một số bài toán giá trị biên liên quan đến phương trình parabolic

Một trong những khái niệm cơ bản của phương trình đạo hàm riêng hiện đại là nghiệm suy rộng, tức là nghiệm “thô” lúc đầu và là nghiệm “khá gần” với nghiệm hầu khắp hoặc cổ điển.. Vấn đề

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

KHOA SƯ PHẠM

BỘ MÔN SP TOÁN HỌC

Cần Thơ, 2015

MỤC LỤC

DANH MỤC KÍ HIỆU i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC ii

PHẦN MỞ ĐẦU iv

PHẦN NỘI DUNG 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1

1.1 KHÔNG GIAN HILBERT 1

1.1.1 KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH ĐỊNH CHUẨN 1

1.1.2 PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH 2

1.1.3 KHÔNG GIAN HILBERT 2

1.2 TÍCH PHÂN LEBESGUE 6

CHƯƠNG 2 CÁC KHÔNG GIAN HÀM VÀ BÀI TOÁN PHỔ ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 9

2.1 KHÔNG GIAN L p  , 1 p 9

2.1.1 ĐỊNH NGHĨA 9

2.1.2 MỘT VÀI TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN L p  , 1 p 12

2.2 TRUNG BÌNH HÓA VÀ ĐẠO HÀM SUY RỘNG 13

2.2.1 TRUNG BÌNH HÓA 13

2.2.2 ĐẠO HÀM SUY RỘNG 14

2.3 KHÔNG GIAN W m   p p ,1 ( không gian Sobolev) 15

2.4 KHÔNG GIAN m  p W , 1 p 17

2.5 KHÔNG GIAN W m,l Q T 2 17

2.6 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ KHÔNG GIAN H2s H2s Rn 20

2.6.1 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRONG KHÔNG GIAN SCHWART 20 2.6.2 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRONG KHÔNG GIAN L R2 n 21

2.6.3 KHÔNG GIAN H2s H2s Rn 21

2.7 VẾT CỦA HÀM TRONG KHÔNG GIAN 1  2 W 22

2.8 BÀI TOÁN PHỔ ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 24

CHƯƠNG 3 CÁC BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN 28

3.1 PHƯƠNG TRÌNH LOẠI PARABOLIC ……… 28

3.2 CÁC BÀI TOÁN VÀ NGHIỆM SUY RỘNG 29

3.2.1 BÀI TOÁN CAUCHY 29

3.2.2 CÁC BÀI TOÁN BIÊN BAN ĐẦU 30

3.3 BẤT ĐẲNG THỨC NĂNG LƯỢNG 32

3.4 BÀI TOÁN CAUCHY 36

3.4.1 TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM SUY RỘNG 36

3.4.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM SUY RỘNG 40

3.5 BÀI TOÁN BIÊN THỨ NHẤT 44

3.5.1 TRƯỜNG HỢP CÁC HỆ SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN 44

3.5.2 TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT 48

3.6 BÀI TOÁN BIÊN THỨ HAI VÀ THỨ BA 55

PHẦN KẾT LUẬN 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO 64

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lượt sử vấn đề

Phương trình đạo hàm riêng được bắt đầu từ thế kỉ 18 trong các tác phẩm của Euler, d’Alembert, Lagrange và Laplace Đầu thế kỉ 19, đặc biệt trong các tác phẩm của Riemann, phương trình đạo hàm riêng đã trở thành công cụ thiết yếu trong các nhánh khác của toán học Và trong giai đoạn 1890 đến 1900 chính là giai đoạn bắt đầu của phương trình đạo hàm riêng hiện đại với những đóng góp to lớn của H.Poincaré

Một trong những khái niệm cơ bản của phương trình đạo hàm riêng hiện đại là nghiệm suy rộng, tức là nghiệm “thô” lúc đầu và là nghiệm “khá gần” với nghiệm hầu khắp hoặc cổ điển Sau đó, nhờ công cụ của giải tích hàm ta làm nghiệm suy rộng dần đến nghiệm thông thường Mặc dù đã có nhiều nghiên cứu từ các nhà toán học khắp thới giới nhưng vẫ còn một số vấn đề chưa giải quyết triệt để, cụ thể là việc nghiên cứu tính trơn của nghiệm suy rộng Vấn đề này chỉ mới được giải quyết

cơ bản cho các bài toán Ellipic trong miền với biên tùy ý, còn các bài toán biên đối với phương trình Parabolic hay Hyperbolic trong các miền trụ mà đáy với biên không trơn vẫn còn là vấn đề thách thức các nhà toán học

2 Lí do chọn đề tài

Phương trình đạo hàm riêng, một lý thyết có nhiều ứng dụng trong thực tiễn Và trong chương trình đào tạo ở bậc đại học, bước đầu chúng ta đã làm quen với với lý thuyết này, cụ thể là môn học “Phương trình đạo hàm riêng” Với mong muốn tìm hiểu thêm một phần kiến thức nào đó trong lý thuyết này, cũng như giúp cho những bạn sinh viên có thêm một nguồn tài liệu tham khảo trong quá trình học tập, tôi mạnh dạn hoàn thành luận văn với đề tài: “Một số bài toán giá trị biên có liên quanvới phương trình loại parabolic”

3 Đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là phương trình đạo hàm riêng cấp hai thuộc loại parabolic

3.2 Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm tài liệu, đọc hiểu tài liệu trên cơ sở đó phân tích, tổng hợp, diễn giải, trình bài thành một hệ thống để giải quyết các vấn đề đặt ra

3.3 Phạm vi nghiên cứu

Bài toán Cauchy, các bài toán biên ban đầu đối với phương trình đạo hàm riêng cấp hai thuộc loại parabolic trong trường hợp các hệ số của phương trình phụ thuộc thời gian và không phụ thuộc thời gian

4 Cấu trúc và kết quả của luận văn

Phần nội dung của luận văn bao gồm ba chương, chương đầu tiên điểm lại một

số kiến thức trọng tâm về không gian Hilbert và tích phân Lebesgue Trong chương hai, giới thiệu một số không gian hàm quan trọng trong lí thuyết phương trình đạo hàm riêng hiện đại Và chương ba là trọng tâm của luận văn, tại đây trình bài các bài toán giá trị biên liên quan đến phương trình đạo hàm riêng cấp hai thuộc loại parabolic

PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 KHÔNG GIAN HILBERT

1.1.1 KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH ĐỊNH CHUẨN

Trước hết ta định nghĩa khái niệm không gian tuyến tính định chuẩn

Định nghĩa 1.1 Một tập hợp không rỗng E được gọi là một không gian tuyến

tính định chuẩn trên trường K (trường số thực hoặc trường số phức) nếu

i) Tập hợp E là một không gian tuyến tính,

ii) Mỗi phần tử x thuộc E được gán tương ứng với một và chỉ một số thuộc trường K , kí hiệu là x , được gọi là chuẩn của phần tử x và thỏa mãn các điều kiện

nếu x n  x 0 khi n Kí hiệu tắt là x n  x

Sau đây là một số khái niệm cần thiết cho các phần tiếp theo

Một tậpE'E được gọi là trù mật trong không gian E nếu với một phần tử bất

kì thuộc E đều tồn tại một dãy các phần tử thuộc E sao cho dãy này hội tụ về phần '

tử đó trong E Không gian E được gọi là khả li nếu tồn tại một tập con đếm được

và trù mật trong E

Một dãy các phần tửx1,x2, ,x n, được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản)

trong E nếu x px q 0khi p, q Không gian tuyến tính định chuẩn E

được gọi là đầy nếu một dãy Cauchy bất kì trong E đều hội tụ về một phần tử

thuộc nó Khi đó, không gian này được gọi là không gian Banach

1.1.2 PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH

Giả sử E là một không gian tuyến tính định chuẩn trên trường K

Định nghĩa 1.2 Một phiếm hàm tuyến tính là một ánh xạ liên tục :EK xác định trên không gian tuyến tính định chuẩn E sao cho

Cận dưới của hằng số C trong bất đẳng thức trên được gọi là chuẩn của phiếm

hàm tuyến tính liên tục và kí hiệu là  Ta có

với chuẩn được xác định bởi công thức (1.1), nó được gọi là không gian liên hợp

với E và kí hiệu là E Nếu ta giả sử thêm rằng E là không gian Banach và E là

không gian khả li thì một tập con bị chặn bất kì trong E chứa một dãy

con x1,x2, ,x n, sao cho với mọi  E dãy số   x1 , x2 , , x n , hội tụ

1.1.3 KHÔNG GIAN HILBERT

Một trường hợp đặc biệt của không gian Banach là không gian Hilbert

Định nghĩa 1.3 Một không gian Banach H trở thành một không gian Hilbert nếu ta xác định được một tích vô hướng, xác định trên H , của cặp phần tử H

, x

x

x  Đối với x, yH, ta có bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakovsky-Schwartz

y x y

a Sự trực giao trong không gian Hilbert

Hai phần tử x, y trong không gian Hilbert H được gọi là trực giao nếu

0

,y 

x Tập Bx1,x2, ,x n,  các phần tử của H được gọi là hệ trực chuẩn

nếu hai phần tử bất kì x , i x j là trực giao và e x k 1với mọi k Tập các tổ hợp

tuyến tính của các phần tử của B là trù mật trong H

Định lí 1.1 Một không gian Hilbert khả li bất kì đều có cơ sở trực chuẩn.

Chứng minh Vì H là không gian khả li nên tồn tạix1,x2, ,x n,  là tập đếm được trù mật Kí hiệu e là phần tử đầu tiên khác không 1 x trong tập này j

x1x2  x j10, e là phần tử đầu tiên trong tập 2 x j 1,x j 2,  tạo với e1

thành một cặp độc lập tuyến tính Tiếp tục quá trình này ta nhận được hệ

e1,e2, ,e n,  độc lập tuyến tính Bây giờ ta sử dụng quá trình trực giao hóa

Schmidt để tạo hệ trực chuẩn trong H , đặt y1e1 e1

Xét

1 1 1 2 2

1 1 2 2 1

y y e e y

,1

,,,

1

1 2 1 2 1 1 2 2

1 1 1 2 2 1 1 2 2

y y y e e y y e e

Bằng quy nạp ta thấy với k  thì h y k,y k 0 và hiển nhiên y k,y k 1

Do đó, hệ y1,y2, , y n, là hệ trực chuẩn trong H Vậy y1,y2, ,y n, là cơ

sở của H □

Giả sử xH tùy ý, còn e1,e2, ,e n,  là hệ trực chuẩn trong H Kí

hiệu H p là không gian con của H được sinh bởie1,e2, ,e n, đặt







p k k k

p x e x

1

với

x e

x k  k,Khi đó, x là phần tử trong không gian p H p và được gọi là hình chiếu của phần tử

x lên không gian con H p

Chuỗi

1

k k

k e x

được gọi là chuỗi Fourier của phần tử x theo hệe1,e2, ,e n,  Từ bất đẳng thức Bessel

2 1

2

x x

k

k 



Suy ra x1,x2, ,x n, là dãy Cauchy trong H Do đó, chuỗi Fourier của một phần

tử tùy ý x  theo hệ trực chuẩn tùy ý hội tụ trong H Tuy nhiên, chưa hẳn nó đã H

hội tụ đến phần tử x

Một hệ trực chuẩn đếm đượce1,e2, ,e n, là một cơ sở trực chuẩn trong không

gian Hilbert nếu một phần tử x bất kì trong nó có thể khai triển thành chuỗi Fourier

k e x x

Một hệ trực chuẩne1,e2, ,e n, được gọi là đóng nếu và chỉ nếu với bất kì f H

thỏa mãn đẳng thức

x x x

Nếu và chỉ nếu chuỗi Fuorier của phần tử bất kì f H hội tụ về chính nó

b Hội tụ yếu trong không gian Hilbert

Trong không gian Hilbert, ngoài sự hội tụ theo chuẩn còn có sự hội tụ yếu Khái niệm hội tụ yếu có thể được phát biểu như sau

Định nghĩa 1.4 Một dãy x1,x2, ,x n, trong không gian Hilbert H được gọi

là hội tụ yếu nếu với bất kì phiếm hàm tuyến tính f  H, dãy số

 tồn tại một hằng số C sao cho x n  với mọi n, C

 f x n  f x với mọi thuộc tập hợp con của Hmà bao tuyến tính của

nó trù mật trong H.

Định lí 1.3 Trong không gian Hilbert khả li, mọi dãy bị chặn x1,x2, ,x n, đều chứa một dãy con hội tụ yếu.

Chứng minh Do H* đẳng cấu với H vì vậy H* khả li, nên ta có thể tìm được tập f1,f2, ,f n, đếm được và trù mật trong H* Vì dãy x1, x2, , x n, nên

1 1

2 1

n i

j i

hội tụ với mọi n Theo định lí trên ta suy ra dãy  ,  2 , ,  ,

một hàm đơn giản, sao cho f x a i nếu n

A a d

x

nếu chuỗi ở vế phải hội tụ tuyệt đối Trong đó,  A i là độ đo của tập A Nếu độ i

đo này là độ đo Lebesgue n -chiều thì ta viết

    

X X

dx x f d

x

Giả sử rằng X có độ đo hữu hạn Khi đó, hàm f được gọi là hàm khả tổng trên

X nếu có dãy hàm đơn giản f1, f2, , f n, xác định trên X hội tụ đều về f và

sao cho tồn tại giới hạn





X X

k

k f d f dx

lim

và đây được gọi là tích phân của hàm f trên tập X Dễ thấy rằng giới hạn này

không phụ thuộc vào việc chọn dãy hàm f1, f2, , f n,

Nếu  X là vô hạn thì tích phân của hàm f trên X được xác định như sau

i

X

i  lim

và giới hạn này không phụ thuộc vào việc chọn X thì f được gọi là khả tổng và i

I dx f

X





Ta đưa ra một vài tính chất của tích phân Lebesgue:

Nếu f và 1 f khả tổng thì 2  f1 f2 cũng khả tổng với mọi số phức , 

Hàm f khả tổng khi và chỉ khi f khả tổng.

Nếu f bị chặn và đo được trên tập X có độ đo hữu hạn thì f khả tổng.

Nếu 0 f1 x  f2 x hầu khắp trong X (tức là đối với tất cả xX ngoại trừ tập có độ đo không) và f là hàm khả tổng thì 2 f là hàm khả tổng và 1

    



X X

dx x f dx x

dx y x f dxdy

y x f

R

,,

,

CHƯƠNG 2

CÁC KHÔNG GIAN HÀM

VÀ BÀI TOÁN PHỔ ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

Miền  được nhúng compact trong  nếu 1 1 và  là bị chặn.1

Giá của hàm f là bao đóng của tập các điểm x sao cho f x 0 Kí hiệu là

 /f t k, i1, ,n;k 1, ,n1, bằng n1 tại mỗi điểm của  Mặt khác, nếu

 

 m

i C

f thì mặt S được gọi là mặt thuộc lớp C m

Tương tự, S là mặt k -chiều trong Rn, thuộc lớp C m, m1 nếu

x x f t t i n

S  i  i 1, , k , 1, ,trong đó, t , ,1 t k,  là một miền trong Rk,  m 

Đặt  là một miền trong Rn Xét tập hợp tất cả các hàm giá trị phức khả tổng trên  Kí hiệu bởi L1  Đây là một không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn được xác định như sau

    



(tích phân được hiểu theo nghĩa Lebegues)

Với mọi số phức , và với mọi hàm u,vL1  , ta có

p

p dx v x dx x

u dx

x v x u

/ 1 /

1

.

Chứng minh Xét hàm F X  XY X p/ p trên 0, Hàm này đạt giá trị

lớn nhất tại điểm X sao cho Y  X p 1 và giá trị lớn nhất của hàm này bằng Y q/ ; q

vì vậy

q Y p X

Bây giờ đặt

   

p p

dx x u x u X

/ 1

dx x v x v Y

/ 1

x u p

x u dx

x v dx

x u

x v x u

q

q p

p q

q

p p

/ 1 /

1

Lấy tích phân trên  hai vế ta nhận được bất đẳng thức Hölder □

Định lí 2.2 (Bất đẳng thức Minkovsky) Nếu uL p  , vL p  , p1 Khi

đó, ta có bất đẳng thức

p p

p p p

p dx u x dx v x dx x

v x u

/ 1 /

1 /

dx x v x u x

v x u

dx x v x u x v x u dx x v x

u

p p

p

p p

1 1

1 1

Áp dụng bất đẳng thức Hölder ta nhận được

         

    p   p p

p p

p p p

p p p

dx x v dx

x v x u

dx x u dx

x v x u dx

x v

x

u

1 1

1 1

L u x dx

/ 1

u,

2.1.2 MỘT VÀI TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN L p  , 1 p

Định lí 2.3. L p  là không gian đầy

Chứng minh Lấy  f j là dãy Cauchy trong L2() Khi đó, với mọi m1, tồn tại )

(m

N sao cho

m L

)()()()(x g1 x g2 x g1 x g j 1 x g j x

)()()()

g x g x g dx

p p

p p

dx x g x g dx

x g x g dx

x

g

1 1

1 1

dx x

dx x

  p p

k j

p j j k

j k j

p j k

j x dx g

p p k N

p p

k x f x dx f x f x dx f x f x

1 1

1

)()()

()()

()

()(2

Nếu k  N j Vì thế,

0)

()





dx x f x

được xác định trong Rn và trơn vô hạn, tức là thuộc C  Và nó được gọi là

trung bình hóa hay hàm trung bình của hàm u

1

với mọi  C  .

Một hàm có đạo hàm liên tục cấp thì nó có đạo hàm suy rộng cấp

Hàm u không có quá một đạo hàm suy rộng

Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp trong thì có đạo hàm suy rộng trong miền ' Khi đó, đạo hàm suy rộng trong miền được gọi là thu hẹp của đạo hàm suy rộng từ vào '

Thấy rằng

D u

D u

Đẳng thức sau đây là sự liên hệ giữa đạo hàm suy rộng và trung bình hóa Giả sử '

 là một miền con của  sao cho khoảng cách giữa ' và  bằng d 0 Khi đó, đối với0hd và x', ta có

Du  h x Du h x

là không gian Banach.

Chứng minh Lấy  u N là dãy Cauchy trong không gian m 

p

W hội tụ về )

(

0L p 

u , nghĩa là với số tự nhiên k bất kì

0)

N u dx u

Định lí 2.6 Cho dãy bị chặn ,  

1

k k

u , các phần tử của không gian m 

Ngoài ra, dãy này hội tụ yếu trong không gian L p  tới hàm u khi k  Khi

m j

n j

j u a x x x x

Với 2a1x1a1,a j x j a j, j n,  là hằng số sao cho

 1 2   1, 0,1, , 1

1 1

j k k j



Đây là hệ phương trình đại số có định thức của ma trận hệ số

 1  2  1  3  1   1 

2 4

3 2

3 2

1

2

22

22

2

2

22

2

1

11

m m

m m

là định thức Wan Der Monde có giá trị khác không nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất Vì thế chúng ta xác định định được hàm u trong hình hộp1

Q' Rn 2 1 1 1, j  j  j 1, ,

u trong không gian m 

p

W , 1 p, hội tụ yếu trong không gian L p  tới hàm u x , hơn nữa dãy này bị chặn Khi đó, u cũng

1khi1)(

t

t t



Bây giờ đặt u k(x)u(x)(x k) Dễ thấy rằng,

0)

()

()((

u( )  R □

2.5 KHÔNG GIANW m,l Q T

2

u , sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng theo x đến cấp m và theo t đến

cấp l thuộc L p Q T , được trang bị chuẩn

 

2 / 1

1

2 2

W

T l

t

u dxdt

u D u

,0

1 1

T d T W d x u t d

N k

k k N

Định lí 2.10 Giả sử  là một miền (không nhất thiết bị chặn) trong Rn Khi

M M

trù mật trong không gian Wm,l Q T

0 ,

,0

1 2 1

N k

k k

Ta đi chứng minh M* trù mật trong Wm,l Q T

0 ,

2

,

k k

W c t t

k k

p x t c t x

S  Giả sử c k* t C0,T sao cho

  k L   k

k t c c

2

2 2

2 2

2 2

T

0

2 p

k k W

p k

k k k W

p

S

m m

1

2

* 2

1

* 2

* 2

T L k k Q

W p

S

T m

Từ những lí luận trên ta nhận được S p* u trong W m,l Q T

2 khi p Lập luận tương tự ta có thể chỉ ra

t

u t

2 Từ đó suy ra M

trù mật trong Wm,l Q T

0 ,

2 Định lí được chứng minh □

2.6 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ KHÔNG GIAN H2s H2s Rn

2.6.1 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRONG KHÔNG GIAN SCHWART

Kí hiệu

  u C   1 x2 Du x C , , k,

k n

ix dx x x e

x u u

,

R

được gọi là phép biến đổi Fourier của hàm u x

d u dx

x

R R





được gọi là đẳng thức Parseval.

2.6.2 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRONG KHÔNG GIAN L R2 n

Nhờ đẳng thức Parserval ta có thể mở rộng phép biến đổi Fourier từ không gian Schwart S S Rn đến một không gian rộng hơn L R2 n Giả sử uL2 Rn Do

u là dãy Cauchy trong L R2 n Từ đây và do đẳng thức Parserval suy ra dãy  

1

~

j j

u cũng là dãy Cauchy trong L R2 n Do L R2 n

là đầy nên  

1

~

j j

u cũng hội tụ đến một hàm nào đó mà ta kí hiệu là F u và gọi nó

là phép biến đổi Fourier của hàm u x

Tương tự như trong S R , ta cũng có đẳng thức Parserval trong  n L R2 n Giả

sử u,vL2 Rn , khi đó

      

n n

d v F u F dx

v

R R

     

2 / 1 2

s H

R R

Định lí 2.11 Nếu s 0 thì H20 L2 Rn Nếu s là một số nguyên dương, thì

y n  n

1 ,,1

dxdt

u t

dx d

u x

u t x u

x u d

u T

dx x u

2

0



dxdt d

u t

T dxdt u T

2 2

l

Q L

~ 2

2 2

T C x

để có các bất đẳng thức (2.1) và (2.2) Hoàn toàn tương tự như chứng minh bất đẳng thức (2.2), ta nhận được

1 1

Bây giờ áp dụng bất đẳng thức (2.4) cho hàm u x v2 x , trong đó

dx v

C v

C C

dx v v v ds v

2 2

2 1

2 1 1

2 2

14

2

2 2

mặt trơn nằm trong  , vết này là một hàm thuộc L2  , phụ thuộc liên tục khi 

dịch chuyển liên tục và đúng các bất đẳng thức (2.1), (2.2).

Nếu  (hoặc một phần của nó là   ) là mặt trơn hoặc trơn từng khúc, thì trên

nó xác định được vết của hàm u x như một hàm thuộc L2  (tương ứng

 

2

L ) và đối với các vết này đúng các bất đẳng thức (2.3), (2.4) (tương ứng (2.1),

(2.2)).

2.7 BÀI TOÁN PHỔ ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

Giả sử  là một miền bị chặn trong Rn Xét toán tử L có dạng

ij i

u c x

u b x

u a x

Lu

1 1

,

trong đó các hàm a ij a ij x ,b i b i x ,cc x là các hàm đo được và a ij a ji

Toán tử L được gọi là Elliptic đều trong  nếu x, Rn, có bất đẳng thức hai chiều

2 1

j i ij

Lu  , (2.8)với

1

2 / 1

n i

i (2.9)

và xem các hệ số của toán tử L là các hàm thực Trong phần này nghiệm u x của phương trình (2.8) được xem là hàm giá trị phức u x u1 x i u2 x Các không gian 1 

u

dx v u v

Nghiệm suy rộng của bài toán (2.8) trong không gian 1 

2

W là hàm uW1  , thỏa mãn đồng nhất thức tích phân

1 1

,

,

,

W dx

f dx u

dx u c dx x

u b dx

x x

u a u

L

n

i i i n

j i j ij

Lu , u  0 (2.10)Giá trị  được gọi là phổ suy rộng của bài toán (2.10) nếu tương ứng với nó có ít nhất một hàm u x không tầm thường là nghiệm suy rộng của bài toán (2.10) trong không gian 1 

n

ij i

c b x x

a x

L

1 1

1 1

dx c dx x b dx

x x a L

n

i n

j i j ij

Đinh lí 1.13 Giả sử L là toán tử Elliptic đều trong  và điều kiện (2.9) được

thỏa mãn Khi đó, ta có các điều khẳng định sau :

i) Nếu f L2  , thì bài toán (2.8) có nghiệm duy nhất trong không gian 1 

2

W

2 '



 i , trừ ra tập hợp không quá đếm được  k ,k 1,2, các giá trị phổ của bài toán (2.10).

ii) Mỗi số k có bội hữu hạn, tức là số nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình

(2.10) với k là hữu hạn Điểm giới hạn duy nhất của  k ,k 1,2, có thể là

 Cùng với k là phổ của bài toán (2.10) , k cũng thuộc phổ của bài toán

(2.11) và tập  k ,k 1,2, tạo thành phổ của bài toán (2.11) Bội của k và k

đối với bài toán (2.10) và (2.11) trùng nhau.

iii) Bài toán (2.8) với  k có nghiệm suy rộng trong không gian W1  khi và chỉ khi

s k

s v x C

CHƯƠNG 3

MỘT SỐ BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN

Có rất nhiều bài toán biên liên quan đến phương trình loại parabolic và hyperbolic tuy nhiên trong luận văn này chỉ trình bài các bài toán biên liên quan đến phương trình loại parabolic

3.1 PHƯƠNG TRÌNH LOẠI PARABOLIC

Đầu tiên ta xét các phương trình parabolic cấp hai, sau đó xét bài toán Cauchy

và các bài toán biên ban đầu đối với phương trình này Ở đây, trình bài sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng của các bài toán trong các không gian Sobolev

Xét trong Rn 1 phương trình tuyến tính dạng

i i i n

x

u

a , (3.1)trong đó các hàm a ij a ij x ,a i a i x ,aa x là các hàm đo được Phương trình

(3.1) được gọi là thuộc loại parabolic (gọi tắt là parabolic) tại điểm x , nếu trong 0

n j

j j ij

y  ,i1, ,n1,

 ij là ma trận trực giao chuyển ma trận a ij x0  về dạng đường chéo

  l k k

n j

lj ki

ij x x

1 1

1

1 ,

2 0

n

i n

x

u x b y

u x