một số bài toán liên quan đến ma trận trong các kì thi olympic toán sinh viên toàn quốc

Trong giáo trình Đại số tuyến tính các bài tập thường ở những dạng cơ bản để sinh viên bắt đầu làm quen với ma trận, chưa sắp xếp theo các dạng và chưa đề cập tới các phương pháp giải

MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MA TRẬN

TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN

SINH VIÊN TOÀN QUỐC

Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực hiện

ThS Trang Văn Dễ Nguyễn Thị Thảo Hạnh

MSSV: 1110099 Lớp: SP Toán_Tin học K37

Cần Thơ, 2015

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo của ThS Trang Văn Dễ Tôi xin phép được gửi đến thầy sự kính trọng và long biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của Thầy đối với bản thân tôi không những trong thời gian làm luận văn mà còn trong suốt quá trình học tập Đồng thời, tôi xin được bày tỏ nguyện vọng tiếp tục tìm hiểu toán học dưới sự hướng dẫn của Thầy

Tôi cũng xin phép được gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô đã giảng dạy lớp Toán – Tin Học khóa 37 trường Đại Học Cần Thơ cũng như toàn thể quý thầy cô Khoa Toán trường Đại Học Cần Thơ, những người đã cho tôi kiến thức, quan tâm động viên, nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian thực hiện đề tài,

Cuối cùng, tôi xin phép được gửi lời cảm ơn đến những người thân, bạn bè đã quan tâm động viên giúp đỡ tôi trong suốt thời gian hoàn thành luận văn và quãng đường học tập vừa qua

Cần thơ, tháng 04 năm 2015

Nguyễn Thị Thảo Hạnh

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

PHẦN NỘI DUNG 3

Chương 1: 3

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Ma trận, các phép toán về ma trận 3

1.1.1 Ma trận 3

1.1.2 Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng (cột) của ma trận 5

1.1.3 Các phép toán về ma trận 6

1.1.4 Một số tính chất của phép toán ma trận 7

1.2 Định thức 7

1.2.1 Định nghĩa 7

1.2.2 Một số tính chất của định thức 9

1.3 Ma trận nghịch đảo 9

1.3.1 Định nghĩa 9

1.3.2 Các tính chất 10

1.4 Hạng của ma trận 10

1.4.1 Định nghĩa 10

1.4.2 Các tính chất 10

1.5 Hệ phương trình tuyến tính 10

1.5.1 Định nghĩa 10

Chương 2: 13

MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MA TRẬN TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC 13

2.1 Định thức của ma trận 13

2.1.1 Khai triển theo dòng hoặc cột 13

2.1.2 Đưa về ma trận tam giác 19

2.1.3 Rút nhân tử tuyến tính 24

2.1.4 Phương pháp truy hồi 26

2.1.5 Biểu diễn định thức dưới dạng tổng hoặc tích các định thức khác 30

2.1.6 Các phương pháp tổng hợp khác 34

2.2 Ma trận nghịch đảo 46

2.2.1 Sử dụng phần bù đại số 46

2.2.2 Biến đổi sơ cấp dòng 47

2.2.3 Sử dụng đa thức đặc trưng 49

2.2.4 Phương pháp giải hệ 54

2.2.5 Một số bài toán tổng hợp 57

2.3 Hạng của ma trận 61

2.3.1 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp định thức 61

2.3.2 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp sử dụng các phép biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss) 63

2.3.3 Các bài toán tổng hợp 66

2.4 Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 67

2.4.1 Hệ phương trình Cramer 67

2.4.2 Sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss) để giải hệ

phương trình tuyến tính tổng quát 70

2.5 Lũy thừa bậc cao của ma trận 74

2.5.1 Ma trận lũy linh 74

2.5.2 Các dạng toán về mũ hóa ma trận 77

PHẦN KẾT LUẬN 87

TÀI LIỆU THAM KHẢO 88

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết vai trò quan trọng của toán học trong chương trình giảng dạy, trong nền giáo dục của nước nhà cũng như sự ảnh hưởng của nó đến sự phát triển kinh

tế, xã hội, an ninh quốc phòng của đất nước Toán học có một vị trí đặc biệt quan trọng

từ bậc giáo dục phổ thông cơ sở đến đào tạo các ngành học cao hơn như thạc sĩ, tiến sĩ.Toán học cung cấp một công cụ mạnh mẽ giúp cho các chuyên gia giải quyết vấn đề chuyên môn của tất cả các ngành, ngay cả những ngành thuộc lĩnh vực tưởng chừng xa

lạ như khoa học và nghệ thuật Chính vì sự quan trọng đó các trường Đại học và Cao đẳng, hầu như đối với các ngành đào tạo, Toán được đưa vào giảng dạy từ những năm đầu Trong đó nội dung chủ yếu là Toán học cao cấp, và một trong những nội dung cốt

lõi của Toán học cao cấp chính là ma trận, ma trận được xây dựng như nội dung cơ sở,

nền móng của toán học cao cấp

Khái niệm ma trận trong đại số được giảng dạy trong chương trình Toán đại cương của

hầu hết các trường Đại học – Cao đẳng Đây cũng là nội dung quy định của Hội toán học Việt Nam trong kỳ thi Olympic Toán học sinh viên toàn quốc Không những thế

ma trận cũng được xem như nội dung chính của Olympic Toán học sinh viên toàn quốc

và quốc tế

Vai trò của ma trận trong đại số tuyến tính nói riêng và trong Toán học nói chung là hết sức to lớn Để hiểu rõ về ma trận và việc giải các bài tập là rất cần thiết Trong giáo

trình Đại số tuyến tính các bài tập thường ở những dạng cơ bản để sinh viên bắt đầu

làm quen với ma trận, chưa sắp xếp theo các dạng và chưa đề cập tới các phương pháp

giải chung cho một số dạng toán khó và ít gặp Vì vậy việc theo dõi bài tập gây khó khăn cho một số bạn sinh viên

Trong khóa luận này, tôi đã liệt kê được một số dạng toán về ma trận dựa trên các đề thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc trong những năm qua và đưa ra một số hướng

giải cụ thể Đây là đề tài mở và các bài toán hết sức phong phú và đa dạng Tôi hy vọng khóa luận này sẽ được bổ sung bởi các bạn sinh viên khóa sau để khóa luận sẽ là một tài liệu tốt cho các bạn sinh viên khoa Toán

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài này chính là:

- Hệ thống lại lý thuyết một cách tổng quát về ma trận để xây dựng và phân loại các dạng Toán về ma trận

- Đưa ra các phương pháp giải phong phú của một bài Toán ma trận

- Xây dựng hệ thống bài tập, phân loại được các dạng toán và tìm hướng giải chúng

- Thông qua tìm hiểu và nghiên cứu giúp bản thân có cái nhìn tổng quan về các bài

toán trong đề thi Olympic Toán sinh viên

Luận văn được chia làm 2 phần:

Chương I Các kiến thức chuẩn bị

Chương II Nội dung chính

được gọi là ma trận kiểu (m n )

Mỗi số a được gọi là một thành phần của ma trận Nó ở dòng thứ i và cột thứ j ij

Ta thường kí hiệu ma trận bởi các chữ in hoa: , , A B Có thể viết ma trận (1.1.1) một cách đơn giản bởi:

( ij m n)

A a 

Khi đã biết rõ m và n thì còn có thể viết là: A(a ij)

 Ma trận dòng: Ma trận cỡ 1 n gọi là ma trận dòng

 Ma trận vuông: Ma trận cỡ n n gọi là ma trận vuông cấp n (hay ma trận cấp n) và

viết A(a ij n n) Trong ma trận vuông A(a ij n n) dãy các phần tử có chỉ số hàng bằng chỉ số cột a11,a , ,22 a gọi là đường chéo chính của ma trận A nn

 Ma trận thực: Nếu các phần tử của ma trận A đều nhận giá trị thực, có nghĩa là

Như vậy ma trận T

A thu được từ A bằng cách đổi dòng thứ i của A thành cột thứ i

của A và nếu A là ma trận kiểu m n T  thì ma trận chuyển vị A là ma trận kiểu n m T 

 Ma trận đơn vị: Là ma trận vuông cấp n có các phần tử nằm trên đường chéo chính

bằng 1 và các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0, tức là có dạng:

Kí hiệu là : I (đôi khi ta còn kí hiệu là I) n

 Ma trận con: Cho A là ma trận cấp m n , ta gọi M là ma trận lập được từ ma trận ij

A bằng cách bỏ đi hàng i và cột j, khi đó M gọi là ma trận con của ma trận A ứng với ij

phần tử a ij

1.1.2 Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng (cột) của ma trận

 Các phép biến đổi sau đây đối với hàng (cột) của ma trận gọi là các phép biến đổi sơ

cấp theo hàng (cột) của ma trận:

(1) Đổi chỗ hai hàng (cột) của ma trận cho nhau

(2) Nhân tất cả các phần tử của một hàng (cột) của ma trận với một số 0

(3) Cộng vào một hàng (cột) nào đó của ma trận một hàng (cột) khác sau khi đã nhân với một số  0

 Định nghĩa 1.1.3 Một ma trận được gọi là ma trận bậc thang trên nếu nó thỏa mãn

các điều kiện sau:

(1) Các hàng bằng không ở dưới các hàng khác không

(2) Phần tử cơ sở của hàng phía dưới nằm bên phải so với phần tử cơ sở của hàng phía

( ij ij m n)

A B  a b 

 Phép nhân một số với một ma trận:

Cho ma trận A(a ij m n)  và số 0 Khi ấy tích của số  với ma trận A cũng là ma

trận cấp m n , kí hiệu là : , A được xác định bởi

 Định lý 1: Cho các ma trận A, B, C và các số ,  sao cho các phép toán sau đây

được tạo thành Khi ấy ta sẽ có:

(Người ta gọi là phép khai triển theo cột 1)

 Tương tự ta có công thức khai triển của định thức theo cột k nào đó:

detA ( 1)k a k det(M k )a k det(M k ) ( 1)   n a kndet(M kn)

1.2.2 Một số tính chất của định thức

(1) A  A T

(2) Khi đổi vị trí của hai hàng (hai cột) cho nhau thì định thức đổi dấu

(3) Định thức có một hàng (một cột) nào đó gồm toàn số 0 thì bằng 0

(4) Định thức có hai hàng (hai cột) tỷ lệ nhau thì bằng 0

(5) Nếu nhân một hàng (một cột) nào đó của định thức với một số  0 thì định thức được nhân lên với số  đó

(6) Định thức không thay đổi nếu ta cộng vào một hàng (một cột) nào đó một tổ hợp

tuyến tính của một số hàng (cột) khác

(7) Khi tất cả các phần tử của một hàng (hay một cột) có dạng tổng của hai số hạng thì

định thức có thể phân tích thành tổng của hai định thức

1.3 Ma trận nghịch đảo

1.3.1 Định nghĩa

 Cho A là một ma trận vuông cấp n Ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma

trận A ( kí hiệu là: A1 ) nếu thỏa mãn:

n

A BI và B A I n

 Nếu A tồn tại ma trận nghịch đảo thì ta nói A là ma trận khả nghịch

 Định lý (điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo)

Điều kiện cần và đủ để một ma trận A vuông cấp n tồn tại ma trận nghịch đảo là:

detA0

Hạng của một ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác 0 lập từ ma trận A Kí

hiệu là: rank A( ) hay r A( )

1.4.2 Các tính chất

(1) Với mọi AM m n. ( ),K thì 0r A( )min m n,

(2) Hạng của ma trận là số cấp lớn nhất của định thức con khác không của ma trận A

(3) Hạng của ma trận không thay đổi khi qua phép chuyển vị hoặc các phép biến đổi sơ cấp

Trong đó x x1, 2, ,x là các ẩn, n a b ij, j là các hằng số, gọi là hệ phương trình tuyến

gọi là ma trận các hệ số mở rộng của hệ (1) Một hệ phương trình hoàn toàn xác định

khi ta biết ma trận các hệ số mở rộng của nó

Nhận xét: Nếu ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của một hệ phương

trình tuyến tính ta được hệ mới tương đương với hệ đã cho

1.5.2 Một vài hệ phương trình đặc biệt

a) Hệ Cramer

Hệ phương trình tuyến tính (1) được gọi là hệ Cramer nếu mn (tức là số phương

trình bằng số ẩn) và ma trận các hệ số A là không suy biến (detA0)

b) Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Hệ phương trình tuyến tính (1) gọi hệ thuần nhất nếu cột tự do của hệ bằng 0, tức là

1 2 m 0

b b  b 

Chương 2:

MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MA TRẬN TRONG CÁC KÌ THI

OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC

2.1 Định thức của ma trận

2.1.1 Khai triển theo dòng hoặc cột

Cơ sở của phương pháp này là định lý Laplace cho 1 k n Xét hai bộ số 1

A i i j j Còn định thức của nó được gọi là định thức con hay milnor

Ma trận con nằm trên giao của các dòng và cột còn lại được gọi là ma trận con bù của A i( , , ; , ,1 i k j1 j k) và được kí hiệu là A i( , , ; , ,1 i k j1 j k).Định thức

 Định lý : (Khai triển Laplace)

Giả sử đã chọn ra k dòng (tương ứng cột) trong một định thức cấp n (1 k n), khi

đó định thức đã cho bằng tích của tất cả các định thức con cấp k lấy ra từ k dòng (tương

ứng cột) đó với phần bù đại số của chúng, tức là:



D   a  ab  a b 

1

1D

22

12

n n

2.1.2 Đƣa về ma trận tam giác

Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng hay cột ta đưa về ma trận tam giác trên hay dưới

rồi Khi thực hiện các phép biến đổi, định thức thay đổi theo quy tắc sau:

 Mệnh đề

i Định thức đổi dấu khi đỗi chỗ hai dòng hoặc cột cho nhau (Tính chất này được gọi

là tính thay phiên)

ii Định thức được nhân với K khi ta nhân một dòng hay một cột với 

iii Định thức không thay đổi khi ta thêm vào một dòng (tương ứng cột) một tổ hợp

tuyến tính của các dòng (tương ứng cột) còn lại

Đây là phương pháp thông dụng nhất để tính định thức có cấp là một số cụ thể Ta có thể trình bày thành thuật toán như sau:

 Thuật toán tính định thức (phương pháp Gauss)

1a Cho một chỉ số i sao cho a ij 0,rồi đổi chỗ dòng thứ 1 và dòng thứ i cho nhau, đồng thời đổi dấu định thức.(Thông thường ta chọn i sao cho a ij gần 1 nhất, hoặc chọn

i đầu tiên thỏa mãn tính chất đó ) Nếu chỉ số tồn tại như vậy không tồn tại thì định

3 Tối đa sau n1 bước ta sẽ nhận được ma trận tam giác trên Định thức của nó bằng

tích các phần tử trên đường chéo

Trong các phép biến đổi sau: bắt đầu từ cột cuối cùng trừ đi các cột đứng trước đó, sau

đó ta áp dụng khai triển Laplace đối với dòng đầu, rồi tiếp tục như vậy ta được:

1 2

Sau n1 bước ta được

1 2

Bài toán 2: (Olympic 2008)

Cho a d0, là các số thực, dãy a a0, 1, ,a n lập thành một cấp số cộng công sai d Tính định thức của ma trận

Cộng cột đầu vào cột cuối ta được

 Chú ý: Nếu mỗi phân tử của ma trận vuông A cấp n là một đa thức bậc nhất đối với

biến x nào đó thì định thức A là một đa thức của các biến đó với bậc (tổng thể) không quá n Nếu bằng cách nào đó ta tìm được n đa thức bậc nhất f1, ,f độc lập tuyến tính n

với nhau sao cho mỗi f i là ước của A thì ta có thể kết luận A và tích f1 f n sai khác nhau một nhân tử hằng số

Mặt khác lần lượt cho x1, 2, ,n1, ta nhận được định thức có hai dòng bằng nhau, nên chúng đều bằng 0, tức là D 1 D 2   D n 1 Do đó D x chia hết cho  

D   x a b c x a b c x a b c x a b c        

2.1.4 Phương pháp truy hồi

Tìm một hệ thức giữa định thức cấp n và các định thức cấp thấp hơn được định nghĩa

tương tự Trường hợp hay gặp nhất là khi ta nhận quan hệ dạng

Công thức này đúng với mọi n3 nên ta có

Tiếp tục từ công thức (*) ta lại có D nbD n1a D n1bD n2

Do công thức này đúng với mọi n3 nên tương tự như trên ta lại có

Bài toán 3: (Olympic 1993)

Cho 2n số nguyên a1, ,a n;b1, ,b thỏa điều kiện sau n a b1 1a b2 2  a b n n 0 Tính

2.1.5 Biểu diễn định thức dưới dạng tổng hoặc tích các định thức khác

Khai triển định thức thành tổng các định thức cùng cấp rồi tính các định thức thành phần Từ đó suy ra giá trị định thức cần tìm bằng tổng các định thức thành phần

Sử dụng đa tuyến tính ta có thể đưa về tính một định thức thành tích (tổng) của các định thức đơn giản hơn

Ví dụ: Nếu viết các dòng của định thức

n n

Dễ thấy chú ý là định thức của ma trận Vandermore

Đối với 1 áp dụng bài toán 3 “ở phần khai triển Laplace” tính định thức ở trên ta được:

1 1

n

i i

n

i j i

x x B

x x x x x x x x x x x x x x x x x

k k

P  x  n , vì vậy các số hạng ở dòng cuối đều bằng

n1 ! Để đơn giản kí hiệu và cách viết ta đặt x k  x k k, 0,1, ,n Ở dòng thứ hai

từ dưới lên của (D), ta có:

Cộng vào dòng này hai dòng cuối sau khi nhân với các số

 21 !

a n



 và  11 !

a n

Bằng cách biến đổi như vậy với các dòng còn lại, ta dẫn ma trận D về dạng sau mà

không thay đổi định thức của nó

k

n

n n

k

n n

k

n k