VỀ CẤU TRÚC CỦA ÁNH XẠ SONG TUYẾN TÍNH THAY PHIÊN CHẤP NHẬN ĐƯỢC

VỀ CẤU TRÚC CỦA ÁNH XẠ SONG TUYẾN TÍNH THAY PHIÊN CHẤP NHẬN ĐƯỢC

Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008

VỀ CẤU TRÚC CỦA ÁNH XẠ SONG TUYẾN TÍNH

THAY PHIÊN CHẤP NHẬN ĐƯỢC

ON THE STRUCTURE OF THE ACCEPTABLE

ALTERNATING BILINEAR MAP

SVTH: NGÔ THỊ HOÀI PHƯƠNG

Lớp: 05TT, Trường Đại học Sư Phạm

GVHD: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU

Khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm

TÓM TẮT

Đề tài này nghiên cứu về cấu trúc của ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhận được

ABSTRACT

In this subject, we have studied about the structure of the acceptable alternating bilinear map

1 Mở đầu

Trong đại số tuyến tính, phần cấu trúc của các dạng song tuyến tính, ta biết : “ Nếu f là một dạng thay phiên trên không gian vectơ E trên trường K Thế thì E là tổng trực giao của hạt nhân của nó và không gian Hyperbolic Nếu E không suy biến thì E là một không gian hyperbolic và số chiều của nó là một số chẵn ” ( Xem [ 4, tập III, định lý 6, trang 78 ] ) Một câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên là : kết quả đẹp đẽ này có thể mở rộng cho ánh xạ song tuyến tính thay phiên hay không ?

Mục đích của đề tài này là tìm cách giải đáp cho câu hỏi trên Cụ thể là: tìm hiểu cấu trúc của ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhận được

 : E x E  U, trong đó dimK E là một số lẻ lớn hơn 1, dim K U = 2, K là trường

2

 , và  có độ rắn bằng 2

2 Các kiến thức chuẩn bị

2.1 Định nghĩa ánh xạ song tuyến tính

Giả sử E, F, G là những không gian vectơ trên trường K

Ánh xạ f : E x F  G được gọi là ánh xạ song tuyến tính trên E x F nếu nó tuyến tính đối với mỗi biến, nghĩa là với mọi x, x’  E, y, y’  F, mọi a, b  K, ta có :

i) f(x + x’, y) = f(x, y) + f(x’, y)

ii) f(ax, y) = af(x, y)

iii)f(x, y + y’) = f(x, y) + f(x, y’)

iv) f(x, by) = bf(x, y)

Nếu E = F thì ta nói f là ánh xạ song tuyến tính trên E thay cho ánh xạ song tuyến tính trên E x E

2.2 Định nghĩa ánh xạ song tuyến tính thay phiên

Một ánh xạ song tuyến tính f trên E được gọi là ánh xạ song tuyến tính thay phiên nếu f(x, y) = - f(y, x) , với mọi x, y  E

2.3 Mệnh đề

Cho E, U là các không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường K

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 2(25).2008

 : EE  U là một ánh xạ song tuyến tính thay phiên Khi đó tồn tại duy nhất ánh

xạ tuyến tính 

 : (2)

(vv’) 

(vv’) =  (v, v’)

2.4 Định nghĩa ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhận được

Cho E, U là các không gian vectơ trên 1 trường K Ánh xạ song tuyến tính thay

phiên  : EE  U được gọi là chấp nhận được nếu :

i)  ( E x E ) sinh ra U

ii)  không suy biến, nghĩa là : { v E /  (v, E ) = 0 } = 0

2.5 Độ rắn của ánh xạ song tuyến tính

2.5.1 Định nghĩa

Cho : E E  Ulà ánh xạ song tuyến tính và *

kU Khi đó hợp thành

k : E E K là dạng song tuyến tính

Đặt L k  v E k/ ( , )v E 0

 

* \ 0

min dim / k

k U



Ta gọi r là độ rắn của ánh xạ song tuyến tính 

2.5.2.Tính chất

Nếu  là ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhận được thì :

i) r là số chẵn

ii) 2  r  dim E

3 Cấu trúc của ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhận được

3.1 Mệnh đề

Cho E là không gian 3 chiều, U là không gian vectơ 2 chiều trên trường  , ánh xạ 2  :

EE  U là ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhận được Khi đó, tồn tại một cơ sở

của E và một cơ sở của U để ma trận của ánh xạ tuyến tính 

 : E(2)  U

(vv’) 

(vv’) = 

(v, v’)

 

3.2 Mệnh đề

Cho E là không gian vectơ n chiều trên trường  , n lẻ, n > 3, U là không gian vectơ 2

2 chiều trên trường  Ánh xạ 2  : EEU là ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp

nhận được, r = 2 Khi đó : E = E 1  E , với dim 2 E = 3 , 1

dim E = n – 3 , trong đó 2

|E E

  : là một ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhận được và E là một không gian Hyperbolic 2

4 Kết luận

Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008

Đề tài đã xác định được cấu trúc của ánh xạ song tuyến tính thay phiên chấp nhận được

 : E x E  U, trong đó dimK E là một số lẻ lớn hơn 1, dim K U = 2, K là trường  , và 2

 có độ rắn bằng 2

Hy vọng kết quả của đề tài sẽ tiếp tục được hoàn thiện và mở rộng hơn nữa, cụ thể là các không gian vectơ sẽ được xét trên một trường bất kỳ

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] G Birkhoff và S Maclane (1978), Tổng quan về đại số hiện đại, Bản dịch tiếng

Việt của Ngô Thúc Lanh, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp

[2] Nguyễn Ngọc Châu (1992), Về lớp đồng chất của các nhóm mở rộng tâm theo nhóm Abel sơ cấp, Tóm tắt luận án PTS khoa học Toán Lý Đại học Sư Phạm Hà Nội

[3] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo Dục

[4] SERGE LANG (1978), Đại số, tập I, II,III, Bản dịch tiếng Việt của Trần Văn Hạo,

Hoàng Kỳ, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp

[5] Ngô Thúc Lanh (1970), Đại số tuyến tính, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp Hà

Nội

[6] SZE – TSEN HU (1973), Nhập môn Đại Số Đồng Đều, Bản dịch tiếng Việt của NXB

Đại học và Trung học chuyên nghiệp

[7] Thái Xuân Tiên, Nguyễn Viết Đức, Đặng Ngọc Dục (1995), Đại số tuyến tính, Đại học

Đà Nẵng