Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán học chương 4 PGS TS trần lộc hùng

Từ khóa Key WordsCác luật phân phối xác suất Bất đẳng thứcLuật yếu các số lớnĐịnh lý giới hạn địa phươngĐịnh lý giới hạn tích phânĐịnh lý giới hạn trung tâmĐịnh lý xấp xỉ Poisson PGS.TS.

Trang 1

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

PGS.TS Trần Lộc HùngHCMC, 9/ 2013

Ngày 22 tháng 9 năm 2013

Trang 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETINGKHOA CƠ BẢN, BỘ MÔN TOÁN-THỐNG KÊ

Trang 3

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

PGS.TS Trần Lộc HùngHCMC, 9/ 2013

Ngày 22 tháng 9 năm 2013

Chương 4 Các định lý giới hạn và ứng dụng

Trang 4

Từ khóa (Key Words)

Các luật phân phối xác suất

Bất đẳng thứcLuật yếu các số lớnĐịnh lý giới hạn địa phươngĐịnh lý giới hạn tích phânĐịnh lý giới hạn trung tâmĐịnh lý xấp xỉ Poisson

PGS.TS.Trần Lộc Hùng (HCMC, 9/2013) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 22 tháng 9 năm 2013 4 / 80

Trang 5

Bất đẳng thức

Luật yếu các số lớnĐịnh lý giới hạn địa phươngĐịnh lý giới hạn tích phânĐịnh lý giới hạn trung tâmĐịnh lý xấp xỉ Poisson

Trang 6

Luật yếu các số lớn

Định lý giới hạn địa phươngĐịnh lý giới hạn tích phânĐịnh lý giới hạn trung tâmĐịnh lý xấp xỉ Poisson

Trang 7

Luật yếu các số lớn

Định lý giới hạn địa phương

Định lý giới hạn tích phânĐịnh lý giới hạn trung tâmĐịnh lý xấp xỉ Poisson

Trang 8

Trang 9

Trang 10

Trang 18

Các quy luật xác suất thường gặp

Quy luật Bernoulli

Quy luật nhị thứcQuy luật PoissonQuy luật hình họcQuy luật nhị thức âmQuy luật siêu hình học

Trang 19

Quy luật nhị thức

Quy luật PoissonQuy luật hình họcQuy luật nhị thức âmQuy luật siêu hình học

Trang 20

Quy luật Poisson

Quy luật hình họcQuy luật nhị thức âmQuy luật siêu hình học

Trang 21

Trang 22

Quy luật Poisson

Quy luật hình học

Quy luật nhị thức âm

Quy luật siêu hình học

Trang 23

Quy luật Poisson

Quy luật siêu hình học

Trang 24

4.1 Các quy luật xác suất thường gặp

Quy luật đều

Quy luật mũQuy luật CauchyQuy luật chuẩnQuy luật loga-chuẩn

Trang 25

Quy luật đều

Quy luật mũ

Quy luật CauchyQuy luật chuẩnQuy luật loga-chuẩn

Trang 26

Quy luật đều

Quy luật mũ

Quy luật Cauchy

Quy luật chuẩnQuy luật loga-chuẩn

Trang 27

Quy luật đều

Quy luật mũ

Quy luật Cauchy

Quy luật chuẩn

Quy luật loga-chuẩn

Trang 28

Quy luật đều

Quy luật mũ

Quy luật Cauchy

Quy luật chuẩn

Quy luật loga-chuẩn

Trang 29

1 Quy luật Bernoulli

Bài toán

Các đặc trưngCác ví dụ

Trang 30

Trang 31

Bài toán

Các đặc trưng

Các ví dụ

Trang 32

Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật Bernoulli, ký hiệu X ∼ B(p), nếu

X là số thành công của phép thử

p là xác suất thành công của phép thử

Trang 33

Trang 34

Trang 36

Trang 37

Các đặc trưng

Kỳ vọng E (X ) = p

Phương sai D(X ) = p(1 − p)

Trang 39

Định nghĩa

P(X = k) = Cnkpk(1 − p)n−k; 0 ≤ k ≤ n, p ∈ (0, 1)

X là số thành công của n phép thử Bernoulli

p là xác suất thành công của một phép thửkhi n=1, ta có quy luật Bernoulli

Hệ số nhị thức Cnk = k!(n−k)!n! , 0 ≤ k ≤ n

Trang 40

Định nghĩa

P(X = k) = Cnkpk(1 − p)n−k; 0 ≤ k ≤ n, p ∈ (0, 1)

p là xác suất thành công của một phép thử

khi n=1, ta có quy luật Bernoulli

Trang 41

Định nghĩa

P(X = k) = Cnkpk(1 − p)n−k; 0 ≤ k ≤ n, p ∈ (0, 1)

Trang 42

Định nghĩa

P(X = k) = Cnkpk(1 − p)n−k; 0 ≤ k ≤ n, p ∈ (0, 1)

Trang 44

Các ví dụ

Kiểm định chất lượng của 300 trường đại học, tiến hành kiểm toán

150 ngân hàng,

Xét nghiệm máu cho 1000 người có khả năng bị HIV với xác suất

phát hiện HIV trong một phép thử là 0.99

Số USB bị nhiễm virus trong 1500 USB bán ra, với xác suất nhiễm là0.001

Trang 47

Chứng minh

Các biến ngẫu nhiên X1, X2, , Xn là độc lập, cùng phân phối

Trang 48

Chứng minh

Trang 49

Chứng minh

Trang 50

Chứng minh

Trang 51

Chứng minh

Trang 52

Hạn chế của quy luật

Khi số phép thử lớn, p quá gần 0 hoặc gần 1

Xác suất p ∈ (0, 1), nhưng n quá lớn

Trang 53

Hạn chế của quy luật

Khi số phép thử lớn, p quá gần 0 hoặc gần 1

Xác suất p ∈ (0, 1), nhưng n quá lớn

Trang 54

Định lý giới hạn địa phương de Moivre-Laplace

Trang 55

Giải thích

Hàm ϕ(x ) là hàm mật độ của mô hình chuẩn chính tắc N(0,1)

Xác suất p ∈ (0, 1), nhưng n quá lớn, việc tính theo mô hình nhị thứckhông khả thi

Trang 56

Giải thích

Hàm ϕ(x ) là hàm mật độ của mô hình chuẩn chính tắc N(0,1)

Xác suất p ∈ (0, 1), nhưng n quá lớn, việc tính theo mô hình nhị thức

Trang 57

Giải thích

Hàm ϕ(x ) là hàm mật độ của mô hình chuẩn chính tắc N(0,1).Xác suất p ∈ (0, 1), nhưng n quá lớn, việc tính theo mô hình nhị thứckhông khả thi

Trang 58

Định lý giới hạn địa phương de Moivre-Laplace

Trang 59

Xác suất xuất hiện mặt "lục" là p = 16

n = 6000 là quá lớn, việc tính theo mô hình nhị thức không khả thi, vì

Trang 60

Trang 61

Trang 62

3 Quy luật Poisson

X là số các cuộc gọi điện thoại tới tổng đài trong khoảng thời gian

xác định [t0, t1].

λ là tốc độ cuộc gọi trong một khoảng thời gian λ là hằng số dương

Là trường hợp đặc biệt của mô hình nhị thức khi n lớn và p bé

Trang 63

X là số các cuộc gọi điện thoại tới tổng đài trong khoảng thời gian

xác định [t0, t1].

Trang 64

X là số các cuộc gọi điện thoại tới tổng đài trong khoảng thời gianxác định [t0, t1].

Trang 65

Xây dựng quy luật Poisson từ quy luật nhị thức

Định lý xấp xỉ Poisson

limn→∞Cnkpk(1 − p)n−1= e

−λλkk!

Trang 66

Cho n → ∞, ta được

limn→∞Cnkpn(1 − pn)n−k =

kk! n→∞lim (1 −λ

n)

kk!e

−λ

Trang 67

limn→∞Cnkpn(1 − pn)n−k =

Trang 68

Hai đặc trưng bằng nhau.

Trang 70

Bài toán

Phép thử Bernoulli được tiến hành cho tới khi xuất hiện biến cố A đầu

tiên

X là số phép thử Bernoulli phải tiến hành

Xác suất xuất hiện biến cố A là p, p ∈ (0, 1)

Trang 71

Bài toán

Phép thử Bernoulli được tiến hành cho tới khi xuất hiện biến cố A đầutiên

X là số phép thử Bernoulli phải tiến hành

Trang 72

Công thức

n ≥ 1, p ∈ (0, 1)

Gieo đồng tiền cho tới khi nào sấp thì ngừng

Trang 75

Bài toán

Phép thử Bernoulli được tiến hành cho tới khi biến cố A xuất hiện biến cố

đúng k lần

n là số phép thử Bernoulli phải tiến hành

k là số lần xuất hiện biến cố A, k = n, n + 1, Xác suất xuất hiện biến cố A là p, p ∈ (0, 1)

Trang 76

Bài toán

Phép thử Bernoulli được tiến hành cho tới khi biến cố A xuất hiện biến cố

đúng k lần

k là số lần xuất hiện biến cố A, k = n, n + 1,

Trang 77

Bài toán

Phép thử Bernoulli được tiến hành cho tới khi biến cố A xuất hiện biến cốđúng k lần

k là số lần xuất hiện biến cố A, k = n, n + 1,

Trang 78

Công thức

có dạng công thức Bernoulli

Trang 79

Trang 81

j =1

Trang 82

Quy luật siêu hình học/Siêu bội

Tổng thể có N phần tử, trong đó có M phần tử có tính A, còn lại

(N-M) phần tử có tính A Lấy đồng thời ra n phần tử từ tổng thể đó

Gọi X là số phần tử có tính chất A trong số các phần tử lấy ra

X có quy luật siêu hình học, X ∼ SGeo

Trang 83

Quy luật siêu hình học/Siêu bội

Tổng thể có N phần tử, trong đó có M phần tử có tính A, còn lại(N-M) phần tử có tính A Lấy đồng thời ra n phần tử từ tổng thể đó.Gọi X là số phần tử có tính chất A trong số các phần tử lấy ra

X có quy luật siêu hình học, X ∼ SGeo

Trang 84

Các ví dụ

xác suất để người đó trúng ít nhất 1 giải

ứng cử viên A Chọn một mẫu gồm 200 người Tính xác suất trongmẫu đó có 142 người ủng hộ A

Trang 85

Quy luật phân phối đều

Công thức

X ∼ U[a, b] ⇔ fX(x ) = b−a1 , ∀x ∈ (a, b)

fX(x ) = 0, ∀x /∈ (a, b)

Thường gặp trường hợp đều trên [0,1]

Trang 86

Công thức

X ∼ U[a, b] ⇔ fX(x ) = b−a1 , ∀x ∈ (a, b)

fX(x ) = 0, ∀x /∈ (a, b)

Trang 87

Công thức

X ∼ U[a, b] ⇔ fX(x ) = b−a1 , ∀x ∈ (a, b)

fX(x ) = 0, ∀x /∈ (a, b)

Trang 89

7 Quy luật mũ

X có quy luật mũ X ∼ Exp(λ), λ > 0

FX(t) = 1 − e−λt, nếu t > 0, λ > 0hay

Trang 90

7 Quy luật mũ

X có quy luật mũ X ∼ Exp(λ), λ > 0

FX(t) = 1 − e−λt, nếu t > 0, λ > 0hay

Hàm mật độ

fX(t) = λe−λt, nếu t > 0

Mô tả sự hỏng hóc của một hệ thống, thời gian sống (life-time) củamột sinh vật

Phù hợp với mọi quy luật tự nhiên về sự hỏng, sự sống

Trang 91

Các đặc trưng của quy luật mũ

Kỳ vọng

λPhương sai

Trang 92

Tính không trí nhớ

Định nghĩa

P(X > s + t | X > t) = P(X > s), ∀s, t ≥ 0

Hệ thống đã hoạt động qua (s+t) thời gian, với điều điều kiện đã trải

qua t thời gian, nhưng hệ thống không nhớ đã qua t thời gian

Trang 94

= e−5.101 ≈ 0.606530659

Trang 95

= e−5.101 ≈ 0.606530659

Trang 96

2 Tính xác suất để một khách hàng phải chờ ở ngân hàng nhiều hơn 15

phút, nếu ông ta còn ở lại ngân hàng sau 10 phút.

= e−5.101 ≈ 0.606530659

Trang 97

= e−5.101 ≈ 0.606530659

Trang 98

= e−5.101 ≈ 0.606530659

Trang 100

8 Quy luật Cauchy

Bài toán

(phân tử) từ điểm A theo hướng ngẫu nhiên đến ∆ Gọi B là vị trí va

Trang 101

8 Quy luật Cauchy

Bài toán

(phân tử) từ điểm A theo hướng ngẫu nhiên đến ∆ Gọi B là vị trí vachạm của hạt với ∆

Rõ ràng vị trí B là ngẫu nhiên

Xuất phát từ thí nghiệm vật lý

Trang 102

Quy luật Cauchy

Gọi O là hình chiếu của A lên ∆

Theo giả thiết bài toán thì ϕ ∼ U[−π/2, π/2]

Đặt X = OB, λ = OA thì X là biến ngẫu nhiên và X = λtg(ϕ)Khi đó, với x ∈ R, hàm phân phối xác suất của X là

FX(x ) = P(X < x ) = P(ϕ < arctg(x /λ)) = 1

arctg(x /λ)π

Trang 103

Quy luật Cauchy

arctg(x /λ)π

Trang 104

Quy luật Cauchy

arctg(x /λ)π

Trang 105

Quy luật Cauchy

Đặt X = OB, λ = OA thì X là biến ngẫu nhiên và X = λtg(ϕ)

Khi đó, với x ∈ R, hàm phân phối xác suất của X là

arctg(x /λ)π

Trang 106

Quy luật Cauchy

Đặt X = OB, λ = OA thì X là biến ngẫu nhiên và X = λtg(ϕ)

Khi đó, với x ∈ R, hàm phân phối xác suất của X là

arctg(x /λ)π

Định dạng
Số trang	184
Dung lượng	1,35 MB

Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán học chương 4 PGS TS trần lộc hùng

Do không có trí nhớ,nên

thời gian máy móc hư