CHUYÊN đề QUAN hệ VUÔNG góc TRONG KHÔNG GIAN

C7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông góc với cạnh còn lại của tam giác B.. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đườn

CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

I Hai đường thẳng vuông góc với nhau

A Phương pháp chứng minh:

C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.

C2 : ab góc( ; ) 90 a b  o

C3: Dùng hệ quả:

C4: Dùng hệ quả:

C5 : Dùng hệ quả:

C6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc

C7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông

góc với cạnh còn lại của tam giác

B Bài tập áp dụng

Bài1.Cho tứ diện ABCD M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD Biết AB = 16a, CD =

12a, MN = 10a CM AB vuông góc với CD

Bài2.Cho hình chop S.ABC có AB = AC, góc SAC = góc SAB M là trung điểm BC CM

a AM vuông góc với BC và SM vuông góc với BC

b SA vuông góc với BC

Bài3.Cho hình chop S.ABC có SA vuông góc BC, SA = BC =2a, M  AB,mp()qua M song song với SA, BC, AB = a

a Xác định thiết diện tạo bởi mp()và S.ABC

b Đặt Am = x Tính diện tích thiết diện theo a và x

c Định vị trí ()để diện tích này lớn nhất

b// c, a  b  a c 

a c

b

( ) ( )



a

b

P

a

P

b

( ) ( )

a song song P

a b







BC AC

  



Bài4.Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác BCD

a CM: AOCD

b Tính góc giữa 2 đt AB và CD

Bài5.Cho hình chóp S.ABC có SA =SB=SC=a, tam giác ABC vuông cân và AB= AC

= a 2

a. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC

b. Tính góc giữa 2 đt SA và BC

Bài6.Cho tứ diện ABCD trong đó AB  AC, AB  BD Gọi P và Q lần lựơt là trung điểm của AB và CD Chứng minh AB  PQ

Bài7.Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC = BAD = 600 Chứng minh

a. AB  CD

b. Nếu M,N là trung điểm của AB và CD thì MN  AB, MN  CD

Bài8.Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh 2a, AB= AC= AD = 2

3

a

a CMR AD vuông góc BC

b Gọi I là trung điểm CD Tính góc giữa AB và CD

Bài9.Cho tứ diện ddeuf ABCD cạnh bằng a Tính góc giữa AB và CD

Bài10. Cho tứ diện ABCD có AB= AC =AD= a, BC= BD= a 2, CD= 2a

a Tính góc giữa 2 đt AD và BC

b Tính góc giữa 2 đt AB và CD

Bài11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, các góc SAB, SAC, SAD đều vuông, SA= 2

2

a Tính góc giữa SC và AD

Bài12. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật AB= a, BC= 3a, SAB = SAC = SAD=

0

90 và SA = a 3 Tính góc giữa SD và BC; SB và CD

Bài13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, đáy lớn là AD Biết AD= 2BC= 2AB

a Cm AC vuông góc CD

b Với E là trung điểm AD tìm giao tuyến của 2 mp (SBC) và (SCD)

c Biết góc SCD = 900 Xác định góc giữa SA và BE

Bài14. Cho tứ diện ABCD có AB = CD () song song với AB và CD cắt các cạnh còn lại lần lượt tại M, N, P, Q

a Tứ gicá MNPQ là hình gì

b Xác định vị trí () sao cho Mp vuông góc NQ

II Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

A Phương pháp chứng minh

C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đường

thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng

C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng thì

đường thẳng kia cũng vuông góc với mặt phẳng

C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a nằm

trong mẵt phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vuông góc với mặt phẳng kia

C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao

tuyến của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó

 Lưu ý hs yếu các kiến thức thường gặp:

- Tam giác ABC cân ở đỉnh A thì đường trung tuyến kẻ từ A cũng là đường cao

- Tam giác đều thì mọi đường trung tuyến đều là đường cao

- Hình thoi, hình vuông có 2 đường chéo vuông góc với nhau

B.Bài tập ứng dụng

c

a

b

P

b, c cắt nhau , , b c  ( ) P , a  b a ,  c a  ( ) P

P

a// b, b  ( ) P  a  ( ) P

Q

P

b

( ) ( ),



P

( ) ( )



( ) ( )

( )

  



Bài1 Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy BC Gọi I là

trung điểm BC

a chứng minh BC vuông góc AD

b kẻ AH là đường cao trong tam giác ADI Chứng minh AH vuông góc với

mp(BCD)

Bài2 Cho hình chop SABC SA vuông góc với đáy (ABC) và đáy là tam giác vuông tại B.

a CM BC SB

b Từ A lần lượt kẻ 2 đường cao AH, AK trong tam giác SAB và SAC CM AH  (SBC), SC ( AHK)

Bài3 Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O với SA = SC, SB = SD Chứng

minh

a SO vuông góc với (ABCD)

b AC vuông góc SD, BD SA

c Gọi I, J lần lượt là trung điểm của cạnh BA, BC CM IJ(SBD)

d Trong tam giác SAD kẻ đường cao SH CM: AD(SOH)

Bài4 Cho tứ diện ABCD có AB CD, AC BD Gọi H là trực tâm tam giác BCD

Bài5 Cho hình chóp S.ABCD có SA đáy Đáy ABCD là hình thang vuông tại A AD = 2AB

= 2BC

Bài6 Hình chop S.ABC có SA vuông với đáy, tam giác ABC cân ở A Gọi M là trung điểm

BC CM:

a BC (SAM)

b Vẽ AH SM tại H CM AH SB

Bài7 Cho hình chóp S.ABC có SA =

2

6

a

và các cạnh còn lại đều bằng a Gọi I là trung điểm BC CM:

Bài8 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA = a và SA (ABCD)

a Gọi I là trung điểm SD CM AI (SCD)

b Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M di động trên SD Tìm tập hợp các hình chiếu

của O trên CM

Bài9 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là

tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J là trung điểm AB, CD

a Tính các cạnh của tam giác SIJ, suy ra tam giác SIJ vuông

b CM SI(SCD); SJ(SAB)

c Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên IJ cm SHAC

Bài10. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O, SA(ABCD) I, J, klaanf lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC, SD

a CM các mặt bên của h/c là các tam giác vuông

b CM(SAC) là mp trung trực của BD

c CM SC(AHK) Từ đó suy ra AH, AI, AK đồng phẳng

d CM (SAC) là mặt phẳng trung trực của HK Suy ra KHAI

Bài11. cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB= a, BC = a 3 Mặt bên SBC vuông tại B, SCD là tam giác vuông tại D, SD= a 5

a CM: SA(ABCD)

b Đường thẳng đi qua A và  AC, cắt các đt CB, CD lần lượt tại I, J Gọi H là h/c của A lên SC Xđ các giao điểm K, L của SB, SD với mp (HIJ) Cm AK (SBC), AL (SCD)

III Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

A Các định lý

1.

) ( )

(

//









a

b

a

2 ( )//( ) (  )















a







//











a

b

b

a

//













5   













a

b

b

a

B Bài tập ứng dụng

vuông tâm O, SA vuông góc

(ABCD) Gọi  là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC,  cắt SC tại I

a Xác định giao điểm của SO và 

b CM BD vuông góc SC Xét vị trí tương đối của BD và 

c Xác định giao tuyến của (SBD) và 

Bài2.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc (BCD) và SA =

AB Gọi H và M lần lượt là trung điểm của SB và SD CMR OM vuông góc với (AHD)

Bài3.Cho tam giác ABC cân tại A, I và H lần lượt là trung điểm cạnh AB, BC dựng SH 

(ABC) Trên đoạn CI và SA lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho MC = 2MI, NA = 2NS Chứng minh MN (ABC)

Bài4.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA (ABC)

a Kẻ đ/cao AH trong tam giác SAB CM BC (SAB) và AH (SBC)

b Kẻ đường cao AK trong tam giác SAC CM SC (AHK)

c Kẻ đường cao BM trong tam giác CM BM //(AHK)

IV Mặt phẳng vuông góc mặ phẳng

A Phương pháp chứng minh

C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông

a b

a

P

b a

C2 : Dùng hệ quả:Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu có một đường thẳng nằm

trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.

B Bài tập ứng dụng:

Bài1.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi Các tam giác SAC và tam giác SBD cân tại

S Gọi O là tâm hình thoi

a CM SO (ABCD)

b CM (SAC) (SBD)

Bài2.Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B SA đáy

a CM: (SAB) (SBC)

b Gọi M là trung điểm AC CM (SAC) (SBM)

Bài3.Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC) Tam giác ABC vuông tại B

a CM: (SAC) (ABC)

b Gọi H là hình chiếu của A lên SC K là hình chiếu của A lên SB CM (AHK) (SBC)

c Gọi I là giao điểm của HK và mp(ABC) CM AIAH

Bài4.Hai tam giác ACD và BCD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau AC =AD =BC

=BD =a và CD =2x Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và CD

a CM: IJ AB , IJCD

b Tính IJ và AB theo a và x

c Xác định x sao cho (ABC)(ABD)

Bài5.Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm BC, D là điểm đối xứng của A qua I dựng

đoạn SD =

2

6

a vuông góc với (ABC) CM

a (SAB) (SAC)

b (SBC)(SAD)

Bài6.Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều có

trong mặt phẳng vuông góc với (ABC)

a CM: (SBC)(SAC)

b Gọi I là trung điểm của SC CMR (ABI)(SBC)

x







O

( )

( )

a a











a

 ( ) ( )    , Ox  ( ),  Ox  , Oy  ( ),  Oy  

Khi đó:

góc (( );( ))   góc ( ; Ox Oy )  xOy    : 0    90o

 ( )   ( )     90o

Bài7.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a Tam giác SAB đều và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với đáy, I, K lần lượt là trung điểm của AB, BC

a CMR SI(ABCD)

b CMR SAD, SBC là tam giác vuông

c CMR (SAD) (SAB) và (SBC) (SAB)

d CMR(SDK) (SIC)

Bài8.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật, SA(ABCD) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD

a CMR(SAB) (SBC); (SAD) (SCD)

b CMR (AEF) (SBC); (AEF) ((SCD)

Bài9.Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và SO  mp(ABCD) SO = a/2 Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC

a. CMR: (SBD)  (SAC)

b. CMR (SIJ)  (SBC)

Bài10. Cho tứ diện ABCD có SA (ABC) Gọi H, K là trực tâm của 2 tam giác ABC

và SBC CMR

a AH, SK, BC đồng quy

b SC (BHK); (SAC)  (BHK)

c KH (SBC); (SBC)  (BHK)

Bài11. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a

a CMR đường thẳng AC’ (A’BD) và (ACC’A’)(A’BD)

b Tính đường chéo AC’ của hình lập phương

Bài12. Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau CMR: AC  B’D’, AB’CD’ và AD’CB’ Khi nào mp(AA’C’C)(BB’D’D)

V.CÁCH XÁC ĐINH GÓC

A Lý thuyết

1 Góc của hai đường thẳng

 Chọn điểm O tuỳ ý.

 Dựng qua O : a’ // a; b’ // b

 Góc (a,b) = góc (a’,b’) = AOB

 Thường chọn điểm O  a hoặc O

 b

b' a'

B

A

O b a

 = ( ; ) a b

2 Góc của hai mặt phẳng

3 Góc của đường thẳng và mặt phẳng

của nó trên mặt phẳng

 Dùng công thức:

OA

A d

d, ) ( , ) sin(   



B Bài tập

Bài1.Cho tứ diện đều ABCD Tính các góc sau:

a. Góc giữa AB và (BCD)

b. Góc giữa Ah và (ACD) với H là hình chiếu của A lên (ABC)

Bài2.Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA  (ABCD) và SA =

6

a Tính các góc giữa:

a. SC và (ABCD); SC & (SAD); SB & (SAC); AC & (SBC)

b. (SBC) và (ABCD); (SBD) và (ABCD); (SAB) và (SCD)

Bài3.Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và SA = 2a, ABC là tam giác

đều cạnh a Tính các góc giữa SB, (ABC) và góc giữa Sc, (SAB)

 Chọn điểm O thuộc giao tuyến của  và 

 Dựng qua O : OA ( )

OA









 

OB









 



 Góc ( , )   = Góc ( OA OB = AOB  , ) 

Chú ý: * 0 90o



* Nếu 90o

  thi chọn góc ( ; ) 180o

 Chọn điểm A thuộc đường thẳng a.

 Dựng qua AB  ( )  tại B.

 Dựng giao điểm O của a và nếu chưa có ( OB là hình chiếu của a trên mặt phẳng ( ))

 Khi đó: Góc( ;( )) a  = Góc( OA OB = , )

AOB  

B

O A

 a







B O

A





Bài4.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD)

a CMR: BC  (SAB)

Bài5.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA= SB= SC =SD = a 2

a CMR (SAC)  (SBD)

b Tính góc giữa 2 mp (ABCD) và (SAB)

Bài6.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và D, có

AB = 2a, AD=DC=a, SA  mp(ABCD) và SA = a

a CMR BC  (SAC)

b Xác định góc giữa SB và (ABCD); SB và (SAC)

c CMR mp(SAD)  mp(SDC), mp(SAC)  mp(SCB)

d Tính tan của góc giữa 2 mp(SBC) và (ABCD)

của hình chóp S.ABCD với  

Bài7.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a góc BAD = 600 và SA

= SB = SD =

2

3

a

a CMR: (SAC)  (ABCD)

b CMR SB  BC

c Tính tan của góc giữa hai mp(SBD) và (ABCD)

Bài8.Cho hình chóp S.ABCD có (SAB) và (ABCD) nằm trong hai mp vuông góc, ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S Gọi M,N là trung điểm của

AB và DC

a Chứng minh DC  (SMN)

b Tính góc giữa đường thẳng SN với mp(ABCD)

c Tính góc giữa 2mp(SMC) và (ABCD)

Bài9.Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB= BC= a, SA  (ABC), SA = a

a Tính góc giữa 2 mp (SBC) và (ABC)

b Tính góc giữa 2 mp (SAC) và (SBC)

Bài10. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD), SA = a Tính góc giữa 2mp

a (SBC) và (ABCD)

b (SBC) và (SCD)

Bài11. Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, SO vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD Cho biết MN tạo với (ABCD) góc 600.

a. Tính MN và SO

b. Tính góc giữa MN và (SBD)

VI.KHOẢNG CÁCH

A Lý thuyết

Dùng MH   : d(M, ) = MH



M

H

Dùng: MH  ( ), H thuéc ( ) ta cã: d(M,( )) = MH



M

H

Khoảng cách từ một điểm

đến một đường thẳng Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cỏch1

Cỏch 2 nếu a  b

- d ựng ho ặc tỡm mp( ) ch ứa b v à vu ụng g úc v ới a t ại A.

- trong  , dựng đoạn AB b tại B

- đoạn AB là đoạn vuụng gúc chung của a và b

B Bài tập

Bài1.Cho tứ diện S.ABC, tam giỏc ABC vuụng cõn tại B và AC = 2a, cạnh SA  (ABC)

và SA = a

a CM: (SAB)(SBC)

b Tớnh khoảng cỏch từ A đến mp(SBC); C đến (SAB); B đến (SAC)

c Tớnh khoảng cỏch từ trung điểm O của AC đến mp(SBC)

Chọn điểm M trên  1 , dựng MH   2

( H thuộc  2 ) ta có d( 1 , 2 ) = MH

//

1 2

2

1

M

H

Chọn điểm M thuộc  , dựng MH   ( H thuộc ( )), ta có d( ,( )) = MH

 // ( )





H M

Ta có: d(( ),()) = d( ,( )) = MH

(M thuộc  , MH  ( ), H thuộc  )

( ) // (),  chứa trong ( )

H

M







Dựng mặt phẳng ( ) chứa b & ( ) // a

Dựng MH ( ), M thuộc a, H thuộc ( )

 Dựng a' trong mặt phẳng ( ), a' // a

đ ờng thẳng a' cắt đ ờng thẳng b tại B

 Dựng  qua B và // MH,  cắt a tại A Khi đó: d(a,b) = d(a,( ))

= d(M,( )) = MH = AB

 a và b chéo nhau



B

A

H

M

a' b

a

Khoảng cỏch giữa hai

đường thẳng song song

Khoảng cỏch giữa mặt phẳng và đường thẳng //

song song

Khoảng cỏch giữa hai

mặt phẳng song song

Khoảng cỏch giữa hai Đường thẳng chộo nhau

d Gọi D , E là trung điểm của BC và SC tính khoảng cách từ A đến SD, k/c từ E

đến AB

Bài2.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác đều cạnh a; SA = SB = SD =

2

3

a Gọi H là trực tâm tam giác ABC, I là trung điểm cạnh SH.

a Tính khoảng cách từ S đến (ABC)

b Tính khoảng cách từ S đến BC

c Tính khoảng cách từ I đến BC

Bài3.

Bài4.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, AD = 4, SA 

(ABCD) & SA = 5 Tính các khoảng cách từ:

a A đến (SBD)

b A đến (SBC)

c O đến (SBC)

Bài5.Cho hình chop S.ABCD có đáy SA (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại

A và B AB = BC =

2

AD

= a, SA = a

a CM các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông

b Tính k/c từ A đến mp(SBC)

c Tính khoảng cách từ B đến đt SD

Bài6.Cho tứ diện ABCD có 2 mp(ABC) và (ADC) nằm trong 2 mp vuông góc với nhau

Tam giác ABC vuông tại A và AB = a, AC =b, tam giác ADC vuông tại D và DC = a

a CMR các tam giác BAD và BDC đều vuông

b Gọi I, J lần lượt là trung điểmcủa AD và BC CM: Ị là đương vuông góc chung

của AD và BC

Bài7.Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABC) và SA =

h Gọi I là trung điểm SC

a Tính khoảng cách từ I đến (ABCD)

b Tính k/c từ I đến AB

c CMR (SBC) (SAB); tính k/c từ A đến (SBC) và từ A đến (SBD)

d Tính k/c giữa các cặp đường thẳng AD và SC; SA và CD

e Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung sau:SB & CD; SC & BD; SC & AB

Bài8.Cho hình chóp S.ABCD đáy là h/vuông tâm O, cạnh a SA= SB =SC =SD = a 2 Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC

a Tính k/c từ S đến (ABCD)

b CM (SIJ) (SBC)

c Tính k/c từ O đến (SBC)

d Tính k/c giữa 2 đt AD và SB

e Tính k/c từ S đến CI

Bài9.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a SA(ABCD)

và SA = a

a CMR (SAE) (SBD) với E là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABD

b Tính k/c từ A đến (SBD)

c Tính k/c giữa các đt AD và SB; AB và SC

Bài10. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông tại A và B với AB= BC= a; AD= 2a, SA(ABCD) và SA = a Tính khoảng cách giữa SB và CD; SD và AC