Hãy tìm tốc độ biến thiên của mực nước trong hồ tại thời điểm mà thể tích nước trong hồ là 10m , bán kính đáy của khối3 nước này là 3m và đang tăng với tốc độ 0,2 m/phút.. Nếu một chuyến
Trang 1MÔN THI: GIẢI TÍCH 1 – TTK MSHP: TN188 HỌC KỲ 1 – NĂM HỌC 2011 – 2012 NHÓM: B01
ĐÁP ÁN Câu 1 (1,00 điểm) Tính giới hạn: lim0 12 cot2
x
x
Giải.
Cách 1.
Ta có,
2
x
Mặt khác,
2
Và
2
2
B
x
0
3
x
Cách 2.
Ta có,
0
lim
.sin
x
L
Theo nguyên lý thay vô cùng bé tương đương ta có:
4 0
lim
x
L
x
Áp dụng quy tắc L’Hospital ta được:
3 0
2 0
2 2 0
lim
4
lim
12
12
2 8 2
x
x
x
L
x
x
x
Câu 2 (1,00 điểm) Chứng minh rằng hàm số khi 0
khi 0
f x
k l
Trang 2Ta có,
'
'
0
0
l f
Ta có, f x khả vi tại x khi và chỉ khi0 f' 0 f' 0 k l Ta có đpcm
Câu 3 (1,50 điểm) Nước được bơm vào một hồ chứa hình nón với tốc độ 3
2m /phút Hãy tìm tốc độ biến thiên của mực nước trong hồ tại thời điểm mà thể tích nước trong hồ là 10m , bán kính đáy của khối3 nước này là 3m và đang tăng với tốc độ 0,2 m/phút
Giải.
Gọi V t , R t , h t lần lượt là thể tích, bán kính mặt nước và chiều cao cột nước tại thời điểm t.
Ta có,
2
2 3 1
3
V t
R t
Ta cần tính h t tại thời điểm ' t thỏa: 0
0 0 0 0
10 3 ' 0, 2
V t
V t
R t
R t
Ta có:
3
3
h t
R t
Tại thời điểm t ta có 0
0
h t
R t
Vậy tại thời điểm đang xét chiều cao mực nước đang tăng với tốc độ 2
9 m/phút.
Câu 4 (1,00 điểm) Một xe bus có sức chứa tối đa 60 hành khách Nếu một chuyến xe chở được x
hành khách thì giá cho mỗi hành khách là
2 3 40
x
để số tiền thu được cho mỗi chuyến là lớn nhất
Giải.
Tổng số tiền thu được trên mỗi chuyến xe là:
2 3 40
x
L x x
với 0x60
Ta tìm x để L x đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có,
2
2
L x x x x
120
x
L x
x
( ta nhận x 40)
Trang 3 3 3 3
Suy ra, L x đạt cực đại và cũng là giá trị lớn nhất tại x 40
Vậy số hành khách trên mỗi chuyến xe là 40 thì tổng doanh thu lớn nhất
Câu 5 (1,50 điểm) Nếu hàm số f x liên tục trên a b , hãy chứng minh rằng:,
1
b n
n
Giải.
Ta chứng minh
1
n n
k
là một tổng tích phân của hàm f(x) trên đoạn a b , Thật vậy, với mỗi n ta phân hoạch đoạn a b bởi các điểm chia,
k
b a
n
, k=0,1,…,n
Khi đó, độ dài của mỗi đoạn con k k k 1 b a
n
, k=1,…,n
Trên mỗi đoạn x x k, k1 , k=1,…,n, chọn k k b a
n
, k=1,…,n
Suy ra,
1
n
k
là một tổng tích phân của hàm f(x) trên đoạn a b ,
Vì f liên tục trên a b nên f khả tích trên , a b ,
Theo định nghĩa của tích phân xác định ta có
1
b n
a
1
b n
n
Câu 6 (1,00 điểm) Cho miền phẳng D nằm giữa trục Ox, đường cong
1 1
y x
và bên phải của trục
Oy (x 0) Tính diện tích của D
Giải.
Diện tích miền D được tính theo tích phân:
0
lim
b b b
Vậy diện tích miền D là 1
2 (đvdt).