− Nghiên cứu một số dạng nghiệm soliton của các phương trình trường chuẩn Mills với nhóm chuẩn SU(2) khi không có nguồn ngoài và khi có nguồn ngoài, ý nghĩavật lý của các nghiệm tìm được

Yang-− Khảo sát một số tính chất về chuyển động của hạt Yang-Mills SU(2) trong một sốcấu hình trường soliton

3 Phạm vi nghiên cứu của đề tài

Chỉ xét một số dạng nghiệm soliton của các phương trình trường chuẩn Mills không phụ thuộc thời gian với nhóm chuẩn SU(2)

Yang-4 Phương pháp nghiên cứu

− Sử dụng các phương pháp thông dụng khi nghiên cứu lý thuyết trường: Phươngpháp giải tích, lý thuyết nhóm, tính số,…

− Ứng dụng một số phương pháp nghiên cứu mới trong phương trình vi phân đạo hàmriêng phi tuyến: phương pháp ansatz, phương pháp tham số hóa vectơ,…

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

− Góp phần làm sáng tỏ hơn ý nghĩa của các nghiệm soliton khi nghiên cứu lý thốngnhất các tương tác cơ bản

− Trong chừng mực nào đó, đóng góp vào sự phát triển của lý thuyết các phương trình

vi phân đạo hàm riêng phi tuyến

6 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, đề tài gồm ba chương.

Chương 1: Nghiệm soliton của hệ Yang-Mills-Higgs

Chương 2: Nghiệm soliton của hệ Yang-Mills với nguồn ngoài đối xứng cầu

Chương 3: Hạt Yang-Mills trong trường Singleton

Chương 1 NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS-HIGGS

Trong chương này chúng tôi khảo sát một số dạng nghiệm soliton của hệ Mills-Higgs với nhóm chuẩn SU(2) và ý nghĩa vật lý của các nghiệm tìm được

Yang-1.1 NGHIỆM SOLITON CỦA TRƯỜNG YANG-MILLS SU(2) THUẦN TÚY 1.1.1 Các phương trình của trường Yang-Mills SU(2) thuần túy

Mật độ Lagrangian của trường chuẩn Yang-Mills thuần túy với nhóm chuẩn SU(2)

có dạng:

1

,4

a a

là tenxơ cường độ trường, Wµa là thế chuẩn Abel (thế Yang-Mills), µ ν =, 0,1, 2,3 là các

chỉ số không - thời gian, a b c, , =1, 2,3 là các chỉ số của nhóm SU(2).

Mật độ Lagrangian (1.1) thì bất biến đối với phép biến đổi chuẩn SU(2) định xứ.

Từ mật độ Lagrangian này, sử dụng phương trình Lagrange-Euler, ta dễ dàng nhậnđược các phương trình chuyển động của trường Yang-Mills SU(2) thuần túy:

Vấn đề không đơn giản như vậy khi nhóm chuẩn là không Abel Chẳng hạn, hai thếYang-Mills là chuẩn không tương đương có thể cho các cường độ trường Yang-Millsgiống nhau

1.1.2 Một số dạng nghiệm

Cho đến nay người ta vẫn chưa đưa ra được phương pháp giải tổng quát các

phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến Sau đây chúng tôi sử dụng phươngpháp ansatz để giải các phương trình vi phân này Giả sử rằng các trường chuẩn làxuyên tâm, chúng tôi sử dụng ansatz Wu-Yang [9] :

j a

i aij

r

gr r

ở đây α, A là các hằng số tích phân, i là đơn vị ảo Các hàm K r( ) ( ), J r của (1.10) có

kì dị tại r r= =0 1/ A Nghiệm (1.9) thì khác với nghiệm Prasad-Sommerfield một đơn

vị ảo [10] Từ nghiệm (1.9) chúng tôi thấy rằng, khi α → 0 thì hàm

K r → J r → và thế chuẩn SU(2) trở thành chân không (Wµa =0 ) Trường hợp

0,

α ≠ nghiệm (1.9) đều tại r = 0 (vì tại các hàm K r( ) =1, J r( ) =0) Nghiệm này có

tích topo n = 1, như chúng ta thấy từ điều kiện biên 0

Các thế này có kì dị tại r = 0 và r0 =1/ A Tính kì dị của thế chuẩn không Abel tại r =

0 thì cũng giống như tính kì dị của thế Coulomb gây bởi một điện tích điểm tại r = 0

trong hình thức luận điện từ cổ điển Còn tính kì dị của thế chuẩn không Abel tại0

1

r

A

= dường như biểu lộ sự giam cầm tích chuẩn SU(2) Một hạt mang tích chuẩn

SU(2) đi vào miền r 1

A

< thì không thể rời khỏi trong miền này

Dễ dàng thấy rằng các nghiệm (1.9) và (1.10) là tự đối ngẫu, bởi vì các cường độtrường a, a

1.2 NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS-HIGGS

1.2.1 Trường Higgs và sự phá vỡ đối xứng tự phát

Trường Yang-Mills SU(2) liên kết với một tam tuyến Higgs được xác định bởimật độ Lagrangian:

Điều này thì tương tự như sự phá vỡ đối xứng tự phát trong lý thuyết trường lượng

tử, ở đấy người ta cho trường Higgs một giá trị kỳ vọng chân không khác không

0

a

φ

< > ≠ Nếu φ ≠a 0 tại vô hạn, điều này dẫn đến sự phá vỡ bất biến chuẩn SU(2)

định xứ theo nghĩa, một nghiệm bất kỳ thỏa mãn điều kiện (1.17) không bất biến đối

với nhóm chuẩn SU(2) toàn cục Tuy nhiên nghiệm này bất biến đối với nhóm conU(1) của nhóm chuẩn SU(2).

1.2.2 Các phương trình trường trong hệ Yang-Mills-Higgs

Từ mật độ Lagrangian (1.14), sử dụng phương trình Lagrange-Euler, chúng tôitìm được các phương trình chuyển động của trường chuẩn SU(2) liên kết với một tamtuyến Higgs Chúng có dạng:

φ = ∧

ở đây a

r∧ là bán kính vectơ đơn vị, K r( ) ( ), J r , H r( ) là các hàm chỉ phụ thuộc vào r.

Nếu chỉ quan tâm tới các nghiệm tĩnh thì tất cả các đạo hàm theo thời gian trong cácphương trình (1.18), (1.19) sẽ bằng không Khi thế ansatz (1.20) vào các phương trình(1.18), (1.19), chúng tôi nhận được hệ ba phương trình vi phân phi tuyến liên kết (phụlục A):

Những dấu phẩy phía trên các hàm trường trong hệ phương trình (1.21) chỉ đạo hàm

theo r Hệ phương trình (1.21) chỉ có thể giải được chính xác trong một số trường hợp

đơn giản

1.2.3 Một số dạng nghiệm

1.2.3.1 Nghiệm monopole từ ‘ t Hooft-Poliakov

Khi thành phần thời gian của trường chuẩn SU(2) bằng không ( 0

φ = ∧

Hệ phương trình vi phân phi tuyến (1.22) chỉ giải được chính xác khi các hằng số

2 0, 0,

m = λ= còn khi m2 ≠0,λ≠0 thì chỉ giải được bằng phương pháp số ‘t Hooft và

Poliakov đã độc lập tìm được nghiệm của các phương trình chuyển động (1.22) khi m

và λ khác không Nghiệm này được gọi là monopole ‘t Hooft-Poliakov [11, 12] Cácđặc tính của nghiệm là

− Wµa và φa không kì dị ở mọi nơi

− Thành phần tầm xa của nghiệm tương ứng với trường điện từ của một monopole từtĩnh

− Nghiệm có năng lượng hữu hạn và ổn định

Ta xét nghiệm thỏa mãn điều kiện biên ở khoảng cách lớn (r→ ∞) của hệ phương

trong đó A, B là các hằng số Từ (1.24) ta thấy, đại lượng gm/ λ có ý nghĩa là khối

lượng của thành phần không gian của trường chuẩn Nếu gọi M w là khối lượng củathành phần không gian của trường chuẩn thì M W =(gm/ λ). Theo (1.26) thì1/ ,

a

a a a

ở đây Aµ là thành phần không khối lượng của thế chuẩn Wµa Dễ dàng thấy rằng vớiansatz đối xứng cầu (1.20) thì φ∧a =r∧a, phương trình (1.32) cho kết quả:

m q g

Trường hợp C≠0 nghiệm (1.38) tương ứng với sự phá vỡ đối xứng SU(2) định

xứ, bởi vì: khi r→ ∞ thì K r( ) →Cre−Cr. Như vậy C là khối lượng của hai thành phần

trường Yang-Mills, nó nhận được khối lượng qua sự phá vỡ đối xứng chuẩn định xứ.Khi C→0 thì K →1, J →0, H →0, nghiệm (1.38) - (1.40) trở thành nghiệm chân

Tµν =Fµρa Fρνa+Dµφa Dνφa +gµνL, (1.41) nghĩa là

4cosh

C E

Sau đây chúng tôi sẽ xét chi tiết các tính chất và ý nghĩa của nghiệm Singleton.

Do có sự tương tự giữa nghiệm Singleton của lý thuyết Yang-Mills-Higgs và nghiệmSchwarzschild của lý thuyết tương đối tổng quát, nên người ta cho rằng có mối liên hệgiữa trường Yang-Mills và trường hấp dẫn

Các hàm trường K r( ) ( ), J r , H r( ) có kì dị tại r0 =1/ A Trường chuẩn không Abel

SU(2) và trường Higgs cho bởi ansatz (1.20) tương ứng với các nghiệm (1.44) - (1.46)

có kì dị tại r=0, và r0 =1/ A Tính kì dị của trường chuẩn không Abelian và của

trường Higgs tại r = 0 thì cũng tương tự như tính kì dị của thế Coulomb của một điện

tích điểm trong hình thức luận điện từ trường cổ điển Từ các phương trình (1.2),(1.13) và (1.20), chúng tôi tìm được các biểu thức xác định cường độ điện từ trườngkhông Abel (phụ lục B):

,

a a i ai a i i

Điện trường không Abel và từ trường không Abel có kì dị tại r = 0 và r0 =1/ A Do

tính kì dị của các thế chuẩn cũng như tính kì dị của cường độ điện từ trường khôngAbel tại r0 =1/ ,A người ta cho rằng nghiệm của Singleton có ý nghĩa trong việc giải

thích cơ chế giam cầm các tích chuẩn SU(2) Một hạt mang tích chuẩn SU(2) đi vàomiền r0 =1/A sẽ bị giữ lại trong miền này.

Cũng tương tự như việc xác định năng lượng của dyon Julia-Zee, năng lượng củanghiệm Singleton (1.44) - (1.46) cũng được xác định bởi tích phân:

c

A

> =Điều này được làm để tránh kì dị tại r=0, r0. Khi thế các nghiệm (1.44) - (1.46) vào

(1.53) và tích phân ta được:

( 2 2 ) ( ( ) )

3 2

4

.1

c

c c

Ar C

c

c c

Ar E

Chương 2 NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS VỚI NGUỒN NGOÀI ĐỐI XỨNG CẦU

Trong chương này chúng tôi khảo sát các phương trình Yang-Mills với nguồn

ngoài tĩnh, đối với nhóm chuẩn SU(2) Bằng cách sử dụng phương pháp tham số hóa

vectơ, chúng tôi chứng minh được rằng trong trường hợp nguồn ngoài yếu và có dạngđối xứng cầu, nghiệm của bài toán có thể tìm được dưới dạng tường minh biểu diễn

qua nguồn có định hướng SU(2) cho trước.

2.1 THAM SỐ HÓA VECTƠ CỦA NHÓM SU(2)

Các phương trình Yang-Mills là các phương trình phi tuyến liên kết phức tạp Khigiải các phương trình này đôi khi người ta sử dụng phương pháp tham số hóa vectơcác phép biến đổi chuẩn định xứ để đưa các phương trình Yang-Mills về dạng đơngiản hơn Sau đây chúng tôi trình bày phương pháp tham số hóa vectơ của nhóm

SU(2).

Xét nhóm unita không Abel đơn giản nhất: nhóm SU(2), biểu thức hàm số mũ cho

ma trận của các phép biến đổi chuẩn hữu hạn U∈SU( )2 có dạng [14]

Suy ra:

cos sin .

i U

21

,1

tương ứng sự tham số hóa vectơ của nhóm SO(3, R) [15] Vectơ tham số η→ có ý nghĩahình học đơn giản: phương của η→ trùng với trục quay, còn độ lớn của nó thì bằng tangcủa nửa góc quay.

Yếu tố nhóm SU(2) được tham số hóa bởi η→ Bây giờ ta hãy xét tích của hai phép

1

,1

iη ση

→ →

→

−

=+

ở đây

2 ' 2 ' ' 2

2 '

Từ (2.10) có thể chứng minh các tính chất sau đây của phép tổ hợp các tham số:

ở đây Λ  ÷  η→ là ma trận, các phần tử của nó phụ thuộc vào tham số vectơ η→.

Ngoài cách tham số hóa vectơ trên, người ta đã đưa ra một dạng tham số hóa

vectơ khác cho nhóm SU(2)

1 1

11

a a

a a

in

i n U

2.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH YANG-MILLS TĨNH KHI CÓ NGUỒN NGOÀI

Các phương trình Yang-Mills chứa nguồn ngoài có dạng

D Fµ aµν = gδ ρν0 a, (2.15)

F aµν = ∂µW aν − ∂νW aµ +gεabc W W bµ cν, (2.16)

D Fµ aµν = ∂µF aµν +gεabc W F bµ cµν, (2.17)

trong đó F aµν,W aµ là tenxơ cường độ trường và thế Yang-Mills xét đối với nhóm chuẩn

SU(2), ρa là mật độ của tích màu ngoài, g là hằng số tương tác Yang-Mills, các chỉ số

µ ν = là các chỉ số không-thời gian; a, b, c = 1, 2, 3 là các chỉ số của nhóm

SU(2) Ta chỉ xét nguồn ngoài là tĩnh và mật độ ρa triệt tiêu nhanh khi r → ∞

Tính tương thích của phương trình (2.15) đòi hỏi phải thỏa mãn điều kiện

Dưới đây để đơn giản cho cách viết ta đặt hằng số tương tác g = 1, và biểu diễn các

phương trình (2.15), (2.16) qua cường độ điện trường và cường độ từ trường Mills

ij

0 j

i a a

D F =D E

Từ phương trình (2.17), nếu chỉ xét các nghiệm tĩnh, ta có