giáo án phương pháp quy nạp toán học

Kĩ năng Biết cách giải các bài tập về dãy số nh tìm số hạng tổng quát, xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số.. Dạy bài mới Đặt vấn đề: Tiết trước cỏc em đó được học về dóy số, tiết

Ngày soạn: 2015 Ngày giảng: 11A: 11C:

11B:

TIẾT 37

Đ1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

T duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống

II Chuẩn bị của giỏo viờn và học sinh

Giáo viên: sgk, bài soạn, máy tính bỏ túi

Học sinh: sgk, vở ghi, máy tính bỏ túi

III Tiến trỡnh bài dạy

1 Ổn định lớp (1 phỳt)

2 Kiểm tra bài cũ (Kết hợp kiểm tra trong khi dạy bài mới)

3 Bài mới

Đặt vấn đề: Trong khi giải toỏn chỳng ta cú cỏc bài toỏn liờn quan tới số tự nhiờn.

Ngoài cỏc cỏch giải đó biết hụm nay thầy giới thiệu cho cỏc em thờm một phương phỏp nữa đú là phương phỏp quy nạp toỏn học (1 phỳt)

Nêu bài toán

Kiểm tra khi n=1 ?

Bớc 1: Kiểm tra mệnh đề

đúng với n=1

Bớc 2: Giả thiết mệnh đề

đúng với một số tự nhiênbất kì n k= ≥ 1(gọi là giả

thiết quy nạp), chứngminh răng nó cũng đúngvới n=k+1

Đọc bài toán và sử dụngphơng pháp quy nạp đểchứng minh?

nó cũng đúng với n=k+1

Đó là phơng pháp quy nạp toán học,hay còn gọi tắt là phơng pháp quynạp

II Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1: chứng minh rằng với

*

n N∈ thì:

2

1 3 5 (2 + + + + n− = 1) n (1)Giải :

Bớc 1: khi n=1 , ta có :1 1 = 2 vậy hệ

thức (1) đúng

Bớc 2: Đặt vế trái bằng SnGiả sử đẳng thức đúng với n k= ≥ 1,

Bớc 1: với n=1, ta có:

A = MBớc 2: Giả sử với n k= ≥ 1

ta có:

( 3 ) 3

k

A = k −k M(giả thiếtquy nạp) Ta phải chứngminh :A k+1M 3

- ở bớc 2, ta giải thiếtmệnh đề đúng với số tựnhiên bất kì n k= ≥ p và

ta phải chứng minh rằng

nó cũng đúng với n = k+1

So sánh khi n=1, 2, 3, 4,5

n=1: 3 < 8 n=2: 9 < 16 n=3: 27 > 24 n=4: 81 > 32 n=5: 3 5 > 40

Đọc ví dụ và sử dụng

ph-ơng pháp quy nạp đểchứng minh?

Bớc 1: với n≥ 3 thì (3)

đúngBớc 2: Giả sử với n k= ≥ 1

1

2

1 3 5 (2 1) 2( 1) 1 ( 1)

3

n −n MGiải : đặt 3

n

A = −n n

Bớc 1: với n=1, ta có: A1= 0 3 MBớc 2: Giả sử với n k= ≥ 1 ta có:

n

A = −n n chia hết cho 3 vớimọi n N∈ *

Chú ý :

Nếu phải chứng minh mệnh đề là

đúng với mọi số tự nhiên n≥ p(p làmột số tự nhiên) thì :

- ở bớc 1, ta phải chứng minh mệnh

đề đúng với n=p

- ở bớc 2, ta giải thiết mệnh đề đúngvới số tự nhiên bất kì n k= ≥ p và taphải chứng minh rằng nó cũng đúngvới n = k +1

Giải :

a, so sánh 3n với 8n

Khi n=1: 3 < 8 n=2: 9 < 16 n=3: 27 > 24

k k

− ≥

n=4: 81 > 32 n=5: 3 5 > 40

b, Với n≥ 3 thì 3n>8n.(3)Chứng minh:

Bớc 1: với n≥ 3 thì (3) đúng Bớc 2:giả thiết mệnh đề đúng với

3

n k= ≥ nghĩa là : 3k ≥8k ta phải

chứng minh mđ(3) đúng với n k= + 1tức là : 3k+1 ≥ 8(k+ 1)

Theo giả thiết quy nạp ta có :3k ≥8k

k

k k

− ≥

vớimọi n k= ≥ 3thì mệnh đề luôn đúng

T duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống

II Chuẩn bị của giỏo viờn và học sinh

Giáo viên: sgk, bài soạn, máy tính bỏ túi

Häc sinh: sgk, vë ghi, m¸y tÝnh bá tói.

III Tiến trình bài dạy

1 Ổn định lớp (1 phút)

2 KiÓm tra bµi cò (KÕt hîp kiÓm tra trong khi d¹y bµi míi)

3 Bài mới

Đặt vấn đề: Các em đã được học phương pháp quy nạp toán học, tiết học này thầy

giúp các em áp dụng vào giải các bài toán liên quan.

Hoạt động 1 (3 phút).

- Hỏi: Em hãy nhắc lại nội

dung phương pháp quy nạp

toán học ?

Hoạt động 2 (20 phút).

- Gọi 3 học sinh lên bảng,

mỗi em làm 1 ý trong bài 1

và nhắc cả lớp cùng làm

- Gợi ý cho học sinh nếu

cần…

- Đánh giá, cho điểm học

sinh và sửa chữa nếu cần

Hoạt động 3 (10 phút) Giải

bài tập 4

- Hãy giải câu a) ?

- Em hãy dự đoán công thức

- Trả lời: dùng cách giảitoán ở cấp II

3

S1.2 2.3 3.4 4

Gọi S là số đường chéon

của đa giác lồi n cạnh Taphải chứng minh:

chộo Vậy cú bao nhiờu cạnh

và đường chộo ?

- Từ sự phõn tớch này cỏc em

hóy giải bài tập 5 sgk trang

83

- Chỳ ý: cỏc em cú thể dựng

quy nạp hoặc giải trực tiếp

bài này

đường chộo

- Giải bài tập…

2 n n S C n n! n 2!(n 2)! n(n 1)(n 2)! n 2!(n 2)! n(n 1) n(n 3) n 2 2 (n *,n 4) = − = − = − − − − = − − − = − ∈Ơ ≥ 4 Củng cố (1 phỳt) Thụng qua cỏc bài tập trờn, ta thấy khi giải cỏc bài toỏn liờn quan đến số tự nhiờn ngoài cỏc cỏch giải trước đõy ta cũn cú phương phỏp quy nạp cũng khỏ đơn giản 5 Hớng dẫn học bài ở nhà (1phút) Hoàn thành cỏc bài tập cũn lại Chuẩn bị bài mới: Dóy số V: Nhận Xột sau bài dạy Thời gian: ……….

Phương phỏp: ………

Kết quả học tập………

11B:

TIẾT 39

Đ2 Dãy số

I Mục tiêu

1 Kiến thức

Biết khái niệm dãy số, cách cho dãy số, các tính chất tăng giảm và bị chặn của dãy số

2 Kĩ năng

Biết cách giải các bài tập về dãy số nh tìm số hạng tổng quát, xét tính tăng, giảm và

bị chặn của dãy số

3 Thái độ

Tự giác, tích cực học tập

T duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống

II Chuẩn bị của giỏo viờn và học sinh

Giáo viên: sgk, bài soạn

Học sinh: sgk, vở ghi

III Tiến trỡnh bài dạy

1 Ổn định lớp (1 phỳt)

2 Kiểm tra bài cũ (Kết hợp kiểm tra trong khi dạy bài mới)

3 Bài mới

Đặt vấn đề: Cỏc em đó được học về hàm số, trờn cơ sở đú thầy giỳp cỏc em tỡm

hiểu bài mới: Dóy số.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…

b, dãy các số chính

ph-ơng : 1, 4, 9, 16… có sốhạng đầu u1 = 1và sốhạng tổng quát là 2

aDãy số đợc viết dới dạng khaitriển :

ví dụ :a: dãy các số tự nhiên lẻ: 1, 3, 5,7…có số hạng đầu là u1 = 1 và sốhạng tổng quát là : u n = 2n− 1

b, dãy các số chính phơng : 1, 4,

9, 16, có số hạng đầu u1= 1và sốhạng tổng quát là 2

trong đó u1là số hạng đầu, u mlà sốhạng cuối

ví dụ :a) cho dãy số ( 1) n 3n (1)

1, Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

3 ( 1) n n (1)

n

u

n

= −

2, Dãy số cho bằng ph-ơng pháp mô tả 3,141592 653 589 π = dãy số (u n) với u n là giá trị gần đúng thiếu của số π với sai số tuyệt đối 10 −n 3, Dãy số cho bằng ph-ơng pháp truy hồi: 1 2 1 2 1 ( 3) n n n u u n u u − u− = =  ≥  = +  Chẳng hạn : 5 5 5 3 ( 1) 5 u = − = −243 5 viết dãy số dới dạng khai triển là: 9 81 3 3, , 9, , , ( 1)

2 4 n n n − − −

Nh vậy dãy số hoàn toàn xác định nếu biết công thức số hạng tổng quát u ncủa nó 2 Dãy số cho bằng phơng pháp mô tả ví dụ : số π là số thập phân vô hạn không tuần hoàn 3,141592 653 589 π = nếu lập dãy số (u n) với u n là giá trị gần đúng thiếu của số π với sai số tuyệt đối 10−nthì : 1 3,1 2 3,14; 3 3,141;

u = ; =u =u Là dãy số đợc cho bằng phơng pháp mô tả Trong đó chỉ ra cách viết các số hạng liên tiếp của dãy 3 Dãy số cho bằng phơng pháp truy hồi ví dụ : dãy số phi-bô-na-xi là dãy số u n đợc xác định nh sau: 1 2 1 2 1 ( 3) n n n u u n u u− u− = =  ≥  = +  nghĩa là từ số hạng thứ 3 trở đi, mỗi số hạng đều bằng tổng của hai số hạng đứng ngay trớc nó Cho một dãy số bằng phơng pháp truy hồi là : a, cho số hạng đầu( hay vài số hạng đầu) b, cho hệ thức truy hồi, tức là biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng )đứng trớc nó 4 Củng cố (1 phỳt) Cỏc em cần nắm khỏi niệm dóy số, số hạng đầu, số hạng tổng quỏt, số hạng cuối của dóy số, cỏc cỏch cho dóy số 5 Hớng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà (2 phỳt) Xem lại lí thuyết Làm bài tập 1, 2, 3 trong sách giáo khoa trang 92 V: Nhận Xột sau bài dạy Thời gian: ……….

Phương phỏp: ………

Kết quả học tập………

- -Ngày soạn: 2015 Ngày giảng: 11A: 11C:

T duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống

II Chuẩn bị của giỏo viờn và học sinh

Giáo viên: sgk, bài soạn

Đặt vấn đề: Ta biết dóy số cũng là một hàm số, liệu nú cú đồ thị tương ứng hoặc sự

biến thiờn hay nú cú đặc điểm riờng ? Tiết học này thầy giỳp cỏc em trả lời về những vấn

- Tương tự như biểu

diễn một điểm trong

mặt phẳng tọa độ hoặc

- Chỳ ý nghe giảng vàtheo dừi

III Biểu diễn hình học của dãy số

Vì dãy số là một hàm số trên Ơ *nên

ta có thể biểu diễn dãy số bằng đồthị, khi đó trong mặt phẳng toạ độ,dãy số đợc biểu diễn bằng các toạ

biểu diễn một điểm

biÓu diÔn h×nh häc nh sau:

3

n n

n

u = lµ d·y sègi¶m

ThËt vËy, víi mäi n∈ ¥ *.v× u n > 0nªn cã thÓ xÐt tØ sè n 1

n

u u

+ Ta cã :

1 1

+ < nªn n 1 1

n

u u

Định nghĩa 2:

Dãy số (u n) đợc gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho :

(u n ≤M, ∀ ∈n Ơ *) Dãy số (u n) đợc gọi là bị chặn dới nếu tồn tại một số M sao cho :

(u n ≥ ∀ ∈m n, Ơ *) Dãy số (u n) đợc gọi là bị chặn nếu

nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dới, tức là tồn tại số m, M sao cho : (m u ≤ n ≤M n, ∀ ∈ Ơ *)

Ví dụ : sgk/90

4 Củng cố (5 phỳt)

Cõu hỏi 1: Em hóy nờu cỏc cỏch biểu diễn hỡnh học của dóy số ?

Cõu hỏi 2: Thế nào là dóy số tăng, dóy số giảm ? Cỏch xỏc định một dóy số là tăng hoặc giảm ?

Cõu hỏi 3: Thế nào là dóy số bị chặn ?

5 Hớng dẫn học bài ở nhà (1 phỳt)

Xem lại lí thuyết Làm bài tập 1, 2, 4 và 5 trong sách giáo khoa trang 92

V: Nhận Xột sau bài dạy

Thời gian: ……….

Phương phỏp: ………

Kết quả học tập………

- -Ngày soạn: 2015 Ngày giảng: 11A: 11C:

Biết đợc khái niệm cấp số cộng, công thức số hạng tổng quát, tính chất các số hạng

và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

T duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống

II CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS

1 Giáo viên: sgk, bài soạn, máy tính bỏ túi

2 Học sinh: sgk, vở ghi, máy tính bỏ túi,

III TIẾN TRèNH BÀI DẠY

1 Ổn định lớp (1 phỳt)

2 Kiểm tra bài cũ (Kết hợp kiểm tra trong khi dạy bài mới )

3 Dạy bài mới

Đặt vấn đề: Tiết trước cỏc em đó được học về dóy số, tiết học này cỏc em tỡm hiểu

Hãy chỉ ra quy luật và

viết tiếp 5 số hạng của

Số d đợc gọi là công sai của cấp số cộng.

Nếu u nlà cấp số cộng với công sai

d, ta có hệ thức truy hồi:

1

n n

u+ = + u d với n N∈ Â * (1) Khi d=0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi

Ví dụ : chứng minh dãy số sau là một dãy số hữu hạn: 1, -3, -7, -11, -15

Giải : vì : - 3= 1+(-4); - 11=-7+(-4)

- 7= -3+( -4); - 15=

-11+(-4)Nên theo định nghĩa dãy số đã cho

là một cấp số cộng với công sai 4

của mỗi điểm :u u u2, ,3 4

so với hai điểm kề bên

với n≥ 2

a, Theo công thức cộng (2)

Biểu diễn trên trục số năm số hạng đầu của cấp số cộng là:

n

u = + −u n d với n≥ 2 (2)

Chứng minh: (chứng minh bằng phơng pháp quy nạp toán học)Khi n=2 thì u2 = + u1 d đúngGiả thiết công thức (2) đúng với

2

n k= ≥ tức là : u k = + −u1 (k 1)d ta phải chứng minh mệnh đề đúng vớin=k+1, tức là: u k+1 = + u1 kd

Thật vậy theo gt quy nạp và công thức cộng ta có:

Xem lại lí thuyết

Làm bài tập 2 trong sách giáo khoa trang 97

V: Nhận Xột sau bài dạy

1 0 2

Thời gian: ……….

Phương phỏp: ………

Kết quả học tập………

- -Ngày soạn: 2015 Ngày giảng: 11A: 11C: 11B: TIẾT 42 CẤP SỐ CỘNG (tiếp theo) I MỤC TIấU 1 Kiến thức Biết đợc khái niệm cấp số cộng, công thức số hạng tổng quát, tính chất các số hạng và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng 2 Kĩ năng Biết sử dụng công thức và tính chất của cấp số cộng để giải quyết các bài toán : Tìm các yếu tố còn lại khi biết ba trong năm yếu tố u1, un, n ,d, Sn, 3 Thái độ Tự giác, tích cực học tập T duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống II CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS 1 Giáo viên: sgk, bài soạn, máy tính bỏ túi 2 Học sinh: sgk, vở ghi, máy tính bỏ túi, III TIẾN TRèNH BÀI DẠY 1 Ổn định lớp (1 phỳt) 2 Kiểm tra bài cũ (Kết hợp kiểm tra trong khi dạy bài mới ) 3 Dạy bài mới Đặt vấn đề: Tiết trước cỏc em đó được học thế nào là cấp số cộng, tiết học này cỏc em tỡm hiểu xem cấp số cộng cú tớnh chất gỡ(1 phỳt). Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Ghi bảng Hoạt động 1 (17 phỳt) Cho học sinh phát biểu định Hớng dẫn học sinh chứng minh? Hoạt động 2 (23 phỳt) Cho hs phát biểu định lí Phát biểu định lí 2 1 1 2 k k k u u u = − + + với k≥ 2 (3)

Giả sử (u n) là cấp số cộng với công sai d.áp dụng công thức 1 ta có: 1 ; 1 k k k k u− = − u d u + = +u d suy ra 1 1 1 1 2 2 k k k k k k u u u u u u − + − + + + = ⇒ = Phát biểu định lí 3 Đặt S n = + +u1 u2 u3 +u n III Tính chất các số hạng của cấp số cộng Định lí 2: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng ( trừ số hạng đầu và số hạng cuối) đều là trung bình của hai số hạng đứng kề với nó nghĩa là 1 1 2 k k k u u u = − + + với k≥ 2 (3)

Chứng minh : Giả sử (u n) là cấp số cộng với công sai d.áp dụng công thức 1

ta có:

u− = − u d u+ = +u d suy ra

2

k k

− +

+

IV Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Định lí 3:

Cho cấp số cộng ( u n).

n n

S =nu + − d

a, V×u n = 3n− 1 nªn u1= 2 víi n≥ 1, xÐt hiÖu

n u u

S = + (4)

Chó ý :v× u n = + −u1 (n 1)dnªn c«ng thøc

1

( 1) 2

a, V×u n = 3n− 1 nªn u1 = 2víi n≥ 1, xÐt hiÖu

1 3( 1) 1 (3 1) 3

n n

suy ra u n+1 = +u n 3 vËy (u n ) lµ cÊp sè céng víi c«ng sai d=3

b, u1 = 2,n= 50 nªn theo c«ngthøc (4’) ta cã:

Xem l¹i lÝ thuyÕt

Lµm bµi tËp: 3, 5 trong s¸ch gi¸o khoa trang 97

V: Nhận Xét sau bài dạy

1 Kiến thức

Biết đợc khái niệm cấp số nhân, công thức số hạng tổng quát, tính chất các số hạng

và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

T duy các vấn đề toán học một cách logic và hệ thống

II CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS

1, Giáo viên: sgk, bài soạn, máy tính bỏ túi

2, Học sinh: sgk, vở ghi, máy tính bỏ túi

III TIẾN TRèNH BÀI DẠY

1 Ổn định lớp (1 phỳt)

2 Kiểm tra bài cũ (lồng vào cỏc hoạt động học tập)

3 Bài mới

Đặt vấn đề: Tiết trước cỏc em đó được học thế nào là cấp số cộng, tiết học này cỏc em tỡm

hiểu thờm một dóy số nữa, đú là cấp số nhõn(1 phỳt).

Khi q = 0 thì cấp sốnhân có dạng u1,0, ,0,

Khi q=1 cấp số nhân códạng u u u1, , , , , 1 1 u1

Khi u1 = 0thì với mọi q,cấp số nhân có dạng0,0,0, ,0,

1

n n

u u q víi n≥ 2 (2)

VÝ dô: cho cÊp sè nh©n (u n) biÕt

= = − 1

1 3,

u = − + + víi k≥ 2

(3)

Gi¶ sö (u n) lµ cÊp sènh©n víi c«ng sai d.¸pdông c«ng thøc 1 ta cã:

− +

= 2

1 1

k k k

u u u víi k≥ 2 (3) (hay u k = u k−1.u k+1 )

Chøng minh:sö dông c«ng thøc (2)víi k≥ 2, ta cã:

−

− +

k k

k k

q

v× q=1 th× cÊp sè nh©n

10 10

S

q (4)

Chó ý :v× q=1 th× cÊp sè nh©n lµ

Xem l¹i lÝ thuyÕt

Lµm bµi tËp 2, 3, 5: trong s¸ch gi¸o khoa trang 103

V: Nhận Xét sau bài dạy

Thời gian: ……….

Phương pháp: ………

Kết quả học tập………

11B:

TIẾT 44

BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN

I Mục tiêu

1.Kiến thức

Giúp cho học sinh:

Nắm vững các kiến thức : định nghĩa cấp số nhân , công thức số hạng tổng quát công thức tính tổng n số hạng đầu của 1 cấp số nhân

2 Kĩ năng

Rè cho học sinh :

-Biết vận dụng các công thức nêu trên vào giải bài tập

- Tìm được các yếu tố còn lại khi biết 3 trong 5 yếu tố u u n q S1 , , , ,n n, tính được u q1 , , ,

n n

u S

-Biết vận dụng các kiến thức vềcấp số nhân vòa bài toán thực tế i

3 Thái độ

Rèn cho học sinh :

- Khả năng suy luận và phân tích , tính toán chính xác

II Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

1 Giáo viên: giáo án.

2 Học sinh : nắm vư?ng các nội dung nêu trên.

III Tiến trình bài dạy

1 ổn địh lớp (1 phút)

2 Kiểm tra bài cũ: Kết hợp với việc sửa bài tập

3 Bài mới

Đặt vấn đềt: Tiết học trước các em đã biết thế nào là cấp số nhân cùng với các tính

chất của nó Hôm nay thầy giúp các em luyện tập thêm các bài tập về cấp số nhân m(1 phút)

Hoạt động 1( 10) : Kiểm tra bài cu?

-HS1:Trình bày định nghĩa

CSN và định lí1 Làm bài tập 6

về nhà r

-HS2: Trình bày đ?nh lí 2 và 3

-HS lên bảng trả lời -Tất cả các HS còn lại chú ý nhận xét

-Ghi nhận