Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình

Nói một cách khác,các tập con bị chặn của không gian Frechet OΩ là compact tương đối.Khóa luận này sẽ chứng minh miền chuẩn tắc DF của họ F các hàmchỉnh hình trên trên một đa tạp Stein

LỜI NÓI ĐẦU 2

1.1 Hàm chỉnh hình và Định lý Montel 3

1.1.1 Hàm chỉnh hình và công thức Cauchy một biến 3

1.1.2 Hàm chỉnh hình và công thức Cauchy nhiều biến 5

1.2 Miền chỉnh hình và Đa tạp Stein 7

1.2.1 Miền chỉnh hình trên C n Ví dụ 7

1.2.2 Miền lồi chỉnh hình và Giả lồi 8

1.2.3 Đa tạp Stein 12

1.3 Một số Định nghĩa cần thiết khác 13

2 Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh hình 15 2.1 Bao lồi phân hình 16

2.2 Các tập mở lồi phân hình 19

2.3 Miền chuẩn tắc 22

Xuất phát từ định lý cổ điển của Montel: "Mọi dãy bị chặng đều địaphương (fi) trên O(Ω) có một dãy con hội tụ (fj(v))" Nói một cách khác,các tập con bị chặn của không gian Frechet O(Ω) là compact tương đối.Khóa luận này sẽ chứng minh miền chuẩn tắc D(F ) của họ F các hàmchỉnh hình trên trên một đa tạp Stein X là lồi phân hình.

Khóa luận cấu trúc gồm hai chương:

Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị

Đưa ra các định nghĩa hàm chỉnh hình, các công thức tích phânCauchy và hệ quả, Định lý Montel, định nghĩa miền giả lồi, miền lồichỉnh hình và Đa tạp Setin Bên cạnh đó là các định nghĩa cần thiếtkhác

Chương 2: Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họcác ánh xạ chỉnh hình

Tìm hiểu về Bao lồi phân hình, Các tập mở lồi phân hình, nêu lênkhái niệm và một số bổ đề để áp dụng cho phần Miền chuẩn tắc

Khóa luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKHNguyễn Quang Diệu Em xin chân thành cảm ơn thầy! Đồng thời

em cũng xin cảm ơn thầy phản biện TS Nguyễn Văn Khiêm đã đọc

và đưa ra những lời nhận xét chu đáo Em xin chân thành cám ơn cácthầy cô trong tổ bộ môn Lý thuyết hàm, khoa Toán - tin trường ĐHSP

Hà Nội đã cho em những kiến thức cần thiết để hoàn thành khóa luậnnày Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và các bạn đã ủng hộ, động viêntrong suốt quá trình làm khoá luận

Do trình độ và thời gian có hạn, khóa luận không tránh khỏi nhữngthiếu sót Vì vậy em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy

cô và các bạn để khóa luận hoàn thiện hơn

Cho K ⊂ C là một tập compact cùng với từng mẩu C1 biên ∂K Khi đóvới mỗi hàm f ∈ C1(K, C)

f (w) = 1

2πiZ

Chứng minh Giả sử đơn giản w = 0 Vì hàm z 7−→ 1

z là khả tích địaphương tại z = 0, chúng ta có:

Z

K

1πz

dzz



= 12πiZ

∂z = δ0 Như một hệ quả, nếu v là một phân phốitựa compact trên C, khi đó phép nhân chập u = ( 1

πz) ∗ v là nghiệm củaphương trình ∂u

một nghiệm u tựa compact là không luôn luôn tồn tại Thật vậy, chúng

P znw−n−1, nếu chúng ta giả sử rằng Suppv là chứa trong đĩa |z| < R

và |w| > R

1.1.2 Hàm chỉnh hình và công thức Cauchy nhiều biến

Cho Ω ⊂ C là một tập mở Một hàm f : Ω −→ C được gọi là chỉnh hìnhnếu f liên tục và chỉnh hình theo từng biến, nghĩa là: zj 7−→ f ( , zj, )

là chỉnh hình khi z1, , zj−1, zj+1, , zn là cố định Tập các hàm chỉnhhình trên Ω là một vành và được kí hiệu là O(Ω) Chúng ta sẽ mở rộngcông thức Cauchy tới trường hợp của đa đĩa Đa đĩa mở D(z0, R) tâm(z0,1, , z0,n) và bán kính R = (R1, R2, , Rn) được định nghĩa như làtích của các đĩa tâm z0,j và bán kính Rj > 0 trong mỗi hệ số C:

D (z0, R) = D (z0,1, R1) × D (z0,2, R2) × × D (z0,n, Rn) ⊂ Cn (1.3)Đánh dấu biên của D(z0, R) được định nghĩa là tích của biên các vòngtròn:

Công thức Cauchy trên đa đĩa

Nếu D (z0, R) là một đa đĩa đóng chứa trong Ω và f ∈ O(Ω), khi đóvới mọi w ∈ D(z0, R) chúng ta có:

Chúng ta cung cấp cho O(Ω) với tô pô hội tụ đều trên các tập compact

K b Ω, nó là, tô pô cảm sinh bởi C0(Ω, C) Khi đó O(Ω) là đóng trong

C0(Ω, C) Công thức tích phân (1.6) đã chỉ ra rằng tất cả phép lấy đạohàm Dα là các toán tử liên tục trên O(Ω) và bất kì dãy fi ∈ O(Ω) là

bị chặn đều trên tất cả các tập compact K b Ω là liên tục địa phương.Bởi định lý Ascoli, chúng ta đạt được

Định lí 1.4 Định lý Montel

Mọi dãy bị chặng đều địa phương (fi) trên O(Ω) có một dãy con hội

tụ (fj(v))

Nói một cách khác, các tập con bị chặn của không gian Frechet O(Ω)

là compact tương đối (một không gian Frechet có tính chất này được gọi

là một không gian Montel)

1.2 Miền chỉnh hình và Đa tạp Stein

1.2.1 Miền chỉnh hình trên Cn Ví dụ

Nói một cách đơn giản, một miền chỉnh hình là một tập con mở Ω trong

Cn sao cho không có phần của ∂Ω để tất cả các hàm f ∈ O(Ω) có thể

mở rộng được Cụ thể hơn:

Định nghĩa 1.5 Cho Ω ⊂ Cn là một tập con mở Ω được gọi là mộtmiền chỉnh hình nếu ∀a ∈ ∂D mọi lân cận mở U của a và mọi thànhphần liên thông V của U ∩V ta tìm được hàm f chỉnh hình trên V nhưng

f không mở rộng chỉnh hình được lên U

Dưới giả thuyết tạo ra U , chúng ta có ∅ 6= ∂V ∩ U ⊂ ∂Ω Từ đó suy

ra rằng Ω là một miền chỉnh hình, nó là đủ để tìm ra với mỗi z0 ∈ ∂Ωmột hàm f ∈ O(Ω) không bị chặn trên lân cận z0

Ví dụ 1 Với mọi tập mở Ω ⊂ C là một miền chỉnh hình (cho bất kì

z0 ∈ ∂Ω, f (z) = (z − z0)−1 không thể mở rộng chỉnh hình tới z0) Trong

Cn, mọi tập con mở lồi là một miền chỉnh hình: nếu Re hz − z0, ξ0i = 0

là một siêu phẳng tựa của ∂Ω tại z0, hàm f (z) = (hz − z0, ξ0i)−1 là chỉnhhình trên Ω nhưng không thể mở rộng tại z0

Cho X là một đa giải tích tạp phức, và S là đa tạp con đóng có đối chiều

> 2 Khi đó với mọi f ∈ O(X\S) mở rộng chỉnh hình tới X

Chứng minh Đây là một kết quả của quy nạp Chúng ta chọn các tọa

độ (z1, , zn) và một đa đĩa D(R)n trong bản đồ tương ứng sao cho

S ∩D(R)n được cho bởi phương trình z1 = z2 = = zn, p = codimS > 2.Khi đó, kí hiệu ω = D(R)n−1 và ω0 = ω\ {z2 = = zp = 0}, phần bùD(R)n\S có thể viết như hình Hartogs

D(R)n\S = ((D (R) \ {0}) × ω) ∪ (D (R) × ω0)Suy ra f có thể mở rộng tới eΩ = D(R)n

1.2.2 Miền lồi chỉnh hình và Giả lồi

Cho X là một đa tạp phức Đầu tiên chúng ta xem xét các khái niệmcủa bao lồi chỉnh hình của một tập compact K ⊂ X Có thể xem bằngcách này hay cách khác như tương tự phức của khái niệm của (affine)bao lồi đối với một tập compact trong một không gian vecto thực Nólàm rõ miền chỉnh hình trong Cn là biểu diễn một tính chất của lồi chỉnhhình Cuối cùng, chúng ta chứng minh lồi chỉnh hình giả lồi đơn giản -một tương tự phức của định nghĩa hình học lồi

Định nghĩa 1.7 Cho X là một đa tạp phức và cho K là một tập concompact của X Khi đó bao chỉnh hình của K trong X được xác định:

Tính chất 1 bK là một tập con mở của X chứa K Hơn nữa chúng tacó

sup

b K

X ⊂ Y , thì bKO(X) ⊂ bKO(Y )∩ X Nó được suy ra trực tiếp từ định nghĩa.Tính chất 3 bK chứa hợp của K và tất cả các hợp thành liên thôngcompact tương đối của X\K Tóm lại với mọi hợp thành liên thông Ucủa X\K chúng ta có ∂U ⊂ ∂K, suy ra nếu U là compact nguyên lýmaximum

Tính chất 4 Tổng quát, giả sử rằng có một ánh xạ chỉnh hình h :

U −→ X xác định trên tập mở compact tương đối U trong một đa tạpphức S, sao cho h mở rộng như là một ánh xạ liên tục h : U −→ X vàh(∂U ) ⊂ K Khi đó h(U ) ⊂ bK Thực vậy, cho f ∈ O(X), lại một lầnnữa theo nguyên lý maximum

X =[Kv, Kbv = Kv, Kvo ⊃ Kv−1

Thật vậy, nếu X là lồi chỉnh hình, chúng ta có thể xác định Kv bởi

K0 = ∅ và Kv+1 = (K0v ∪ Lv)∧O(X) là một lân cận của Kv và Lv một dãycác tập compact của X sao cho X = S Lv Đảo lại là hiển nhiên: nếutồn tại một dãy (Kv), thì mọi tập con K ⊂ X là chứa trong một vài Kv,suy ra bK ⊂ bKv = Kv là compact

Bây giờ chúng ta tập chung vào miền chỉnh hình trên Cn Chúng ta

kí hiệu d và B(z, r) lần lượt là khoảng cách và các hình cầu mở liên kếtchuẩn tắc bất kì trên Cn, và để đơn giản ta viết B = B(0, 1)

Mệnh đề 1.9 Nếu Ω là một miền chỉnh hình và K ⊂ Ω là tập concompact, khi đó d( bK, {Ω) và bK là compact

Chứng minh Cho f ∈ O(Ω) Lấy r < d(K,{Ω), chúng ta kí hiệu M làsupremum của |f | trên tập con compact K + rB ⊂ Ω Khi đó với mỗi

Định lí 1.10 Cho Ω là một tập con mở của Cn Các tính chất sau làtương đương:

đó hàm nội suy F ∈ O(Ω) sao cho F (zj) = j thỏa mãn 4

2 =⇒ 3 Kv ∈ Ω là một dãy vét kiệt các tập lồi compact chỉnh hình nhưtrong Chú ý 2 v(j) là chỉ số duy nhất v sao cho zj ∈ Kv(j)+1\Kv(j) Bởi

định nghĩa của một bao chỉnh hình, chúng ta có thể tìm được một hàm

gj ∈ O(Ω) sao cho

λj là có thể chọn, điều kiện thứ hai đúng với mj đủ lớn Do {zj} không

là điểm tụ trên Ω, dãy v(j) tiến tới +∞, suy ra chuỗi hội tụ đều trêncác tập compact

Bầy giờ chúng ta làm rõ rằng một đa tạp lồi chỉnh hình thỏa mãnmột vài điều kiện hình học lồi, được biết như là giả lồi, là một sự mô tả

dễ dàng nhất theo ngôn ngữ của sự tồn tại các hàm vét kiệt đa điều hòadưới

Định nghĩa 1.11 Một hàm ψ : X −→ [−∞, +∞[ trên một khônggian tô pô X được gọi là một vét kiệt nếu tất cả các tập cấp thấp hơn

Xc := {x ∈ X; ψ(z) < c} , c ∈ R, là compact tương đối Tương đương, ψ

là một vét kiệt nếu và chỉ nếu ψ tiến tới +∞ tương đối tới lọc của cácphần bù X\K của các tập con compact của X

Một hàm ψ trên một tập mở Ω ⊂ Rn là một vét kiệt nếu và chỉ nếuψ(x) −→ +∞ khi x −→ ∂Ω hoặc x −→ ∞ Nó là dễ dàng để kiểm tra,

đó là một tập mở liên thông Ω ⊂ Rn là lồi khi và chỉ khi nếu Ω có mộthàm vét kiệt lồi địa phương Khi các hàm đa điều hòa dưới xuất hiệnnhư tổng quát tự nhiên của các hàm lồi trong giải tích phức, chúng ta

có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.12 Cho X là một đa tạp phức n chiều Khi đó X đượcgọi là

1 Giả lồi yếu nếu tồn tại một hàm vét kiệt đa điều hòa dưới trơn

ψ ∈ P sh(X) ∩ C∞(X);

2 Giả lồi mạnh nếu tồn tại một hàm vét kiệt đa điều hòa dưới trơnngặt ψ ∈ P sh(X) ∩ C∞(X) nghĩa là Hψ là xác định dương tại mọiđiểm

Định lí 1.13 Mỗi đa tạp lồi chỉnh hình X là một giả lồi yếu

Chứng minh Cho Kv là dãy vét kiệt các hàm lồi chỉnh hình compactnhư trong Chú ý 2 Với mọi điểm a ∈ Lv := Kv+2\Ko

ii Các đa tạp compact phức

Trong trường hợp đầu tiên chúng ta có rất nhiều hàm, thật vậy cáchàm trong O(Ω) tách bất kì hai điểm của Ω Nói cách khác, nếu X làcompact và liên thông, các tập P sc(X) và O(X) bao gồm đơn thuầncác hàm hằng (bởi nguyên lý maximum) Bởi vậy hi vọng thêm vào mộtthông tin rõ ràng giữa hai lớp con Đây là mục đích, thông tin lớp các

đa tạp cái mà bây giờ được gọi là đa tạp Stein

Định nghĩa 1.14 Một đa tạp phức X được gọi là một đa tạp Stein nếu

1 X là lồi chỉnh hình;

2 O(Ω) tách địa phương các tập trong X, nghĩa là với mỗi x ∈ X cómột lân cận V sao cho với bất kì y ∈ V \ {x} tồn tại f ∈ O(X) saocho f (x) 6= f (y)

Điều kiện thứ hai là hiển nhiên đúng nếu X = Ω là tập con mở của

Cn Suy ra một tập mở Ω ⊂ Cn là Stein nếu và chỉ nếu Ω là một miềnchỉnh hình

Định nghĩa 1.15 F là họ các ánh xạ chỉnh hình từ không gian phức Xtới không gian phức Y được gọi là chuẩn tắc nếu F compact tương đốitrong O(X, Y ) với tô pô compact mở

Định nghĩa 1.16 X, Y là hai không gian phức và F ⊂ O(X, Y )

i Một dãy (fj) ⊂ F được gọi là phân kì compact nếu với mỗi tậpcompact K ⊂ X và với mỗi tập compact L ⊂ Y tồn tại j0 = j(K, L)sao cho fj(K) ∩ L = ∅ ∀j > j0

ii Một họ F được gọi là phân kì compact nếu F không chứa một dãycon nào phân kì compact

Định nghĩa 1.17 Một ánh xạ chỉnh hình f : D −→ D0, D ⊂ Cn;

D0 ⊂ Cn được gọi là riêng nếu với bất kì tập compact K0 ⊂ D0, tập

f−1(K0) là compact trong D

Định nghĩa 1.18 Định nghĩa Ánh xạ phân hình

Giả sử A là tập con mở khác rỗng của miền D trong Cn sao cho

S = D\A là một tập giải tích trong D

f (z) = ρ( ˜f (z)) ∀z ∈ U ∩ A\(f−1(0))

ở đó ρ : CN −1\ {0} −→ PN

(C) là ánh xạ chiếu chính tắc

Một ánh xạ chỉnh hình f : A −→ PN(C) được gọi là ánh xạ phân hình

từ D −→ PN(C) nếu và chỉ nếu với z ∈ D bất kì, tồn tại một biểu diễncủa f trên lân cận nào đó của z trong D

Định nghĩa 1.19 Giả sử D là một miền trong Cn

n

fj(p)(z)o

∞ p=1 hội tụđều trên các tập con K compact của U tới hàm chỉnh hình fi (0 6

i 6 N ) trên U với tính chất ˜f = (f0 : : fN) là một biểu diễn của

f trên U , ở đó fi0 6= 0 trên U với i0 nào đó

ii Giả sử F là họ các ánh xạ phân hình f : D −→ PN(C) F được gọi

là một họ chuẩn tắc phân hình trên D nếu mọi dãy trong F có mộtdãy con hội tụ phân hình trong D

Tính lồi phân hình của miền chuẩn tắc của một họ các ánh xạ chỉnh

hình

Cho X là một đa tạp Stein Khi đó chúng ta chứng minh với mọi họ

F ⊂ O(X) thì miền chuẩn tắc D(F ) là một tập O(X) - mở lồi phânhình của X

Cho X là một đa tạp Stein và F là một họ các hàm chỉnh hình trên

X Khi đó, như là một hiển nhiên miền chuẩn tắc D(F ) của F là mộttập Stein mở của X Nó là một trường hợp đặc biệt của Định lý 2 củaBarth [3] đó là một tổng quát của Mệnh đề 12 của Cartan-Thullen trêngiả định Julia

Trong những trang này chúng tôi chứng minh miền chuẩn tắc D(F )của họ F các hàm chỉnh hình trên một đa tạp Stein X là O(X) - lồiphân hình hoặc tương đương: với mọi tập K của D(F ) bao lồi phânhình ˜KX = {x ∈ X|f (x) ∈ f (K) ∀f ∈ O (X)} của K phụ thuộc O(X)

là chứa trong D(F ), ở đó O(X) là kí hiệu tập tất cả các hàm chỉnh hìnhtrên X Nó là một bản tóm tắt kết quả hơn sự việc ở trên vì với mọitập O(X) mở lồi phân hình của X là Stein và có thể tồn tại các tập mởStein của X các tập không O(X) - lồi phân hình nếu dimX ≥ 2

Để chứng minh các kết quả của chúng ta, chúng ta cần một vài tínhchất cơ bản trên bao lồi phân hình của các tập compact trên một đa tạpStein, chúng giống như các tính chất trên bao lồi chỉnh hình của các tậpcompact trên một đa tạp Stein

2.1 Bao lồi phân hình

Giả sử, trong suốt phần này, tất cả các đa tạp phức là đếm được Cho

Tập ˜KX = ˜KO(X) được gọi là bao lồi chỉnh hình của K trong X

Tập ˜KX là compact nếu X là lồi chỉnh hình và compact

Trong trường hợp X là Cn ta có thể chứng minh ˜KCn trùng vớibao lồi hữu tỉ của K được định nghĩa trong Stolzenberg, ở đây ˜KCn =

G ∩ {x ∈ X\A| |hµ| < 1, µ = 1, 2, , m} b G Khi đó mỗi tập compact

cũng là rêng Nó kéo theo rằng ψW,∆ m ×∆ m là một phép nhúng chỉnh hìnhđóng

Đặt g := g1 gm Lấy K là một tập compact bất kì của W Vì

g 6= 0 trên K, chúng ta có ˜KX ⊂ X\A Mọi điểm x ∈ ˜KX Khi đó

θv(x) ∈ θv(K) ⊂ ∆ ∀v = 1, 2, , n Vì 0 = (fµ − hµ(x)gµ)(x) ⊂ (fµ −

hµ(x)gµ)(K), tồn tại y ∈ K sao cho fµ(y) − hµ(x)gµ(y) = 0 Bởi vậy

hµ(x) = hµ(y) ∈ hµ(K) ⊂ ∆ ∀µ = 1, 2, , n Nó kéo theo rằng ψ(x) ∈

∆m × ∆n

Giả sử rằng ψ(x) /∈ ψ(W ) Do ψ(W ) là một tập giải tích của ∆m×∆n,tồn tại α ∈ O(∆m × ∆n) sao cho α = 0 trên ψ(W ) và α(ψ(x)) = 1 Vì

|β (ψ (y))| < 1

2 Nó là một mâu thuẫn Nó kéo theo ψ(x) ∈ ψ(W ) Do

ψ là một đơn ánh, chúng ta có x ∈ W Chúng ta đã chứng minh xong

Bổ đề 2.2 Cho X là một đa tạp Stein và K là một tập compact của

X Khi đó mọi thành phần liên thông của ˜KX giao với K khác rỗng.Chứng minh Cho {Li}Ni=1 là tập hợp thành liên thông của ˜KX

L0 là hợp của tất cả các Li sao cho Li ∩ K 6= ∅

L00 là hợp của tất cả các Li sao cho Li ∩ K = ∅

Khi đó: L0 ∪ L00 = ˜KX; L0∩ L00 = ∅ và K ∈ L0

Vì L0 và L00 là các tập compact chúng ta cần lấy một tập E mở của Xsao cho L0 ⊂ E b X\L00

Lấy tùy ý một điểm p ∈ ∂E do p /∈ ˜KX nên tồn tại u(p) ∈ O(X) sao cho

u(p) ∈ u/ (p)(K) Khi đó tồn tại αp ∈ C và εp > 0 sao cho:

u(p)(p) ∈ {t ∈ C|0 < |t − αp| < εp}và

u(p)(U ) ⊂ {t ∈ C| |t − αp| > εp} Chúng ta có thể giả sử rằng g(p) := u(p) − αp 6= 0 trên mọi thành phầnliên thông của X

Khi đó: h(p) := εp

g(p) là chỉnh hình trên Up := g(p) 6= 0 ; p ∈ Up; K ⊂ Wp

Bổ đề 2.3 Cho X là một đa tạp Stein K là tập compact của X saocho ˜KX = K Khi đó với mọi tập mở D của X chứa K tồn tại một khối

đa điện phân hình W sao cho K ⊂ W b D

Chứng minh Lấy một tập mở E của X sao cho K ⊂ E b D Do chứngminh của Bổ đề 2.2 chúng ta tìm được một khối đa diện phân hình Wsao cho K ⊂ W b D