Bài giảng môn học xác suất và thông kê nguyễn văn thìn

Tập hợp - Giải tích tổ hợpBiến cố và xác suất ———————– Quan hệ giữa các biến cố Các phép toán trên các biến cố Khái niệm và các định nghĩa về xác suất Các công thức tính xác suất cơ bản.

Bài Giảng Môn học Xác Suất và Thống Kê

Nguyễn Văn Thìn

Khoa Toán - Tin Học Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM

Ngày 4 tháng 9 năm 2011

Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Tập hợp

Giải tích tổ hợp

• Khái niệm tập hợp là một khái niệm không có định nghĩa,tương tự như khái niệm điểm, đường thẳng trong hình học.

• Tập hợp có thể hiểu tổng quát là một sự tựu tập của một sốhữu hạn hay vô hạn các đối tượng nào đó

Các đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp

• Ta thường dùng các chữ cái in hoa A, B, C , để kí hiệu tậphợp Nếu a là phần tử thuộc tập A ta kí hiệu a ∈ A Ngượclại, a không thuộc A ta kí hiệu a /∈ A

• Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng Kí hiệu ∅

B = {0, 2, 4, , 98, 100}

• Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của nó.

Không phải mọi tập hợp đều có thể liệt kê rõ ràng từng phần tử.Tuy nhiên ta có thể dùng tính chất đặc trưng nào đó để mô tả nó,

từ đó có thể xác định được một phần tử có thuộc tập hợp này haykhông

Ví dụ

Tập hợp các số thực lớn hơn 0 và bé hơn 1 là

C = {x |x ∈ R và 0 ≤ x ≤ 1}

• Tập hợp con

Cho 2 tập hợp A và B Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộctập hợp B, thì ta nói tập hợp A là con tập hợp B và kí hiệu A ⊂ Bhoặc B ⊃ A

• Giao của hai tập hợp

Giao của hai tập hợp A và B đã cho là

• Hợp của hai tập hợp

Hợp của hai tập hợp A và B đã cho làtập hợp các phần tử thuộc ít nhất mộttrong hai tập hợp này, kí hiệu là A ∪ B

• Hiệu của hai tập hợp

Hiệu hai tập hợp A và B đã cho là tập

hợp các phần tử thuộc A mà không

thuộc B, kí hiệu A \ B

Ta viết

A \ B = {x |x ∈ A và x /∈ B}

Giả sử để hoàn thành một công việc thì phải thực hiện k giai đoạn.Giai đoạn thứ nhất có n1 cách thực hiện, giai đoạn thứ hai có n2cách thực hiện, , giai đoạn thứ k có nk cách thực hiện Khi đó

ta có

n = n1n2 nk

cách hoàn thành công việc

• Các chữ số không lặp

Công việc 1: Chọn chữ số hàng trăm có n1 = 4 cách chọn.Công việc 2: Chọn chữ số hàng chục có n2 = 4 cách chọn.Công việc 3: Chọn chữ số hàng đơn vị có n3 = 3 cách chọn.Vậy có n = 4.4.3 = 48 số

Định nghĩa

Chỉnh hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một nhóm có thứ tựgồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho

Gọi Akn là số chỉnh hợp chập k của n phần tử Khi đó,

Akn= n.(n − 1) (n − k + 1) = n!

(n − k)!

A212= 12.11 = 132

cách chọn thỏa yêu cầu

Trong định nghĩa chỉnh hợp ta đòi hỏi mỗi phần tử chỉ được cómặt trong nhóm không quá một lần Nếu bỏ đi điều kiện này, ta

có chỉnh hợp lặp

Định nghĩa

Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm kphần tử được chọn từ n phần tử đã cho, trong đó mỗi phần tử cóthể có mặt hơn một lần trong nhóm

Định nghĩa

Tổ hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một nhóm không phânbiệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho.Gọi Ck

Bài Giảng Môn học Xác Suất và Thống Kê

Nguyễn Văn Thìn

Khoa Toán - Tin Học Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM

Ngày 4 tháng 9 năm 2011

Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Biến cố và xác suất ———————–

Quan hệ giữa các biến cố

Các phép toán trên các biến cố

Khái niệm và các định nghĩa về xác suất

Các công thức tính xác suất cơ bản

Phép thử ngẫu nhiên (random experiment)

là sự thực hiện một nhóm các điều kiện xác định ( làm thí nghiệm)

và có thể lặp lại nhiều lần Kết quả của phép thử ta không xác

định trước được

Ví dụ

Tuổi thọ của một linh kiện điện tử t > 0 giây

• Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phépthử gọi là không gian mẫuhay không gian các biến cố sơ cấp

(sample space), ký hiệu Ω

• Mỗi kết quả của phép thử ngẫu nhiên, ω, (ω ∈ Ω) gọi là một

biến cố sơ cấp(simple event)

• Một tập con của không gian mẫu có nhiều biến cố được gọi là

biến cố ngẫu nhiên(event) Kí hiệu là A, B, C ,

• Biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử là biến cố chắc

chắn, ký hiệu Ω

• Biến cố luôn không xảy ra gọi là biến cố bất khả( haybiến cốkhông thể có ) (empty event), kí hiệu Ø

Gọi Ai là biến cố được i chấm i = 1, 6
,

B là biến cố được số chấm chia hết cho 3,

C =" Số chấm chẵn" ,

P2 =" Số chấm nguyên tố chẵn" ,

Khi đó ta có A2⊂ C , A3 ⊂ B, A2⊂ P2, P2 ⊂ A2

Biến cố tổng (Union)

Biến cố tổng của A và B, ký hiệu A + B hay A ∪ B là biến cố xảy

ra nếu có ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra

Biến cố tích (intersection)

Biến cố tích của A và B, ký hiệu A.B,là biến cố xảy ra nếu A và Bcùng đồng thời xảy ra

Biến cố hiệu

Biến cố hiệu của A và B, ký hiệu A \ B, là biến cố xảy ra nếu Axảy ra nhưng B không xảy ra

Các biến cố xung khắc (mutually exclusive)

A xung khắc với B nếu A và B không đồng thời xảy ra, A.B = Ø

Dãy các biến cố A1, A2, , An được gọi là xung khắc từng đôi

một nếu Ai.Aj = Ø, ∀i 6= j

Biến cố đối lập ( biến cố bù) (complement)

Biến cố đối lập của A, ký hiệu A, là biến cố xảy ra khi A không xảy

ra và ngược lại, nghĩa là

Hệ đầy đủ các biến cố (exhaustive)

Hệ đầy đủ các biến cố Dãy n các biến cố A1, A2, , An được gọi

là một hệ đầy đủ các biến cố nếu:

(

Ai.Aj = Ø, ∀i 6= j , i , j = 1, n

A1+ A2+ · · · + An= Ω

Ví dụ

Ba xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào một cái bia Gọibiến cố Ai = " xạ thủ thứ i bán trúng bia" , i = 1, 2, 3 Hãy biểudiễn Ai các biến cố sau:

1 A = " Bia bị trúng đạn"

2 B = " Bia không bị trúng đạn"

3 C = " Bia bị trúng 3 viên đạn"

4 D =" Bia bị trúng 1 viên đạn"

Khái niệm về xác suất

Xác suất của biến cố A là một con số , số đó đặc trưng cho khảnăng xuất hiện của biến cố A trong phép thử tương ứng Ký hiệu

Định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển

Nếu trong một phép thử có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả

năng, nghĩa là P(ω1) = P(ω2) = = P(ωn) = 1

n, trong đó có mbiến cố thuận lợi cho biến cố A thì xác suất của A, ký hiệu, P (A),

Ví dụ

Trong một hộp có 3 quả cầu trắng và 5 quả cầu đỏ giống hệt nhau

về kích thước Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó Tính xác suất

để được

1 3 quả cầu đỏ

2 2 quả cầu trắng và 1 quả đỏ

1 ĐặtA = " được 3 quả cầu đỏ"

Xác suất xảy ra biến cố A là : P (A) = card (A)

card (Ω) =

C3 5

C3 8

= 10

56.

2 ĐặtB = " được 2 quả cầu trắng và 1 quả cầu đỏ"

2 quả cầu trắng có thể chọn từ 3 quả cầu trắng trong hộp

Ưu điểm và nhược điểm

• Ưu điểm : tính được chính xác giá trị của xác suất mà khôngcần tiến hành phép thử

• Nhược điểm: do đòi hỏi phải có hữu hạn các biến cố và tínhđồng khả năng của chúng mà trong thực tế lại có nhiều phépthử không có tính chất đó Vì vậy, cần đưa ra định nghĩa khác

về xác suất để khắc phục những hạn chế trên

Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê‘

Thực hiện phép thử n lần Giả sử biến cố A xuất hiện m lần Khi

đó m gọi làtần số xuất hiện biến cố A trong n phép thử, và tỷ số

m

n được gọi là tần suấtxuất hiện biến cố A trong n phép thử,kýhiệu, fn(A) = m

n.Thực hiện phép thử vô hạn lần, (n → ∞) tần suất xuất hiện biến

cố A dần về một số xác định gọi là xác suất của biến cố A

P (A) = fn(A) = m

n

Ví dụ

Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung đồng tiền,

người ta tiến hành tung đồng tiền đó nhiều lần và thu được kết

Tập hợp - Giải tích tổ hợp Biến cố và xác suất ———————–

Khái niệm và các định nghĩa về xác suất

Ưu điểm và nhược điểm

• Ưu điểm: không đòi hỏi phép thử có hữu hạn biến cố đồng

khả năng, tính xác suất dựa trên quan sát thực tế vì vậy được

ứng dụng rộng rãi

Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn

• Nguyên lý xác suất nhỏ: một biến cố có xác suất rất nhỏ bằng

α (gần 0) thì có thể cho rằng trong thực tế nó không xảy ra

trong phép thử

• Nguyên lý xác suất lớn: một biến cố có xác suất rất lớn bằng

β (gần 1) thì có thể cho rằng trông thực tế nó nhất định xảy

ra trong phép thử

Ưu điểm và nhược điểm

• Ưu điểm: không đòi hỏi phép thử có hữu hạn biến cố đồng

khả năng, tính xác suất dựa trên quan sát thực tế vì vậy đượcứng dụng rộng rãi

• Nhược điểm: đòi hỏi phải lặp lại nhiều lần phép thử Trong

nhiều bài toán thực tế điều này không cho phép do điều kiện

và kinh phí làm phép thử

Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn

• Nguyên lý xác suất nhỏ: một biến cố có xác suất rất nhỏ bằng

α (gần 0) thì có thể cho rằng trong thực tế nó không xảy ratrong phép thử

• Nguyên lý xác suất lớn: một biến cố có xác suất rất lớn bằng

β (gần 1) thì có thể cho rằng trông thực tế nó nhất định xảy

ra trong phép thử

Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học

Xét một phép thử đồng khả năng, không gian mẫu có vô hạn phần

tử và được biểu diễn thành một miền hình học Ω có độ đo xác

định (độ dài, diện tích, thể tích) Biến cố A ⊂ Ω được biểu diễnbởi miền hình học A Khi đó, xác suất xảy ra A được xác định bởi:

Độ đo của miền Ω

Ví dụ

Lấy ngẫu nhiên một điểm M trong hình vuông cạnh a Tính xácsuất để M thuộc hình tròn nội tiếp hình vuông trên

Công thức cộng xác suất

1 Cho các biến cố tùy ý:

1.1 A, B tùy ý ta có P (A + B) = P (A) + P (B) − P (A.B)

1.2 A 1 , A 2 , , A n :

P

n X

i =1

P (A i ) − X

1≤i <j ≤n

P (A i A j ) + · · · + + (−1)n−1P (A 1 A 2 A n )

2 Cho các biến cố xung khắc

2.1 A, B xung khắc ta có P (A + B) = P (A) + P (B)

2.2 A 1 , A2, , An xung khắc từng đôi một (A i Aj = Ø, ∀i 6= j )

P

n X

A i

!

=

n X

P (A i )

Ví dụ

Qua điều tra trong sinh viên, ta biết 40% học thêm ngoại ngữ,

55% học thêm tin học và 30% học thêm cả hai môn này Chọn

ngẫu nhiên một sinh viên Tính xác suất gặp được

1 Sinh viên học thêm (ngoại ngữ hay tin học)

2 Sinh viên không học thêm môn nào cả

Bài giải

A="gặp được sinh viên học thêm ngoại ngữ",

B="gặp được sinh viên học thêm tin học"

Khi đó A ∩ B="gặp được sinh viên học thêm cả hai môn ngoại

ngữ và tin học", và

P(A) = 0.4, P(B) = 0.55, P(A ∩ B) = 0.3

Xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố A và B với P (B) > 0 Xác suất của biến cố A vớiđiều kiện biến cố B đã xảy ra là

Công thức nhân xác suất

Với các biến cố tùy ý A và B ta có

P(AB) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)

Công thức nhân xác suất (tổng quát)

Cho Ai, (i = 1, , n) là họ n biến cố khi đó

P(A1A2 An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(An|A1A2 An−1)

với mọi tổ hợp chập 2 (i , j ), chập ba (i , j , k), của n chỉ số.

Công thức xác suất đầy đủ

Cho Ai, (i = 1, , n) là hệ đầy đủ các biến cố, B là một biến cốnào đó thì

P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + + P(B|An)

Công thức xác suất Bayes

Cho Ai, (i = 1, , n) là hệ đầy đủ các biến cố, B là một biến cốnào đó sao cho P(B) > 0.Khi đó với mọi i (i = 1, , n)

P(Ai|B) = P(Ai)P(B|Ai)

P(Ai)P(B|Ai)

Pn

i =1P(Ai)P(B|Ai)

Ví dụ

Một công ty sản xuất bóng đèn có hai nhà máy sản xuất I và II.Biết rằng nhà máy II sản xuất gấp 4 lần nhà máy I Biết số phế

phẩm tương ứng của hai nhà máy là 10 % và 20 %

• Hãy tìm xác suất để khi ta mua 1 bóng đèn thì trúng phải

bóng đèn hư

• Biết rằng đã mua phải bóng đèn hư Hãy tìm xác suất để

bóng hư này là do nhà máy I sản xuất

Bài Giảng Môn học Xác Suất và Thống Kê

Nguyễn Văn Thìn

Khoa Toán - Tin Học Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM

Ngày 4 tháng 9 năm 2011

Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Biến cố và xác suất

Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên

Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu tập hợp các giá trị mà nó

có thể nhận là một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được

Biến ngẫu nhiên liên tục

Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu tập hợp các giá trị mà nónhận được là một khoảng dạng (a, b) hoặc toàn bộ R

Ví dụ

Các biến ngẫu nhiên sau là biến ngẫu nhiên liên tục:

a Nhiệt độ không khí ở mỗi thời điểm nào đó

b Thời gian hoạt động bình thường của một bóng đèn điện tử

c Độ pH của một chất hóa học nào đó

Định nghĩa

Một hệ thức cho phép biễu diễn mối quan hệ giữa các giá trị cóthể có của biến ngẫu nhiên với xác suất nhận các giá trị tương ứnggọi là quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa (Hàm phân phối xác suất)

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X (xác định trên

không gian các biến cố sơ cấp Ω) là hàm F (x ) được định nghĩa

với mọi x ∈ (−∞, +∞)

Tính chất

Hàm phân phối xác suất F (x ) có các tính chất cơ bản sau

i) Hàm phân phối là hàm không giảm

ii) Liên tục trái, có giới hạn phải tại mọi điểm

Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị có thể x1, x2, , xn, với xác suất tương ứng là P (X = xi), ta đặt

f (x ) =



P (X = x ) khi x ∈ {x1, , xn, }

0 khi x /∈ {x1, , xn, }

gọi là hàm giá trị xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị

x , để đơn gia ta gọi là hàm xác suất

Trong kết quả phép thử ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên rời rạc phảilấy một trong các giá trị x1, , xn, cho nên hàm phân phối xácsuất

Lý luận tương tự như trên ta thu được

Để mô tả biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nào đó với xác suất

tương ứng là bao nhiên thì người ta dùng bảng phân phối xác suất.Bảng phân phối xác suất có hai dòng

• Dòng thứ nhất là các giá trị có thể của biến ngẫu nhiên X

• Dòng thứ hai là xác suất biến ngẫu nhiên X nhận các giá trịtương ứng

Bảng phân phối có dạng như sau:

P f (x1) f (x2) · · · f (xn) · · ·

Ví dụ

Một người đi thi bằng lái xe, xác suất đậu của anh ta ở mỗi lần thi

là 0.3 Anh ta sẽ thi đến khi đạt được bằng lái xe thì thôi Gọi Z là

số lần người đó dự thi Lập bảng phân phối xác suất của Z

2) Từ định nghĩa về hàm mật độ ta có hàm phân phối xác suấtcủa biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x ) là

Ví dụ

Cho hàm

f (x ) =

(2x nếu x ∈ [0, 1]

a) Hãy xác định hàm phân phối của Y

b) Thiết bị được gọi là loại A nếu tuổi thọ của nó kéo dài ít nhất

400 giờ Tính tỉ lệ loại A

Định nghĩa (Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc)

Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất

Định nghĩa (Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục)

Giả sử biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f (x ),

Ví dụ

Cho X là một biến ngẫu nhiên có hàm mật độ

f (x ) =

(2x nếu x ∈ [0, 1]

Tính chất của kỳ vọng

Cho X , Y là hai biến ngẫu nhiên bất kỳ và C ∈ R thì kỳ vọng củabiến ngẫu nhiên có các tính chất sau

i) E(C ) = C

ii) E(CX ) = C E(X ).

iii) E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ).

iv) Nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y độc lập thì

E(XY ) = E(X )E(Y )

Định nghĩa

Nếu biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng E (X ) thì phương sai, ký hiệuVar (X ), được định nghĩa

Trong thực tế, để tính phương sai của biến ngẫu nhiên X ta

thường sử dụng công thức Var (X ) = E(X2) − (E(X ))2

Định nghĩa (Độ lệch chuẩn)

Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu σ(X ), là căn bậchai của Var (X )

σ(X ) = Var (X )

Tính chất phương sai

Cho hai biến ngẫu nhiên X , Y và hằng số thực C ∈ R, phương sai

có các tính chất sau

i) Var (C ) = 0.

ii) Var (CX ) = C2Var (X ).

iii) Nếu X và Y độc lập thì Var (X + Y )

• Phương sai là kỳ vọng của bình phương các sai lệch giữa X vàE(X ), nói cách khác phương sai là trung bình bình phương sailệch, nó phản ánh mức độ phân tán các giá trị của biến ngẫunhiên xung quanh giá trị trung bình.

• Trong công nghiệp phương sai biểu thị độ chính xác trong sảnxuất Trong canh tác, phương sai biểu thị mức độ ổn định củanăng suất

Bài Giảng Môn học Xác Suất và Thống Kê

Nguyễn Văn Thìn

Khoa Toán - Tin Học Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM

Ngày 4 tháng 9 năm 2011

Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Biến cố và xác suất

Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

Một số biến ngẫu nhiên thông dụng

Các biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên liên tục

Định nghĩa (Biến ngẫu nhiên Bernoulli)

Thực hiện một phép thử, ta quan tâm đến biến cố A Nếu biến cố

A xảy ra (thành công) thì X nhận giá trị là 1, (X = 1), ngược lại

biến ngẫu nhiên X nhận giá trị 0 Phép thử này gọi là phép thử

Bernoulli Giả sử xác suất xảy ra biến cố A là p, 0 ≤ p ≤ 1

P (A) = P (X = 1) = pvà

P ¯A
= P (X = 0) = 1 − p = qKhi đó biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên Bernoulli

với tham số p, ký hiệu X ∼ B(1; p)