vận dụng suy luận tương tự vào dạy học phương trình đường thẳng trong không gian

LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn “ Vận dụng suy luận tương tự vào dạy học phương trình đường thẳng trong không gian”, ngoài những cố gắng và nổ lực bản thân, tôi còn nhận được nhiều sự

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

TRONG KHÔNG GIAN

Th.S: BÙI PHƯƠNG UYÊN DƯƠNG THỊ NGỌC DUNG

MSSV: 1110014 Lớp: Sư Phạm Toán K37

Cần Thơ, 2015

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn “ Vận dụng suy luận tương tự vào dạy học phương trình đường thẳng trong không gian”, ngoài những cố gắng và nổ lực bản thân, tôi còn nhận được nhiều sự giúp đỡ của các thầy cô, bạn bè và người thân

Tôi xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô bộ môn Toán, khoa Sư phạm

và tất cả thầy cô trường ĐHCT đã cung cấp những tri thức quý giá trong thời gian tôi học tập tại trường, làm hành trang chấp cánh cho tôi vào đời

Xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Bùi Phương Uyên, người đã tận tình hướng dẫn và dìu dắt tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài này

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các quý thầy cô phổ thông đã tận tình giảng dạy cho tôi để tôi có được những kiến thức vững chắc

Xin kính gửi lời biết ơn sâu sắc đến Cha Mẹ đã luôn yêu thương, che chở, chăm sóc

và động viên con trong suốt những năm qua Cám ơn tất cả những người thân và bạn bè

đã bên cạnh tôi để tôi có thêm nghị lực thực hiện tốt đề tài này

Dù đã cố gắng nổ lực để hoàn thành tốt đề tài này nhưng chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô,những ý kiến đóng góp của các bạn để đề tài hoàn thiện hơn

MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU

Lời cảm ơn……….2

Mục lục……… 3

1 Lí do chọn đề tài………6

2 Mục đích nghiên cứu……….7

3 Nhiệm vụ nghiên cứu………7

4 Đối tượng nghiên cứu………7

5 Phương pháp nghiên cứu……… 7

6 Đóng góp của luận văn……….7

7 Cấu trúc của đề tài………8

PHẦN NỘI DUNG Chương I- CƠ SỞ LÍ LUẬN……….9

1.1.Cơ sở tâm lý……….9

1.1.1.Cơ sở tâm lý học………9

1.1.2.Cơ sở giáo dục học………9

1.2 Suy luận tương tự………9

1.2.1 Thế nào là suy luận tương tự………9

1.2.2 Các loại tương tự……… ……….10

1.2.3 Các qui tắc tương tự……… ……….……….12

1.2.4.Vai trò và ý nghĩa của suy luận tương tự trong dạy học…….…….………12

1.2.5 Dạy học với suy luận tương tự……… ………17

1.3 Một số mô hình dạy học sử dụng suy luận tương tự……… ……… 17

1.3.1 Mô hình TWA……… ……….17

a Các bước trong mô hình TWA……… ……… 17

b Tầm quan trọng của mô hình TWA đôi với Toán học……… ……… 18

c Ưu khuyết điểm của mô hình TWA……… … 18

d Ví dụ minh họa……… … 18

1.3.2 Mô hình FAR……… …21

1.4 Kết luận chương I……….….23

Chương II- PHÂN TÍCH NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN: SÁCH GIÁO KHOA HIỆN HÀNH

2.1 Nhắc lại về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng……….…… …………24

2.1.1 Các khái niệm.……….………… 24

2.1.2 Một số dạng bài tập thường gặp…….……….…….…… 27

2.2 Phương trình đường thẳng trong không gian ở sách giáo khoa cơ bản………….29

2.2.1 Kiến thức chuẩn bị……… 30

2.2.2 Các khái niệm ……… ……….31

2.2.3 Một số dạng bài tập………32

2.3 Phương trình đường thẳng trong không gian ở sách giáo khoa nâng cao….……33

2.3.1 Các khái niệm……….33

2.3.2 Một số dạng bài tập thường………35

2.4 Mối quan hệ tương tự giữa phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và phương trình đường thẳng trong không gian……….…… 38

2.5 So sánh giữa sách giáo khoa cơ bản và nâng cao……… ………39

2.6 Kết luận chương II……… ……… 42

Chương III- VẬN DỤNG SUY LUẬN TƯƠNG TỰ VÀO DẠY HỌC PHƯƠNG

TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 3.1 Một số nguyên tắc cơ bản của việc ứng dụng phép tương tự vào dạy học …… 43

3.2 Vận dụng suy luận tương tự vào dạy học một số khái niệm liên quan đến phương trình đường thẳng trong không gian……… ……….45

3.2.1 Dạy học khái niệm phương trình tham số của đường thẳng trong không gian……….………45

3.2.2 Dạy học khái niệm vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian……… ……… ….49

3.2.3 Dạy học khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian……….53

3.3 Kết luận chương III………55

Chương IV- KHẢO SÁT KHẢ NĂNG VẬN DỤNG SUY LUẬN TƯƠNG TỰ CỦA HỌC SINH

4.1 Mục đích khảo sát……… ……….56

4.2 Tổ chức khảo sát……….…………56

4.3 Nội dung khảo sát……… ………56

4.3.1 Khảo sát khả năng vận dụng suy luận tương tự vào giải bài tập toán………….56

4.3.2 Khảo sát lấy ý kiến học sinh…… ……….…………59

4.4 Kết quả khảo sát……….60

4.4.1 Khảo sát khả năng vận dụng suy luận tương tự vào giải bài tập toán………….60

4.4.2 Khảo sát lấy ý kiến học sinh………62

4.5 Kết luận chương IV………63

PHẦN KẾT LUẬN……… ……64

TÀI LIỆU THAM KHẢO………65

PHẦN MỞ ĐẦU 1.Lí do chọn đề tài

Luật Giáo Dục 2005: “Mục tiêu giáo dục là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khỏe, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ Quốc” Còn trong luật giáo dục năm 1999: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê tự học và ý chí vươn lên” Vì vậy phát triển giáo dục và đào tạo được xem là một trong những động lực thúc đẩy sự phát triển xã hội

Phương pháp suy luận tương tự giúp phát huy tính tích cực, năng động của học sinh, tạo hứng thú đối với Toán học Phương trình đường thẳng trong không gian là khái niệm rất hữu ích đối với học sinh Nắm vững khái niệm này sẽ giúp học sinh dễ dàng tiếp cận các khái niệm có liên quan như: vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau…Vận dụng suy luận tương tự và đặc biệt là mô hình TWA vào dạy học phương trình tham số của đường thẳng sẽ mang lại những hiệu quả nhất định Đó là mở rộng trí tuệ, hình thành năng lực, kỹ năng tự khám phá kiến thức mới của học sinh chứ không phải làm đầy trí tuệ của học sinh bằng cách truyền thụ rập khuôn các tri thức đã có Thông qua dạy học Toán bằng suy luận tương tự

có thể giúp học sinh nhận thức và hiểu sâu sắc hơn về bản chất Toán học, năng động và sáng tạo trong việc lĩnh hội kiến thức mới

Vận dụng suy luận tương tự vào dạy học phương trình đường thẳng trong không gian là một áp dụng mới Từ tình hình thực tế cho thấy vấn đề “Vận dụng suy luận tương

tự vào dạy học” là chủ đề thuộc một lĩnh vực nghiên cứu mang tính thực tiễn cao Với những lí do trên tôi đã chọn đề tài:” Vận dụng suy luận tương tự vào dạy học phương trình đường thẳng trong không gian”

2.Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lí luận về suy luận tương tự Thông qua đó đưa ra một số biện pháp để áp dụng suy luận tương tự vào dạy học phương trình đường thẳng trong không gian

3.Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu cơ sở lí thuyết của phép suy luận tương tự, ứng dụng của suy luận tương

tự, một số mô hình dạy học dùng suy luận tương tự phổ biến như: mô hình TWA, mô hình FAR

- Vận dụng suy luận tương tự vào dạy học phương trình đường thẳng trong không gian

- Khảo sát khả năng vận dụng suy luận tương tự của học sinh trong học tập và một

số sai lầm mà học sinh thường mắc phải

4 Đối tượng nghiên cứu

Hoạt động dạy và học bằng suy luận tương tự của giáo viên và học sinh ở trường phổ thông

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các tài liệu về giáo dục học, tâm lý học, các sách giáo khoa, sách bài tập, các báo chí, sách báo, tài liệu nhằm rèn luyện tư duy tạo tính sáng tạo Toán học cho học sinh phổ thông

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: phương pháp quan sát, khảo sát…

Bước đầu tìm hiểu tình hình dạy học và rút ra một số nhận xét về việc “ Vận dụng suy luận tương tự và mô hình TWA vào dạy học phương trình đường thẳng trong không gian”

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

6 Đóng góp của luận văn

Về lý luận:

- Tổng hợp cơ sở lý thuyết về suy luận tương tự

- Góp phần làm sáng tỏ nội dung “vận dụng suy luận tương tự và mô hình TWA vào dạy học phương trình đường thẳng trong không gian”

Về thực tiễn:

- Vận dụng suy luận tương tự vào thực tiễn dạy học phương trình đường thẳng trong không gian cho học sinh

7 Cấu trúc của luận văn

- Phần mở đầu

- Phần nội dung: gồm

+ Chương I: Cơ sở lí luận của suy luận tương tự, mô hình TWA, mô hình FAR + Chương II: Phân tích nội dung “phương trình đường thẳng trong không gian” ở sách giáo khoa

+ Chương III: Vận dụng suy luận tương tự vào dạy học phương trình đường thẳng trong không gian

+ Chương IV: Khảo sát và phân tích kết quả

- Phần kết luận

- Tài liệu tham khảo

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Cơ sở tâm lý

1.2 Suy luận tương tự

1.2.1 Thế nào là suy luận tương tự

- Theo [11], danh từ tương tự có nguồn gốc từ một từ trong Toán học của Hy Lạp

Từ này có nghĩa là sự bằng nhau của hai tỉ số Ví dụ 3:4::9:12, tức là hệ hai số 3 và 4 tương tự với hệ hai số 9 và 12

- Suy luận tương tự là suy luận căn cứ vào một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng để rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau khác của hai đối tượng đó[9]

Sơ đồ: Hai đối tượng A và B có các thuộc tính chung ( giống nhau) là a,b,c,d,e

Đối tượng A có thuộc tính f

Nên có thể: B cũng có thuộc tính f

- Theo Oxford English Dictionnary (1989), tương tự có tiếng Latinh là “Analogia”

và tiếng Pháp là “Analogie” bắt nguồn từ từ “Analogos” của toán học Hy Lạp thể hiện sự

giống nhau của hai tỉ số

- Polia cho rằng: “Tương tự là một loại giống nhau Những vật giống nhau phù hợp với nhau theo một quan hệ nào đó trong khi các vật tương tự phù hợp với nhau theo những quan hệ giữa các phần tử tương ứng”[12, tr 179]

- Theo Bách khoa toàn thư Việt Nam thì định nghĩa“phép tương tự phương pháp luận xác định sự giống nhau trong một số mặt, tính chất và quan hệ giữa những đối tượng không đồng nhất với nhau Trong các giai đoạn ban đầu của khoa học, phép tương tự thay cho sự quan sát có hệ thống và thực nghiệm; những kết luận (suy lí) của nó là căn cứ vào những sự tương tự bên ngoài và thứ yếu.Triết học tự nhiên cổ đại là triết học giải thích đã xuất hiện như thế Trong sự phát triển về sau, phép tương tự được sử dụng cùng với những hình thức nhận thức khác Trong khoa học hiện đại, phép tương tự được sử dụng nhiều nhất trong việc lập mô hình.”

- Theo [9, tr 265], tương tự là một dạng suy luận gián tiếp, một phương pháp nhận thức trong đó kết luận về sự giống nhau của các dấu hiệu khác nhau của đối tượng

- Hay suy luận tương tự là một loại suy luận đi từ một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng để rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau, khác nhau của hai đối tượng đó [13, tr 150 - 151]

Kết luận: Suy luận tương tự là một hình thức tư duy giúp học sinh nhạy bén hơn, học tập

một cách tích cực và sáng tạo hơn Suy luận tương tự là khái niệm được nhiều tác giả định nghĩa theo nhiều cách khác nhau Dù hiểu theo nghĩa nào thì chúng ta vẫn thấy được tầm quan trọng của suy luận tương tự trong dạy và học ở trường phổ thông Vì vậy, người giáo viên nên sử dụng suy luận tương tự, gợi mở vấn đề giới thiệu kiến thức nguồn, để từ đó học sinh có thể tư duy tìm ra kiến thức đích bằng suy luận tương tự

1.2.2 Các loại tương tự

Theo [13, tr 151-152] , suy luận tương tự có nhiều loại, căn cứ vào các đặc điểm của kết luận người ta chia thành tương tự theo thuộc tính và tương tự theo quan hệ, hoặc tương tự chặt chẽ và tương tự không chặt chẽ

a Tương tự theo thuộc tính

Đây là phép tương tự theo thuộc tính vì dựa vào thuộc tính và kết luận là một thuộc tính Kết luận theo thuộc tính rất dễ sử dụng và không đòi hỏi phải nghiên cứu sâu vào đối tượng Vì vậy tương tự theo thuộc tính được áp dụng khá phổ biến, nhưng do không

nghiên cứu sâu vào đối tượng nên kết luận thường mang tính chắc chắn không cao, đòi hỏi người nghiên cứu phải kiểm chứng hoặc chứng minh kết luận

b Tương tự theo quan hệ

Phép suy luận tương tự theo quan hệ là phép tương tự mà kết luận dựa trên mối quan hệ của các đối tượng đang nghiên cứu Nó sẽ đưa ra kết luận từ những đặc điểm giống nhau giữa các đối tượng, từ đó phân tích mối quan hệ giữa các đối tượng này Vì vậy phép tương tự theo quan hệ đưa ra kết luận có độ chắc chắn hơn so với tương tự theo thuộc tính

Nếu đã xóa dấu hiệu a, b, c, d thì tất yếu có dấu hiệu e

Vậy B nhất định có dấu hiệu e

d Tương tự không chặt chẽ

Loại tương tự quan hệ giữa Đại số mệnh đề và Đại số các số tự nhiên là ví dụ về tương tự không chặt chẽ Bởi vì không có tương tự hoàn toàn trong tính phân phối giữa các phép tuyển và phép hội với phép cộng và phép nhân

Còn theo [15] phép tương tự được chia thành 4 loại:

1 Tương tự trực tiếp – Direct Analogy: Đối tượng được so sánh với đối tượng gần giống nó trong tự nhiên hoặc công nghệ Ví dụ để cải thiện hệ thống cánh máy bay, ta có thể tham khảo cánh chim, mũi tên hay viên đạn…

2 Tương tự cá nhân – Personal Analogy: Người giải hóa thân thành đối tượng hoặc một phần đối tượng để có một góc nhìn mới Ví dụ tưởng tượng mình là một chiếc thuyền đang di chuyển khi gặp vật cản thì sẽ làm gì?

3 Tương tự tượng trưng – Symbolic Analogy: cần có sự tương tự về đặc trưng, tính chất giữa hai đối tượng mang tính biểu tượng văn học, nghệ thuật được khái quát hóa cao và hàm chứa nghịch lí của bài toán

4 Tương tự viễn tưởng – Fantasy Analogy: Đưa vào bài toán các nhân vật cổ tích, thần thoại, phép thuật, để thực hiện những yêu cầu của bài toán

1.2.3 Các quy tắc của suy luận tương tự

Theo [8], suy luận tương tự có các quy tắc sau:

a Quy tắc 1: Số lượng dấu hiệu giống nhau giữa hai đối tượng càng nhiều bao nhiêu thì kết luận càng có sức thuyết phục cao bấy nhiêu

Ví dụ: - A và B đều thông minh như nhau A thi đạt kết quả cao Suy ra B cũng sẽ đạt kết quả cao

- A và B đều thông minh, chăm chỉ, nghiêm túc và có phương pháp học tập và điều kiện học tập như nhau A thi đạt kết quả cao, suy ra B cũng sẽ đạt kết quả cao

Ta thấy kết luận thứ 2 sẽ thuyết phục hơn

b Quy tắc 2: Những dấu hiệu giống nhau giữa hai đối tượng càng mang tính cơ bản, xác định bao nhiêu thì kết luận càng có sức thuyết phục bấy nhiêu

Ví dụ: - Hai đội bóng A và B đều có huấn luyện viên trưởng là người nước ngoài,

có số lượng cầu thủ nước ngoài bằng nhau và đều được các doanh nghiệp quan tâm đầu tư như nhau Đội A không rớt hạng Suy ra đội B không rớt hạng

- Hai đội bóng A và B đều có huấn luyện viên trưởng rất giỏi, đều có dàn cầu thủ mạnh đều các tuyến, các cầu thủ đều có tinh thần đoàn kết, quan tâm cao như nhau Đội A không rớt hạng, suy ra đội B cũng không rớt hạng

Suy luận thứ nhất kém thuyết phục hơn suy luân thứ hai Vì các dấu hiệu được nêu lên của suy luận này chưa phải là dấu hiệu cơ bản, chưa nói lên được kết quả cũng như chất lượng của đội bóng như ở suy luận thứ hai

c Quy tắc 3: Dấu hiệu mới được rút ra ở kết luận và những dấu hiệu được nêu lên càng nằm trong mối quan hệ lệ thuộc lẫn nhau bao nhiêu thì kết luận càng chắc chắn và thuyết phục bấy nhiêu

1.2.4 Vai trò và ý nghĩa của suy luận tương tự

a Suy luận tương tự trong đời sống và khoa học xã hội

- Phép suy luận tương tự là một trong những phương pháp nghiên cứu chiếm ưu thế ở giai đoạn đầu của quá trình nhận thức [7] Thật vậy, khi con người bắt gặp một kiến thức mới họ sẽ tìm cách liên hệ với những gì họ được gặp trong thực tế để đưa ra kết luận

- Trong dự báo thời tiết, các nhà dự báo thời tiết sẽ dựa trên những quan sát, phân tích những hiện tượng thời tiết trong thời tiết nào đó ở tương lai, sau đó họ so sánh những hiện tượng trong quá, hay trên lí thuyết; từ rất nhiều điểm tương đồng với nhau họ sẽ đưa ra những dự báo cho thời tiết của một thành phố, một vùng nào đó

- Đối với khoa học, ứng dụng lớn nhất của suy luận tương tự là phát minh mô hình hóa Trong phương pháp này người ta không nghiên cứu trực tiếp đối tượng mà nghiên cứu các mô hình của nó

- Phép tương tự cũng được sử dụng rộng rãi trong khoa học xã hội đặc biệt là khi nghiên cứu về thời kì lịch sử cổ đại Một ví dụ nổi bật về việc vận dụng phép suy luận tương tự vào lĩnh vực khoa học xã hội là công trình nghiên cứu của Mooc-gan về hệ thống thị tộc của người da đỏ ở Bắc Mỹ và sự vận dụng những kết quả ấy của Ăng-ghen vào việc nghiên cứu những vấn đề cơ bản của lịch sử nguyên thủy

- Phép tương tự từ lâu đã được áp dụng rộng rãi trong việc nghiên cứu, học tập Suy luận tương tự giúp giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng và hiệu quả Từ những vấn đề

mà người ta nhìn thấy, họ tìm cách liên hệ chúng lại với nhau tạo ra một nguồn có cấu trúc gần giống nhau để đưa ra kết luận cho vấn đề cần giải quyết

Tuy nhiên, suy luận tương tự cũng có hạn chế là đưa ra kết luận có thể không chắc chắn Cho dù các nhà nghiên cứu đã cố gắng làm đúng các quy tắc tương tự, tuy nhiên do suy luận tương tự chỉ dựa trên những tính chất giống nhau của các hiện tượng nên kết luận đưa ra mang tính không chắc chắn và cần phải chứng minh lại

Do phép tương tự dựa trên sự giống nhau của các đối tượng khác nhau để đưa ra kết luận nên những kết luận sẽ rất dễ hiểu và gần gũi Vì vậy nên cho dù phép tương tự không phải lúc nào cũng đúng nhưng vẫn được áp dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực

b Suy luận tương tự trong dạy học Toán học

- Toán học là một môn khoa học cơ bản đòi hỏi sự tư duy Những vấn đề được trình bày khoa học, đòi hỏi chúng ta phải giải quyết chúng một cách khoa học Suy luận tương tự là một công cụ hữu ích để giúp chúng ta giải quyết vấn đề nhanh và ngắn gọn nhất

- Suy luận tương tự đặc biệt chú trọng tính tư duy, nêu cao vai trò chủ động của học sinh trong học tập Phát huy tính tích cực của học sinh trong nhận thức, tính độc lập

tư duy của học sinh Tương tự giúp học sinh xây dựng cầu nối giữa các khái niệm, những

gì quen thuộc với cái mới Từ đó giúp học sinh hình thành khái niệm mới, phức tạp Tuy nhiên, suy luận tương tự cũng có mặt hạn chế: nó có thể thúc đẩy sự hiểu biết, nhưng nó cũng dẫn tới quan niệm sai lầm

- Theo tác giả Nguyễn Phú Lộc, phép tương tự có các tác dụng: xây dựng ý nghĩ tri thức, xây dựng giả thuyết, dùng để giải bài tập cho học sinh, dự đoán và ngăn ngừa sai lầm của học sinh Còn theo chúng tôi, ngoài những ứng dụng trên phép tương tự còn giúp học giúp học sinh ôn lại kiến thức đã học và xây dựng hệ thống kiến thức

i) Dùng tương tự để xây dựng tri thức[10]:

Trong quá trình dạy học để giúp học sinh hiểu được những khái niệm khoa học, giáo viên thường sử dụng tương tự Chẳng hạn con mắt giống máy quay phim, trái tim giống như một máy bơm, dòng điện giống dòng nước Trong Toán học, một số vô cùng lớn trừ đi một số hữu hạn là một vô cùng lớn giống như ta lấy một số hữu hạn thùng nước biển thì không làm thay đổi mực nước biển Đồ thị hàm số gián đoạn giống như một tuyến đường có một cây cầu bị gãy

ii) Dùng tương tự để xây dựng giả thuyết[14]:

Trong dạy học môn toán, chúng ta có thể sử dụng phép tương tự theo thuộc tính hay tương tự theo quan hệ giữa các đối tượng để đưa ra giả thuyết, sau đó chứng minh hoặc bác bỏ

Phép tương tự là bước đầu hình thành các giả thiết khoa học Nhưng cũng giống như giả thuyết, kết luận của phép tương tự không có tính tất yếu, nó có thể đúng, có thể sai Chính vì vậy, phép tương tự không chứng minh được điều gì cả, nó chỉ giúp ta mở rộng sự hiểu biết, để xây dựng các giả thuyết; các kết luận của nó thì phải được chứng minh hoặc nhờ đến thực tiễn khẳng định thì mới biết được đúng hay sai

iii) Dùng tương tự để giải bài tập toán[14]:

Trong toán học, có nhiều dạng bài tập sử dụng tương tự để giải Ví dụ như cách tìm phương trình mặt cầu trong không gian tương tự như cách tìm phương trình đường tròn trong mặt phẳng

iv) Dự đoán và sửa chữa sai lầm của học sinh bằng suy luận tương tự

Suy luận tương tự giúp con người tìm ra được các phát minh, giải quyết các vấn đề khoa học, rút ngắn thời gian giải toán phổ thông…Tuy nhiên suy luận tương tự cũng có mặt hạn chế là kết luận của nó không chắc chắn Vì vậy, khi sử dụng suy luận tương tự phải kiểm chứng, chứng minh tính đúng đắn chính xác của mệnh đề kết luận

Giáo viên phải có những biện pháp sư phạm nhằm hạn chế và sửa chữa sai lầm của học sinh

 Tính kịp thời

Các biện pháp phải áp dụng ở thời điểm thích hợp Không thể tùy tiện trong việc phân tích và sửa chữa, cũng như hạn chế các sai lầm của học sinh Đặc biệt, thời gian giáo viên tiếp xúc trực tiếp với học sinh trên lớp là có hạn

Tính kịp thời của các biện pháp đòi hỏi sự nhanh nhạy của giáo viên trước các tình huống, nhằm tác động đến hoạt động học của học sinh Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên phải nghiên cứu và dự đoán các sai lầm của học sinh ở từng tiết học

Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên luôn ở tâm thế thường trực với mục tiêu dạy học nhằm hạn chế và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải toán Sai lầm càng sửa muộn bao nhiêu thì sự vất vả của thầy và trò càng tăng bấy nhiêu

Tính kịp thời đòi hỏi giáo viên phải tìm cách hạn chế các nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh kể cả khi các sai lầm chưa xuất hiện, phải thường xuyên củng cố các sai lầm sửa chữa cho học sinh nhằm không để các sai lầm tái diễn

 Tính chính xác

Sự chính xác trong lời giải là đòi hỏi của toán học, cũng là sự đòi hỏi của nhiệm vụ dạy học môn toán trong nhà trường phổ thông để đào tạo có chất lượng những con người lao động mới có ích cho xã hội

Tính chính xác đòi hỏi giáo viên phải diễn đạt chính xác, từ ngôn ngữ thông thường đến ngôn ngữ toán học Nhằm không gây khó hiểu và sai lầm cho học sinh, giúp học sinh không nhằm lẫn trong suy luận tương tự giữa các kiến thức Giáo viên phải biết hướng dẫn điều chỉnh sửa chữa lời giải sai của học sinh Suy luận tương tự rất dễ gây sai lầm cho học sinh, vì vậy giáo viên phải là người mẫu mực về phương pháp tư duy, tư duy chính xác, kiến thức chuyên môn vững chắc

 Tính giáo dục

Tính giáo dục đòi hỏi giáo viên phải lấy sự phát triển nhân cách của học sinh làm mục tiêu Tính giáo dục giúp cho học sinh thấy được tầm quan trọng của sự chính xác trong lời giải, giúp học sinh tránh được các sai lầm khi sai lầm chưa xuất hiện

Tính giáo dục làm cho học sinh có ý chí trong học toán, giải toán Học sinh không ngại khó, biết kiên trì và cẩn thận tư duy để đi tới lời giải đúng Tính giáo dục giúp cho học sinh có thói quen tốt, biết được sai lầm của bản thân từ đó có thể khắc phục

Tính giáo dục làm cho học sinh thấy được sai lầm khi suy luận để biết được đâu là suy luận không đúng

Tính kịp thời, tính chính xác và tính giáo dục luôn hỗ trợ bổ sung cho nhau Tính kịp thời làm cho tính giáo dục đtạ được nhanh hơn và ngược lại tính giáo dục giúp cho các biện pháp thực hiện kịp thời và thuân lợi hơn Tính chính xác củng cố cho tính giáo dục và tạo điều kiện cho tính kịp thời Ngược lại tính kịp thời là chuẩn bị điều kiện thể hiện tính chính xác Sự tích cực hóa trong việc nhận thức các khái niệm, các kết quả của suy luận tương tự vừa có tính kịp thời đề phòng các sai lầm, vừa có tính chính xác để đạt được sự hiểu biết sâu sắc kiến thức và có tính giáo dục trong việc giúp học sinh chủ động chiếm lĩnh các kiến thức chuẩn

Ví dụ:

Học sinh đã quen với việc giải toán trong mặt phẳng, khi sang trong không gian cũng có những kiến thức tương tự Tuy nhiên, phương pháp tọa độ trong không gian cũng

có những điểm khác so với phương pháp tọa độ trong mặt phẳng mà học sinh rất dễ sai

ra phương trình tổng quát của mặt phẳng: AxByCzD 0 Tương tự, nhưng từ

phương trình tham số của đường thẳng

at x x

bt y y

at x x

0 0

0

Suy luận này không đúng là do mặt phẳng không xác định bởi một vectơ pháp tuyến mà xác định bởi hai vectơ chỉ phương không cùng phương

v) Ôn tập kiến thức và xây dựng hệ thống bài tập

Ôn lại kiến thức đã học và xây dựng hệ thống bài tập theo từng chủ đề cho học

sinh là rất cần thiết Mỗi chủ đề giáo viên cần hệ thống, phân dạng và đưa ra phương pháp

giải cho học sinh Từ những chủ đề có thể sử dụng phép tương tự vào giảng dạy thì sẽ đưa

ra dạng bài tâp tương tự để giải quyết vấn đề

1.2.5 Dạy học với suy luận tương tự

Trong hoạt động giảng dạy, giáo viên tạo ra những vấn đề, điều khiển học sinh nhận

ra và giải quyết vấn đề bằng các hoạt động tích cực, chủ động và sáng tạo Qua đó học

sinh tiếp thu những tri thức mới, rèn luyện kĩ năng để đạt được mục đích học tập Vì vậy,

khi áp dụng suy luận tương tự để truyền đạt kiến thức mới nên:

+ Phải đặt người học vào tình huống mà giáo viên chỉ là người khơi gợi, sau đó học

sinh tự phát hiện ra kiến thức mới Chứ không thông báo kiến thức mới sẵn cho học sinh

+ Học sinh phải tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo, tận tâm huy động tri thức sẵn có

để phát hiện và giải quyết vấn đề Tránh trường hợp thụ động nghe giáo viên giảng

+ Mục tiêu của suy luận tương tự không chỉ dừng lại ở việc giúp cho học sinh lĩnh

hội được tri thức mới mà còn tập cho học sinh có thói quen hoạt động tư duy khoa học

1.3 Một số mô hình dạy học sử dụng suy luận tương tự

Hiện nay có nhiều nghiên cứu về việc sử dụng phép suy luận tương tự trong dạy học

như:

- Giảng dạy với phép tương tự ( Teaching With Analogies – TWA )

- Mô hình FAR ( Focus – Action – Reflection )

1.3.1 Mô hình Teaching with Analogies (TWA)[14, tr 42 – 43]

a) Các bước của mô hình TWA

Quy trình của dạy học với suy luận tương tự được thể hiện trong mô hình TWA ( the Teaching-With-Analogies), do Glynn đề nghị (1989) bao gồm các bước sau:

6 Rút ra kết luận về kiến thức đích

b) Tầm quan trọng của mô hình TWA đối với Toán học

- Mô hình TWA là một mô hình có vai trò quan trọng trong giảng dạy Toán nói riêng

và đối với Toán học nói chung Bên cạnh đó cũng tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện kĩ năng toán học cần thiết Toán học còn có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp, khái quát hóa,…rèn luyện những đức tính phẩm chất của con người

- Khi sử dụng mô hình này giáo viên có thể dễ dàng truyền đạt kiến thức cho học sinh, cung cấp kiến thức một cách có hệ thống từ nền kiến thức cũ để tiếp thu kiến thức mới

- Góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành cho học sinh những khả năng suy luận trong cuộc sống

c) Ưu điểm và khuyết điểm của mô hình TWA

* Ưu điểm:

- Giúp học sinh không nhầm lẫn giữa các kiến thức

- Khẳng định vai trò chủ đạo của người giáo viên

- Giúp học sinh học tập khái niệm trừu tượng một cách trực quan

- Tạo động cơ học tập cho học sinh, sử dụng các tri thức đời thường làm tương tự tạo thuận lợi cho học sinh hiểu kiến thức mới trừu tượng

- Phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực làm việc độc lập

- Phát triển khả năng phát hiện kiến thức mới cho học sinh, góp phần rèn luyện năng lực sáng tạo cho học sinh

* Khuyết điểm:

- Học sinh quên kiến thức nguồn

- Giáo viên gặp khó khăn trong việc tìm kiếm kiến thức nguồn phù hợp

- Nếu giáo viên sử dụng kiến thức nguồn mà học sinh không biết rõ thì có thể gây rối cho học sinh Ngoài ra, kiến thức nguồn và kiến thức đích thường có những dấu hiệu giống nhau, và cũng có những dấu hiệu khác nhau, nên có thể làm học sinh hiểu sai những vấn đề nằm ngoài dự kiến của giáo viên

d) Ví dụ minh họa

* Ví dụ 1: Dạy khái niệm “ số hạng tổng quát un= u1 qn-1”

- Bước 1: Giới thiệu kiến thức cần dạy, tạo sự tò mò cho học sinh và tầm quan trọng của kiến thức này

GV: Cho u1= 3, u2= 6, u3= 9…Tính u100=? Làm sao để có thể tính u100 một cách nhanh nhất?

- Bước 2: Giáo viên đặt câu hỏi gợi mở, khơi dậy kí ức của học sinh về tình huống tương tự

GV: Chúng ta đã được học cấp số cộng, ta sẽ tính được số hạng un nhanh chóng Tương tự, với dãy số này chúng ta cũng tính được rất nhanh mà không cần phải tính từng

số hạng kế tiếp nhau

- Bước 3: Nhận biết đặc điểm của cấp số cộng

- Bước 4: Cho học sinh so sánh giữa cấp số cộng và cấp số nhân:

Cấp số cộng:

+ Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d Số d được gọi là công sai của cấp số cộng

n

u u n

Cho cấp số nhân  u n với công bội q1 Đặt S nu1u2u3 u n Khi đó:

q

q u S

n n





1

11

- Bước 5: Chỉ ra kết luận không đúng: Học sinh có thể đưa ra những kết luận không đúng như sau:

1

1

1 1

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là un= u1 qn-1

* Ví dụ 2: Dạy khái niệm “Phương trình mặt cầu”

- Bước 1: Giáo viên nêu vấn đề, gợi động cơ từ phần lý thuyết “ Phương trình đường tròn” để học sinh tò mò suy nghĩ về khái niệm mới

- Bước 2: Phương trình đường tròn:

+ Phương trình đường tròn có dạng:  C :x2y2 2ax 2byc 0 với điều kiện là

GV: Trong không gian, có viết được phương trình đường tròn không? Nếu viết được thì

có còn gọi là đường tròn nữa hay không?

- Bước 3: Nhận biết đặc điểm quan trọng của phương trình đường tròn

- Bước 4: So sánh giữa phương trình đường tròn và phương trình mặt cầu

+ Điểm M(x;y;z) thuộc mặt cầu đó khi và chỉ khi IM Rhay 2 2

R

0 2

0 2

0 2

1.3.2 Mô hình FAR[10, tr 65]

Mô hình FAR ( Focus – Action – Reflection) hướng dẫn giáo viên phân tích tương tự khi dạy học một kiến thức sử dụng suy luận tương tự

- Tâm điểm ( Focus):

+ Khái niệm: khái niệm cần học có khó không, quen thuộc hay trừu tượng

+ Học sinh: những ý tưởng nào mà học sinh đã biết về khái niệm

+ Nguồn: có điều gì mà học sinh quen thuộc

+ Kết luận: nguồn có rõ ràng và hữu ích hay gây nhầm lẫn

+ Cải tiến: xét lại tâm điểm trên cơ sở kết luận

a) Tâm điểm (Focus):

Trong quá trình dạy học sử dụng tương tự, giáo viên cần xem xét khái niệm có khó không, có quen thuộc hay trừu tượng với học sinh không? Giáo viên nên đặt ra câu hỏi: học sinh đã có những ý tưởng nào về khái niệm cần dạy chưa? Những điều gì là quen

thuộc với học sinh liên quan đến khái niệm cần dạy? Muốn biết được những điều này thì yêu cầu giáo viên phải xem lại nội dung mà học sinh đã học trong chương trình

b) Hành động ( Action):

Ở bước này giáo viên cho học sinh thảo luận để phân tích những đặc điểm của nguồn

và khái niệm mục tiêu; từ đó rút ra những đặc điểm giống nhau của chúng Để quá trình này hiệu quả, giáo viên có thể mở rộng, thu hẹp, điều chỉnh lại khi cần thiết, để học sinh hiểu được những đặc điểm chung Những tương tự được chỉ ra là kết quả của quá trình thiết lập sự tương ứng giữa nguồn và mục tiêu Điều đó giúp quá trình tương tự có ý nghĩa

và giúp học sinh tránh được các sai lầm

c) Suy xét ( Reflection):

Trong bước này, giáo viên cần xét xem nguồn có rõ ràng và hữu ích hay gây nhầm lẫn, để từ đó có thể đưa ra kết luận về nguồn của phép tương tự Sau đó cũng nên xem xét lại tâm điểm từ các kết luận được rút ra, đồng thời cũng đề ra những thay đổi để cải tiến cho những lần sau

Ví dụ minh họa áp dụng mô hình FAR để phân tích khái niệm phương trình mặt cầu quan hệ tương tự với phương trình đường tròn

- Tâm điểm:

R c z b y a

khó, không quen thuộc với học sinh

+ Học sinh: đã được học định nghĩa mặt cầu

R b y a

Định nghĩa: Tập hợp các điểm trong

   

2 2

;

R b y

a

x

R IM R IM C

;

;

R c z b y a x

R IM R IM C

z y x M

trình đường tròn tâm I a;b bán kính R Còn trong không gian Oxyz, phương trình

R b y

a

biết mặt trụ này giao với mặt phẳng Oxy là đường tròn tâm Ia;b;c, bán kính R

CHƯƠNG II PHÂN TÍCH NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN: SÁCH GIÁO KHOA HIỆN

HÀNH 2.1 Nhắc lại về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Trong sách giáo khoa hình học 10, các tác giả đã trình bày nội dung phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

- Nội dung: Thông qua nội dung của bài phương trình đường thẳng, học sinh cần nắm vững các nội dung sau: vectơ chỉ phương của đường thẳng, phương trình tham số, vectơ pháp tuyến của đường thẳng, phương trình tổng quát, vị trí tương đối của hai đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

- Kỹ năng: học sinh biết được cách viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng, biết cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, tính được góc giữa hai đường thẳng và tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

- Phương pháp: học sinh phải đọc kỹ yêu cầu đề bài để giải một cách chính xác, biết

vẽ hình để có cái nhìn trực quan hơn dễ dàng giải toán

2.1.1 Các khái niệm

a) Vectơ chỉ phương (vtvp) và vectơ pháp tuyến (vtpt)

- Một vectơ a là vtcp của đường thẳng  d  a0 và giá của a song song  d Nếu a là vtcp của đường thẳng  d thì mọi vectơ ka với k 0 đều là vtcp của đường thẳng đó

- Một vectơ là vtpt của đường thẳng  d 

 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng  đi qua điểm M0x0; y0 và nhận

1 0

tu y y

tu x x

 Mọi đường thẳng  d trong hệ tọa độ Oxy đều có dạng: AxByC 0 , với

+ Khi A 0 và B 0 thì các đoạn a,b bị nó chắn trên các trục, hệ số góc k, khoảng

2 2

B A

C h





2 2

B A

sin

B A

B C



+ Khi A 0 và B 0 Đường thẳng  d có dạng:  

A

C x d C

Cho hai đường thẳng  d1 và  d2 có phương trình:

1

2

1

d C

C B

2 1

e) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(x M,y M)và đường thẳng (d) có phương trình

 d :AxByC0

Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) được cho bởi công thức:

2 2 ))

(

,

(

B A

C By Ax

B A

C By Ax

- Viết phương trình đường thẳng  d đi qua điểm M0x0, y0 có vtcp aa1, a2

- Viết phương trình đường thẳng  d đi qua điểm M0x0, y0 có vtpt nn1, n2

- Viết phương trình đường thẳng  d đi qua hai điểm M1x1, y1 và M2x2, y2

- Viết phương trình đường thẳng  d đi qua điểm M0x0, y0 có hệ số góc k

phương trình của  d về dạng chính tắc hoặc tổng quát Cho đường thẳng  d có dạng

2.1.2 Một số dạng bài tập thường gặp

* Dạng 1: Lập phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng (d), biết:

 d :x2y10

Giải: Gọi a là vtcp, ta có a(2,1) Chọn điểm M(1,0) d

Vậy  d : đi qua M(1,0)và có vtcp a(2,1)

t x

Phương trình chính tắc của đường thẳng (d) là:  

12

t x

d

3 1

2 3

Giải: Ta có: Khử t từ hệ (I) theo cách

(I) 3 2 7 0

6 2 2

6 9 3

t x

Đây là phương trình tổng quát của đường thẳng (d)

Ta khử t từ hệ (I) theo cách:

(I)

3

1 2

3

3 1 2

x t

Đây là phương trình chính tắc của đường thẳng (d)

* Dạng 3: Cho hai điểm P 2,5 và Q 5,1 Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm P sao cho khoảng cách từ Q tới đường thẳng đó bằng 3

A B

A

B A B A

0 0

24 7

9 4

B

B AB

B B

A B

Vậy tồn tại hai đường thẳng  d1 và  d2 thỏa mãn điều kiện

- Ta có: 2

3

2.3

42

1

2

1

2

1

b b

b y

x OB OA

243

2

b

b b

2.2 Phương trình đường thẳng trong không gian ở sách giáo khoa cơ bản

Phương trình đường thẳng trong không gian được trình bày ở sách giáo khoa 12 cơ bản và nâng cao Nội dung cơ bản giữa hai sách tương đối giống nhau, nhưng ở sách giáo khoa nâng cao thì tìm hiểu sâu hơn phù hợp với học sinh khá giỏi muốn tìm hiểu, nâng cao kiến thức

- Nội dung: biết được nội dung, các khái niệm liên quan đến phương trình đường thẳng trong không gian: phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng,

vị trí tương đối và công thức tính khoảng cách

- Kỹ năng: học sinh cần nắm được cách viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng, vị trí tương đối và công thức tính khoảng cách

2.2.1 Kiến thức chuẩn bị

a) Hệ trục tọa độ trong không gian

- Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox,Oy,Oz có chung điểm gốc O và đôi một

được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian Hệ này còn được gọi đơn giản là

hệ tọa độ trong không gian, kí hiệu là Oxyz

- Điểm O gọi là gốc của hệ tọa độ, hoặc đơn giản gốc tọa độ, Oxgọi là trục hoành,

Oygọi là trục tung và Ozgọi là trục cao

- Các mặt phẳng đi qua hai trong ba trục tọa độ gọi là các mặt phẳng tọa độ, ta kí hiệu chúng là mp Oxy , mp Oyz và mp Oxz

b) Tọa độ vectơ

- Trong không gian tọa độ Oxyz với các vectơ đơn vị i ,, j k trên các trục, cho một vectơ u Khi đó có bộ ba số duy nhất x;y;z sao cho ux iy jz k Bộ ba số đó cũng được gọi là tọa độ của vectơ u đối với hệ tọa độ Oxyz và kí hiệu u x;y;z Vậy:

2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1 2

z z y y x x u

u

u1u2 u1.u2 0x1x2y1y2z1z2 0

c) Tọa độ của điểm

OM Nếu  x ; y ; z  là tọa độ của OM thì ta cũng nói x;y;z là tọa độ của điểm M và kí hiệu là M x;y;z hoặc Mx;y;z

- Vậy: Mx;y;zOM x i y jz kv

d) Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ hai điểm mút

Cho hai điểm Ax A;y A;z A ,B x B;y B;z B, ta có:

ABx B x A;y By A;z Bz A

A B A

B A

- Tích có hướng (hay còn gọi là tích vectơ) của hai vectơ ua;b;c và va';b';c' là một vectơ, kí hiệu là  u, v hoặc uv được xác định bằng tọa độ như sau:

b a

b a a c

a c c b

c b

''

;''

;'''

'

;''

;'

 u,v 0 khi và chỉ khi hai vectơ u, vcùng phương

2.2.2 Các khái niệm về phương trình đường thẳng trong không gian

Ở sách giáo khoa 12 cơ bản, học sinh chỉ cần nắm được các nội dung sau: phương trình tham số của đường thẳng, điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau

a) Phương trình tham số của đường thẳng

- Định lí: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng  đi qua điểm M0x0;y0;z0

và nhận aa1;a2;a3 làm vectơ chỉ phương Điều kiện cần và đủ để điểm Mx;y;z

nằm trên  là có một số thực t sao cho:

2 0

1 0

ta z z

ta y y

ta x x

- Định nghĩa: phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm M0x0;y0;z0

và có vectơ chỉ phương aa1;a2;a3 là phương trình có dạng:

2 0

1 0

ta z z

ta y y

ta x x

, t là

tham số

b) Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau

Gọi aa1;a2;a3 và  '

3 ' 2 ' 1 '

d M

a k a

d M

a k a

- Hai đường thẳng d và d' cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t và t'

' 2 ' ' 0 2 0

' 1 ' ' 0 1 0

a t z ta z

a t y ta y

a t x ta x

' 2 ' ' 0 2 0

' 1 ' ' 0 1 0

a t z ta z

a t y ta y

a t x ta x

t y

t x

53

421

2 Chứng minh hai đường thẳng sau đây song song với nhau:

t y

t x d

32

'

25

43

22:

t z

t y

t x

d

a) Khái niệm phương trình đường thẳng trong không gian

- Vectơ chỉ phương của đương thẳng

+ Định nghĩa: Vectơ a là vtcp của đường thẳng  d 







 )(//

0

d a a

+ a là vtcp của đường thẳng  d thì mọi vectơ k a với k  0 đều là vtcp của đường thẳng đó

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng

 P và  Q nào đó, nên phương trình tổng quát của  d có dạng:

10

2 2 2 2

1 1 1 1

D z C y B x A

D z C y B x A

Với điều kiện A1:B1:C1A2:B2:C2

Trong đó  1 , 2 theo thứ tự là phương trình của mặt phẳng  P ,  Q

c) Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Đường thẳng  d đi qua điểm M0x0,y0,z0, nhận a a1,a2,a3 làm vtcp

* Phương trình tham số của đường thẳng

t a y y

t a x x

3 0

2 0 1 0

Ngược lại: nếu  d có phương trình (2), ta có nhận xét:

- Đường thẳng  d đi qua điểm M0x0,y0,z0

0 1

0

a

z z a

y y a

x

x    

Ngược lại: nếu  d có phương trình (3), ta có nhận xét:

- Đường thẳng  d đi qua điểm M0 x0,y0,z0

- Đường thẳng  d có vtcp a a1,a2,a3

c) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

d’ đi qua điểm '