hương pháp Bradley W. Dickinson ước lượng tham số trong mô hình tự hồi quy nhiều chiều

Trong nghiên cứu và xử lý thống kê chuỗi thời gian nhiều chiều, mô hình tự hồi quy là lớp mô hình được nghiên cứu sâu sắc và toàn diện nhất.

LỜI MỞ ĐẦU

Trong nghiên cứu và xử lý thống kê chuỗi thời gian nhiều chiều, mô hình

tự hồi quy là lớp mô hình được nghiên cứu sâu sắc và toàn diện nhất Việcnghiên cứu và xây dựng lớp mô hình này nhận được sự quan tâm của nhiềutác giả và đã thu những kết quả có giá trị cho dù đây là mô hình tương đốiphức tạp Dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Tống Đình Quỳ cùng với sự mongmuốn và nổ lực của bản thân tác giả đã tìm hiểu, nghiên cứu mô hình này vàtiếp cận với phương pháp ước lượng tham số của mô hình đó do Bradley W.Dickinson đưa ra năm 1979 Đây là một phương pháp hay và thực sự nó đãthúc đẩy tác giả rất nhiều trong bước đầu nghiên cứu của mình cũng như đi

đến quyết định chọn đề tài cho đồ án tốt nghiệp Phương pháp Bradley W.

Dickinson ước lượng tham số trong mô hình tự hồi quy nhiều chiều.

Nghiên cứu đề tài này trước hết giúp chúng ta có thể hiểu sâu hơn về mô

hình tự hồi quy nhiều chiều, một mô hình được sử dụng nhiều trong thực tế,tìm hiểu các phương pháp ước lượng tham số cho mô hình, đặc biệt là phươngpháp của tác giả Dickinson Khi đã xây dựng được mô hình, trong nhữngtrường hợp thực tế cụ thể, ta có thể dùng nó để kiểm tra một số giả thiết hay

lý thuyết về cơ chế đã sinh ra mô hình, xây dựng những quyết định điều khiểncho quá trình, phân tích và đánh giá để đưa ra những điều chỉnh hợp lý hay dựbáo các kết quả tương lai cho quá trình đó

Nội dung chính của đồ án được trình bày trong 3 chương Ở chương 1,trong phần đầu tiên sẽ giới thiệu khái quát về chuỗi thời gian một chiều và cáckhái niệm liên quan đến quá trình tự hồi quy một chiều Phần tiếp theo sẽtrình bày rõ về quá trình tự hồi quy nhiều chiều, xem xét nó như là một sự mở

rộng của quá trình dừng tự hồi quy một chiều và các đặc trưng của nó để làm

cơ sở cho việc ước lượng tham số của mô hình trong những phần sau

Với giả thiết chuỗi thời gian quan sát của chúng ta được cảm sinh bởimột quá trình tự hồi quy nhiều chiều cấp p nào đó, chương 2 sẽ trình bày vềviệc ước lượng tham số cho mô hình tự hồi quy nhiều chiều dựa trên kháiniệm tự hiệp phương sai riêng và tự tương quan riêng thông qua phương phápDurbin-Levinson, một phương pháp rất cơ bản trong ước lượng tham số của

mô hình tự hồi quy nhiều chiều Chúng ta cũng sẽ tìm hiểu một số phươngpháp khác như phương pháp bình phương tối thiểu, phương pháp R H Jones,phương pháp Nuttall-Strand

Chương 3 sẽ trình bày cụ thể về phương pháp ước lượng tham số cho môhình tự hồi quy nhiều chiều của tác giả Bradley W Dickinson Phương phápnày là một sự mở rộng của phương pháp Durbin-Levinson và dựa trên mộtphân tích rất quen thuộc trong toán học, phân tích Cholesky, để ước lượng các

tự tương quan riêng Cuối cùng là kết quả của thuật toán chạy trên máy tính

và một số nhận xét rút ra khi so sánh với một số phương pháp khác

Trong phần kết luận sẽ nhìn lại những điều đã làm được cũng như chưalàm được trong đồ án, những hướng có thể phát triển và mở rộng đồ án Phầnphụ lục sẽ khái quát chương trình chạy trên máy tính, đưa ra một số mô đunchính của chương trình và một số ví dụ minh họa về tính ứng dụng của môhình và làm rõ một số khái niệm trong đồ án

Đồ án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáoTS.Tống Đình Quỳ, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình đốivới thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo Khoa ToánTin Ứng Dụng, Trường ĐHBK Hà Nội đã dành nhiều sự quan tâm, giúp đỡ

và tạo mọi điều kiện trong quá trình làm đồ án tốt nghiệp tại khoa Xin chânthành cảm ơn các bạn trong nhóm Xác suất đã có những góp ý chân thànhtrong quá trình được làm việc cùng nhau.

Cuối cùng, tác giả kính mong nhận được những lời nhận xét để báo cáonày ngày càng hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC

Lời giới thiệu ……… 1

1 Quá trình tự hồi quy nhiều chiều …… ……… 6

1.1 Chuỗi thời gian và quá trình tự hồi quy một chiều .……… 6

1.1.1 Khái niệm chuỗi thời gian ……… ……… 6

1.1.2 Quá trình dừng ngẫu nhiên dừng ……… 7

1.1.3 Định nghĩa quá trình tự hồi quy một chiều ……… 8

1.1.4 Các đặc trưng của quá trình dừng tự hồi quy một chiều ………… 9

1.1.5 Về nhận dạng mô hình ARIMA tổng quát và ước lượng tham số của mô hình tự hồi quy một chiều ……… 10

1.2 Quá trình tự hồi quy nhiều chiều …….………….….…….……… 11

1.2.1 Quá trình quy tâm dừng ……… ……….………….… 13

1.2.2 Định nghĩa quá trình tự hồi quy nhiều chiều ……… 13

1.2.3 Hàm tự hiệp phương sai của một quá trình dừng …….………… 15

1.2.4 Hệ phương trình Yule-Walker cho trường hợp nhiều chiều …… 16

2 Ước lượng tham số trong mô hình tự hồi quy nhiều chiều ………… 20

2.1 Hàm tự hiệp phương sai riêng của một quá trình dừng …….…… 21

2.2 Phương pháp Durbin-Levinson ước lượng tham số trong mô hình tự hồi quy nhiều chiều ……… … 23

2.2.1 Phương pháp Durbin-Levinson cho trường hợp một chiều … … 23

2.2.2 Phương pháp Durbin-Levinson cho trường hợp nhiều chiều …… 24

2.2.3 Nhận xét và kết luận … ……… 29

2.3 Các phương pháp khác ước lượng tham số trong mô hình tự hồi quy nhiều chiều ……….……… … 30

2.3.1 Phương pháp bình phương tối thiểu … ……… 30

2.3.2 Phương pháp R H Jones … ……… 31

2.3.3 Giới thiệu một số phương pháp khác ……….……… 33

3 Phương pháp Bradley W Dickinson ước lượng tham số của mô hình tự hồi quy nhiều chiều ……… …… 40

3.1 Giới thiệu ……… … 40

3.2 Xây dựng thuật toán …… ……….……… 40

3.3 Ước lượng tự tương quan riêng sử dụng ước lượng bình phương cực tiểu và phân tích Cholesky ……… 40

3.4 Kết quả của thuật toán ……… 40

3.5 Nhận xét và kết luận … ……… 40

Kết luận ……… ……… 40

Phụ lục ……… ……… 40

Tài liệu tham khảo ……….…… …… ….….……….……… 40

CHƯƠNG 1

QUÁ TRÌNH TỰ HỒI QUY NHIỀU CHIỀU

Chương này nhằm mục đích trình bày về quá trình tự hồi quy nhiềuchiều và các khái niệm liên quan làm cơ sở cho việc ước lượng tham số trong

mô hình tự hồi quy nhiều chiều Để dễ dàng thể tiếp cận các khái niệm củaquá trình này, trong phần đầu tiên chúng ta sẽ nhìn lại một cách khái quát vềchuỗi thời gian một chiều, quá trình tự hồi quy một chiều cũng như việc ướclượng tham số trong mô hình tự hồi quy một chiều Nắm bắt được phươngpháp và ý tưởng khi nghiên cứu chuỗi thời gian một chiều là hết sức cần thiết

để có được hiểu biết toàn diện và sâu sắc khi tìm hiểu về quá trình tự hồi quynhiều chiều Cách tiếp cận này sẽ cho chúng ta có một cái nhìn liền mạch và

rõ ràng hơn trong khi nghiên cứu chuỗi thời gian

1.1 CHUỖI THỜI GIAN VÀ QUÁ TRÌNH TỰ HỒI QUY MỘT CHIỀU

1.1.1 Khái niệm chuỗi thời gian

Trong thực tế, có một số lượng rất lớn những dữ liệu về nhiều lĩnh vựcnhư kinh tế, xã hội và khoa học kỹ thuật được tập hợp lại dưới dạng chuỗithời gian, nghĩa là tạo thành một dãy các giá trị quan sát Χ:  ( 1 ), ,  (N)

được sắp xếp theo thứ tự thời gian  ( 1 ) là giá trị quan sát ở thời điểm đầutiên,  ( 2 ) là giá trị quan sát ở thời điểm thứ hai, còn (N) là giá trị quan sát

ở thời điểm thứ N (và cũng là thời điểm cuối cùng) Trong khi phương phápthống kê cổ điển thường sử dụng các số liệu quan sát được giả thiết là độc lậpthì trong chuỗi thời gian các chuỗi quan sát thường mất tính độc lập Ở đây

giá trị quan sát (t) tại thời điểm t phụ thuộc ít nhiều vào giá trị quan sát

AR là lớp mô hình có vai trò hết sức quan trọng và được ứng dụng rất rộng rãihiện nay Trong những phần sau chúng ta sẽ tập trung tìm hiểu, nghiên cứu về

mô hình tự hồi quy, nhưng trước hết là những khái niệm cơ bản nhất liênquan đến chuỗi thời gian

1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên dừng

Định nghĩa 1.1.1 ( Hàm tự hiệp phương sai ) [1, tr.40]

Nếu  (t ),t  là một quá trình ngẫu nhiên có phương sai hữu hạn thì hàm tự hiệp phương sai của (t) được định nghĩa bởi

 ( ), ( )   ( ) ( ) ( ) ( ) 

Cov :

Chú ý

 Cũng có tài liệu gọi dừng theo nghĩa trên là dừng yếu hay dừng bậchai Tuy nhiên trong báo cáo này, nếu không nói gì thêm, ta hiểu dừng theonghĩa của định nghĩa ở trên

 Nếu  (t ),t  là quá trình dừng thì γ (r,s)  γ (r s, 0 ), r,s .Khi đó, ta có thể định nghĩa lại hàm tự hiệp phương sai mà chỉ thông qua mộtbiến theo hệ thức

      



k) γ ( , 0 ) Cov ( ), ( ) , , (

Định nghĩa 1.1.3 ( Hàm tự tương quan ) [1, tr.40]

Nếu  (t ),t  là một quá trình dừng với hàm tự hiệp phương sai γ (.)

thì hàm tự tương quan của (t) được định nghĩa là

      



k) : γ ( ) / γ ( 0 ) : Corr ( ), ( ) , , (

t) : ( ),

trình dừng.

1.2.3 Định nghĩa quá trình tự hồi quy một chiều

Định nghĩa 1.1.4 ( Quá trình tự hồi quy ) [1, tr.70]

Quá trình  (t ),t  được gọi là quá trình tự hồi quy cấp p , kí hiệu là

AR ( p), nếu nó là một quá trình dừng thoả mãn

) ( ε ) (

) 1 ( )

(t  a1 t  a p t p  t

Ta cũng có thể viết biểu thức trên dưới dạng

) ( ε ) ( )

1 : )

1.1.4 Các đặc trưng của quá trình tự hồi quy một chiều

Từ định nghĩa của một quá trình tự hồi quy ta có thể chứng minh đượccác tính chất sau:

1

2 σ ) ( γ )

0 ( γ

k a k

p

.Trong tính chất thứ ba, lần lượt cho h 1 ,p ta có

1 ( ρ

) 2 ( ρ ) 1 (

ρ

) 1 ( ρ 1

) 3 ( ρ ) 2 (

1 )

1

(

ρ

) 1 ( ρ ) 2 ( ρ

) 1 ( ρ 1

p p

p p

p p

p p

) 1 ( ρ

) 2 ( ρ

) 1 ( ρ

1

2 1

p

p a

a

a a

p p

Giả sử thực tế cho ta một chuỗi quan sát  ( 1 ),  ( 2 ), ,  (N), đó cũng

là dữ liệu duy nhất mà chúng ta có, khi đó ta cần xây dựng các công thức, thủtục để nhận dạng mô hình ARIMA(p,d,q) tổng quát

) ( ε ) ( ) ( ) 1 )(

1 : ) (z  b1z b q z q b q 

sẽ là ước lượng các tham số cho mô hình Dễ dàng thấy rằng mô hình AR( p)chính là mô hình ARIMA(p,d,q) khi d  0 , q 0

Với mục đích tìm hiểu và nghiên cứu về mô hình tự hồi quy nên khi cómột chuỗi quan sát  ( 1 ),  ( 2 ), ,  (N), ta giả sử rằng chúng được cảm sinhbởi một quá trình tự hồi quy AR( p) nào đó với p đã biết Công việc còn lại

là phải tìm cách ước lượng được các tham số của mô hình đó Có rất nhiềuphương pháp ước lượng đã tỏ ra hiệu quả đối với mô hình tự hồi quy mộtchiều như thuật toán Durbin-Levinson [3], thuật toán J P Burg [3], thuật toán

B W Dickinson [4] và đặc biệt là ước lượng hợp lý cực đại của S T Kay [5]

1.2 QUÁ TRÌNH TỰ HỒI QUY NHIỀU CHIỀU

Trong phần trước chúng ta đã nhắc lại những khái niệm cơ bản nhất liênquan đến chuỗi thời gian một chiều và hiểu thế nào là một quá trình tự hồiquy cũng như việc ước lượng tham số trong mô hình tự hồi quy một chiều.Tuy nhiên, trong thực tế, để có những đánh giá toàn diện và chính xác về mộtđối tượng quan sát nào đó, nhiều khi chúng ta không thể dùng một chỉ số màphải dùng nhiều chỉ số kết hợp lại Khi đó quan sát có được sẽ xuất hiện dướidạng một chuỗi thời gian nhiều chiều, tức là mỗi quan sát Χ t( ) tại thời điểm

(

"

"  là toán tử chuyển vị) Ở đây, ngoài sự phụ thuộc vốn có

giữa các k(t) (t  1 , ,N) còn có sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các thành phần)

(t

i

 và j (t) (i  j) của quan sát Χ t( ) nên việc nghiên cứu một cách riêng

rẽ d chuỗi thời gian k (t) (k 1, ,d) sẽ cho kết quả không chính xác

Do đó các mô hình toán học mô tả thích hợp các chuỗi thời gian trong trườnghợp nhiều chiều sẽ phức tạp hơn nhiều so với trường hợp một chiều

Cũng như trong trường hợp một chiều, mô hình tự hồi quy nhiều chiềuđóng một vai trò rất quan trọng trong việc mô hình hoá và xấp xỉ một chuỗithời gian nhiều chiều Mô hình này cũng được ứng dụng rộng rãi hiện nay,đặc biệt trong lĩnh vực kinh tế khi phân tích và dự báo các chỉ số kinh tế phụthuộc vào nhiều nhân tố khác nhau.

Đối với quá trình ngẫu nhiên nhiều chiều, khi nói đến chuỗi các véc tơ





 ( ), , ( ) )

) ( )

( X : ) ( m

1

t

t t

t

d

Một quá trình ngẫu nhiên được gọi là quy tâm nếu nó có kỳ vọng là véc tơ

không (trong trường hợp một chiều là không) Trong thống kê chuỗi thời gianchúng ta thường chỉ hay quan tâm đến quá trình quy tâm và trong báo cáo nàychúng ta cũng chỉ xét các quá trình quy tâm

Như đã nói ở trên, chúng ta sẽ tìm cách tiếp cận quá trình tự hồi quynhiều chiều như là một sự mở rộng của quá trình tự hồi quy một chiều Nhưngtrước khi có định nghĩa chính xác quá trình này chúng ta sẽ tìm hiểu nhữngkhái niệm cơ bản nhất liên quan đến một quá trình ngẫu nhiên nhiều chiều

1.2.1 Quá trình quy tâm dừng

Định nghĩa 1.2.1 ( Quá trình quy tâm dừng ) [9, tr.15]

Quá trình  (t ), t , với (t) là véc tơ ngẫu nhiên trong không gian

d

R , được gọi là một quá trình quy tâm dừng bậc hai nếu nó thoả mãn

X (t)  0,

và hiểu theo nghĩa mà ta đã định nghĩa ở trên

1.2.2 Định nghĩa quá trình tự hồi quy nhiều chiều

Phần lớn các mô hình chuỗi thời gian được xây dựng xuất phát từ mộtchuỗi véc tơ ngẫu nhiên quy tâm, độc lập, cùng phân phối ε (t ),t  có matrận hiệp phương sai ký hiệu là U Các thành phần của các véc tơ ε t( )không tương quan tại các thời điểm khác nhau nhưng tương quan tại cùngthời điểm, khi đó ma trận hiệp phương sai U không phải là ma trận chéo.Quá trình tự hồi quy nhiều chiều được định nghĩa thông qua ε t( ) và các quansát trước đó

Định nghĩa 1.2.2 ( Quá trình tự hồi quy ) [9, tr.16]

Quá trình quy tâm dừng Χ (t ),t  được gọi là quá trình tự hồi quy cấp

p , kí hiệu là AR ( p), nếu nó có thể được biểu diễn dưới dạng

t j t j

0

) ( ε ) ( Χ ) (

Ở đây Α (j), j  1 , ,p là các ma trận vuông cấp d, Α ( 0 )  Ι là ma trận đơn

vị cấp d và ε t( ) là các véc tơ ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối và độc lậpvới Χ (t),t s Ma trận Α j( ) ở đây được gọi là ma trận hệ số tự hồi quy và

z j z

0 ) ( Α )

( Α

gọi là ma trận đa thức đặc trưng (tương ứng với toán tử AR).

Định lý 1.2.1 [9, tr.16-17]

Cho Α ( 1 ), , Α (p) là các ma trận sao cho đa thức đặc trưng Α z( )

không có nghiệm có mô đun nhỏ hơn hoặc bằng 1 và ε (t ),t  là chuỗi véc

tơ ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối Khi đó tồn tại một quá trình tự hồi quy dừng duy nhất có các ma trận hệ số tự hồi quy là Α ( 1 ), , Α (p) cùng với

) ( ε ) ( C )

( Χ

j

j t j

Ngược lại, nếu tồn tại một quá trình tự hồi quy dừng với các ma trận hệ

số Α ( 1 ), , Α (p) và quá trình nhiễu ε (t ),t  đồng thời có sự tồn tại nghịch đảo của ma trận hiệp phương sai U thì tất yếu đa thức đặc trưng Α z( ) không có nghiệm có mô đun nhỏ hơn hoặc bằng 1.

) ( ε ) ( C )

( Χ

j

j t j

1

Ι ) 0 ( C , 1 ), (

C ) ( Α )

(

j

k j k j

Chú ý

Từ nay về sau, khi nói đến quá trình tự hồi quy chúng ta ngầm hiểu là

quá trình tự hồi quy dừng Ta cũng chú ý 





p j

j

z j z

0 ) ( Α )

(

tương ứng với quá trình tự hồi quy dừng AR( pd)

1.2.3 Hàm tự hiệp phương sai của một quá trình dừng

Đối với một quá trình ngẫu nhiên quy tâm dừng bậc hai Χ (t ),t , hàm

Χ ( ) Χ ( )

)

s     được gọi là hàm tự hiệp phương sai của quá trình

đó, trong trường hợp này nó là ma trận Hàm tự hiệp phương sai đặc trưngcho cấu trúc bậc hai của quá trình và được xác định dưới dạng ma trận nhưsau

, 1 , 0 , 1 , , ) ( R )

( R

) ( R )

( R ) R(

1

1 11

s s

s

dd d

Số hạng Rij(s)  i(t) j(t s) đôi khi được gọi là tự hiệp phương sai chéo,

tương ứng với thành phần thứ i và thứ j lần lượt tại các thời điểm t và

 ( ) ( )

  j t s i t

 ( ) ( ) R ( )

1.2.4 Hệ phương trình Yule-Walker cho trường hợp nhiều chiều

Khi tìm hiểu về ước lượng tham số trong mô hình tự hồi quy một chiều,chúng ta đã biết vai trò hết sức quan trọng của hệ phương trình Yule-Walker

Để làm cơ sở cho việc ước lượng tham số trong mô hình tự hồi quy nhiềuchiều, trong phần này ta sẽ tìm cách xây dựng hệ phương trình Yule-Walkercho trường hợp nhiều chiều

Định lý 1.2.2 [9, tr.21]

Hàm tự hiệp phương sai của một quá trình tự hồi quy cấp p với các ma trận hệ số tự hồi quy Α ( 1 ), , Α (p) và quá trình nhiễu ε (t ),t  có ma trận hiệp phương sai U được xác định theo hệ phương trình Yule-Walker như sau

j j

0

U ) ( R ) (

k j

k j

0

, 2 , 1 , ) ( R ) (

Với Α ( 0 )  Ι là ma trận đơn vị cấp d, còn 0 là ma trận không

Chứng minh ( Kết quả của bản thân )

Nhân cả hai vế của 







p j

t j t j

0

) ( ε ) ( Χ ) (

Α với Χ  (t  k) sau đó lấy kỳvọng hai vế ta được

t j t j

0

) ( ε ) ( Χ ) (

j j

0

U ) ( R ) ( Α

k j

k j

0

, 2 , 1 , ) ( R ) (

Nhận xét

Hàm tự hiệp phương sai của quá trình tự hồi quy có thể tính một cách

đệ quy thông qua các giá trị đầu R ( 0 ), , R (p 1 ) theo công thức

, ) ( R ) ( A )

( R

1

p k j k j k

p j

Ngược lại, ta cũng có thể xác định được các ma trận hệ số tự hồi quy

) (

Α p của quá trình tự hồi quy AR( p) và U xuất phát từ các hàm

tự hiệp phương sai R ( 0 ), , R (p) bằng cách giải hệ phương trình Walker

Khi xem xét hàm tự hiệp phương sai, nếu Γplà ma trận khối của các matrận con R (j), j   p, , 0 , ,p với

) 1 (

R ) ( R

) 0 ( R )

1 ( R

) ( R

) 1 ( R )

0 ( R

p p

p p

p

tồn tại duy nhất ma trận nghịch đảo thì khi đó hệ phương trình Yule-Walker

có thể viết dưới dạng sau

Α ( 0 ), Α ( 1 ), , Α (p)Γp U 0 ,0, (1.8)

ở đây Α ( 0 ) là ma trận đơn vị cấp p, còn 0 là ma trận không

Hệ phương trình Yule-Walker là hệ phương trình cơ sở của mô hình tựhồi quy nhiều chiều Hầu như tất cả các phương pháp ước lượng tham số của

mô hình tự hồi quy nhiều chiều đều phải giải thông qua hệ phương trình này.Thường thì từ một chuỗi quan sát, ta sẽ ước lượng các hàm tự hiệp phương saicuối cùng là giải hệ phương trình để tìm các hệ số của mô hình Một điểm rấtđáng lưu ý, hệ phương trình Yule-Walker có ( p 1 )d phương trình và

d

p 1 )

(  ẩn, việc đó đòi hỏi một khối lượng tính toán rất lớn Tuy nhiên dotính đặc biệt của các ma trận R (j), j  p , , 0 , ,p và ma trận không ở vếphải nên có thể có những phương pháp đặc biệt để giải hệ phương trình nàyhiệu quả hơn Trong chương sau ta sẽ tìm hiểu cụ thể về vấn đề này

CHƯƠNG 2

ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ TRONG MÔ HÌNH

TỰ HỒI QUY NHIỀU CHIỀU

Trong thực tế, chuỗi quan sát là dữ liệu duy nhất mà chúng ta có thôngqua đo đạc Thực tế cũng đòi hỏi chúng ta phải khai thác được những thôngtin tiềm ẩn trong chuỗi thời gian đó Việc mô hình hóa một chuỗi thời gian,nói cách khác là xây dựng một mô hình cho chuỗi thời gian đó, với hy vọng là

mô hình đó phản ánh tương đối trung thực các cơ chế đã sinh ra chuỗi quansát không những đáp ứng được nhu cầu thông tin mà còn hỗ trợ những quyếtđịnh điều khiển hay đưa ra những dự báo về các giá trị tương lai của chuỗithời gian đó Mô hình xây dựng cho một chuỗi thời gian nhiều chiều sẽ cho tarất nhiều thông tin có giá trị vì nó phản một cách toàn diện hơn về đối tượngcần nghiên cứu Tuy nhiên, việc nhận dạng và mô hình hoá một chuỗi thờigian nhiều chiều phức tạp hơn rất nhiều so với chuỗi thời gian một chiều vềmặt tính toán cũng như các công cụ toán học Với mục đích nghiên cứu về mô

hình tự hồi quy nhiều chiều nên ở đây, khi có một chuỗi quan sát của thực tế,

ta giả sử rằng nó là thể hiện của một quá trình tự hồi quy nhiều chiều quy tâmdừng bậc hai Như vậy coi như kiểu mô hình đã được lựa chọn (đã nhận dạngđược mô hình phù hợp là mô hình tự hồi quy) và công việc của chúng ta làphải ước lượng được các tham số chưa biết của mô hình đó Sau này để xemxét tính hiệu quả của mô hình vừa xây dựng, ta sẽ dùng các chuỗi thời gianđược mô phỏng từ bộ các tham số của một mô hình định trước làm đầu vàocho mô hình vừa xây dựng và các tham số ước lượng được từ mô hình củachúng ta sẽ được so sánh với bộ các tham số đã định trước này Một điềuđáng chú ý là trong hầu hết các phương pháp ước lượng tham số của mô hình

tự hồi quy nhiều chiều, khái niệm tự hiệp phương sai riêng đóng vai trò hếtsức quan trọng vì vậy trước hết ta sẽ tìm hiểu rõ về khái niệm này làm cơ sởcho việc ước lượng tham số

2.1 HÀM TỰ HIỆP PHƯƠNG SAI RIÊNG CỦA QUÁ TRÌNH DỪNG

Cho  (t ),t  là một quá trình dừng bậc hai (không cần thiết phải tự

hồi quy) Ta có thể định nghĩa các ma trận hệ số tự hồi quy tiến cấp k, kýhiệu là  (j;k), j 1 , 2 , ,k, thông qua điều kiện véc tơ ngẫu nhiên

j t k j k

t

1

) ( )

; ( )

;

Mỗi thành phần véc tơ hình chiếu trực giao j (t) trong không gian bìnhphương khả tích sinh ra các thành phần j(s), j  1 , ,d, t k st (j (t) làthành phần thứ j của (t)) ( k t; ) gọi là dự báo tuyến tính tiến tốt nhất

của (t) trên cơ sở k quan sát trước  (t 1 ), ,  (t k) Còn

j t k j k

t t

k t

0

) ( )

; ( )

; ( ) ( )

; (

gọi là sai số dự báo tiến cấp k Khi đó ma trận  (j;k), j  1 , 2 , ,k sẽ lànghiệm của hệ phương trình

k n

j n k j

0

, , 2 , 1 , ) R(

)

;

Tương tự như vậy, nếu gọi  (j;k), j 1 , 2 , ,k là các ma trận hệ số tự

hồi quy lùi cấp k thì khi đó sai số dự báo lùi cấp k được định nghĩa là

; ( )

; ( ) ( )

; ( η

0

k j

t k j k

t t

j t k j k

t

1

) ( )

; ( )

;

gọi là dự báo tuyến tính lùi tốt nhất của (t) trên cơ sở k quan sát sau nó

) ( ,

k n

n j k j

0

, , 2 , 1 , ) R(

)

;

Chú ý

Các hệ số tự hồi quy lùi của quá trình  (t),t  ,  1 0 1 , chính là các

hệ số tự hồi quy tiến của quá trình  ( t),t  ,  1 0 1 ,

Nếu như trong trường hợp một chiều các hệ số tự hồi quy tiến và lùithực chất chỉ là một thì ở trường hợp nhiều chiều các hệ số tự hồi quy tiến