Bài giảng toán cao cấp 1 chương 3 hoàng văn thắng

Điều này chứng tỏ hệ ban đầu tương đương với hệ sau giữ lại các PT có cùng chỉ số dòng với định thức con cơ sở:... Gán cho các ẩn tự do các số tùy ý ta được một hệ Cramer với các ẩn chín

Các vấn đề định tính và định lượng, chẳng hạn: Khi nào hệ có nghiệm? Có bao nhiêu nghiệm? Mô tả tập hợp nghiệm? Tìm nghiệm? Sẽ được giải đáp trong chương quan trọng này.

Tât nhiên trong thực hành ta có thể kết hợp nhiều phương pháp để cho kết quả nhanh chóng và gọn gàng nhất!!

Trước tiên ta xét hai phương pháp là phương pháp ma trận và phương pháp định thức để giải một loại hệ đặc biệt là: Hệ Cramer

§ 1: Phương pháp ma trận và định

thức

1 Hệ Cramer:

Định nghĩa: Hệ Cramer là hệ pttt thỏa mãn 2 điều kiện:

−

−+

=

=

= −

Như vậy, Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất:

−

−+

=

=

= −

GABRIEL CRAMER

( 1704 – 1752)

Gabriel Cramer sinh ngày 31/7/1704 tại Geneva, Thụy Sĩ mất 4/1/1752 ở Bangnols-sur-ceze Pháp, Gabriel có rất nhiều cố gắng trong việc học tập.

Năm 1722, khi mới 18 tuổi ông đã đạt được học vị tiến sĩ cho luận án dựa trên lý thuyết của âm thanh Cramer nổi tiếng là một người biên soạn thiên tài Cuốn sách nổi tiếng nhất của ông là “ Introduction à l’analyse des lignes courbes algébraique”, trong đó có qui tắc Cramer nổi tiếng.

Định lý sau đây còn gọi là Quy tắc Cramer:

⟶ = ∎

Ví dụ: Giải hệ sau bằng quy tắc Cramer

+++

−

−+

=

=

= −

Giải:

−

Ví dụ: Tìm m để hệ sau đây là hệ Cramer, khi đó hãy giải hệ bằng quy tắc Cramer.

=

=

= −

Giải:

−

⋯

⋯

⋯

⋯

++

⋯+

2 Điều kiện có nghiệm

Định lý (Cronecker - Capelli)

“Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số bằng hạng của ma trận mở

Chứng minh(gồm hai phần)

⟶B bdtt qua , , … , (mỗi véc tơ còn lại gán hệ số bằng 0). Như vậy, cột số hạng

tự do B bdtt qua các cột của ma trận

hệ số, do đó hệ có nghiệm Định lý được chứng minh.

3 Khảo sát tổng quát hệ pttt

Xét hệ pttt n ẩn số: , , … ,

Trước tiên ta tìm hạng của ma trận hệ

số và ma trận mở rộng: , ( )

Để tìm nghiệm, ta chọn một định thức con cơ sở bất kỳ của A Không mất tổng quát ta giả sử:

định thức con cơ sở của Từ đây suy

ra, r dòng đầu của là một cơ sở của

hệ véc tơ dòng của nó.

Suy ra, các dòng từ dòng thứ r+1 đến dòng m bdtt qua r dòng đầu Từ đó ta

có thể biến đổi các dòng r+1,…,m thành các dòng bằng 0 Điều này chứng tỏ hệ ban đầu tương đương với

hệ sau (giữ lại các PT có cùng chỉ số dòng với định thức con cơ sở):

⋯

⋯

⋯

⋯

++

⋯+

 Nếu < Theo các chỉ số trên của

Ta gọi , , … , là các ẩn chính, các

ẩn còn lại là các ẩn tự do.

Gán cho các ẩn tự do các số tùy ý ta được một hệ Cramer (với các ẩn chính) Giải hệ Cramer theo quy tắc Cramer ta biểu diễn được ẩn chính qua ẩn tự do Trường hợp này hệ có

Vô số nghiệm.

∎ Giải hệ cơ sở bằng cách: Quy định ẩn chính là , , … , (Các ẩn cùng chỉ

số cột của định thức con cơ sở), các ẩn còn lại là các ẩn tự do.

∎ Gán cho các ẩn tự do các số tùy ý, chuyển chúng sang vế phải ta được hệ Cramer với các ẩn là ẩn chính Giải hệ này ta thu được nghiệm tổng quát.

Lưu ý: Chỉ bằng 3 số tự nhiên là:

, ( ) và ta có thể biết được số nghiệm của hệ (không cần giải)

∎ = = : hệ có nghiệm duy nhất

∎ = ( ) < : hệ vô số nghiệm

Giải:

∎ Tìm ,

Ta có:

Giải:

∎ Tìm ,

a) Với giá trị nào của k thì hệ có nghiệmb) Biện luận theo k số nghiệm của hệ Giải.

§2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT Các nội dung chính:

 Điều kiện tồn tại nghiệm không tầm

⋯

⋯

⋯

⋯

++

⋯+

Như vậy, đối với hệ thuần nhất câu hỏi đặt ra là: “Khi nào hệ có nghiệm không tầm thường?”

1 Điều kiện có nghiệm không tầm thường.

Chú ý: Ta luôn có: = , nên chỉ

có hai khả năng:

Hệ quả:

 Hệ thuần nhất với số PT bằng số ẩn

có nghiệm không tầm thường khi và

 Hệ thuần nhất với số PT nhỏ hơn số

ẩn luôn có nghiệm không tầm thường.

Hệ véc tơ cột của ma trận hệ số A độc lập tuyến tính thì = (n: số véc tơ cột = số cột = số ẩn) Vậy hệ không có nghiệm không tầm thường ∎

Ví dụ 2: (Bài 12 - Trang 200 - SGTr)

CMR: Nếu ma trận hệ số của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có hai cột tỷ lệ thì hệ phương trình đó có nghiệm không tầm thường.

Ví dụ 3: (Bài 13 - Trang 200 - SGTr)

Ma trận hệ số của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 9 ẩn số có

ma trận chuyển vị bằng ma trận đối của nó Hệ phương trình đó có nghiệm không tầm thường hay không? Tại sao?

2 Cấu trúc tập hợp nghiệm

 Mỗi nghiệm của hệ pttt thuần nhất n

ẩn số cũng là một bộ gồm n số có thứ tự, nên có thể xem mỗi nghiệm

đó như một véc tơ n chiều, hoặc một ma trận cột.

 Gọi L là tập nghiệm của hệ thuần

nhất, thì:

Định lý: Tập hợp tất cả các nghiệm của một hệ thuần nhất n ẩn số là một không gian con của

Chứng minh.

Hãy nhắc lại khái niệm và cách chứng minh một tập con là KGC?

3 Hệ nghiệm cơ bản

Xét không gian nghiệm của hệ thuần nhất khi nó có vô số nghiệm ( < )

Định nghĩa: Hệ nghiệm cơ bản của một

hệ thuần nhất là một cơ sở của không gian nghiệm của hệ thuần nhất đó.

Nhận xét:

 Một hệ thuần nhất có nhiều hệ nghiệm

 Nếu , , … , là một hệ nghiệm cơ

bản của hệ thuần nhất thì nghiệm tổng quát của hệ đó là:

( , , … , là các số bất kỳ)

Câu hỏi đặt ra là:

cơ bản như thế nào?

Định lý: Khi r(A) = r < n thì không gian nghiệm của hệ thuần nhất n ẩn AX = 0 là một KGC n – r chiều của

Nhận xét:

Số nghiệm của hệ nghiệm cơ bản = n – r

= số ẩn – hạng của ma trận hệ số = số ẩn

tự do.

+ Khi đó, mỗi bộ n – r số

, … , bất kỳ gán cho các ẩn

tự do , , … , cho tương ứng một nghiệm của hệ Mỗi bộ đó có thể xem như một véc tơ n – r chiều Nếu dùng các véc tơ đơn vị n – r chiều

, , … , làm các bộ số gán cho các

ẩn tự do thì ta có n – r nghiệm sau:

⋮10

⋮

⋮

⋮, … , =

⋮

⋮

Ta sẽ chứng minh , , … , là một

hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất.

∘ Trước hết ta thấy rằng các nghiệm

, , … , ĐLTT.

Thật vậy,

G Điều này chứng tỏ nghiệm nghiệm bất

kỳ G của hệ biểu diễn tuyến tính qua.

Vậy , , … , là hệ nghiệm cơ bản

của hệ thuần nhất đã cho Định lý được chứng minh.

Nhận xét:

 Phép chứng minh định lý trên đồng

thời chỉ ra cách tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất.

 Trong chứng minh trên thay vì chọn

hệ véc tơ đơn vị gán cho các ẩn tự do,

ta có thể chọn hệ véc tơ n – r chiều ĐLTT (Thường lấy các dòng của một định thức khác 0, cấp n – r )

Các bước tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất AX = 0

 Tìm hạng của ma trận hệ số: =

 Chọn một định thức con cơ sở D của

ma trận hệ số A Theo D ta lập hệ phương trình cơ sở và chỉ định các ẩn chính, các ẩn tự do.

(Khi = < thì hệ phương trình cơ

sở có r phương trình và có n – r ẩn tự do)

 Biểu diễn các ẩn chính qua ẩn tự do

(gần như giải hệ)

 Chọn n – r véc tơ n – r chiều ĐLTT làm

các bộ số gán cho các ẩn tự do

(thường chọn hệ véc tơ đơn vị n – r chiều: , , … , ∈ ).

Mỗi bộ số đó cho ta một nghiệm của hệ nghiệm cơ bản.

Ví dụ: Tìm một hệ nghiệm cơ bản của hệ:

=

=

=

Giải:

∎ Tìm được =

Chú ý 1: Ta có thể chọn các dòng của một định thức khác 0 để gán cho các ẩn tự do

để được các hệ nghiệm cơ bản khác nhau, Chẳng hạn:

⟹Hệ nghiệm cơ bản là: ,

Chú ý 2: Nếu ta đã giải được hệ thuần nhất, tức là đã tìm được nghiệm tổng quát thì từ nghiệm tổng quát ta dễ dàng suy ra được hệ nghiệm cơ bản:

=

−

− +

Ví dụ 3: Tìm một hệ nghiệm cơ bản của

4 Liên hệ với hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất

Định nghĩa: Hệ (2) được gọi là hệ thuân nhất liên kết của hệ (1).

Cùng vế trái

Định lý:

 Tổng một nghiệm của (1) với mọt

nghiệm của (2) là một nghiệm của (1).

 Hiệu hai nghiệm của (1) là một

nghiệm của (2).

 Từ đây, suy ra: Nghiệm TQ của (1) =

nghiệm riêng của (1) + Nghiệm TQ của (2).

Ví dụ 1: Cho hệ

+

− + +

− +

−

−

− +

Tìm nghiệm tổng quát của hệ trên, từ đó tìm nghiệm tổng quát và một hệ nghiệm

cơ bản của hệ phương trình thuần nhất liên kết của nó.