Dao động uốn của tấm mỏng hình chữ nhật với điều kiện biên không đối xứng

Tài liệu tham khảo Dao động uốn của tấm mỏng hình chữ nhật với điều kiện biên không đối xứng

Lời nói đầu

Trong các nghành công nghiệp hiện nay, đặc biệt là nghành chế tạo máy,xây dựng, giao thông, máy bay, tàu thuỷ,…các kết cấu dạng tấm và vỏ đcác kết cấu dạng tấm và vỏ đợc

sử dụng rộng rãi với nhiều loại vật liệu khác nhau vì chúng có những u điểm

nh nhẹ, bền, tiết kiệm vật liệu và đảm bảo đợc yêu cầu đa dạng của cơ học vàtạo dáng công nghiệp

Tuy nhiên, việc sử dụng các kết cấu tấm và vỏ đặt ra yêu cầu cao về côngnghệ chế tạo, thi công cũng nh tính toán thiết kế Riêng về mặt tính toán kếtcấu tấm và vỏ đã có rất nhiều công trình nghiên cứu liên quan đến việc xâydựng các lý thuyết khác nhau cũng nh các phơng pháp tính toán các loại kếtcấu cụ thể, nhằm giải quyết các yêu cầu về độ bền và độ ổn định của kếtcấu.Trong các phơng pháp tính toán kết cấu hiện nay ngời ta thờng dùng cácphơng pháp tính gần đúng, đặc biệt là phơng pháp phần tử hữu hạn đợc thừanhận là một phơng pháp có hiệu quả nhất để tính toán các trạng thái ứngsuất, chuyển vị trong kết cấu Hơn nữa, nó lại có thể tính toán các kết cấu cóhình dáng bất kỳ và sử dụng tính một cách thuận tiện nhất Vì vậy, trong thờigian gần đây phơng pháp phần tử hữu hạn đợc ứng dụng ngày càng phổ biếnhơn

Trong đồ án tốt nghiệp này, với đề tài đợc giao: Dao động uốn của tấm“Dao động uốn của tấm

mỏng hình chữ nhật với điều kiện biên không đối xứng” em đã tiến hành

nghiên cứu và triển khai trên máy tính bằng Maple và Matlab Kết quả tínhtoán đã đợc so sánh với kết quả của chơng trình ứng dụng Sap 2000 và còn đ-

Tấm mỏng là một vật thể hình trụ có chiều cao h nhỏ so với kích thớc của

hai mặt đáy Chiều cao h gọi là bề dày của tấm Mặt trung gian là mặt chia

đôi bề dày của tấm ( hình 1.1 ) Mặt đàn hồi là mặt trung gian bị uốn cong

d-ới tác dụng của ngoại lực Tuỳ theo những hình dạng của tấm ta có những têngọi thích hợp nh : tấm tròn, elíp, vuông, chữ nhật, hình bình hành, tamgiác…các kết cấu dạng tấm và vỏ đ

h- Phần tử thẳng mn ( hình 1.1) ở trong tấm thẳng góc với mặt trunggian thì sau khi uốn vẫn thẳng góc với mặt trung gian ( mặt đàn hồi )

đã bị uốn, chiều dài đoạn đó không đổi Ngời ta thờng gọi đó là giảthiết về các phần tử phẳng của Kirchoff Theo giả thiết về phần tửphẳng, nếu chọn mặt trung gian là Oxy thì góc vuông giữa pháp tuyếnvới các trục x và y sau khi uốn vẫn vuông tức là không có biến dạngtrợt :

yz  zx  0 suy ra yz  zx  0 (a)Còn chiều dài đoạn thẳng mn không đổi, suy ra z = 0 (b)

 Bỏ qua z gây ra do các lớp nằm ngang của tấm ép lên nhau Theogiả thiết này ta có :

x x y y y x xy xy

G E

; (

1

; (

 Trên mặt trung gian các điểm chỉ có dịch chuyển theo phơng z nghĩa

là xem :

u(0) = 0 ; v(0) = 0 ; w(0) = 0

1.2 tơng quan giữa chuyển vị biến dạng - ứng suất. – biến dạng - ứng suất.

1.2.1 Hệ thức Côsi giữa biến dạng và chuyển vị.

Véc tơ ' { ' ; ' ; ' }

z z y y x x

w v u

PP gọi là véctơ chuyển vị của

điểm P trong hệ toạ độ Đềcác u, v, w gọi là các thành phần chuyển vị theophơng x, y, z tơng ứng ( hình vẽ 1.2)

Biến dạng dài tỉ đối theo các phơng x, y, z xác định theo hệ thức Côsi ( hình vẽ 1.3):

x

u dx

u dx x

u u

v dy y

v v

w dz z

w w







dy

y

v v

v dy

u dy y

u u dx

v dx x

v v

w

z v y

w

y u x

i ij

x

u x

u

2

1

 với ijlà thành phầncủa tenxơ biến dạng:

yz y

xy

xz xy

1 2

1 2

2 22 21

31 12 11

Trong đó : ui ( i=1, 2, 3 ) là các thành phần của véctơ chuyển vị PP'

Nếu gọi véctơ chỉ phơng của đoạn AB ở trạng thái trớc khi biến dạng là 



; véctơ chỉ phơng của BC là  , thì sự thay đổi góc giữa hai vécơ đó sau khibiến dạng đợc xác định theo công thức :

i j

ij v 



  2 ( i, j = 1, 2, 3 lấy tổng theo i, j )

1.2.2 Định luật Hooke tổng quát

Trong vật rắn biến dạng đàn hồi, quan hệ biến dạng – ứng suất tuân theo

66 65 64 63 62 61

56 55 54 53 52 51

46 45 44 43 42 41

36 35 34 33 32 31

26 25 24 23 22 21

16 15 14 13 12 11

13 12 22

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

(1.5) Nếu vật liệu đẳng hớng, tenxơ các hằng số đàn hồi chỉ có hai hằng số độc

lập  và , gọi là hằng số Lamê, khi đó :

j i khi

33 33

23 23

2 2 22

12 12

11 11

.

; 2

.

; 2

.

; 2

; ) 2 1 )(

Trong đó : E – môđun đàn hồi ;  - hệ số Poátxông ; G – môđun trợt

1

; với  = 11+ 22+ 33 (1.7) hay :

G E

G E

13 13

13 22

11 33

33

23 23

23 33

11 22

22

12 12

1 2 33

22 11

11

2

; ) (

1

2

; ) (

1

2

; ) (

1.2.3 Quan hệ giữa chuyển vị – biến dạng – ứng suất.

Xét mặt tấm chịu tải trọng vuông góc với mặt trung gian

Từ giả thiết 1: Biến dạng dài  0

Mọi điểm nằm trên đờng vuông góc với mặt trung gian đều có chuyển vị w

nh nhau

Các chuyển vị u, v đợc tính theo chuyển vị w nh sau :

Từ điều kiện (a) ta có : 0 ;  0

w y

w z

) , (

2

1

y x f y

w z v

y x f x

w z u

Trong đó f1, f2 là các hàm của hai biến (x,y)

Để xác định f1(x,y), f2(x,y), tại z = 0 ta có : u(0) = f1(x,y), v(0) = f2(x,y)

Theo giả thiết 3 ta có : u(0) = f1(x,y) = 0, v(0) = f2(x,y) = 0

x

w z u

w z x

v y

Khi đã biết chuyển vị theo (1.10), dựa vào định luật Hoocke (1.8) ta nhận

đ-ợc các biểu thức ứng suất theo chuyển vị w :

2 2

w x

w Ez

E

y x

2 2

w y

w Ez

E

x y

w Ez E

xy yx

1 (





1.2.4 Quan hệ giữa ứng suất và nội lực.

Xét một phân tố đợc tách ra từ hai mặt phẳng vuông góc với mặt trunggian cách nhau một đoạn dx và hai mặt phẳng vuông góc với mặt trung giancách nhau một đoạn dy Chiều cao của phân tố bằng bề dày của tấm ( hình 4)

Tại một điểm có toạ độ z trên mặt vuông góc với trục x có các ứng suất x,

xy, xz tác dụng, trên mặt vuông góc với trục y có các ứng suất y, yx , yz tácdụng Còn các thành phần xz= yz= 0 (theo giả thiết 1) Trong thực tế các ứngsuất này là khác không, vì nếu không có nó thì sẽ không thoả mãn điều kiệncân bằng của phân tố đợc tách ra để khảo sát Nhng các ứng suất này là nhỏ

so với các ứng suất x , y , xy nên ta đa vào giả thiết 1 để bỏ qua cho bàitoán đợc đơn giản

Đại lợng 

F z

N  gọi là lực pháp trên một đơn vị dài theo phơng x

Trong đó : dF = l.dz ; h là bề dày của tấm

N  là lực pháp theo phơng y

;

h

h y y

h

h x

h

h xy

h

h yz y

h

h xz

Q   là lực cắt trên một đơn vị dài, có

thứ nguyên là  lực/ chiều dài , ví dụ N/m, kN/m

Sau khi lấy tích phân với các giá trị ứng suất theo (1.12), các giá trị mômenuốn và xoắn đợc tính theo độ võng là :

2

y

w x

2

x

w y

w



(1.16)

3 2

2

.

y x

w x

w D dz

h

h xz

3 2

2

.

x y

w x

w D dz

h

h yz



(1.19)

Trong đó : D =

) 1 (

gọi là độ cứng trụ của tấm

Quy ớc chiều trên ( hình 1.5 ) biểu diễn các nội lực dơng

So sánh (1.11) và (1.15)  (1.19) ta nhận đợc biểu thức quan hệ giữa ứngsuất và nội lực

z J

M z h

y  12 3 

 (1.20)

z J

M z h

Hình 1.6 – Uốn thuần tuý tấm mỏng hình chữ nhật

Tấm mỏng hình chữ nhật ở hình 1.6, dới tác dụng của mômen uốn thuầntuý có cờng độ Mx và My phân bố đều trên một đơn vị chiều dài dọc theo cáccạnh Dới tác dụng của mômen uốn làm bề mặt trên của tấm bị nén lại vàkéo căng trên bề mặt dới

XÐt mét ph©n tè cña tÊm cã bÒ réng lµ x , y vµ chiÒu dµy b»ng chiÒu dµy

z z

H×nh 1.7 – a) øng suÊt ph¸p, b) B¸n kÝnh cong cña tÊm

§Þnh luËt Hoocke tæng qu¸t :

) (

1

) (

1

x y y

y x x

y x x

z E

z E

1 1

2 2 2

2

2 2

h h y y

h h x x h

h x y x

y

h h y x y

x

dz z M

dz z M

dz z M

dz z M

2 2 2 2

1 1

1

1 1

E M

D dz z

E M

2

2

2 2

2

x

w y

w D M

y

w x

w D M

2

y

w x

2

x

w y

ơng pháp tuyến của mặt đang xét, chỉ số thứ hai của mômen xoắn chỉ độ dàicạnh song song trục nào.

Quy ớc dấu : Mx , My > 0 nếu làm căng thớ ở z > 0; Mxy ,Myx > 0 nếu quayngợc chiều kim đồng hồ khi nhìn dọc trục của nó theo hớng song song với h-ớng dơng của trục tơng ứng x hoặc y Trong hình vẽ tất cả các cờng độmômen đều dơng

Mxy Myx( = - Mxy )

My

Mx Mx x

Mxy

y

Myx My

z Hình 1.9 – Uốn và xoắn đồng thời tấm phẳng

Hình 1.10 – Mômen trong mặt phẳng bất kì

Vì Mxy và Myx sinh ra ứng suất tiếp xy = - yx nên Mxy = - Myx Trên mặtphẳng chéo FD có các mômen tác dụng là mômen tiếp Mt và mômen pháp

Mn Chúng ta có thể biểu diễn các mômen này qua các Mx, My, Mxy nhờ vàocác phơng trình cân bằng phân tố tam giác ABC ( hình 1.10 )

Trong mặt phẳng vuông góc với AC có :

M n ACM x ABcos  M y BCsin   M xy ABsin   M xy BCcos 

 Mn = Mx cos2 + Mysin2 - Mxysin2 (1.28) Tơng tự cho cân bằng trong mặt phẳng song song với AC, cũng có :

M t ACM x ABsin   M y BCcos  M xy ABcos   M xy BCsin 

AE

z

sin 2  cos 2 

y x

xy

M M

M tg

và Mx , My , Mxy) là ứng suất lớn nhất và nhỏ nhất trong tấm

b) Liên hệ giữa mômen xoắn và chuyển vị w

Trở lại tấm chịu tải nh hình 1.10 a), chúng ta đã thành lập đợc mối liên hệgiữa cờng độ mômen uốn Mx và My với chuyển vị w của tấm cho bởi cáccông thức (1.27) Tiếp theo chúng ta sẽ tìm mối liên hệ giữa mômen xoắn

Mxy và chuyển vị w Từ định lý siêu định vị chúng ta có thể xét riêng Mxy tácdụng bỏ qua Mx và My Nh ta đã biết Mxy bị chống lại bởi hệ các cặp ứng suất

bù nhau trong mặt phẳng thẳng đứng của phân tố đợc lấy ra suốt chiều dàycủa tấm và song song với các trục x và y

Xét một phân tố thuộc phân tố đang xét ( hình 1.11 ) Các ứng suất tiếp bùnhau trên lân cận của phân tố cách một khoảng z phía dới mặt trung hoà là

Ta cÇn biÓu diÔn xy qua chuyÓn vÞ w cña tÊm LÊy mét ph©n tè cã chiÒu

dµy cña tÊm sÏ bÞ quay mét gãc b»ng

w z

w z

G M

2

y x w h G

6

Thay

) 1 (

w h

) 1 (

12 

Nhân cả tử và mẫu của biểu thức với (1- ) thì :

y x

w D

(1.34)

Biểu thức (1.27) và (1.34) cho ta mối quan hệ giữa mômen uốn và xoắnvới chuyển vị của tấm và chúng cũng tơng đơng với mối quan hệ giữamômen uốn và độ cong trong dầm đơn

1.2.5.3 Tấm chịu tải trọng phân bố vuông góc với mặt tấm.

q

y x

z

Hình 1.13 – Tấm chịu tải trọng phân bố vuông góc

Mối quan hệ giữa mômen uốn và xoắn với chuyển vị của tấm sẽ đợc sửdụng trong việc thiết lập phơng trình vi phân tổng quát cho bài toán tấm hìnhchữ nhật mỏng chịu tải trọng phân bố vuông góc với mặt tấm (hình1.13) Trong trờng hợp tổng quát tải trọng phân bố có thể thay đổi theo mộthàm phụ thuộc vào x và y Chúng ta vẫn giả thiết mặt trung gian trùng vớimặt trung hoà, mặt cắt ngang vẫn phẳng trong suốt quá trình biến dạng Giảthiết sau chỉ rõ sự mâu thuẫn trong lý thuyết, đó là nếu mặt cắt ngang vẫnphẳng trong quá trình biến dạng thì các biến dạng góc xz và yz phải bằng 0,trong khi tải trọng phân bố gây các lực cắt vuông góc mặt tấm vẫn tồn tại

( và là ứng suất đã biết ) Vì thế chúng ta giả thiết rằng mặc dù

G

xz xz

lý thuyết dầm đơn mà trong đó biến dạng góc đợc bỏ qua

Xét một phân tố của tấm nh hình 1.14, chịu mômen uốn và xoắn nh mô tảlần trớc, và các lực Qx và Qy tác dụng lên một đơn vị chiều dài trong từngmặt phẳng vuông góc với trục x và y Thay đổi của ứng suất cắt xz và yz theocác cạnh nhỏ x và y của phân tố là không đáng kể và hợp lực của lực cắt

h

h x

h xz

Q

y x

(1.36) Lấy mômen với trục x :

0 2 2

2

2 2

Q Q y Q y x y y

Q Q

x y y

M M

x M y x x

M M

y M

x x x

y y

xy y

y xy

xy xy

Q y

M x

M

(1.37) Tơng tự lấy mômen đối với trục y, ta có :

Q x

M y

sẽ ảnh hởng đến sự uốn của tấm

Xét một phân tố nhỏ xy thuộc mặt phẳng trung gian của tấm mỏng, vịtrí chuyển vị của nó nh hình 1.15 Chiều và độ lớn của lực trên một đơn vịdài đợc tạo bởi tải trọng trong mặt phẳng tấm là Nx, Ny , và Nxy và quy ớc dấu

của nó nh đối với ứng suất pháp và ứng suất tiếp Ngoại lực theo phơngvuông góc với tấm không tham gia vào phơng trình cân bằng chiếu theo ph-

x

w y

N x x

w x

w y

O x

x

w x x

Những phơng trình này hoàn toàn độc lập với ba phơng trình cân bằng ( đã nêu trong 2.5.3) và vì thế ta có thể sử dụng chúng một cách độc lập Khixét hình chiếu của các lực lên trục z, ta phải kể đến ảnh hởng của các lực Nx,

Ny, Nxy và Nyx do khi tấm bị uốn mà có những góc nhỏ giữa các phơng củacác lực này

Thành phần hình chiếu lên trục z do Nxy là :

y x y

w x

N y x

w N

y

w y N x y x

w y

w y x x

N N

y

w y

N x y x

w y

w y

x x

N N

xy xy

xy xy

xy

xy xy

N y x

y x x

w x

N x

w N

x

w y N x x

w x

w y x x

N N

x

w y

N x x

w x

w y

x x

N N

x x

x

x x

x

x x

2 2 2

2

sin sin

Tơng tự do Ny là :

x y

y

w y

N y

w N

y

w y

N y

w N x

w x

N x

w N

y x

x z

2 2

2 2

2

x

w y

N y x

w N

y

w x

xy xy

w N

y

w N x

w N

2 2

w N y

w N x

w N q y

Q x

Q

xy y

x y

Chơng 2 Dao động uốn của tấm mỏng

2.1 Thiết lập phơng trình uốn của tấm mỏng.

Xét dao động uốn của tấm mỏng đồng chất bề dày h, mật độ khối  không

đổi Để thiết lập các phơng trình dao động của tấm, ta thừa nhận các giả thiếtcủa lý thuyết tấm mỏng cổ điển nh sau :

 Biến dạng uốn của tấm khi dao động là những biến dạng nhỏ tuân theo

định luật Hooke

 Trong tấm luôn tồn tại một lớp trung hoà mà khoảng cách giữa các

điểm của nó không thay đổi Khi tấm đồng chất bị uốn ít, lớp trunghoà trùng với mặt cong trung bình chia đôi bề dày của tấm Ta gọi mặtnày là mặt trung hoà

 Các phần tử của tấm nằm trên đờng thẳng vuông góc với mặt trunghoà, khi tấm bị uốn vẫn nằm trên đờng thẳng đó và đờng thẳng đó vẫnvuông góc với mặt trung hoà

 Không xét đến các ứng suất vuông góc với mặt trung hoà

 Bỏ qua ảnh hởng của biến dạng trợt và quán tính quay

Ta chọn mặt phẳng trùng với mặt trung hòa trạng thái cha biến dạng làmmặt phẳng toạ độ xy, trục z đợc chọn vuông gócvới mặt phẳng xy và hớng vềphía dới Ta ký hiệu u, v, w là các thành phần dịch chuyển của điểm M(x,y,z)của tấm tơng ứng theo các trục x, y và z Ký hiệu u0,v0,w0 là các thành phầndịch chuyển tơng ứng của điểm A thuộc mặt trung hoà mà MA vuông gócvới mặt trung hoà Từ các giả thiết trên ta có:

w h y

Q x

2 2

2

2 2

t y x p t

w h y x

M y

M x

Qx , Qy : Lực cắt trên một đơn vị chiều dài ở các mặt cắt x = const, y = consttheo hớng z

M y

x

dx dy

M

dy dx M

w(x,y,t) : Dịch chuyển của các điểm thuộc mặt trung hoà theo phơng z

Từ các công thức Cauchy quen thuộc trong lý thuyết đàn hồi tuyến tính ta

w z

2 2

w x

w Ez

E

y x

2 2

w y

w Ez

E

x y

w Ez E

xy yx

1 (

2 /

h h

2

y

w x

2 /

h h

2

x

w y

2 /

h h

xy zdz

 - ( 1   )D

y x

Gọi là độ cứng trụ của tấm, còn  gọi là hệ số Poisson

Thế các biểu thức (2.8) vào phơng trình (2.5) ta nhận đợc phơng trình dao

động uốn của tấm mỏng theo lý thuyết Kirchhoff

D 44 2 2 4 2 44 22 p(x,y,t)

t

w h y

w y

x

w x

Phơng trình (2.10) là phơng trình dao động uốn của tấm mỏng

Nếu ta sử dụng toán tử

4 2 2 4 4

4

y y x

D ( , , ) 2 0

2 2

(2.13)

2.2 Các điều kiện biên.

Điều kiện biên là những điều kiện trên mặt ngoài của tấm mà ta cần chotrớc để nghiệm phơng trình (2.10) tơng ứng với từng bài toán cụ thể Trongcác điều kiện biên có cả tải trọng q(x,y) tác động ở mặt trên và mặt dới củatấm Khi đặt bài toán tổng quát của tấm đã tính đến nó và nó đã có mặt ở một

số hạng tự do của phơng trình (2.10) Do đó ta chỉ còn điều kiện trên cáccạnh của tấm

2.2.1 Tấm tựa tự do ( gối tựa).

2

y

w x

wx = 0 = 0 ,

0 2 2

Hai điều kiện cuối đợc sát nhập theo điều kiện Kirchoff

Nh vậy ta có điều kiện biên đối với cạnh tự do x = 0 là :

0

0 2

2 2

w



0 )

2 (

0 2

3 3

w x

 (2.16)Phơng trình (2.15) có thể viết dới dạng :

2

2 2 2

Nghiệm của phơng trình (2.17) có thể tìm dới dạng

W(x,y) = W1(x,y) + W2(x,y)

Trong đó W1, W2 tơng ứng là nghiệm của các phơng trình

2 0

2 2

Phơng trình vi phân đối với các dạng dao động riêng của tấm:

2 4 0





W  W (2.19)Trong hệ toạ độ Đề các vuông góc, phơng trình (2.19) có dạng:

2 4 0

4 2 2

y y x

y

x  (2.22) NghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2.21) cã d¹ng :

y x A

y x A

y x A

y x A

2 2 2

2 2

2 2 2

X d X

XY dy

Y d X dx

X d

Y d

X(x) C1sinh xC2cosh x (2.29a)

A y x

A y x

A y x

A5sinh  sinh   6sinh  cosh   7cosh  sinh   8cosh  cosh 



, , (

m n

n m n

m x y q t W

t y x w

(2.31)

Trong đó qm,n(t) là các hàm cần tìm Dựa trên tính chất trực giao của cáchàm riêng, ta có thể tìm phơng trình vi phân đối với hàm qm,n(t) tơng tự nhtrong tính toán dao động uón của dầm

2 ), )( ), )( ( ),,

m n

nm nm nm

m n

nm nm nm

nm t hq Wt yx xp ty

qh 

 (2.34)Nhân cả hai vế của phơng trình (2.34) với hàm riêng W i,j(x,y)rồi lấy tíchphân trên diện tích mặt tấm, chú ý đến tính chất trực giao của hàm riêng 

m khi i m va j n

n j hoac m i khi dxdy

W W

0

0

,

ta nhận đợc hệ phơng trình vi phân thờng đối với qm,n(t)

1 ) ( )

h t q t

n m n

m

dxdy y x W

dxdy y x W t y x p t

f

) , (

) , ( ) , , ( )

,

, ,

i j

j i j

i x y q t t

y x

(2.37)

trong đó i,j(x,y)đợc chọn sao cho thoả mãn điều kiện biên

2.4 Một Số Bài Toán Ví Dụ

w h t

y x w

Với 4 2 2 2 4

y y x

Ta tìm nghiệm của (1) dới dạng :

w = w1 + w2 (2)Trong đó :

y m sh a

y m a

y m ch th ch

m a

x m E D

y m a

y m sh cth

2 1

1 4

m

m m

m m

m

m m

a

x m b

y sh b

y ch b

y ch ch

th m

w2 : là nghiệm của bài toán tấm có 4 cạnh tựa tự do

Khi tấm có 4 cạnh tựa tự do thì độ dốc của mặt võng tại cạnh

4 3

2 /

m

m m m

m b

x m th

th m

D

qa y

 

a

x m cth

th cth

th m

E D

a y

w

m

m m

m m

m m b

2 /

) 2 (

) 1

( 8

2 2

3 3 2

m m

m m

m

m m m m

m

cth th

cth th

th th

m

qa E

2

1

sin 4

1

a

y m sh a

y m a

y m ch th ch

a

x m E

D

x

w

m m m m

y m a

y m sh cth

4

1

a

y m sh a

y m a

y m ch a

y m ch th ch

a

x m E

D

y

w

m m m m

y m a

y m sh a

y m sh cth

3

2 2

2

2

2 2

2 1

sin 1 4

m

m m

m m

m

m m

b

y sh b

y ch b

y ch ch

th a

x m m

2 sin

1 4

m

m m

m m

m

m m

b

y sh b

y ch b

y ch ch

th a

x m m

m m





2 1

(11)Mômen uốn Mx đợc tính nh sau :

Mx = Mx1 + Mx2 (12)Trong đó :

1 2 1

y

w x

w D

sin 4

1

a

y m ch ch a

y m sh a

y m a

y m ch th ch

a

x m E

m m

m m m

y m ch a

y m a

y m sh cth

2 2 2

y

w x

w D

1 ( 1 sin

1 4

m

m m

m m

m m

b

y ch ch b

y ch ch

th a

x m m

y ch

m m

(14)

Mômen uốn My đợc tính nh sau :

My = My1 + My2 (15)Trong đó :

1 2 1

x

w y

w D

sin 4

1

a

y m ch ch a

y m sh a

y m a

y m ch th ch

a

x m E

m m

m m m

y m ch a

y m a

y m sh cth

2 2 2

x

w y

w D

1 ( sin

1 4

m

m m

m m

m m

b

y ch ch b

y ch ch

th a

x m m

y ch

m m

ay

Ta tìm nghiệm bài toán dới dạng : w = w1 + w2 (1)Trong đó : w2 – nghiệm của bài toán tấm có 4 cạnh tựa tự do

2 1 5

4

2

2

1 2

2 1

cos ) 1 ( 4

m m m

a

y m sh a

y m ch a

y m ch ch

th a

x m m

y m sh a

y m a

x m ch

m

E D

a

m m

2

,

5 , 3 ,

2 1 4

3 2

m m m

m m

m

b y

th th

a

x m m

D

qa y

m m

m

th ch

a

x m m

3

cos1

m m

m m b

y

th ch

a

x m m

E D

a y

m

m m

m

ch th

ch th

m

qa E

y m sh a

y m a

x m ch

ch th

ch th

m D

m

m m

2

2 5

1 2 1

y

w x

w D

y m sh a

y m a

x m ch

E D

x

w

m m

m m

5 , 3 , 1

2 1

2

1

2

cos )

1 ( 2

y m sh a

y m a

y m ch a

x m ch

E D

y

w

m m

m m

1

,

5 , 3 , 1

2 1

1

2 1

a

y m sh a

y m a

y m ch a

x m ch

2 2 2

y

w x

w D

2 1 3

2 2

2

2

2

1 2

2 1

cos )

1 ( 4

m m m

a

y m sh a

y m ch a

y m ch ch

th a

x m m

2 1

2 cos

) 1 ( 4

m m m

a

y m sh a

y m ch a

y m ch ch

th a

x m m

2 1

1 ( 1 cos

) 1 ( 4

m m m

x

a

x m ch ch

th a

x m m

y m ch

1 2 1

x

w y

w D

M y  (15)Thay (8) và (9) vào (15) ta có :

2 1

a

y m sh a

y m a

x m ch

2 2 2

x

w y

w D

M y  (17)Thay (12) và (13) vào (17) ta đợc :

2 1

1 ( cos

) 1 ( 4

m m m

y

a

x m ch ch

th a

x m m

y m ch a

y m ch

Xét dao động của tấm mỏng hình chữ nhật chịu điều kiện biên nh hình vẽ,

d-ới tác dụng của lực phân bố đều q

 (3)

( 2 ) 2 0

3 3

w y

y m D a

y m sh C a

y m sh a

y m B a

y m ch A D

qa

4

(6)Những chuỗi (4) và (5) thoả mãn điều kiện biên (1), bốn hằng số trong biểuthức (6) đợc chọn sao cho điều kiện (2) và (3) đợc nghiệm đúng Từ điềukiện (2) ta đợc :

5

) 1 ( )

1 ( 2

) 1 )(

3 (

m m

ch

sh ch

ch m

) 1 ( )

1 ( )

1 ( )

1 )(

3 (

m m

m m m

ch

ch sh

ch sh m

C

Trong đó :

a

b m

3

2 2

1

2

sin 1 4

x m m

D

qa x

2 2

a

m x

2 2

y m sh a

m D C a

y m ch a

m B A D

qa

y