Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán học chương 5 PGS TS trần lộc hùng

Từ khóa Key WordsTổng thể và mẫu Hàm phân phối thực nghiệmTrung bình mẫu, phương sai mẫu, tần suất mẫuPhân phối xác suất của các đặc trưng mẫu... Từ khóa Key WordsTổng thể và mẫu Hàm phâ

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

PGS.TS Trần Lộc Hùng

Tp Hồ Chí Minh, 10/ 2013

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETINGKHOA CƠ BẢN, BỘ MÔN TOÁN-THỐNG KÊ

PGS TS TRẦN LỘC HÙNG

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học

PGS.TS Trần Lộc Hùng

Tp Hồ Chí Minh, 10/ 2013

Ngày 12 tháng 10 năm 2013

Từ khóa (Key Words)

Tổng thể và mẫu

Hàm phân phối thực nghiệmTrung bình mẫu, phương sai mẫu, tần suất mẫuPhân phối xác suất của các đặc trưng mẫu

Từ khóa (Key Words)

Tổng thể và mẫu

Hàm phân phối thực nghiệm

Trung bình mẫu, phương sai mẫu, tần suất mẫuPhân phối xác suất của các đặc trưng mẫu

Từ khóa (Key Words)

Tổng thể và mẫu

Hàm phân phối thực nghiệm

Trung bình mẫu, phương sai mẫu, tần suất mẫu

Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu

Từ khóa (Key Words)

Tổng thể và mẫu

Hàm phân phối thực nghiệm

Trung bình mẫu, phương sai mẫu, tần suất mẫu

Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu

Lịch sử Thống kê

2 Nghĩa Hán - Việt của từ "Thống kê"

3 Nghĩa tiếng Anh của từ "Statistics"

thuyết, nguyên lý thống kê, Thống kê Bayes)

Lịch sử Thống kê

2 Nghĩa Hán - Việt của từ "Thống kê"

Nghĩa tiếng Anh của từ "Statistics"

thuyết, nguyên lý thống kê, Thống kê Bayes)

Lịch sử Thống kê

2 Nghĩa Hán - Việt của từ "Thống kê"

3 Nghĩa tiếng Anh của từ "Statistics"

thuyết, nguyên lý thống kê, Thống kê Bayes)

Lịch sử Thống kê

2 Nghĩa Hán - Việt của từ "Thống kê"

3 Nghĩa tiếng Anh của từ "Statistics"

thuyết, nguyên lý thống kê, Thống kê Bayes)

Lịch sử Thống kê

2 Nghĩa Hán - Việt của từ "Thống kê"

3 Nghĩa tiếng Anh của từ "Statistics"

thuyết, nguyên lý thống kê, Thống kê Bayes)

Chương 5 Mẫu ngẫu nhiên và các đặc trưng

Chương 5 Mẫu ngẫu nhiên và các đặc trưng

Chương 5 Mẫu ngẫu nhiên và các đặc trưng

Chương 5 Mẫu ngẫu nhiên và các đặc trưng

Chương 5 Mẫu ngẫu nhiên và các đặc trưng

Chương 5 Mẫu ngẫu nhiên và các đặc trưng

Chương 5 Mẫu ngẫu nhiên và các đặc trưng

5.1 Mẫu ngẫu nhiên

Giải thích

Ω) như chiều cao, trọng lượng, tuổi thọ, mức sống,

Giải thích

Ω) như chiều cao, trọng lượng, tuổi thọ, mức sống,

Giải thích

Ω) như chiều cao, trọng lượng, tuổi thọ, mức sống,

Giải thích

Ω) như chiều cao, trọng lượng, tuổi thọ, mức sống,

5.2 Hàm phân phối thực nghiệm (hàm phân phối mẫu)

1 Mẫu ngẫu nhiên ωn= {X[1], X[2], , X[n]} là mẫu có thứ tự

2 x[1]= min{x1, x2, , xn}- giá trị bé nhất của mẫu

3 x[n]= max{x1, x2, , xn}- giá trị lớn nhất của mẫu

5.2 Hàm phân phối thực nghiệm (hàm phân phối mẫu)

1 Mẫu ngẫu nhiên ωn= {X[1], X[2], , X[n]} là mẫu có thứ tự

2 x[1]= min{x1, x2, , xn}- giá trị bé nhất của mẫu

3 x[n]= max{x1, x2, , xn}- giá trị lớn nhất của mẫu

5.2 Hàm phân phối thực nghiệm (hàm phân phối mẫu)

1 Mẫu ngẫu nhiên ωn= {X[1], X[2], , X[n]} là mẫu có thứ tự

2 x[1]= min{x1, x2, , xn}- giá trị bé nhất của mẫu

3 x[n]= max{x1, x2, , xn}- giá trị lớn nhất của mẫu

phân phối lý thuyết

Fn(x ) ≈ FX(x )

tin cậy

phân phối lý thuyết

Fn(x ) ≈ FX(x )

tin cậy

phân phối lý thuyết

Fn(x ) ≈ FX(x )

Lưu ý

Giả sử X là biến ngẫu nhiên đặc trưng cho tính chất nào đó (cần nghiên

cứu) của tổng thể Ω Khi đó,

phân phối chính xác

thể (xét trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc)

3 Phương sai D(X ) = σ2=Pnj | xj − µ |2pj còn được gọi là phương saitổng thể (xét trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc)

4 Xác suất pj = P(X = xj) = p, j = 1, 2, n còn được gọi là tần suấttổng thể

thuyết)

Lưu ý

Giả sử X là biến ngẫu nhiên đặc trưng cho tính chất nào đó (cần nghiên

cứu) của tổng thể Ω Khi đó,

phân phối chính xác

thể (xét trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc)

3 Phương sai D(X ) = σ2=Pnj | xj − µ |2pj còn được gọi là phương saitổng thể (xét trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc)

4 Xác suất pj = P(X = xj) = p, j = 1, 2, n còn được gọi là tần suấttổng thể

thuyết)

Lưu ý

Giả sử X là biến ngẫu nhiên đặc trưng cho tính chất nào đó (cần nghiên

cứu) của tổng thể Ω Khi đó,

phân phối chính xác

thể (xét trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc)

3 Phương sai D(X ) = σ2=Pnj | xj − µ |2pj còn được gọi là phương sai

tổng thể (xét trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc)

Xác suất pj = P(X = xj) = p, j = 1, 2, n còn được gọi là tần suấttổng thể

thuyết)

Lưu ý

Giả sử X là biến ngẫu nhiên đặc trưng cho tính chất nào đó (cần nghiên

cứu) của tổng thể Ω Khi đó,

phân phối chính xác

thể (xét trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc)

3 Phương sai D(X ) = σ2=Pnj | xj − µ |2pj còn được gọi là phương sai

tổng thể (xét trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc)

4 Xác suất pj = P(X = xj) = p, j = 1, 2, n còn được gọi là tần suất

tổng thể

thuyết)

thể (xét trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc)

3 Phương sai D(X ) = σ2=Pnj | xj − µ |2pj còn được gọi là phương saitổng thể (xét trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc)

4 Xác suất pj = P(X = xj) = p, j = 1, 2, n còn được gọi là tần suấttổng thể

5.3 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên

Trung bình mẫu

n

nX

j =1

Xj

nghiệm) bằng trung bình lý thuyết:

E (X ) = E (1

n

nX

j =1

Xj) = 1n

nX

j =1

E (Xj) = 1

n

nX

j =1

µ = µ

5.3 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên

Trung bình mẫu

n

nX

j =1

Xj

nghiệm) bằng trung bình lý thuyết:

E (X ) = E (1

n

nX

Xj) = 1n

nX

E (Xj) = 1

n

nX

µ = µ

5.3 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên

Trung bình mẫu

n

nX

j =1

Xj

nghiệm) bằng trung bình lý thuyết:

E (X ) = E (1

n

nX

Xj) = 1n

nX

E (Xj) = 1

n

nX

µ = µ

5.3 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên

Phương sai mẫu

Dn(X ) = Sn2 = 1

n

nX

j =1

| Xj − X |2

E (Sn2) = E (1

n

nX

5.3 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên

Phương sai mẫu

Dn(X ) = Sn2 = 1

n

nX

j =1

| Xj − X |2

E (Sn2) = E (1

n

nX

5.3 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên

Phương sai mẫu

Dn(X ) = Sn2 = 1

n

nX

j =1

| Xj − X |2

E (Sn2) = E (1

n

nX

j =1

| Xj − X |2) = n − 1

26= σ2

5.3 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên

Phương sai mẫu điều chỉnh

j =1

| Xj − X |2

E ( ˆS2

n − 1

nX

j =1

| Xj− X |2) = σ2

n

5.3 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên

Phương sai mẫu điều chỉnh

j =1

| Xj − X |2

E ( ˆS2

n − 1

nX

j =1

| Xj − X |2) = σ2

n

5.3 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên

Phương sai mẫu điều chỉnh

j =1

| Xj − X |2

E ( ˆS2

n − 1

nX

j =1

| Xj − X |2) = σ2

5.3 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên

Phương sai mẫu điều chỉnh và phương sai mẫu

1 Khi n lớn, hai giá trị đó xấp xỉ nhau, vì

limn→∞

n

n được thay cho Sn2

5.3 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên

Phương sai mẫu điều chỉnh và phương sai mẫu

1 Khi n lớn, hai giá trị đó xấp xỉ nhau, vì

limn→∞

n

5.3 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên

Dùng trong tính toán

Sn2= 1n

nX

j =1

Xj2− (X )2

5.3 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên

5.3 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên

5.3 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên

5.3 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên

Mô men mẫu

n

nX

j =1(Xj− X )k

5.3 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên

Trung vị mẫu (Median mẫu)

Trong một mẫu thứ tự {x[1], x[2], , x[n]} trung vị mẫu là số đứng ở giữa

nếu n lẻ, là trung bình cộng hai số đứng giữa nếu n chẵn

2 Mẫu B = {3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} có trung vị mẫumed=(5+6)/2=5.5

5.3 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên

Trung vị mẫu (Median mẫu)

Trong một mẫu thứ tự {x[1], x[2], , x[n]} trung vị mẫu là số đứng ở giữanếu n lẻ, là trung bình cộng hai số đứng giữa nếu n chẵn

2 Mẫu B = {3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} có trung vị mẫu

med=(5+6)/2=5.5

5.3 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên

Số trội mẫu(Mod mẫu)

Trong một mẫu {x[1], x[2], , x[n]} số trội mẫu là các số xuất hiện nhiều

lần nhất

1 Mẫu A = {3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10} có số trội mẫu mod=5

2 Mẫu B = {3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} có số trội mẫu mod=4

5.3 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên

Số trội mẫu(Mod mẫu)

Trong một mẫu {x[1], x[2], , x[n]} số trội mẫu là các số xuất hiện nhiềulần nhất

1 Mẫu A = {3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10} có số trội mẫu mod=5

2 Mẫu B = {3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} có số trội mẫu mod=4

5.3 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên

Lưu ý

chỉnh, độ rộng mẫu (Rn= x[n]− x[1]))

đối xứng, hệ số nhọn

Lưu ý

chỉnh, độ rộng mẫu (Rn= x[n]− x[1]))

đối xứng, hệ số nhọn

Lưu ý

chỉnh, độ rộng mẫu (Rn= x[n]− x[1]))

đối xứng, hệ số nhọn

5.3 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên

5.3 Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên

Sử dụng ngôn ngữ R, với lệnh tạo mẫu x < −c()

Sử dụng ngôn ngữ R, với lệnh tạo mẫu x < −c()

Sử dụng ngôn ngữ R, với lệnh tạo mẫu x < −c()

Sử dụng ngôn ngữ R, với lệnh tạo mẫu x < −c()

Biểu đồ 1

Sử dụng ngôn ngữ R, với lệnh tạo hist(x)

5.4 Các phân phối của các đại lượng thống kê

1 Giả sử ωn= {X1, X2, , Xn} là một mẫu ngẫu nhiên

Định nghĩa

f (ωn) = f (X1, X2, , Xn)

5.4 Các phân phối của các đại lượng thống kê

1 Giả sử ωn= {X1, X2, , Xn} là một mẫu ngẫu nhiên

Định nghĩa

f (ωn) = f (X1, X2, , Xn)

Các ví dụ

2 Phương sai mẫu Sn2 = 1nPnj =1(Xj − X )2 là một thống kê

n = n−11 Pnj =1(Xj− X )2 là một thống kê

Các ví dụ

2 Phương sai mẫu Sn2 = 1nPnj =1(Xj − X )2 là một thống kê

n = n−11 Pnj =1(Xj− X )2 là một thống kê

Các ví dụ

2 Phương sai mẫu Sn2 = 1nPnj =1(Xj − X )2 là một thống kê

n = n−11 Pn

j =1(Xj− X )2 là một thống kê

Các ví dụ

2 Phương sai mẫu Sn2 = 1nPnj =1(Xj − X )2 là một thống kê

n = n−11 Pn

j =1(Xj− X )2 là một thống kê

Phân phối của trung bình mẫu X

Định lý

Nếu (X1, X2, , Xn) là một mẫu sinh từ biến ngẫu nhiên có phân phối

chuẩn chính tắc N(0, 1), thì

Phân phối của trung bình mẫu X

Định lý

Nếu (X1, X2, , Xn) là một mẫu sinh từ biến ngẫu nhiên có phân phốichuẩn chính tắc N(0, 1), thì

Phân phối của phương sai mẫu điều chỉnh ˆ S2

n

Định lý 1

Nếu (X1, X2, , Xn) là một mẫu sinh từ biến ngẫu nhiên có phân phối

chuẩn chính tắc N(0, 1), thì

1 Tổng các bình phương U = X12+ + Xn2 có phân phối χ2n (khi bình

phương) với n bậc tự do

Phân phối của phương sai mẫu điều chỉnh ˆ S2

n

Định lý 1

Nếu (X1, X2, , Xn) là một mẫu sinh từ biến ngẫu nhiên có phân phối

chuẩn chính tắc N(0, 1), thì

1 Tổng các bình phương U = X12+ + Xn2 có phân phối χ2n (khi bình

phương) với n bậc tự do

Phân phối của phương sai mẫu điều chỉnh ˆ S2

Phân phối của phương sai mẫu điều chỉnh ˆ S2

Hàm mật độ phân phối χ2n

Phân phối Student (t-phân phối)

1(1 + tν2)ν+12

, ν > 0, t ∈ R

Hàm mật độ phân phối Student

Khi ν tăng, thì hàm mật độ f (t, ν) tiệm cận chuẩn

Phân phối Student

Định lý 2

Phân phối F (Fisher R.A - Snedecor G.W)

Định nghĩa

nếu với x > 0, ν1 > 0, ν2 > 0,hàm mật độ xác suất có dạng

Hàm mật độ phân phối F

Khi ν tăng, thì hàm mật độ f (t, ν) tiệm cận chuẩn

có phân phối F với ν1 và ν2 bậc tự do; trong đó U1 và U2 là các biến ngẫu

Định lý 2

Phân phối tiệm cận chuẩn

Định lý 1

Giả sử (X1, X2, , Xn) là mẫu sinh ra từ n quan sát độc lập của một biến

có phân phối tiệm cận chuẩn khi n → ∞, tức là

Phân phối tiệm cận chuẩn

Định lý 2

Giả sử tiến hành n quan sát độc lập, với xác suất thành công của mỗiquan sát là p, p ∈ (0, 1) Gọi k là số quan sát thành công trong n quansát, 0 ≤ k ≤ n Khi đó, biến ngẫu nhiên Z =

k

n −p

√p(1−p)

√

n có phân phốitiệm cận chuẩn khi n → ∞, tức là

lim

n− ppp(1 − p)

Phân phối tiệm cận chuẩn

Định lý 3

− 1 y 2

Phân phối tiệm cận chuẩn

Định lý 4

Giả sử T có phân phối Student với n bậc tự do Khi đó, phân phối của T

là tiệm cận chuẩn khi n → ∞, tức là

j =1

njXj

và phương sai mẫu

Sn2 = 1n

kX

j =1

njXj2− Xn2

Chú ý

Nếu mẫu chia thành k khoảng có độ dài bằng nhau

[x0; h + x0], [x1; h + x1], [xk−1; h + xk−1]thì trung bình mẫu có dạng

n

kX

n X02− X

0 2

Xn= hY + X0; SX2 = h2SY2,trong đó X0∈ {X1, X2, Xn} và h là độ rộng các khoảng

Bài tập chương 5

Bài tập 1

Kiểm tra thời điểm nhân viên không làm việc tại một đơn vị, người ta có

thống kê sau, với thời gian quy định kết thúc giờ làm việc là 5:00 pm

phương sai mẫu điều chỉnh, trung vị, mod, cỡ mẫu, độ rộng mẫu)

phương sai mẫu điều chỉnh, trung vị, mod, cỡ mẫu, độ rộng mẫu)

phương sai mẫu điều chỉnh, trung vị, mod, cỡ mẫu, độ rộng mẫu)

Pn

j =1nj | Xj − Med |

n

phương sai mẫu điều chỉnh, trung vị, mod, cỡ mẫu, độ rộng mẫu)

Pn

j =1nj | Xj − Med |

phương sai mẫu điều chỉnh, trung vị, mod, cỡ mẫu, độ rộng mẫu)

Pn

j =1nj | Xj − Med |