ĐỀ THI THỬ KÌ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016

Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát Un của dãy số Un xác định nh- sau: a... Cmr mọi số hạng của dãy đều là số nguyên.. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số đều là số nguyên 8.. Xỏ

Nguyễn Văn Toàn 0982 782 990 Trường THPT Lạng Giang số 1

BÀI TẬP

A PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUI NẠP TOÁN HỌC 1.Chứng minh rằng :

a) 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)

2 b) 12 + 22 + 32 + …+ n2 =

n(n + 1)(2n + 1)

c) 1 + 3 + 5 + …+ (2n – 1) = n2 d) 12 + 32 + 52 + …+ (2n – 1)2 = n(2n – 1)(2n + 1)

3

e) 13 + 23 + 33 + …+ n3 = n

2(n + 1)2

4 f)

1 1.2 +

1 2.3 +

1 3.4 + +

1 n(n + 1) =

n

n + 1

g) 1 + 1

2 +

1

22 + +

1

2n = 1 –

1

2n h) (1 –

1

4 )(1 –

1

9 )…(1 –

1

n2 ) =

n + 1 2n

i) 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)

3 j) 1.2 + 2.5 + 3.8 + …+ n(3n – 1) = n

2(n + 1) nN

k) 1

1.3 +

1

3.5 +

1 5.7 + +

1 (2n – 1)(2n + 1) =

n 2n + 1 l) 1.2 + 2.5 + 3.7 + …+ n(3n – 1) = n

2(n + 1)

m) 1.4 + 2.7 + 3.10 + …+ n(3n + 1) = n(n + 1)2 n) 1 + 4 + 7 + …+ (3n + 1) = 3n

2 + 5n + 2

2

o) 2 + 5 + 8 + …+ (3n – 1) = n(3n + 1)

2 p)

1

3 +

1

32 +

1

33 + +

1

3n =

3n – 1 2.3n q) 1

3 +

2

32 +

3

33 + +

n

3n =

3

4 –

2n + 3 4.3n t) 1 + 3 + 6 + 10 + +

n(n + 1)

2 =

n(n + 1)(n + 2)

6

u) 1

1.2.3 + +

1 n(n + 1)(n + 2) =

n(n + 3) 4(n + 1)(n + 2)

2.Chứng minh rằng :

a) n3 – n chia hết cho 6 n b) n3 + 11n chia hết cho 6 n c) 42n +2 – 1 chia hết cho 15 n d) 2n+2 > 2n + 5 e) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 f) 4n + 15n – 1 chia hết cho 9 g) 3n – 1 > n  n > 1 h) 3n > 3n + 1

i) 2n – n > 3

2 i)11n +1 + 122n – 1 chia hết cho 133 j) 5.23n – 2 + 33n – 1 chia hết cho 19 k) 3n > n2 + 4n + 5 l) 2n3 – 3n2 + n chia hết cho 6 m) 1

n + 1 +

1

n + 2 +

1

n + 3 + …+

1 2n >

13

24  n >1 n) 1

n + 1 +

1

n + 2 +

1

n + 3 + …+

1 3n + 1 > 1  n ≥ 1 o) 1

2.

3

4.

5

6…

2n + 1 2n + 2 <

1 3n + 4

p) 1 + 1

2 +

1

3 + …+

1

n > n n ≥ 2 q) 1 + 1

2 +

1

3 + …+

1

n < 2 n n ≥ 2 k) 1 + 1

2 +

1

3 + …+

1

2n – 1 < n

3 Chứng minh rằng 2 + 2 + …+ 2 = 2cos 

2n + 1 ( n dấu căn)

4 Chứng minh rằng

a) sinx + sin2x + …+ sinnx =

sinnx

2.sin

(n +1)x 2

sinx 2

b) 1 + cosx + cos2x + …+ cosnx =

cosnx

2.sin

(n +1)x 2

sinx 2

c) cos2x + cos22x + cos23x + …+ cos2nx = n

2 +

sinnx.cos(n + 1)x 2sinx

5 Cho n số thực dương x1,x2,…,xn thỏa mãn điều kiện x1.x2.…xn = 1 Chứng minh rằng: x1 + x2 + …+ xn ≥ n

6 Cho n số thực x1,x2,…,xn  (0;1) n ≥ 2 Cmr: (1 – x1)(1– x2)…(1 – xn) > 1 – x1 – x2 – …– xn

B DÃY SỐ

1 Viết 5 số hạng đầu tiên của các dãy số sau :

a) un = 1

2n – 1 b) un =

3n + 1

n2 + 1 c) un =

1 + (– 2)n

n + 1 d) un =

1

n + 1 – n

e) un = n

2n b) un =

2n – 1

2n + 1 c) un = (1 +

1

n )

n d) un = n + 1

n2 + 1

Nguyễn Văn Toàn 0982 782 990 Trường THPT Lạng Giang số 1

2 Cho dãy số un = 3n – 1

2n + 1

a) Xác định 5 số hạng đầu b) số 17

15 là số hạng thứ mấy của dãy c) số

32

7 là số hạng thứ mấy của dãy

3 Cho dãy số (un) với un = 5.4n – 1 + 3 Chứng minh rằng: un + 1 = 4un – 9  n ≥ 1

4 Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:

a) u1 = 3 ; un +1 = un + 4 b) u1 = 4 ; un +1 = 3un + 2 c) u1 = 2 ; u n +1 = 1

2 un d) u1 = 2 ; un +1 = 2 + un e) u1 = 3

3 ; un +1 =

un + 1

1 – un f) u1 = 3 ; un +1 = un + 1

1 – un g) u1 = 1; u n +1 = 1

3 un + 1 h) u1 = 1; un +1 = un+(

1

2 )

n i) u11, u n12u n3 j) 2

1 3, n 1 1 n

u  u   u k) u13,u n12u n

l) u1 1,u n12u n1 m) u11, u n1u n7 n) 1 5

4

2

1

1





n

u u

5 Cho dãy số (un) xác định bởi : u1 = 0 ; u2 = 1 ; un + 2 = un+1 + un

2

a) Chứng minh rằng: un + 1 = – 1

2 un + 1 b) Xác định công thức tính un Từ đó tính limun

6 Cho dãy số (un) xác định bởi : u1 = 2 ; u2 = 1 ; un = un–1 + un– 2

2

a)Chứng minh rằng: 2un + un–1 = 4 và un – un– 1 = 3(– 1

2 ) n– 2 b) Tính limun

7 Tìm số hạng thứ 2015 của dãy số:

a) u1 = 1 ; u2 = – 2 ; un = 3un – 1 – 2un – 2 b) u1 = 1 ; u2 = 2 ; un = 4un – 1 – 3un – 2

8 Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un + 1= un + 7  n ≥ 1

a) Tính u2, u4 và u6 b) Chứng minh rằng: un = 7n – 6 n ≥ 1

9 Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un + 1= – 3

2 un +

5

2 un + 1  n ≥ 1 a) Tính u2, u3 và u4 b) Chứng minh rằng: un = un + 3 n ≥ 1

10 Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un + 1= 5un  n ≥ 1

a) Tính u2, u4 và u6 b) Chứng minh rằng: un = 2.5n – 1 n ≥ 1

11 Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un + 1= 3un + 2n – 1  n ≥ 1 Chứng minh: un = 3n – n n ≥ 1

12 Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un + 1= un + 4

4  n ≥ 1 Chứng minh: (un) là một dãy không đổi

13 Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1

3 và un + 1= 4un + 7  n ≥ 1 a) Tính u2, u3 và u4 b) Chứng minh rằng: un = 2

2n + 1 – 7

3 n ≥ 1

14 Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:

a) un = 3n

2 – 2n +1

n +1 b) un =

n2 + n +1 2n2 +1 c) un = n – n

2 – 1 d) un = n +1 – 1

n e)

2 1

3 2

u n







f) 4 1

4 5

n

( 1) 2

n n

u n





 h)

2 2

1 1

u n

 



 j)

2 cos

n

u

n





15 Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:

a) un = n + 1

n b) un = n

2 – 5 c) un = n – 1

2n d) un = (– 1)

n.n e) un = 2n f) un = 3

n

4n g) un =

(– 1)n.n

n + 1

h) un = 2 – n

n i) un = n + cos

2n k) un = 1 – n + 1 l) un = 2n + 1

5n m) un =

2n n

3n

16 Xét tính tăng giảm của các dãy số sau :

a) un = n

2 + 1

n2 b) un =

n

3 c) un = n

4n d) un = n + 1 – n e) un = 2 + 2 + 2 + …+ 2 n dấu căn f) un = 2n + cos1

n g) un =

1

n – 2 h) un =

n – 1

n + 1 i) un = (– 1)

n(2n + 1) k) un = 2n + 1

5n + 2

Nguyễn Văn Toàn 0982 782 990 Trường THPT Lạng Giang số 1

17 Cho dóy số (un) xỏc định bởi un = an

2 + 1 2n2 + 3 a là một số thực.Hóy xỏc định a để:

a) (un) là dóy số giảm b) (un) là dóy số tăng

18 Xột tớnh bị chặn của cỏc dóy số sau:

a) un = n + 1

n b) un =

2n – 1 3n + 1 c) un =

n – 1

n2 + 1 d) un =

n2

n2 + 1 e) un =

2n2

n2 + 1 f) un =

2n2 + 2n + 1

n2 + n + 4 g) un = 6 + 6 + … + 6 n dấu căn h) 2 3

2

u n





 bj

1 ( 1)

n u

n n



2 4

n

k)

2

2

2 1

u





n u



  m) ( 1) cos

2

n n

u

n

19 Chứng minh rằng dóy số sau tăng và bị chặn trờn: un = 1

1.2 +

1 2.3 + …+

1 n(n +1)

20 Chứng minh rằng dóy số sau giảm và bị chặn : un = n + 3

n + 1

21.Cho dóy số (un) xỏc định bởi cụng thức: u1 = 0 và un +1 = 1

2 un + 4 a) Chứng minh rằng un < 8  n b)Chứng minh rằng dóy (un) tăng và bị chặn

22 Cho dóy số (un) xỏc định bởi cụng thức u1 = 1 và un +1 = un + 2

un + 1 a) Tỡm 5 số hạng đầu tiờn của dóy số

b)Chứng minh rằng (un) bị chặn dưới bởi số 1 và bị chặn trờn bởi số 3/2

23 Cho dóy số (un) xỏc định bởi cụng thức u1 = 6 và un +1= 6 + un Chứng minh rằng un < 3  n

24 Cho dóy số (un) xỏc định bởi un = n + (– 1)

n 2n + 1 a) Tỡm 5 số hạng đầu tiờn b) Chứng minh rằng (un) bị chặn

25 Chứng minh rằng dóy số xỏc định bởi : u1 = 1

2 ; un +1=

un + 1

2 tăng và bị chặn trờn

26 Chứng minh rằng:cỏc dóy số sau

a) un = 1

n + 1 +

1

n + 2 + … +

1

n + n (un) là dóy tăng và bị chặn trờn bởi 1 b) un = 1 + 1

22 +

1

32 + …+

1

n2 tăng và bị chặn trờn bởi 2 c) u1 = 2 ;un + 1 = 2 + un tăng và bị chặn trờn bởi 2

d) u1 = 1;un + 1 = un+ 2

un + 1 tăng và bị chặn trờn bởi

3

2

27 Tỡm số hạng lớn nhất của dóy số (un) với un = n – 1

n2 – n + 7

C BÀI TẬP NÂNG CAO

1 Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát Un của dãy số (Un) xác định nh- sau:

a



















 5 6 ; 1,2,3,

5

;

2

1 2

2

1

n u u

u

u

u

n n















 ; 1,2,3,

1

; 1

1 2

2 1

n u u u

u u

n n

















 3 8 1 , 0,1,2,3

2

2 1

0

n u

u u

u

n n

n

d



















3

;

2

1 1

2

1

n u u

u

u

u

n n

















2

; 1

1 1

2 1

n u

u u

u u

n n



















2

2

; 1

1 1

2 1

n u u u

u u

n n n

2 Cho dãy số (un) xác định nh- sau:





























) 2 3 ( 1

3 2 3 3

1

1

n u

u u

u

n

n

Tìm U1998

Nguyễn Văn Toàn 0982 782 990 Trường THPT Lạng Giang số 1

3 Cho dãy số (un) đ-ợc xác định:























2

3 2 2 1

1 1

1

n u

n

n u

u

n

Cmr:nN:u1u2 u n 1

4 Hai dãy số u0, u1, u2, …, un , …và v0, v1, v2, …, vn, … đ-ợc xác định nh- sau:

,

3 , 2 , 1 , 0 1

1 2

2

;

2

1

0  u    u n

u n n và 1; 1 1 0,1,2,3,

2 1

0      n

v

v v

v

n

n

Chứng minh rằng: 2 2  2 2  0,1,2,3,

n v

n



5 Cho dãy số (un) cú

1

1

2

, 1, 2,3,

1 1

n

n

u

n u

u







  

 gọi p là số lẻ và q là số chẵn bất kỳ Chứng minh: up > uq

6 Cho dãy số (un): 1

2 1

0

5 24 1, 1, 2,

u







 Cmr mọi số hạng của dãy đều là số nguyên

7 Cho dãy số (un):

1 2 2 1 2

1 2 , 3, 4,

n n n

u

u















Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số đều là số nguyên

8 Tỡm số hạng tổng quỏt của dóy số un xỏc định bởi :

1

1

, 1,

1 2

n n

n

u

u u







 



9 Xỏc định số hạng tổng quỏt của cỏc dóy số: a

1

1

3

; 1 1

n n

n

u

u

u









b

1

1

2

; 1

n n

n

u

u

u



 







10 Cho dóy số (un) xỏc định bởi : 1

1

2

3 1 , 1

u





 Tỡnh tổng 1

n i i





11 Tỡm số hạng tổng quỏt của dóy số un xỏc định bởi :

3 1

1

2, 1, 2

u









12 Tỡm số hạng tổng quỏt un của dóy (un) được xỏc định : 1

1

3 3.4n

u







 

13 Tỡm số hạng tổng quỏt un của dóy số (un) xỏc định bởi :

1 1 1

; 1 3 2

n n n

u

u u









 



14 Tỡm số hạng tổng quỏt un của dóy số (un) xỏc định bởi

a) 1 2

2, 3

3 2 ; 2



1 2

2, 3

5 6 ; 2



1 2

2 1

1, 2

9 18 ; 1



 d) 1 2

2 1

2, 3

3 2 ; 1



1 2

2 1

0, 1

4 3 ; 1



A - NVT -1