giải gần đúng nghiệm phương trình vi phân trên máy tính casio và maple

Với sự yêu thích và gợi ý của Cô Nguyễn Thư Hương, em đã chọn được đề tài “ Giải gần đúng nghiệm phương trình vi phân trên máy tính casio và maple” và hoàn thành đề tài.. PHẠM VI NGHIÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

KHOA SƯ PHẠM

BỘ MÔN SP TOÁN HỌC

- -

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

GIẢI GẦN ĐÚNG NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRÊN MÁY TÍNH CASIO

VÀ MAPLE

Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực hiện

MSSV: 1110064 Lớp: SP Toán K37

Cần Thơ, 2015

LỜI CẢM ƠN



Qua thời gian học tập tại Trường Đại học Cần Thơ đã giúp em tích lũy thêm nhiều kiến thức bổ ích, đặc biệt là những kiến thức của các Thầy Cô trong Bộ môn Toán của Khoa Sư phạm, với những kiến thức đó là hành trang để sau này để em nghiên cứu những vấn đề nhỏ và gần nhất đây là luận văn tốt nghiệp Em xin gởi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô Bộ môn Toán, đặc biệt là cô Nguyễn Thư Hương đã tận tình hướng dẫn và động viên em để hoàn thành đề tài luận văn này Và em cũng xin gởi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn

Do thời gian và phần kiến thức của bản thân còn hạn chế nên khó tránh khỏi thiếu sót Hy vọng sẽ nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của các Thầy Cô và bạn

MỤC LỤC

Trang

LỜI CẢM ƠN i

MỤC LỤC ii

DANH MỤC CÁC BẢNG iii

DANH MỤC CÁC HÌNH iii

PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

2 PHẠM VI NGHIÊN CỨU 1

3 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 1

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1

5 NỘI DUNG LUẬN VĂN 1

PHẦN NỘI DUNG 3

Chương I: KIẾN THỨC CƠ BẢN 3

1.1 Khái nệm chung về phương trình vi phân 3

1.2 Phương trình vi phân cấp một 3

1.2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy 4

1.2.2 Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp một 5

1.3 Phương trình vi phân cấp hai 6

1.3.1 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai 6

1.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai với hệ số hằng 7

1.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai 8

1.4 Phương trình vi phân Euler 9

1.5 Hệ phương trình vi phân 10

1.6 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 11

1.6.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 11

1.6.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 15

1.7 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với các hệ số hằng 18

Chương II: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG CHO PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 22

2.1 Các phương pháp giải gần đúng cho phương trình vi phân 22

2.1.1 Phương pháp Euler 22

2.1.2 Phương pháp Euler cải tiến 27

2.1.3 Phương pháp Runge – Kutta 31

2.1.4 Phương pháp Adams 40

2.2 Các phương pháp giải gần đúng cho hệ phương trình vi phân 43

2.2.1 Phương pháp Euler 43

2.2.2 Phương pháp Runge-Kutta 44

Chương III: CÁC VÍ DỤ SỐ MINH HỌA 47

3.1 Giải phương trình vi phân bằng máy tính fx- 570ES 47

3.2 Giải phương trình vi phân bằng Maple 16 58

PHẦN KẾT LUẬN 81

TÀI LIỆU THAM KHẢO 82

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1 Công thức Runge-Kutta cho phương trình vi phân với trường hợp m=4 37

Bảng 2.2 Công thức Runge-Kutta cho hệ phương trình vi phân với trường hợp m=4 46

Bảng nghiệm 3.1 48

Bảng nghiệm 3.2 49

Bảng nghiệm 3.3 51

Bảng nghiệm 3.4 53

Bảng nghiệm 3.5 54

Bảng nghiệm 3.6 56

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 2.1 Minh họa cho phương pháp Euler 26

Hình 2.2 Minh họa cho phương pháp Euler cải tiến thứ nhất 28

Hình 2.3 Minh họa cho phương pháp Euler cải tiến thứ hai 31

Hình 2.4 Minh họa cho phương pháp Runge-Kutta cho trường hợp m=4 38

đã trở nên đơn giản và nhẹ nhàng hơn Với sự yêu thích và gợi ý của Cô

Nguyễn Thư Hương, em đã chọn được đề tài “ Giải gần đúng nghiệm phương trình vi

phân trên máy tính casio và maple” và hoàn thành đề tài

2 PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Luận văn trình các phương pháp giải gần đúng nghiệm phương trình vi phân thường

có điều kiện ban đầu (bài toán Cauchy), ứng dụng máy tính Casio fx570ESvà

Maple 16 vào việc giải gần đúng cho phương trình trên

3 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu lý thuyết về việc giải gần đúng một số phương trình vi phân

- Nghiên cứu về việc ứng dụng máy tính vào việc giải gần đúng phương trình vi phân

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Tổng hợp, phân tích một số nội dung lý thuyết phương trình vi phân và việc giải gần đúng phương trình vi phân

- Chứng minh làm rõ một số định lý quan trọng

- Đánh giá các phương pháp giải gần đúng nghiệm phương trình vi phân

5 NỘI DUNG LUẬN VĂN

Luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Kiến thức cơ bản

Trình bày tổng hợp một số kiến thức về phương trình vi phân và hệ pương trình vi phân

Chương 2: Một số phương pháp giải gần đúng cho phương trình và hệ phương trình vi phân

Trình bày các phương pháp giải gần đúng nghiệm phương trình vi phân như là: Phương pháp Euler, Euler cải tiến thứ nhất, Euler cải tiến thứ hai và phương pháp Runge-Kutta

Chương 3: Các ví dụ số minh họa

Giải một số ví dụ cho phương pháp được trình bày nêu trên nhờ vào máy tính Casio fx570ES và Maple 16

PHẦN NỘI DUNG Chương I:

KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Khái niệm chung về phương trình vi phân

 Phương trình (1.1) có thể khuyết biến độc lập x và ẩn hàm y nhưng bắt buộc

phải có đạo hàm của hàm ẩn

 Cấp của phương trình vi phân bằng đạo hàm cấp cao nhất của hàm ẩn

 Hàm y  x được gọi là nghiệm của phương trình (1.1) nếu nó thỏa điều kiện:

o Hàm y  x liên tục và khả vi đến cấp n trên khoảng I nào đó

o  x I thì điểm x,   x , x , , n  x G với G là miền xác định của F

F x y y , ,   0, (1.2) trong F được xác định trên miền G nào đó, ở đây ta xét G 3

Nếu trong G phương trình (1.2) giải được y, thì phương trình (1.2) có dạng:

1.2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy:

 

  0

,,

Ta sẽ chỉ điều kiện của hàm f để bài toán (1.3) có nghiệm duy nhất

Điều kiện Lipschitz:

Hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschiz theo y trong miền G, nếu với bất kì hai điểm

x y, 1 , x y thuộc miền G, ta luôn có: , 2

f x y  f x y L y y ,

trong đó L là hằng số và L0

Nhận xét 1.1:

Hàm f có đạo hàm riêng theo biến y và giới nội (bị chặn) trong miền G thì sẽ thỏa

điều kiện Lipschiz

Giả sử trong miền G hàm f liên tục theo biến x và thỏa điều kiện Lipschiz theo biến

y (hoặc f có đạo hàm theo y và giới nội) Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm của phương

trình vi phân (1.3) và nghiệm này xác định trong một khoảng x0  ,x0  , trng đó

0

 

Định lí 1.2 (định lí Peano):

Giả sử trong miền G hàm f giới nội và liên tục Khi đó tồn tại ít nhất một đường

cong tích phân của phương trình (1.3)

Nhận xét 1.2:

Đường cong tích phân đi qua điểm x y trong một lân cận khá bé của 0, 0 x Đây 0

chính là cơ sở của phương pháp giải gần đúng của phương trình vi phân bằng phương pháp đường gấp khúc Euler

1.2.2 Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp một

Nghiệm tổng quát: Là nghiệm có dạng hàm y x C,  và thỏa phương trình (1.2)

với C là hằng số

Nghiệm riêng: Là nghiệm mà tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được thỏa

mãn, tức C được xác định cụ thể

Nghiệm kì dị: Là nghiệm mà tại mọi điểm của nó tính duy nhất nghiệm của bài toán

trong đó F là hàm bắt buộc phải có y

Giả sử phương trình (1.4) có thể giải được y khi đó (1.4) được ghi dưới dạng:

Phương trình (1.5) nếu f x 0 thì ta được phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

Nếu f x 0 thì phương trinh (1.5) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

1.3.1 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai

Dạng: y p x y  q x y  0 (1.6)

Định lí 1.3: Cấu trúc nghiệm

Giả sử y x1   ,y2 x là nghiệm của phương trình (1.6) và y x1   ,y2 x độc lập tuyến

tính trên  a b, Khi đó nghiệm tổng quát của (1.6) có dạng:

Phương pháp tìm nghiệm của phương trình (1.7):

b ac b





1.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai

Dạng: y p x y  q x y   f x , (1.9) trong đó p x q x     , ,f x là các hàm theo biến x có nhiều dạng khác nhau tùy vào

bài toán

Nhận xét 1.3:

Nếu ta tìm được nghiệm y x1   ,y2 x của phương trình (1.6) hai nghiệm này độc lập

tuyến tính trên  a b, và nghiệm riêng * 

y x của (1.9) thì nghiệm tổng quát của (1.9)

có dạng:       * 

y x C y x C y x y x với C C là hằng số 1, 2

Phương pháp nghiệm của phương trình (1.9):

Ta sẽ đưa ra cách làm chung với hàm f tùy ý chứ không xét riêng các dạng của hàm f

 Tìm nghiệm y x1   ,y2 x độc lập tuyến tính của (1.6)

 Tìm nghiệm riêng (1.9) dưới dạng *         

1.4 Phương trình vi phân Euler

 Xét dạng cấp hai:

ax y2   bxy    cy 0 (1.10)

Phương pháp tìm nghiệm phương trình (1.10):

Ý tưởng là ta sẽ đưa về dạng phương trình tuyến tính với hệ số hằng bằng cách đặt:

t

t

t

dt e dx

Đây là dạng phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng Nên ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1.11) sau đó ta thay t lnx ta được nghiệm tổng quát của phương trình (1.10)

, , , , 0

n n

, , , ,

n n

 Số n được gọi là bậc của hệ (1.13)

 Hệ n hàm khả vi y x1   ,y2 x , ,y n x xác định trên khoảng  a b được ,gọi là nghiệm của hệ (1.12) tên khoảng đó nếu khi thay chúng vào hệ (1.12)

ta được đồng nhất thức với mọi x  (a, b)

Tập hợp   x y x, 1   ,y x2 , ,y n x  x a b,  được gọi là đường cong tích phân

Bài toán cauchy: Cho điểm 0 0 0

0, 1, 2, , n

x y y y G Tìm nghiệm y x1   ,y2 x , ,y n x của hệ (1.12) thỏa điều kiện ban đầu:

1.6 Hệ phương trình vi phân tuyến tính

1.6.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

Khi đó, nếu hệ phương trình có dạng:

0, 1, 2, , n

x y y y với

 

x  a b thì hệ sẽ tồn tại và duy nhất nghiệm trên khoảng  a b ,

Để thuận lợi cho việc nghiên cứu các tính chất của hệ phương trình tuyến tính ta đưa

ra định nghĩa toán tử vi phân tuyến tính như sau:

  dY  

dx

Định lý 1.4 (định lí về nghiệm tổng quát): Nếu Y i i 1,2, ,m là nghiệm của hệ

phương trình L Y 0 thì

1

m

i i i



 (với C ilà các hằng số tùy ý, i 1, 2, ,m) cũng là nghiệm của hệ phương trình đó

a) Khái niệm về sự phụ thuộc tuyến tính và các định lý liên quan

Giả sử ta có các vector Y Y1, , ,2 Y n xác định trên  a b với: ,

i i i ni

độc lập tuyến tính trên  a b nếu đồng nhất thức (1.18) chỉ đúng khi , i 0 với mọi 1,2, ,n

i 

Ta thấy rằng đồng nhất thức (1.18) tương đương với hệ n đồng nhất thức sau:

Định lý 1.6: Nếu định thức Wronski W Y Y 1, , ,2 Y của nghiệm n Y Y1, 2, ,Y của hệ n

phương trình L Y 0, với các hệ số a ij x liên tục trên  a b , bằng không ít nhất ,tại một điểm xx0thuộc khoảng  a b thì nghiệm , Y Y1, 2, ,Y phụ thuộc tuyến tính n

trên khoảng đó và do đóW Y Y 1, 2, ,Y n0 trên khoảng  a b ,

b) Hệ nghiệm cơ bản

 Định nghĩa 1.6:

Hệ n nghiệm riêng độc lập tuyến tính Y x Y x1   , 2 , ,Y x của hệ phương trình n 

L Y  được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình đó

Nhận xét 1.4: Đối với hệ phương trình L Y 0 thì luôn tồn tại hệ nghiệm cơ bản

vì ta chỉ cần chọn nghiệm riêng Y x Y x1   , 2 , ,Y x sao cho n  W Y Y 1, 2, ,Y n0tại điểm x0 nào đó thuộc khoảng  a b ,

Hệ nghiệm cơ bản Y Y1, 2, ,Y sao cho n y ij x iji j, 1, 2, ,n trong đó ijlà kí hiệu Kronecker:

1,

0, ,

ij ij

được gọi là hệ nghiệm chuẩn tắc

Định lý 1.7: Nếu Y Y1, 2, ,Y (trong đó n là số phương trình của hệ) là hệ nghiệm cơ n

bản của hệ L Y 0 thì nghiệm tổng quát của hệ phương trình đó là:

1

,

n

i i i

trong đó W x W Y x Y x 1   , 2 , ,Y x n  và x thuộc khoảng 0  a b ,

1.6.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

ij j i j

Định lý 1.8: Nếu Y là nghiệm của hệ phương trình (1.19) và Y là nghiệm của hệ phương trình thuần nhất L Y 0 thì tổng Y Y1 là nghiệm của hệ (1.19)

 của các nghiệm Y icủa hệ phương trình L Y F i i 1, 2, , mlà

nghiệm của hệ phương trình    

1

m i i

i i

b) Phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm

Phương pháp gồm hai bước:

 Bước 1: Ta tìm nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất tương ứng Ta được nghiệm

tổng quát là:

1

n

i i i

i i

i i

n i

i i

n i

ni n i

dC x

y f x dx

     

1

1, 2, , n

n i

i i i

ij j i j

kx kx

kx

e y

Phương trình (1.24) được gọi là phương trình đặc trưng của hệ (1.22)

 Phương trình (1.24) có n nghiệm thực khác nhau:

1, k , ,2 n

k k Khi đó ta có nghiệm:

1 1

, 1, 2, ,cos sin

 Phương trình (1.24) có nghiệm k thực bội m

Khi đó ta sẽ tìm nghiệm của hệ (1.22) dưới dạng:

m kx m

m kx n

a t a t a t e y

Sau đó ta thay vào hệ (1.22) để xác định các ij

 Phương trình (1.24) có nghiệm k phức bội m

m kx m

m kx n

a t a t a t e y

Chương II:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG CHO PHƯƠNG TRÌNH

VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 2.1 Các phương pháp giải gần đúng cho phương trình vi phân

2.1.1 Phương pháp Euler

Xét bài toán Cauchy sau:

y  f x y , (2.1) thỏa điều kiện: y x 0  y0

Giả sử hàm f x y khả vi cấp m trên miền  , D x y,  xx0 a y; y0 0

Lấy đạo hàm (2.1) theo biến x ta được:

Tiếp tục lấy đạo hàm đến cấp m

Thay xx0 và y y0ta nhận được dãy:

Tuy nhiên có nhiều trường hợp khoảng cách x xa x Khi đó ta chia 0

a) Sự hội tụ và sai số của phương pháp Euler

Ta đặt: u i  y x i  y i là sai số của phương pháp Euler tại xx i với y x i là giá trị chính xác của nghiệm và y là giá trị xấp xỉ của nghiệm tại i x x i

Định nghĩa 2.1: Nếu tại x ixác định u i 0khi h0 Tức là y i  y x i khi h0

thì ta nói phương pháp Euler hội tụ

Định lý 2.1: Giả sử với phương trình cauchy trên và thỏa thêm điều kiện:

(i) f y x y, L (thỏa điều kiện Lipchitz xem mục 1.2)

b) Ý nghĩa hình học của phương pháp Euler

Đường gấp khúc A A A0 1 2 với đỉnh A x y i i, i , i 0,1,2,  trong đó y được xác i

định theo công thức (2.3) có độ nghiêng giống như đường cong nghiệm đúng của phương trình Ta có thể thấy rõ ý nghĩa hình học trên hình 2.1

2.1.2 Phương pháp Euler cải tiến

Ta xét bài toán Cauchy (2.1) với điều kiện ban đầu y x 0  y0

2.1.2.1 Phương pháp Euler cải tiến thứ nhất

Từ phương pháp Euler ở mục 2.1 ta nhận thấy rằng khi độ dài bước hx i1x i càng lớn thì độ nghiêng A A i i1 có độ lệch khá xa so với đường cong nghiệm y x , tức là  

sai số mắc phải khá lớn Vì thế để khắc phục phần nào sai số mắc phải ta có thể rút ngắn độ dài bước hx i1x i Đây cũng là ý tưởng của phương pháp Euler cải tiến thứ nhất Cụ thể được cho ở công thức sau:

 

1 2

1 2

2 2

2

,2

,0,1, 2,

i i

Ý nghĩa hình học của phương pháp Euler cải tiến thứ nhất

Đoạn thẳng A A i i1i0,1,2  với A cho trước và i A i1x i1,y i1được xác định theo công thức (2.4) là đoạn thẳng có phương là tiếp tuyến của đường cong nghiệm y x 

khi đi qua 1 1 1

 được xác định nhờ vào đường thẳng có phương tiếp tuyến tại A i có hệ số

góc k i  f x y i, i, 1 arctank i Do đó nhờ vào điểm 1

2.1.2.2 Phương pháp Euler cải tiến thứ hai

Ở phương pháp Euler cải tiến thứ nhất ta đã giảm sai số bằng cách giảm độ dài bước

Đối với phương pháp Euler cải tiến thứ hai ta sẽ làm giảm sai số đối với hàm f Công

thức của phương pháp này như sau:

Để thấy rõ về công thức (2.5) ta có cách xây dựng như sau:

Giả sử y x là nghiệm của phương trình Cauchy (2.1) và   y x khả vi cấp ba  

Áp dụng công thức Taylor tại 1

Ta thay số hạng cuối của (i) và (ii) bằng đại lượng  3

O h , sau đó lấy (ii) trừ (i) ta

( )2

Do h khá bé nên ta bỏ đại lượng  3

Khi đó ta nhận được công thức (2.5)

Sai số đối với phương pháp này là:

i i

y x y O h

Ý nghĩa hình học của phương pháp Euler cải tiến thứ hai

Đoạn thẳng A A i i1i0,1,2  với A cho trước và i A i1x i1,y i1được tính theo công thức (2.5) Điểm A i1x i1,y i1 là điểm nằm giữa M, N với M, N lần lược được xác

định bởi đường thẳng đi qua A i có hệ số góc lần lược k i  f x y i, i,k i1  f x i1, y i1

Do đó điểm A i1x i1,y i1 có độ chính xác cao so với phương pháp Euler Ta sẽ thấy rõ ý nghĩa của phương pháp ở hình 2.3

2.1.3 Phương pháp Runge – Kutta

Đây là phương pháp của hai nhà toán học người Đức Runge và Kutta đưa ra để tính giá trị y cho phương trình (2.1) với điều kiện ban đầu Và 1 y được tìm ra với độ 1

chính xác cao bằng cách tính hàm f x y tại một số điểm khác nhau Cách xây  ,dựng phương pháp được trình bày như sau:

Xét lại bài toán Cauchy (2.1) với điều kiện ban đầu y x 0  y0 Ta tính gia trị gần đúng y tại 1 x1x0h (với h cho trước) theo công thức:

y1  y0   y0 y0 h r f1  1, 1r f2  2, 2 r f m  m, m (2.6) với i x0  i h; i  y0i1 1k h  ii1k i1 h i, 1, 2, ,m, các  i, ij,r i là các hằng số có 1 0 và k h i hf  i, i

Do đó ta có thể ghi lại công thức (2.6) như sau:

Giả sử y x là nghiệm của phương trình Cauchy thỏa điều kiện ban đầu và   y x  

1 !

l l

l m

Khi đó thế các giá trị của k i j  0 ,  j  0

y x vào hai vế của (2.8) Với m cố định ta

r r r r