Giáo trình toán kinh tế phần 1 bùi minh trí

Do kliuỏn khổ của chư ơ nc trình nên 2Ìáo trình này chí xét các mồ hình toán học và các m ò hình ihực tiẽn của quy hoạch tuvến tính, bài toán vận u'u.. Phân loại các bài toán• M ộ t tron

Bản q u y ề n thưộc về N h à xu ất bản Bách Khoa - Hà Nội.

M ọ i hình thức xuất bản, sao ch ép mà không có sự cho phép bằng văn bản của nhà xuất bản là vi phạm pháp luật

MỤC LỤC• *

LỜI NÓI Đ Ấ U 9

PHẦN I TỐI ƯU HÓA LỜI NÓI Đ Ầ U 11

Chương I BÀI TOÁN TỐI ưu HÓA TổNG QUÁT VÀ CÁC VẤN ĐỂ Cơ SỞ 13

§ 1 Bài toán tối ưu hóa tổng quát và phàn loại cá c bài t o á n 13

1 ỉ Bài toán lối ưu hóa tổim q u á t 13

1.2 Phân loại các bài t o á n 14

§ 2 Vấn để m ỏ hình hóa toán học 15

2.1 Xây dựiiíí m ô hình toán học cho rn(M vàn đề thực t ế 15

2.2 Một số m ô hình thực t ế 17

§ 3 M ột sô khái niệm và két quá lù đạ i s ó 23

3.1 M a t r ậ n 23

3.2 Định I h ứ c 24

3.3 Ma irận nuhịch đáo, han;: ru;i |;KI tiậĩi 26

3.4 Hệ phươnu trình đại số tiivcn lúih .27

3.5 K h ône sian E u c l i d 29

Chương II QUY HOẠCH TUYẾN TỈNH 32

M ở đ ầ u 32

§ 1 Bài toán quv hoạch tuyến t í n h 32

1.1 Bài toán tổn^ q u á t 32

1.2 Dạnii chuẩn và dạng chính lă c 33

3

1.3 Đ ư a Q H T T vé dạiiii chuẩn hoặc dạiiíỉ chính t ã c 34

1.4 Giai hài toán QMTI' hai biến bằng phưo'ny Ịiháp hình học 35

§ 2 M ộ t sỏ tín h chất c h u n g 38

§ 3 P hư otig p h á p đon hình giải Q H T T 42

3.1 Đ ư ờ n a lối chuníi \'à cơ sớ cua thuật t o á n 42

3.2 Cơ sở của thuật l o á n 42

3.3 T h u ậ t toá n đơn h ìn h 47

3.4 C ò n g thức đổi cơ sở Bang đưn h l n h 48

§ 4 V ấ n đề p h ư o n g án cực biên và cơ sỏ xuất phát giai đ oạn 1 52 §5 Q u y h o ạ c h đối n g ẫ u 67

5.1 Q H T T dưới dạng chuẩn Q p bài toán tuyến lính đối n g ẫ u đối x ứ n g

5.2 Q H T T dưới dạng chính tắc Cặp bài toán tuyên lính đối n a ầ u khô n g đối x ứ n g /3

5.3 Ý n e h ĩ a c ặp bài toán đối n g ẫ u 74

5.4 T iêu c h u ẩ n lối ưu và thuậl toán đơn hình dối n g ẫ u 76

5.5 V í d ụ 80

B ài tập c h ư ơ n g I I X6 Chương III BÀI TOÁN VẬN TẢ I 89

§ 1 P h á t b iểu bài toán - Sự tồn tại n g h iệm tối ư u 89

1.1 Phát bic u bài t o á n

1.2 Sự tồn tại nghiệm tối ư u 91

§ 2 T iê u c h u ẩ n nhận biết phương lin cực b i ê n 92

§ 3 C á c p h ư ơ n g p háp tìm phương án x u ất p h á t 95

3.1 Phư ơ n g ph áp góc tây b ắ c 95

3.2 P h ư ơ n g pháp cước phí tối thiểu irong toàn h á n g 96

3.3 Phư ơ n g pháp cực ticu cước phí theo h à n g 97

3.4 Phươníỉ ph áp cực tiểu cước phí theo c ộ t 97

§ 4 Tiêu chuaii tối ưu - thuật t(»án 97

4.1 Tièu chuẩn tôi ư u 97

4.2 Thuật l o á n 99

4.3 Các ví d ụ 101

§5 Trường hợp k h òn g cán băng tha p h á t 108

Bài tập chương I I I 109

i Giai các bài toán vận l á i 109

II Giai BTVT có phuxTne án llioai h d -i 1 10 ill Giai BTVT khỏim căn bàng llìu |'iiát 1 10 IV Các càu hỏi p h ụ 1 1 1 Chương IV QUY HOẠCH Đ Ộ N G 112

M ử đ ầ u 1 1 2 § 1 Phương pháịỉ phư ong trình truy toán và các n g u y ê n tác cơ bản của Q H Đ 113

1 ỉ , Bài toán phân phối niól chicu N à pliươna trình truy toán 113

1.2 Các Iiizu\ én tãc co' ban cua qu\ lu ạ c h độno ( Q H Đ ) 1 15 § 2 Q uá trình nhiều giai đoạii và phiioiig trình h à m 116

2 1 Quá Irình nhiổu uiai (loan 116

2.2 Xây dựng phưoìm liình h a m 117

§ 3 Sơ đổ tính vù ví dụ áp íiụri" 118

3.1 S(ídó t í n h 118

3.2 Các ví d ụ 119

§ 4 Bài toán thực tế: Xác định che độ khoan giến g tối ư u 125

4.1 Thié't lập bài t o á n 125

4.2 Phưívim pháp e i ủ i 126

4.3 Chu'o'im trìnli và kết qu:l 127

Bài tập chương I V 128

Chương V QUY HOẠCH PHI T U Y Ê N 130

M ở đ ầ u 130

§1 M ột sô khái niệm cơ bản trong giải tích lồ i 130

1.1 Tập hợp lồi I 31 1.2 H à m l ồ i 133

§2, Lý th u y ết quv hoạch l ồ i 141

2.1 Bài toán quy hoạch lồi tổng quát và điều kiện tối ưu 141

2.2 P h ư ơ n s pháp siải quy hoạch lồi 146

§3 M ột sô ph ư ơ n g p háp giải Q H P T có ràng b u ộ c 160

3.1 P h ư ơ n c pháp g r a d i e n 160

3.2 P hươn s pháp Lagran>:e 162

3.3 Mộ t s ố ví d ụ : 164

§4 Bài toán q u y h oạch phi tuyến và n g h iệm tối ưu của n ó 170

4 1 Phát biểu bài t o á n 170

4.2 N g h iê m tối ư u 172C T • 4.3 Phân loại các phưưng pháp tỉiai Q H P r 173

4.4 Q uy hoạ ch phi tuvến tổna quát và đicu khiển tói ư u 174

Bài tập chư ơng V I I 178

TÀI LIỆU THAM K H Ả O 181

PHẦN II MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ MỞ Đ Ầ U 185

Chương I MÔ HÌNH KINH TỂ VÀ MÔ HÌNH TOÁN KINH T Ể 187

§ 1 M ỏ hình k in h t ê 187

1.1 Mô hình kinh tế lớn ( m a c r o ) 187

1.2 M ô hình kinh tế nhỏ ( m i c r o ) 195

1.3 Mỏ hình kinh tố phái triciì 196

§2 M ô hình toán kinh t é .202

2.1 Khái n i ệ m 202

2.2 Các bước xày dựim mô liìiih học cho một vân đề thực i c 203

§3 H àm sàn x iiá t 204

3.1 Mô hình ch u n a và các khái n i c m 204

3.2 Hàm đán a c ấ p 204

3.3 Hàm san xuất với độ co ” iãn liia v thế hằng số ( C E S ) 205

3.4 Hàin san XLiàì Cobb - D('Ui:lav 207

3.5 H àm Walras - Leon tie í (1\\| ) 209

C àu hỏi ôn tập chươiig I 210

Chương II PHƯƠNG PHÁP CÂN ĐỐI LiÊN NGÀNH 211

§ 1 C ân đòi lién níỊÙnh t ĩ n h 211

1.1 Bản« cán đối liên nsàiih dạiii! hii-Mi v ạ i 212

1.2 Bànư cân đối licii ngành daii” giá i r ị 219

§2 C án đối liên ngành đ ộ n g 225

§ 3 B ả n g cân đối liên ngành của Việt n a in 227

C âu hỏi ôn tập chươiig I I 232

Chương III PHƯƠNG PHÁP s ơ Đ ổ MẠNG L llơ l (PERT) 234

Mư đ ầ u 234

§1 Các khái niệm cơ bản 235

1.1 Một số khái niệm vc (16 tliỊ 235

1.2 Các khái niệm của SO' đồ maiiíi \ươì 236

§ 2 C ác nguyên tắc thành lập mot so đổ m ạng lư ó i 236

§3 K hái niệm về đường găiiịỉ va các đ;ic trưng lién q u a n 239

3.1 Đườnu e ã n e 239

3.2 Các dặc iruìm liên CỊLiaii đèn điròng g ã n c 241

Câu hỏi ôn tập chương III 244

Chương IV MÔ HÌNH PHỤC v ụ ĐÁM Đ Ô N G 246

§ ỉ C ác đặc trư n g co ban của hệ thòng phục vụ đám đ ỏ n g 247

1.1 Sơ đổ chuntỉ của hộ thỏns: phục vụ đám đôiiii 247

[.2, Phán loai các dònu \ à o 248

1.3 Kcnh phục \-ụ 249

] ,4, Pháiì loai các hệ thốim phục \ ự 230

1.5, Tiạn>z thái cua hc ihốiiỊ: 250

1.6 Các tiêu chu án chất lươne cua hệ Ihốnia phục vụ đ á m đ ô n u 254

§2 H ệ th ốn g p h ụ c vụ đ ám đởii” có tù chối cổ điển (hệ th ố n g E r la n g ơ ) 255

2 1 Mỏ tci hô thỏnt: 25S 2.2. Qui í t r ì n h i h a ) đ ổ i í r a n e Ihái \ à SO' d ổ I r ạ n e llìái của hc ih ố n i i 2SS 2.3 Hệ phương trình tr ạ n s Ihái và các xác suâì trạne t h á i 256 2.4 Các chi liêu đánh giá hoạt độnsi cua hệ l l i ỏ n g 257

§3 H ệ th òn g chừ vói độ dài hàiig chò và thòi gian chò hạn c h ế 260

3.1 Mô la hè thõìi” 260

3.2 Quii irình thay đối trạnn thái \ à S(TÍ (lồ ti-ạiis: thái của hộ t l i õ n e 2(i 1 3.3 ỉiê phương trình trạnỵ lliáí \'à các xác sLiàt Irạiiu t h á i 262 Câu hỏi ón tập chưưng I V 268

TÀI LIỆU THAM K H Ả O 269

LỜI NÓI ĐẦU

' ĩ r oi ì i i k h o à n e h ơ n 5 0 lìăni ỉ r ó lại cla\ Uìa;t loc đ ã p h á t I r i cn rat m ạ n h và

d ã d ư ọ v á p úụn^j. iìiỏl c á c h r ộ n u rài \ à sau sac \ lIo kiiili íê v à o k l i o a h ọ c k ỹ

iìLiaiih U kíỉì I ì oc m ó i là ' [ \ n ii i k i i i h lỏ.

T o á n k i n h lè là i n ộ t c ỏ i i e c u q i i a i i Iroiiii \ I nci CLII12 c ấ p p h i a í i m p h á p l u ậ n ,

các Ịiluroni: pháp inò hinh hoá các phưoìii^ |)li,í|' lính toán tối ưu Do dỏ, nó

k h ô iiiỉ nliữ ni: ià cổ im CỊI dẽ tư duy \'é dịnh tính 11:à c;i về d ịn li lirợ iii’ tiiú p iziai

Sưcl ụns các Ịiliưoìit: |iliá|') lối UII \ à c;ic nr> hình kinh lẽ khi xây dựng lòi

iiiai xè kẽ hoạch hoá và dicu kliicn là luu)'!!'.’ quan imn>j[ của sự Imàn ihiện các

hệ thốnu điẽu kỉiicn Nhãin Lỉóp phán (ỉa\' liKiiih hiiại dộng vổ áp dụng các phưcíníí p h á p lối ư u \ à c á c m ỏ h ì n h tcKÍii k in h Ic \ 10 lliực tiỏii, cLiiig c á p lài l i ệ u

t i i ã n u d ạ \ \' ù I i i ĩ h i è n c ứ u d ố i \('íi c á c cán, h ỏ \;! 1 II l i ẹ u h ọ c l ậ p c h o đ ỏ n g đ a o

sinh \'ÌC'11, chúi i!a l ô i b i ê n s o a n t i i a d n ì i i l i .

Giáo trình đu'i)'c chia ihàiih hai phàn là y (// líii liiHi \'à M ó liìnli toáii kinh íế.

9

Phần I: Tối ưu hóa

Tối ưu hoá còn gọi là Q u v hoạcli toán học TixMiíỉ phần này nêu ra đối tượng nahiôn cứu là bài toán lối ưu hóa tổna quát

Tuỳ theo tính chất các thành phần của bài loán (miền r à n s buộc, hàm mục tiêu, các hàm r à n s buộc, các biẽìi số các ihani sò) mà nsười ta phân loại

ra các lớp bài toán quy hoạch khác nhau: quy hoạch luyến tính, quy hoạch phi luyên, quy hoạch rời rạc (trưòìm hợp riêniỉ quan Irọĩiíí là quv hoạch ngu\'ên) quy hoạch đ ộ n s quy hoạ ch tham số, quy hoạch đa mục tiêu Do kliuỏn khổ của chư ơ nc trình nên 2Ìáo trình này chí xét các mồ hình toán học và các m ò hình ihực tiẽn của quy hoạch tuvến tính, bài toán vận u'u quv hoạch đ ộ n s và một sỏ loại quỵ hoạch phi luvến Các thuật toán được trình bàv inộl cách cụ Ihế, dẻ hiểu k èm theo các ví d ụ minh họa

Plĩần II: M ô h ìn h toán k in h tê

Trong phần này trình bày các bước xâv dựníz mô hình kinh lế và các inò hình kinh tế lớn, kinh t ế n h ỏ và kinh lê' phát triển Sau đó xét các mô hình kinh

tế có nhiều ứns d ụ n s tr o n s thực tiền là: phưiíns pháp cân đối liên n<jành phươii” pháp sơ đồ mạníĩ lưới (PERT), m ô hình phục vụ đám ctôna bao S i ồ m các nội d ưn e từ xâv dựng m ô hình đến các phưcĩns pháp liiái quyết và các ví dụ thực tiễn minh họa

C h ú n s tôi cô gắ n g trình bày các vân để một cách sánu sủa, ngắn eọn và

Phần I TỐI ƯU HÓA LỜI NÓI ĐẨU

Các phươim pháp tối ưu hóa được áp dụnu IIIÓI cách hiệu qua irong lủt cà các lĩnh vực hoạt độim khác nhau cua con nuưòi Đãc biệt các thành tựu rất sâu sãc đạt được khi siái quyết các bài toán kinh tc lap kế hoạch sán xuất và kinh

d o a n h , t h i ế t k ế k v i h i i ậ l v à p h à n t í c h c á c hê thốiiii lớn t r o n g x â y d ự n g , c h i n h

phục vũ trụ, trong nahiên cứu và ứni: dụnt: tiii lioc \'ào đời sống Nhừ công cụ lính toán ngàv c à n s hoàn thiện mà các công tiìiih nghiên cứu lý thuyếl và thực hành được m ở r ộ n a và phát triến nhanh

Ngà y nay đối vói nhữna neười làin kinh to quan lý sán xuất và kinh doanh, các kỹ sư và các nhà n.iihién cứu k h o a h o e thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau, sự hicu biết \ ’é các phưưiiổ pliáp tôi 11X1 lnxi cũHii cần Ihiêì như các mô n

k h o a h ọ c c ơ bàn , c á c m ô n kỹ ihu ậl co' SO' v;( CUL k h o a họ c c h u y ê n n g à n h

C ũ n a cẩn nói thêm I'àniz níiirời la còn tiọi lổi ưu lu');i là quy hoạch loán học

Với một nội dung CO' ban là uiai các b a i t o á n cực trị có các ràng buộc kin h lố và kỹ Ihuậl dưới dạn<z các p h u o n g liiiìli \ à hât p h ư ơ n g trình, hài toán quy hoạch không «iái được bằne các phuxíng plìiip yiải tích cổ điên inà phai

dù ng các c ô n s cụ hiện đại hơn Qua thưc tố Iihiini nãm eiang dạy ch úng lôi thấv nếu trình bày quy hoạch loán học mà (lự;i livii các khái niệm và kết quá đại

sô và giải tích lổi thì sẽ iiLĩán izọn và chặl clic Dóni! thời nếu biết kêì hợp việc

lìni ihuật toán lốt và kỹ (huạt lạp 11'iiih thì nuười la có ihc >:i;ii đuọ’c các bài toán thực tế cờ lớn, phức tạp.

Phần I bao c ồm 5 chưoiiti:

Chu'<>'n;^ / Bài toán tối ưu hóa tòiiii quát \'à các \ ’ấn đổ cơ scV

Cliiừin:^ // Quv hoạch tu) cn tính

Cliiíoiì'^ m Bài loán vận lai

ChiừUi'^ IV Q u \ ’ hoạch độ n i’

Clìiio'11^ \ \ Quv hoạch phi tuvến

Co' sớ cua các ph ươne pháp được trình hàv tiỗ hiểu, các ihuạl toán rò ràny

và không quá đi sãu vào Iv lhu\'ct phức lạp Đối \ó'i mối m ò h'mh đcu cỏ giói thiệu bài toán thực tc', mỗi ihuật toán dcu C() \'í dụ minh họa

Nhữno cơ sở Iv thuvcì và các phương pháp ihực hành đế giải quyết các vấn

đề nêu trên nãm trong môn học 1 oi ưu hóa ha\ còn gọi là Quy hoạch toán học

1.1 Bài toán tối UXỈ hóa tổng quát

Bài loán tói ưu hóa lổna quát được p h a ỉ biéu Iihư sau:

Cực đại hóa (cưc ticu hóa) hàm;

Với các dicLi kiện:

Bài toán (1.1) (1.3) dirực ízọi ià mộl cỊuỵ hoạch, hàm f(x) được gọi là

h à m m ụ c t i ê u , c á c h à m tỉ,(x), i = i , m đu'Ọ'c uọi là cáic h à m r à n g b u ộ c , m ỗ i đ ả n g

Ihức hoặc bất đẳng ihức trong hộ (1.2) được gọi là niiội ràng buộc Tập hợp:

13

D = { x e X g,(x) ( < , = > ) b, i = l , m ( (1.4)được gọi là miền ràng bu ộ c (hay miồn chấp nhận được) Mỗi điểm X = (X|,

X , , x j e D được g ọ i là m ộ t phươníỉ án ( h a y m ộ t lời g i ả i c h ấ p n h ậ n được) Một phương án X* e D đạt cực đại (hav cực liêu) c ủa h àm m ụ c tiêu, cụ thê là:

f(x*) > f(x), Vx e D (cìối với bài toán m a x )f(x*) < f(x), Vx € D (đối vói bài toán min)được gọi là phương án tối ưu (lời giải tối ưu) Khi đó siá trị f(x*) được gọi là giá trị tối ưu của bài toán

1.2 Phân loại các bài toán•

M ộ t trong những p h ư ơ n a pháp hiển nhiên nhâì đê aiải bài toán đật ra là phương pháp điểm diện: tính aiá trị hàm mục tiêu f(x) trên tất cả các phươna

án, sau đó so sánh các s i á trị tính đu'Ợc để lìm ra ẹiá trị tối ưu và phươnơ án tối

ưu của bài toán Tuy nhiên c á c h giải quyết này khó có thể thực hiện được, n»ay

cả khi kích thước của bài toán (số biến n và số ràng buộc m) là khô n o lớn, bởi

vì tập D thông thường g ồ m m ộ t số rất lớn các phần tử, tr o n a nhiều trường hợp

cò n là không đếm được

Vì vậy cần phải có nh ữn g nghiên cứu trước về mật lý thuyết đê có thê tách ra từ bài toán tổng qu át n h ữ n s Ictp bài toán “dễ giái” Các n ahiên cứu [ý thuyết đó thường là:

- Nghiên cứu các tính chấl của các thành phần bài toán (h à m m ụ c tiêu, các hàm ràng buộc, các biến số, các hệ số .)

- Các điều kiện tồn tại lời siâi chạp nhận (tươc

- Các điều kiện cần và đủ của cực trị

Tính chất của các đối lượng imliièn cứu

Các tính chất c ủa các thành phần cùa bài toán và đối l ư ợ n s n s h i è n cứu giúp ta phân loại các bài toán Một bài toán lối ưu (quv h oạ ch toán học) được gọi là;

- Quy hoạch tuyến tính (QHTT) nếu hàm m ục tiêu f(x) và tất cả các hàmràng buộc g,(x) i = l , m là tuyến tính Một trườna hợp riêno qu an tr ọne của

Q H T T là bài toán vận tải (BTVT)

- Quy hoạch tham sô (QHTS) nếu c;k; ìii' S( ! iKi rit biểu thức của hàm mục tiêu và của các ràng buộc phụ thuộc vào tỈKìn; ^.0

- Q uy hoạch động ( Q ỉi Đ ) nếu đối Uiun.^ 'a-i ia các quá trình có nhiều giai đoạn nói chung, hav các quá trình phái tricii ỉhco lỉìời gian nói riêng, hay là trườne hợp hàm mục liêu có d a n s tách bion

- Quy hoạch phi tuvến (QHPT) néu ỉ(,\) lìoãt LÓ ít nhất một trong các hàni g (x) là phi tuyến hoặc cá hai trường họp dó cùng x ay ra

- Quy hoạch rời rac (Q H R R ) nếu miổn ràng bu(>c D là tập rời rạc Trong trường hợp r iê n s khi các biến chi nhận giá trị ngu\cn ta có quy hoạch nguyên (QHN ) iMộl trườns hợp riêng của QHN là quỵ hoach DÌến boolcs khi các biến

số chi nhận siá Irị 0 hoặc 1

- Quy hoạch đa mục tiêu ( Q H Đ M D IICII írén cLing một miền ràng buộc ta xét nhiều hàm mục tiêu khác nhau

§2 VẤN ĐỀ MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC

Tron» m ục này ta sẽ nói về việc xày dưng mỏ hìn h toán học cho một vấn

đé thực tế Sau đó giới thiệu niột số mỏ hìĩih iliụv I c q u a n trọng

2.1 Xây dựng mò hình toán học cho một vấn đề thực tế

Viêc m ổ hình hóa loán học cho niỏl \âii dc chirc tế có thể chia ra làm bốn bước:

B ư ớ c I: Xâv dưiiiĩ mò hình ctịiih tiMÌi clìo \:tn do thực lế lức là xác định

c á c y ế u t ô c ó V n e h ĩ a q u a n ir ọni ỉ nhâì va x á c líip i;á( quv' luật m à c h ú n g p h ải tuân

theo Nói một cách khác là phái biếu mó IVinli hãng Jò'i và bằng nhĩrng biếu đồ, các điều kiện về kinh tế kỹ thuặl tự nhiên \ã liói, ( ÚL lĩiục liêu cần đạt được

B ư ớ c 2: Xây dựntỉ m ò hình loán học clid VÍIII đớ dang xét tức là diễn lả

lại dưới n s ô n ng ữ toán học cho mô hình (lịnh línli Khi cỏ một hệ thống ta chọn các biến số đặc trưng cho các trạns thái cua hè ihốrm M ô hình toán học thiêt lập mối liên hệ giũ’a các biên sỗ và các hé số dieu k h iển hiện tượng Việc làm quan trọng ớ bước này là phái xác định hàm mục tiêu, tức là một đặc trưng bằnơ số m à giá trị càng lớn (càng nhó) cùa nó lương ứ'ng với hiệu qu ả càng tốt

15

h ư n iziái q u y ố í v ấ n d e m à nuLrời l ì h ậ i i lời e ì a i m o i i e ỉ i ì u ỏ n ' I ' i ẽ p I h c o đó là p h a i

dicn tá bãniz các phươne trình hoặc bat phu'í)nu íiinh các diéư kiện kinli Ic kv ihiiậL đó ỉa các rànu buộc loán lìọc nià các biên số pluii tuân llieo

B iiớ c 3 : Sư d ụ n i i c á c cỏiiii c ụ t o á n học đê k h a o sal \'à eiái q u y c ì bài loán

h ì n h I hài ì h t r o i m b ư ó v 2 Cãỉ ì c ứ v à o n i ỏ hì i i h d a x â y đ ự í m c á n p h a i c h ọ i i h o ặ c

xây dựníi phươne pháp eiai cho phù họp Tiép dó cụ the hỏa plìươĩií^ pháp bãim

các ihiiâl loán tối ưu Vì các hài \oi\n ihưc tê ihirờỉie có kích thước lởn nên

khỏrm thê eiài bầne lav dươc m à pliai sử dunu nìáy tíiìh diên từ V â y cán

ch ưưn e trình hổa ihuạt toán b ằ n e một neỏn n s ữ lập irình phù hợp Sau đó dưa lên máy tính điện iư đe chạv và in ra kc'l quá

B ư ớ c 4: Phàn tích và kicin định lại các kèì qua lính toán thu được tronii

Ixrớc 3

Trone bước nàv can phái xác định mức độ phù họp của m ò hình và kết

quá íính toán bàny; thực nehiệi n hoặc áp dụniz phươne pháp phân lích chuvên

<zia ơ đây có thế xav ra mỏt Irone hai khá nănií sau:

Kliíi ììă/ìiị 1: Mô hình và các kết quá lính toán phù hợp với thực tế Khi đó

cần lập một ban tốna kết ghi rõ cách đặt vấn đề inô hình toán học, thuậl toán tối ưu, chương trình, cá ch c hu ẩn bị số liệu đê đưa vào m áv tính, ngh ía là toàn

bộ các công việc cần ihiêì cho việc áp dụníi mó hình và kết qu á để 2Ìai quyếl vấn đề thưc tế đặt ra T r o n a tr ư ờ n s hợp m ô hình cần dược sử d ụ n s nhiều lầii thì phải xâv dựng hệ thống phần m ề m báo đám giao diện Ihuận tiộn í>iũa níỉuừi sử dụng và niáv lính điện lử, kh ô n g đòi hỏi neưừi sứ dụ n e phai có trình độ chuyên

m ò n cao vé toán và lia học

Kliíi nĩuìỊị 2: Mồ hình và các kết quá lính toán khổĩiii phù họp với thực tế

Trons: Irường hợp này cần phái x e m xél cúc nouycn nhân của nỏ Có thể nêu ra bốn níỉuvcn nhân sau:

* NỊịiiycii nhân 1: Các kết qu á lính toán tronc btrớc 3 chưa có đủ độ chính

xác cần thiết Khi dó cần phải x e m lại các thuật toán cũn>z như các ch ươ n a trình

t í n h t o á n đ ã viết và s ử d ụ n e

* NiỊiiyèìì lìhâii 2: Các số liệu ban đầu (các hệ số, thông số) k h ô n g phản

ánh thực lế giá cả hoặc chi phí trên thị trườim hoặc các định mức vật tư hoặc

các số liệu khúc về c ô n g suất, kha nãni: inií) du !rũ' tài n g u y ên, Lúc này

NỊ^iiyêii lìliân 3: Mô hình định tínli xa\ (ỉiinụ chưa phản ánh được đầy

đú hiện tượns thực tế Nôu v ậ y cán I'a s o á i lai luiov I xem có yếu tố hoặc quy

luậl nào còn bị bo sót khònu?

dáns Cần phai xàv d ự n s lại cho phù họp IIIÚV clo lăna dần từ tuvến tính đến

phi tu v ế n từ tĩn h đ ế n đ ộ n g , từ tất đ ịn h đ ế n neẫu Iihiên.

2.2 Một sô m ò hinh thực tê• ■

Một công ly m u ố n sản xuất hai !oai san phàm niới A và B bằng các loại

Iiiỉuỵên liệu I, II và IIÌ Suất chi phí n^uyẽn licu dc san xuất các sán phẩm đó

ciio irong bảng sau:

- Đê’ sàn xuất một đơn vị san phâni A càii tiuiiiỉ ?, dơn vị imuyên liệu I \'à

ỉ d()'n vị nguyên liệu II

- Đế sân xuấl mộ l đơn vị sán phám B cần (lung I (tơn vị nouyên liệu I, 2

đơn vị Iì2uycn liệu II và I đơn vị nỵuvên liêu lli Ban giám đốc còng ty có dự Irữ các loại n s u y ê n liệu I, II và III iươni: ứnj: ỉii H 7' \ à 3 đơn vị, Tiền lãi một

đơn vị sàn phẩm A và B tưoìi” ứn« là 4 tricu donu \ à 5 Iriệu đồng Cần lập k ế

hoạch sán xuất sao ch o công tv thu được licn lã) lớn nhất với điều kiện hạn c h ế

vể nsLiyên liệu

Kv hiệu X, là lượne sán phám loại A, X, ià lượno san phẩm loại B cần

sán xuất

17

M ô hình toán họ c có dạnạ:

f(x) = 4X| + 5x, —> max 2X| + X, < 8

X| + 2x, < 7

x , < 3 X | , X 2 > 0Đày là một bài toán QHT T

* Bùi toán lập ké hoạch sàn x u ấ t tổng cỊỉiát có dạng n h ư sau:

Giả sử côn g ty sản xuất n loại sản phẩm và sử d ụ n g m loại nguyên liệu

Ta đưa vào các ký hiệu sau;

Xj! lượng sản p h ẩ m loại j, (j = n ) cần sản xuất;

Cj: tiền lãi một đơn vị sản ph ẩm loại j, (j = 1, n );

a,ị: lãi suất chi phí nguyên liệu loại i đế sản xuất một đơn vị sản phẩm loại j;b,: lượng dự trữ n g u y ê n liệu loại i, (i = l , m )

Trong các điều kiệ n đ ã ch o hãy xác định các giá trị Xj, (j = 1, n ) sao cho tổng tiền lãi (hay tổng giá trị sản ph ẩm hàng hóa) là lớn nh ất với điều kiện hạn

X, > 0, j = l , n

(2.1)

(2.2)

(2.3)

2.2.2 Bài toán vận tải

Có m kho hàng c ù n s chứa một loại hàng hó a (đ án h sô' i = l , m ) lượnghàng có ở kho i là a„ (i = 1, m ) Gọi kho i là điếm p h á t i Có n địa đ iểm tiêu thụ

loại hàng trên (đánh số J = l , n ) với nhu cáíi licu itiLi ở đ iểm j là bj, (j = l, n ) Gọi điếm tiêu thụ j là điểm thu j,

Biết C|| là cước phí vạn chuyển một (1(tn VỊ h a n g hóa từ điểm phát i đến điếm thu j (i = l , m j = l n ) Hàng có thế chu\ển lừ điểm phát i bất kỳ đến

đ iể m thu j bất kỳ

Hãy lập k ế hoạ ch vận chuyên hàrm hóa từ điếin phát đế n các đ iểm thu sao cho tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất với các điều kiện: các đ iểm phát thì phát hết hàng hóa, còn các điểm thu thì thỏa mãn Iihu cầu Đ ó là m ô hình định tính của BTVT

Ký hiệu x,| là lượng hàn g vận chuyển từ đièm phát i đến điểm thu j Khi

X , J > 0, i = l , m , j = l,n Ngoài ra c ò n điều kiện cân bằng thu phát:

n ì 11

Có thể chứng minh điều kiện cân bằng ihii - phát nh ư sau:

- Lấy tổng 2 v ế của (2.5) theo i = l,m :

2.2.3 Bài toán cái túi

M ộ t người du lịch m u ố n đ em theo một cái túi nặ n g k h ô n g quá b ks C(í n loại đồ vật mà anh ta d ự định đ em theo Mỗi một đồ vật loại j có khối lượng

kg và trị giá Cj , người du lịch m u ố n chất vào các túi đồ vật sao cho tổ n g giá trị

Đ ây là bài loán quy h o ạ c h nguyên

2.2.4 Bài toán về khẩu phẩn thức ăn

Cần phải xây d ự n g k h ẩ u phần thức ăn từ n loại thực p h ẩ m với đơn giá

c h o trước sao c h o đ ả m b ả o đượ c yêu cầu về m loại c hất din h d ư ỡ n g và với giá rẻ nhất

KỶ hiệu:

a,j: lượng chất dinh dưỡnsi loại i có trong inộl đơn vị khối lượng thực phẩm loại j;

bị! lượng chất dinh dưỡng loại i cần có trong khẩ u phần;

c,; giá một đơn vị thực phẩrn loại j;

(i = l , m , j = l , n ) Gọi X : là lượna thực phẩm loại j tronạ khẩu phần(j = 1,11) Mô hình toán học c ủ a bài toán có dạna:

Tim cực tiểu cua hàm S(5:

X x , < wj-l

2.2.5 Bài toán phân bô vốn dầu tư dưa tiến bộ khoa học kỹ

thuật vào sần xuất

Giả sứ có m đơn vị sàn xuất u, i = l n i có q vêư tố sản xuất F^,, k = l , qvới các n su ồ n d ự trũ' là l \ , k = l,q và có n công n iihệ khác nhau Tj, j = l , n Người ta có thể sử dụng một trong các còne Iiẹliê dó cho mỗi đơn vị sản xuất và

kv hiệu:

' 1, nếu c ô n í na hệ j được sứ dựng cho dơn vị i

LO, nếu imưực lại

c,|: ticn lãi thu được cua cõng Iighệ I i;h() (t(ĩn VỊ 1

lượnsí yếu tố san xuất loại k nèu sử dutii,; công n a h ệ j cho đơn vị i.Hãy chọn các công Iiíĩhộ cho các đcrn vị san yaiất sao cho tổng tién lãi là lớn nhất

X,J> 0 , X,J e ( 0 1 } i = ĩ m , j = l n

2.2.6 Bài toán quy hoạch nguồn điện tôi uu

Cần phải lạp k ế hoạch phát triển hệ thông n nhà m á v điện (bao íĩồm nhiệtđiện và thủy điện) trong T năm sao cho báo đ á m cô n g suất vận hành yêu cầu và

năng lượng điện yêu cầu ch o từníỉ nãin trên cơ sở các r à n s buộc về tài n g uyên

VỚI mục t i ê u là v ố n đ ầ u tư ít nhất có t h ể được

Ta đưa vào các ký hiệu sau:

X | ( t ) : côn g suất đặt nhà m á v j, tại năm t j = l n , l = l T ;

r|(t): t h ờ i g i a n s ử d ụ n g c ô n g s uất l ớ n n h ấ t c ủ a n h à m á y j t r o n s n ă m t;

Xj (t): c ô n g s u ấ t c ầ n t ì m c ủ a n h à m á y j tại n ă m t;

công và phụ thuộc vào cô n g suất;

cy sưất chi phí thun ch o nhà m áy j;

B(t): lổng cônơ suất yêu cầu cho n ã m t;

A(t): tổ n a năng lượng điện yêu cầu cho n ă m t;

C(t): lượng than dự trữ cho năm t

§3 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ TỪ ĐẠI số

Trong các phần sau cứa cuốn sách này cần sư dụng đến một số khái niệm

và kết qua từ dại số như ma irận, định thức, ma t r á n I i s h ị c h đáo, hạng của ma trận, hệ phưữne trình đại sò luvến tính \'ect(í, ^ Vì \'áy ch ú n a tỏi nhắc lại một cách vắn lắt c;íc khái niệm và kêì quá dó đé han doc dẻ theo dõi

Ma trận chi có một cột được eọi là vecUíciìi, con ma trận chi có một hàng

«ọi là vcctơ hàna Ma trận vuôniz có dạiiíi,;

0

A =

a, Ơ-:

0 ( 1 ,

23

được gọi là ma trận đ ư ờ n g chéo Nêu ma irạn đườiie chéo có a = 1, Vi = l,n ihì đưực gọi là m a trận đơn vị Hai nia tràn du'0\ eoi là b ằ n s nhau nêu c h ú n g có cùng kích thước và các phầ n tử tươnu ứne báiì2 nhau.

Muốn nhân ma trận với một h ă n s số a la nhân mỗi pliân (ử cùa m a trận với số đó:

Tíiìlì clìđí 4: Nếu các phần tử của mội cot (hay hàng) tý lệ với các phần tử

iư ơ n s x ứ n s cùa cột khác (hàn« khác) thì định thức băng 0

Tíiìlì chát 5: Nếu mỗi phẩn tử của một C(M có Ihe tách th ành tổna của 2 số

thì đ ị n h t h ứ c đ ó c ũ n " l á c h t h à n h t ổ i m c u u 2 dịiih lìiức t ư ơ n s ứ n g

Tínìì cìuít 6: Định thức sẽ khôna đỏi néii cỏiiii thêm vào các phần tử cúa

một cột (hàng) nào đó các phần lử của C Ộ I khác (hàng khác) đã nhân với một

Dịiilì fìí>liĩa: Phần phụ đại số ứiiíi \'('iị |ih:íiì lu a,, kí hiệu A,| là định thức

con M„ kèm Ihco dấu + nếu lổ n a cúc chí sỏ ị f I ià chãn, kèin theo dấu - nêu lổn e i + j là lẻ:

Định thức cấp n có thể khai triểii Ihet) CỘI I cÌLn'i dạng:

Với hàno i:

25

3.3 Ma trận nghịch đảo, hạng của ma trận

Ma trận vuôna A được aọi là khô n g suy hiến nếu nó có định thức A ^ 0

nsược lại A được gọi là suy hiến

Đối với mỗi ma trận A không suy hiến sẽ tồn tại một ma trận (kí hiệu A ') thỏa mãn đicu kiện:

A 'A = A A ' = E gọi là ma trận nghịch đá o của ma trận A

M a trận A"' có dạ ns :

"A|, A „ .

A p Atị ■A-' = ^

ma trận A

Đ ịn h n g h ĩa : Cấp cao nhâì cúa định thức con khác 0 cứa ma trận A gọi là

hạng của ma trận A ký liiệu là r(A)

Dỗ ihấy:

Hạng của ma trận k h ô n e ihay đổi nếu la thực hiện các phép biên đổi sau:(1) Đổi cột thành h à n s , hàng thành CỘI

(2 Đổi chỗ 2 h à n s (hoặc 2 cột ) cho nhau

(3) Nhân các phần tử của cù n g một h à n s (cột) với cùn g một số k h á c 0(4) Cộng vào mộ t hàng (cột) các phần tử tương ứna của hànơ (cột) khác

dã dược nhân \'ó'i một số

(5) Thê m hoặc bói đi một hàim (cội) la to liơp tuyến tính của hàn g (cột)khác TYoiiii trườno hợp riêne là thỏm hoạc b(Vi (ĩi mót hàng (cột) gồ m toàn số 0.

Các tính chất trên và cá tính chài sau day giúp ch ún g ta tính hạng của nia trận

Ncu một định thức câp k nào đó cua ina trận \ khác 0, mà các định thức

từ cấp k + 1 chứa nó đều = 0 thì r( A ) = k

3.4 Hệ phương trình đại s ố tuyến tính

Dạng lổna quát cùa hệ phưoìis irình dai số Ui\ ếii tính là;

UiiX, + a,,x, + +a,„x„ = b^

a,|X| + a,,x, + + a,,.x., = b,

- T huần nhất nếu tâl ca các b, = 0 i = 1 2 m

T ư ơ n s thích nếu hộ có ít nhrít một nghiộni lức là tồn tại một bộ giá trị cúa X|, x x„ thoả m ã n hệ phươna trình

“ K hô ng tương thích nếu k h ò n s có mộl nt:hiẹiii nào

- X á c định n ế u hệ chi có m ột ng hi cm tliiy nliấỉ

Bất định nếu tồn tại quá một netiiệin

Khi giái hệ phươna trìnii đại số tuvến tính l ó thế xảy ra 2 trường hợp

Bởi vì A ' A = E, m à nhân bất cứ m a trận nà o với E sẽ được đ ú n g m a trận

Nếu r(A) = r(B) = n Ihì hệ có một n g h iệ m d u y nhất

Nêu r(A) = r(B) < n thì hệ có vô số n oh iệm

Từ định lý suy ra: nếu r(A) < r(B) thì hệ (3.9) k h ô n2 tương thích

Bâv giờ ta xét hệ phương Irình thuần nhất:

a||X| + a,,x, + +a,„x„ = 0

Đ ịn h lý 3.2: Nếu r(A) = n thì he Ihịi.ii! Iiluií r:hi có n g h iệ m tầm thường,

IICII r(A) <n ỉhì hệ thuần nhất có vô số ngliicnì (io dií n s o à i ngh iệm tầm thường

òn Iiahiệm k h ô n " tầm thường

3.5 Không gian Euclid

Đ ịn h ng h ĩa 3 ỉ : Một vectơ n chicLi là mót lìc ớ ư o t sắp eồm n số thực

X = (X|, x„) - c;ic ihaiih phián của veclơ

Xét y = {Yi >'2 3',,) ơ số ihực

Đ ịn h n g h ĩa 3.2: Tập hợp lấl cá các vecio' n vii iồu tronsĩ đó xác định phép

cộn g các vectơ, nhân một sô' thực với vccto' ilicia Iiìỹn các lính chất trên, gọi là khỏiiii gian tuyến lính n chiều, ký hiệu là R"

Các veclơ n chiều còn aọi là các đicni cua kíiỏntỉ siun

X, y, z, e R" đ ư ợ c gọi là đ ộ c làp tiivèn !ínli nếu ;

a x + Py + yz + + 0\' = {) o u [5 = y = = 0Nếu X = Ầx + Ị.IZ + + pv thì lừ dịnh Iighĩií suv ra X là tổ hợp tuyến tínhcủa y, z V.

29

X, V, z V độc [ập tuyến tính thì không v ectơ nào là tổ hợp tuyến tính

của các vectơ còn lại

Trong R" có n vectơ độc lập tuyến tính lập th ành cơ sở của nó

Giả sử e e " là m ộ t cơ sở của R" thì bất kỳ mộ t vectơ X € R" đều là tổ hợp tuyến tính của các vectơ e ' , e"

Xét c e R" T ập hợp tất cả các vectơ là tổ hợp tu yến tính của những vectơ

e c tạo thành m ộ t kh ông gian con của R" gọi là k h ô n g gian con sinh bởi c hay gọi là bao tuyến tính của c

l c = c

'ĩ ích vó hướng của hai vectơ X và y ký hiẹii bới <x ,y> là số thực <x,y> =

Quy hoach tuyèn lính bál n e u ồ n từ nhữna n s h i ê n cứu của nhà toán học

N e a nổi tiếng, viện sĩ Kantoro vich L v được nêu tr o n s một loạt côno trình về bài loán k ế hoạch hoá sán xuất, công bố nãm 1938 N ă m 1947, nhà toán học

Mỹ Dantzig đã níĩhiên cứu và đề xuất phươ n" ph áp đơn hình (Simplex mclhod)

để eiái bài toán Q HT T N ă m 1952, phương pháp đơn hình đã được chạy trcn máy tính điện lử ở Mỹ

Quv hoạch tuyến tính có một vị trí quan Irọna Irons tối ưu hoá vì hai lẽ: thứ nhâì !à m ô hình tuyến lính đơn ẹiủn đc áp dụng, thứ hai là nhiều bài toán quy hoạch n s u y ê n và quy hoạch phi tuyến có ihổ xáp xí với dộ chính xác cao bởi một dãy các bài toán quy hoạch tuyến tính

§1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

1.1 Bài toán tổng quát

Để nhất qu án lập luận ta xét bài toán tìm cực đại, sau đó ta xét cách chuyển bài toán tìm cực tiểu sang lìm cực đại

Bài toán tổno quát c ủa Q H T T có dạim:

i ì

I - - I

= > ) b 1 1 1D

X, > 0 j = 1 n Nèu uập bài toán ( mi n) tức là:

(1.3)( 1 2)

1^

l'íx) = £ c , x , miii

; I

X e Dthì giữ imuyên rùiiíi buọc la đua nó \é dang Ixií toán (max)

Người ta Ihường xét Q H T T dưới 2 dang sau da\'

Dạiì;j, c I ìiíc Í iì :

n

i - ỉ

( 1 9)

33

1,3 Đưa Q H TT vế dạng chuẩn hoặc dạng chính tắc

Bất kỳ Q H 1 T nà o c ũ n s có thê đưa vé mội tr o n ” hai d'ảnz chuẩn hoặc

chính tắc nhờ các phép biến đổi tuyến tính sau:

- Một ràn g buộ c bất đ á n a thức A , ■; h, c ó (hế đưa về ràng buộc đẳng ihức b à n s cách đưa vào biến phụ V, > 0

V a + y = b

.1-1

Về ng uvên tắc áp dụ n a nhiều lần c á c p ì i é p biên đối 1, 2 và 3 ta có thể

đưa một Q H T T bất kỳ vể dạng chuẩn, sau dó a p dung nhiều lần phép biến đổi

thứ tư ta sẽ đưa nó về dạng chính tắc

1.4 Giải bài toán QHTT hai biến b ằ n g pihương pháp hình học

Xét bài loán Q H T Ĩ ’ dưới d ạ n ” chuaii \ óì 2 bié:!i số:

33

Như vậy tập D (miền r à n s buộc) được xác định nh ư là giao của m nứa mặt phẳne v à s ẽ l à một đa aiác l ồ i trên mặt phẳng Đ ể ý đến điều kiện X| > 0 ,

X, > 0 la có D là 1 đa giác lồi ờ aóc vu ỗna 1 Phương trình C|X| + c,x, = a xác định một đ ư ờ n s mức Khi a thay đổi irong lập R sẽ xác định trên mạt phảng vỏ

số các đ ư ờ n s mức so na song với nhau vì cùng I h ẳ n s góc với một vectơ pháptuyên n = (C| + c,) Mỗi điểm X = ( x, x ) e D sõ n ằ m trên một đường mức với

Ví dụ: ta xét tiếp ví dụ của chưcìne I bài toán lập k ế hoạch sản xuất lối uu:

f(x) = 4x, + Sx niax2X| + Xn < 8

Ta nhận Ihây x ’ = (3.2) là mốt đíiilì c ua [),

Qua phưoìm phá p hình hoc ta raiií’.:

Nếu Q i m ’ c ó p l i L r ư n c án tối U'U Ilii có ÍI nliấi một đỉnh là lối UII Sở dĩ

n ó i ít Iihàì \'ì c ó t r ư ờ n g hựị-) d ư ò ì i g nnrc ớ \'Ị In' giói han t r ù n g v ớ i m ộ t c ạ n h c ủ a

D ihì tất c á c á c đ i ể m Ircn c ạ n h n à y là p hư on n án lối ưu, ironsỊ đ ó c ó hai đinh

' Nếu mién ràng buộc D aiới nội \';i kliac rỏĩi» thì chắc chắn có phương

án tối ưu

- Nếu mién ràng buộc k h ô n c giói nói nhưn,i: hàin mục tiêu bị chặn trên ỏ’ trên miền ràng buộc Ihì c ũ n e chác chăn có phương án tối ưu

37

Nếu D là mộl đa diệ n lồi thì bài toán có phương án, hơn nữa giá trị tối ưu của h àm mục liêu trên đa diện lồi đó là hũ’ii hạn và việc tìm phươriíỉ án tối ưu đưa đến việc chọn các đỉ n h của đa diện D có sò đinh (đ iểm cực biên hay phương án cực biên) hữu hạn.

Đ ịn h lý 2.2: H à m m ụ c t i è u c ủa bài Icián Q H Tr sẽ đạl niax lại niộl diếiii cực biên của tập D Ncu h à m rnục tiêu k h ò n<4 chi nhận m a x tại một đ iếm cực biên của tập lồi D m à lại nhiều đ iểm thì nó sẽ đạt siá li ị cực đại tại n h ũ n g điếm

là t ổ h ợ p t u y ế n t í n h lồi c ủ a c á c đ i ể m đ ó

còn phươtm án tối ưu là x" ta có;

N ếu x" đã là đ iế m cực biê n rổi thì ý ihứ nhài c ủ a đị n h lý đã được

c h ứ n s minh

Giá Ihiết x" k h ô n e phái là điéin cưc hicn, Ìlìco kêì qu á của giải tích lổi thì x" c:ó thể biểu diễn du'ới d ạ n s lổ họp lõi ciKi cac (iicrn cực biên của D và tổ hợp dương của các hướ na các cạnh V'ỏ han.

l ’u lại dễ thấy răne r(r') < 0 Vị \'ì ncLi klii)ih_! theo h ư ớ n s r' vỏ hạn Ihì í(x")

+ x , m ã u t h u ầ n v ớ i íiia t h i ế t là p h i r o ì i y á n toi LIU.

Gia sử đinh X*' có tính chất là:

1 < i < p Khi đó từ (2.6) và (2.7) la có:

( 2 8 )

T ừ (2.4) và (2.8) ta phai có l'(x"ì = ỉ(xS- nghĩa là điổm cực biên x'' là

ph ươ ns án lối ưu

Bây iiiờ eia sứ t'(x) nhận giá IrỊ in;i\ i;ii \ \ ,x‘':

V ậ \ ' X c ũ n g là p h ư ơ n g á n lố i ưu Đ ị n h lý đ ă d ư ơ c c h ứ n g m i n h

Ký hiệu Aj (j = l n ) là các vectơ cột của ma Irận A, khi ày hệ ràng buộc

Ax = b có the viết:

Đ ịn h lý 2.3: Nếu biết rằng hệ Ihòna các \'eciư A| A , Aị là độc lập

luyến tính và sao clio:

ir o n g đ ó X, > 0 Vj = l , k thì đ i ểm X = (X| X, \ , 0 0) là đ i ể m cực biêncùa tập lồi đa diện D

ClìứiìíỊ nìinlr Bàng phán chứng, giá sứ X khỏii” |-)hai là ph ươ n s án cực

b i ê n K h i đ ó n ó c ó t h ế b i ế u d i ẽ n d ư ớ i d ạ n g t ổ ho'p lồi c u a hai đ i ể m x ' , X" n à o đ ó

cúa D:

X = a x' + (1 - a ) x \ 0 < a < 1 (2.10)

Vì các thành phần cua x' và X" đcu khỏim âm và 0 < 0 <1 nên từ (2.10) ta phái có n - k thành phần cuối của x' \'à x" c ũ n2 bãim 0 Vì x' và X" cCina là phươrm án ncn ta có:

xỊA, + x|,A, + + x[A,^ = b

X Ị" A I + X , A T + + X ^ A , — b

N hưng các vecio' A|, là độ c lập tuyẽn tính nên vectơ b biểu diễn

qu a c h ú n ỵ bằ na mộ t cách cluv nhấl

Vì vậy xỊ = X - Vj = 1 k nghĩa ià x' = x l

N h ư thê X khô n g thc biổu diễn dưổi d ạ n s tổ hưp lồi cua 2 điếm của D, clo