SKKN ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán

Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về Giá trị tuyệt đối không nhiều song lại rất quan trọng, đó là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp tục học lên ở cấp THPT.. Khi gi

PHẦN I: LÝ DO NGHIÊN CỨU

I Cơ sở lý luận

Trong quá trình phát triển, xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sựnghiệp đào tạo con người Chính vì vậy mà dạy Toán không ngừng được bổsung và đổi mới để đáp ứng với sự ra đời của nó và sự đòi hỏi của xã hội Vì vậymỗi người giáo viên nói chung phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phươngpháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi mới của Đảng và Nhà nước đặt ra

Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về Giá trị tuyệt đối không nhiều song lại rất quan trọng, đó là những tiền đề cơ bản để học sinh

tiếp tục học lên ở cấp THPT

Khi giải toán có áp dụng Giá trị tuyệt đối đòi hỏi học sinh phải nắm vững

các kiến thức cơ bản về phương trình, hệ phương trình, các phép biến đổi đạisố Học sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức, kỹ năng từ đơngiản đến phức tạp

“Ứng dụng của Giá trị tuyệt đối trong giải toán” giúp học sinh phát triển

tư duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo trong giải toán Đồng thời giáodục tư tưởng, ý thức,thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh

II Cơ sở thực tiễn

Giá trị tuyệt đối là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều học sinh không biết cách áp dụng Giá trị tuyệt đối để giải toán như thế nào? Có những phương pháp nào? Mặt khác, nội dung thi vào cấp THPT có áp dụng Giá trị tuyệt đối rất hạn chế nên học sinh lại càng không chú ý.

Các bài toán về ứng dụng của Giá trị tuyệt đối là một dạng toán hay và

khó, có nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuynhiên, các tài liệu viết về vấn đề này rất hạn chế hoặc chưa hệ thống thành cácphương pháp nhất định gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh,cũng như trong công tác tự bồi dưỡng của giáo viên

Mặt khác, việc tìm hiểu các phương pháp giải có ứng dụng Giá trị tuyệt đối hiện nay còn ít giáo viên nghiên cứu.

Vì vậy việc nghiên cứu các phương pháp giải bài toán có ứng dụng Giá trị tuyệt đối là rất thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định

được phương pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chấtlượng dạy và học, đặc biệt là chất lượng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở cáctrường THCS

III Mục đích nghiên cứu

+ Nghiên cứu về “Ứng dụng của Giá trị tuyệt đối trong giải toán” giúp giáo

viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức

đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết Từ đó có phương pháp giảngdạy phần này có hiệu quả

+ Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy học

phần Giá trị tuyệt đối trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi, từ đó định hướng nâng

cao chất lượng dạy và học môn toán

+ Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy thành

công về Giá trị tuyệt đối.

IV Nhiệm vụ nghiên cứu

1 Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trường

2 Hệ thống hoá một số phương pháp giải có ứng dụng Giá trị tuyệt đối.

3 Tìm hiểu mức độ và kết quả đạt được khi triển khai đề tài

4 Phân tích rút ra bài học kinh nghiệm

V Phạm vi và đối tượng nghiên cứu

1 Đối tượng nghiên cứu:

a Các tài liệu

b Giáo viên, học sinh khá giỏi ở trường THCS Đông Thái

2 Phạm vi nghiên cứu:

Các phương pháp ứng dụng của Giá trị tuyệt đối trong giải toán thường

gặp ở THCS

VI Phương pháp nghiên cứu

1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu

2 Phương pháp điều tra, khảo sát

3 Phương pháp thử nghiệm

4 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

VII Giả thuyết khoa học

Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng sángkiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh hamthích học dạng toán này hơn

PHẦN II: NỘI DUNG

A Lý thuyết giá trị tuyết đối.

1 Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị

tuyệt đối của một số a (a là số thực)

* Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm

là số đối của nó

Tổng quát: Nếu a 0  a a

Nếu a 0  a  a

Nếu x-a  0=> = x-a

Nếu x-a  0=> = a-x

2 Tính chất

* Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm

* Tổng quát: a  0 với mọi a  R

* Cụ thể:

=0 <=> a=0 ≠ 0 <=> a ≠ 0

* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, vàngược lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhauhoặc đối nhau

* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt

đối của hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu

A

k x A k

x A

) (

) ( )

1   x  c) 12 x51  31 d)

8

7 1

2

4

3 x 

11  x 

c) 3

2

1 4

b a b

(

) ( ) ( )

( ) (

x B x

A

x B x A x

B x A

5 2

7 4

5x  x 

2

1 6

5 8

7x  x 

3 Dạng 3: A(x)  B(x) (Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x)

* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn

vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm Do vậy ta giải như sau:

) ( )

(

) ( ) ( )

( )

(

x B x

A

x B x A x

B x

(Đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện (*))

* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

Nếu a 0  a a

Nếu a 0  a  a

Ta giải như sau: A(x)  B(x) (1)

 Nếu A(x)  0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm đượcvới điều kiện )

 Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìmđược với điều kiện )

* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

m x C x B x

A( )  ( )  ( ) 

Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán (Đối chiếu điều kiện tương ứng)

Ví dụ1 : Tìm x biết rằng x   1 x 3 2x (1)1

 Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt

đối thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối Vậy ta sẽ biến đổi biểuthức ở vế trái của đẳng thức trên Từ đó sẽ tìm được x

1 5

1

5

1 2 2

1 3 2

1 3 2

D(x C(x)

101

3 101

2 101



100 99

1

4 3

1 3

2

1 2

1

7 5

1 5

3

1 3

1

13 9

1 9

5

1 5

B A

11 5 , 1 4

B A

Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn:

a) 5x 1  6y 8  0 b) x 2y  4y 3  0 c) xy 2  2y 1  0

Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn:

a) 12x 8  11y 5  0 b) 3x 2y  4y 1  0 c) xy 7  xy 10  0

Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất

không âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có cácbài tương tự

1 2 1 3

7 5

4 2008

2007 2

Nếu m = 0 thì ta có A  B  0   

0 0

B A

Nếu m > 0 ta giải như sau:

m B

A   (1)

0 0

A

(2)

Từ (1) và (2)  0  A  B m từ đó giải bài toán A  B k như dạng 1 với

Đánh giá: A(y)  0 A(x).B(x)  0 n xm tìm được giá trị của x

Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:

a) x 2x 3 0 b) 2x 12x 5 0

c) 3  2xx 2  0 d) 3x 15  2x 0

Bài 4.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

c) 2 6 2

10 5

Bài 5.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

8 1

x x

12 5

x

Bài 5.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

a)  

3 1

14 7

y

5 2 3

20 4

x

III Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

* Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn.

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3 , 5 x 4 , 1

a) A x 3 , 5  4 , 1 x b) B x 3 , 5  x 4 , 1

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau khi x < – 1,3:

IV Tính giá trị biểu thức.

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:

2  

 y x

b) B  3a 3abb với ; 0 , 25

3

1 

 b a

d) D 3x2  2x 1 với x  21

Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức:

c) C 2x 2  3 1 x với x = 4

d)

1 3

1 7

D với x  21

V Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

1 Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối.

* Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vậndụng tính chất của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức

Bài 1.1 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:

a) A 0 , 5  x 3 , 5 b) B  1 , 4 x  2 c)  43 52

x

x C

Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

c) 54 3 5204 58

y x

21 3

Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

28 12

2 Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu thức:

Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 2.5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2    

D

PHẦN III : KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC

Nội dung về giá trị tuyệt đối được đưa vào chính khóa trong thời gian

cuối của học kỳ II lớp 8, tuy là kiến thức khó, học sinh rất dễ nhầm lẫn khi giảitoán nhưng lượng thời gian dành cho vấn đề này rất ít nên hầu như giáo viên đềulảng tránh nội dung này trong phần ôn tập và kiểm tra học kỳ II Chính vì vậy,học sinh khi gặp nội dung này trong đề thi thường nghĩ ngay là bài khó và ngạilàm Để khắc phục tình trạng này, trong thời gian ôn tập hè hàng năm tôi đều

dành ba buổi học có nội dung về “Ứng dụng của giá trị tuyệt đối trong giải toán” để dạy cho học sinh, giúp học sinh lên lớp 9 nắm chắc kiến thức của

chương trình Tùy theo chất lượng học sinh hang năm tôi điều chỉnh lượng kiếnthức phù hợp để các em hiểu và hứng thú trong học tập Qua ba năm triển khaicho học sinh từ lớp 8 lên lớp 9 tôi thấy hiệu quả đạt được rất tích cực, các emkhông còn ngại làm những bài có giá trị tuyệt đối, thậm chí rất thích vì bài toán

PHẦN IV : KẾT LUẬN

I Bài học kinh nghiệm

Ứng dụng của Giá trị tuyệt đối là một dạng toán không thể thiếu được

trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Nếu chỉ dừng lại yêu cầutrong sách giáo khoa thì chưa đủ, vì vậy đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học,

tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo thường xuyên bổ xung kiến thức và tích luỹ kinhnghiệm về vấn đề này

* Để dạy cho học sinh hiểu và vận dụng tốt các ứng dụng của Giá trị tuyệt đối thì bản thân mỗi giáo viên phải hiểu và nắm vững về Giá trị tuyệt đối : các dạng của Giá trị tuyệt đối , phân biệt sự khác nhau giữa các dạng, đồng thời phải nắm vững các phương pháp giải của các dạng toán có ứng dụng Giá trị tuyệt đối

* Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho bản thân nâng cao kiếnthức nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả, ngoài ra còn giúpbản thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu để có thể tiếp tục nghiêncứu các vấn đề khác tốt hơn trong suốt quá trình dạy học của mình

II-Kết luận chung:

Để thực hiện tốt công việc giảng dạy, đặc biệt là công tác bồi dưỡng họcsinh giỏi người thày phải thường xuyên học, học tập, nghiên cứu

Trong quá trình giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dưỡng, đọc tàiliệu tham khảo , tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên Hy vọng đề tài

“Ứng dụng của Giá trị tuyệt đối trong giải toán” là một kinh nghiệm của mình

để giúp học sinh tiếp thu vấn đề này, phần nào nâng cao năng lực tư duy, sự

sáng tạo và rèn kỹ năng giải các bài toán có ứng dụng Giá trị tuyệt đối cho học

Tường Thị Thanh Mai

MỤC LỤC

I.Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối 5

II Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá

III Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 17

V Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị

LỜI CAM ĐOAN



Tôi xin cam đoan rằng đây là sáng kiến kinh nghiệm của tôi Các nội dung nghiên cứu

và kết quả trong đề tài này là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ sáng kiến kinh nghiệm nào trước đây Nếu phát hiện có bất kỳ sự gian lận nào tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước Hội đồng, cũng như kết quả sáng kiến kinh nghiệm của mình.

Đông Thái, ngày 15 tháng 4 năm

2013

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Người viết

Tường Thị Thanh Mai