PHẦN 2 Bảng chân trị của một mệnh đề Vn đ: làm thế nào để tính toán chân trị của các mệnh đề phức hợp theo các mệnh đề sơ cấp cấu thành mệnh đề phức hợp đó nhờ vào các phép toán logic..
Trang 1Phạm Phúc Thịnh
PHẦN MỞ ĐẦU
Các kiến thức sẽ học
1 Cơ Sở Logic
a) Mệnh đề & chân trị
b) Các phép toán mệnh đề
c) Dạng mệnh đề & Luật logic
d) Quy tắc suy diễn
e) Vị từ & lượng từ
f) Tập hợp – Các phép toán tập hợp
g) Quy nạp toán học – Định nghĩa đệ quy
Các kiến thức sẽ học
2 Phép đếm a) Định nghĩa – tính chất cơ bản.
b) Nguyễn lý cộng - nguyên lý nhân c) Nguyên lý Chuồng bồ câu d) Chỉnh hợp – Tổ hợp Công thức nhị thức e) Tổ hợp có lặp
3 Quan hệ a) Quan hệ & Các tính chất b) Biễu diễn quan hệ c) Quan hệ tương đương – Đồng dư.
d) Quan hệ thứ tự
Các kiến thức sẽ học
4 Đại số Bool
a) Hàm Bool Dạng nối rời chính tắc
b) Công thức đa thức tối tiểu
c) Phương pháp biểu đồ Karnaugh
d) Mạng các cổng
Thời gian học tập
Tổng số tiết : 45 (Bao gồm lý thuyết + bài tập a) Lý thuyết : 30 tiết
b) Bài tập : 14 tiết c) Kiểm tra : 1 tiết
Mục tiêu của học phần:
Nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về Logic, Lý thuyết tập hợp, Các nguyên lý đếm, Quan hệ, và Hàm Bool.
Tài liệu tham khảo:
-Các giáo trình toán rời rạc của bậc học Cao đẳng (Có
thể tìm thấy trong thư viện hoặc trên mạng Internet)
-- Bài giảng của giáo viên quan trang blog :
Chuottau.blogtiengviet.net
Trang 2CHƯƠNG 1 PHẦN 1
Khái niệm mệnh đề và chân trị
Các đối tượng cơ bản mà chúng ta khảo sát ở
đây là các phát biểu hay các mệnh đề.Tuy
nhiên, ta chỉ xét đến các mệnh đề toán học, và
chúng ta nói vắn tắt các mệnh đề toán học là
các mệnh đề.
Mệnh đề toán họclà những phát biểu để diễn
đạt một ý tưởng trọn vẹn và ta có thể khẳng
định một cách khách quan là nó đúng hoặc sai
Khái niệm mệnh đề và chân trị
Tính chất cơ bản của một mệnh đề là nó đúng hoặc sai, và không thể vừa đúng vừa sai Giá trị đúng hoặc sai của một mệnh đề được gọi là chân trị của mệnh đề
Về mặt ký hiệu, ta dùng các mẫu tự (như p, q, r, .) để ký hiệu cho các mệnh đề, và chúng cũng được dùng để ký hiệu cho các biến logic, tức là các biến lấy giá trị đúng hoặc sai
Chân trị “đúng” thường được viết là 1, và chân trị “sai” được viết là 0
Các ví dụ về mệnh đề
1. 6 là một số nguyên tố
2. 5 là một số nguyên tố
3. -3 < 2
4. Tam giác cân có hai góc bằng nhau
5. H2O là một axít
Các mệnh đề 2, 3, và 4 trong ví dụ trên là những
mệnh đề đúng
Các mệnh đề 1, 5 là những mệnh đề sai
Các ví dụ về mệnh đề
Các phát biểu sau đây không phải là các mệnh
đề(toán học) vì tính đúng sai của chúng không xác định
1. Ai đang đọc sách? (một câu hỏi)
2. Hãy đóng cửa lại đi!
3. Anh ta rất thông minh
4. Cho x là một số nguyên dương
5. a là một số chính phương
6. x + y = z
Trang 3Mệnh đề sơ cấp – Mệnh đề phức hợp
Phân loại mệnh đề : mệnh đề sơ cấp
(elementary), mệnh đề phức hợp (compound)
Mệnh đề sơ cấplà các mệnh đề không thể phân
tích được thành một hay nhiều (từ hai trở lên)
mệnh đề thành phần đơn giản hơn
Mệnh đề phức hợplà mệnh đề được tạo thành
từ một hay nhiều mệnh đề khác bằng cách sử
dụng các liên kết logic như từ “không” dùng
trong việc phủ định một mệnh đề, các từ nối:
“và”, “hay”, “hoặc”, “suy ra”, v.v
Ví dụ về phân loại mệnh đề
1. p = “15 chia hết cho 3”
2. q = “2 là một số nguyên tố và là một số lẻ”
Ta có p là một mệnh đề sơ cấp Nhưng q là một mệnh đề phức hợp, vì mệnh đề q được tạo thành từ hai mệnh đề “2 là một số nguyên tố” và
“2 là một số lẻ” nhờ vào liên kết logic “và”
PHẦN 2
Bảng chân trị của một mệnh đề
Vn đ: làm thế nào để tính toán chân trị của các mệnh đề phức hợp theo các mệnh đề sơ cấp cấu thành mệnh đề phức hợp đó nhờ vào các phép toán logic
Các phép toán logic là các ký hiệu được dùng thay cho các từ liên kết logic như “không”, “và”,
“hay”, “hoặc”, “suy ra” hay “nếu thì ”, “nếu
và chỉ nếu”
Bảng chân trị của một mệnh đề
Các phép toán logic được định nghĩa bằng bảng
chân trị (truth table) Bảng chân trị cho ta chân
trị của mệnh đề phức hợp theo từng trường hợp
của các chân trị của các mệnh đề sơ cấp tạo
thành mệnh đề phức hợp
Bảng chân trị được dùng với mục đích: liệt kê
sự liên hệ chân trị giữa các mệnh với các mệnh
đề đơn giản hơn cấu thành chúng
Phép Phủ định
Cho p là một mệnh đề, ký hiệu “¬p” để chỉ mệnh
đềphủ định của mệnh đề p “Sự phủ định” được định nghĩa bởi bảng chân trị sau đây:
Mệnh đề phủ định ¬p có chân trị là đúng (1) khi mệnh đề p có chân trị sai (0), ngược lại ¬p có chân trị sai (0) khi p có chân trị đúng (1)
Trang 4Phép Phủ định
Ví dụ 1 :
Nếu ta ký hiệu p là mệnh đề “5 < 3” thì ¬p là ký
hiệu cho mệnh đề “5 ≥ 3” Trong trường hợp nầy p
sai, ¬ p đúng Ta có thể viết p = 0, ¬ p = 1
Phép Phủ định
p ¬ p ¬ (¬ p)
Ví dụ 2 : Chỉ ra rằng ¬(¬p) và p luôn có cùng chân trị.
Giải Lập bảng chân trị của mệnh đề
¬(¬ p):
Trên mỗi dòng giá trị trong bảng chân trị
ta có chân trị của p và ¬(¬p) đều bằng nhau (so sánh cột 1 và cột 3 trong bảng) Vậy ¬(¬p) và p có cùng chân trị.
Ta cũng nói rằng ¬(¬p) tương đương logic với p.
Mệnh đề ¬(¬p) thường được viết là
¬¬p.
Phép Hội
Cho p và q là hai mệnh đề Ta ký hiệu mệnh đề “p
hay q” làp Λ q Phép “và”, ký hiệu là Λ được định
nghĩa bởi bảng chân trị sau đây:
Phép Hội
Qua định nghĩa trên ta nhận thấy rằng các mệnh đề p Λ q
và q Λ p luôn luôn có cùng chân trị, hay tương đương logic.
Tuy nhiên, trong ngôn ngữ thông thường các mệnh đề “p và q” và “q và p” đôi khi có ý nghĩa khác nhau theo ngữ cảnh.
Ví d: Cho các mệnh đề
p = “5 > -7”,
q = “2721 là một số nguyên tố” ,
r = “một tam giác đều cũng là một tam giác cân”
Khi đó ta có :
p Λ q = 0 (p Λ q sai, tức là có chân trị bằng 0, vì p = 1 và q = 0),
p Λ r = 1 (p Λ r đúng, tức là có chân trị bằng 1, vì p = 1 và r = 1).
Phép Hội
Nhận xét: Bằng cách lập bảng chân trị, ta có:
1 Các mệnh đề p và p Λ p luôn có cùng chân trị
2 Mệnh đề p Λ¬ p luôn có chân trị bằng 0 (tức là
một mệnh đề luôn sai)
3 Một mệnh đề phức hợp luôn luôn có chân trị là sai
trong mọi trường hợp chân trị của các mệnh đề sơ
cấp tạo thành nó sẽ được gọi là một sự mâu
thuẩn
Phép Tuyển
Cho p và q là hai mệnh đề Ta ký hiệu mệnh đề “p hay q” là p ∨ q Phép “hay”, ký hiệu là ∨ , được định nghĩa bởi bảng chân trị sau đây:
Trang 5Phép Tuyển
Chân trị của mệnh đề p ∨ q phụ thuộc vào các chân
trị của 2 mệnh đề p, q Trong 4 trường hợp chỉ có
một trường hợp mệnh đề p ∨ q sai, đó là trường
hợp p sai và q sai
Qua định nghĩa trên ta nhận thấy rằng các mệnh đề
p ∨ q và q ∨ p luôn luôn có cùng chân trị, hay tương
đương logic
Phép Tuyển
Ví dụ : Cho các mệnh đề
• p = “5 > 7”,
• q = “2721 là một số nguyên tố”,
• r = “một tam giác đều cũng là một tam giác cân”
Khi đó ta có :
p V q = 0,
p V r = 1.
Phép Tuyển
Nhận xét :
1 Cho p là một
mệnh đề Lập
bảng chân trị
của mệnh đề p
∨¬ p
ta có mệnh đề
p ∨¬ p luôn luôn
đúng
Phép Kéo theo
Phép kéo theo, ký hiệu bởi → , được đưa ra để mô
hình cho loại phát biểu điều kiện có dạng : “nếu thì ” Cho p và q là 2 mệnh đề, ta sẽ viết p→ q để
diễn đạt phát biểu “nếu p thì q” Phép toán kéo theo
→được định nghĩa bởi bảng chân trị sau đây:
Phép Kéo theo
Mệnh đề p → q, được đọc là “nếu p thì q”, còn được
phát biểu dưới các dạng khác sau đây:
”q nếu p”
”p chỉ nếu q”
”p là điều kiện đủ cho q”
”q là điều kiện cần cho p”
Phép Kéo theo 2 chiều
Phép kéo theo 2 chiều hay phép tương đương, ký hiệu bởi ↔, được đưa ra để mô hình cho loại phát biểu điều
kiện hai chiều có dạng : “ nếu và chỉ nếu ” Cho p
và q là 2 mệnh đề, ta viết p↔q để diễn đạt phát biểu “p
nếu và chỉ nếu q” Phép toán tương đương được định nghĩa bởi bảng chân trị sau đây
Trang 6Phép Kéo theo 2 chiều
Mệnh đề p↔ q, được đọc là “p nếu và chỉ nếu q”,
còn được phát biểu dưới các dạng khác sau đây:
”p khi và chỉ khi q”
”p là điều kiện cần và đủ cho q”
Mệnh đề p↔q có chân trị đúng (=1) trong các trường
hợp p và q có cùng chân trị
Độ ưu tiên của các toán tử Logic
Tương tự như đối với các phép toán số học, để tránh phải dùng nhiều dấu ngoặc trong các biểu thức logic, ta đưa ra một thứ tự ưu tiên trong việc tính toán
Ởtrên ta có 5 toán tử logic:¬¬(không) , ∧∧(và), ∨∨(hay), →→ (kéo theo), ↔↔( tương đương)
Thứ tự ưu tiên :
¬
∧ , ∨
→ ↔ trong đó, các toán tử liệt kê trên cùng dòng có cùng độ
ưu tiên
Độ ưu tiên của các toán tử Logic
Ví dụ :
1 ¬p∨q có nghĩa là ((¬ p) ∨ q)
2 ¬ p∨ q→ r ∧ s có nghĩa là (((¬ p) ∨ q)→ (r ∧ s))
3 ¬ p∨ q∧ r là không rõ ràng, trong trường hợp này
cần phải dùng các dấu ngoặc để chỉ rõ nghĩa
PHẦN 2
Định nghĩa biểu thức Logic
Biểu thức logic là biểu thức được xây dựng từ :
1 Các mệnh đề hay các giá trị hằng
2 Các biến mệnh đề
3 Các phép toán logic, và cả các dấu ngoặc “( )” để
chỉ rõ thứ tự thực hiện của các phép toán
Giả sử E, F là 2 biểu thức logic, khi ấy ¬ E, E ∧ F, E → F,
E ↔ F cũng là các biểu thức logic
Ví dụ: Biểu thức
E(p,q,r) = (((¬ p) ∨ q)→ (r ∧ s)) là một biểu thức logic
trong đó p, q, r là các biến mệnh đề
Bảng chân trị của biểu thức Logic
Bảng chân trị của một biểu thức logic là bảng liệt kê chân trị của biểu thức logic theo các trường hợp về chân trị của tất cả các biến mệnh đề trong biểu thức logic hay theo các bộ giá trị của bộ biến mệnh đề
Với một biến mệnh đề, ta có 2 trường hợp là 0 (sai) hoặc 1 (đúng) Với 2 biến mệnh đề p, q ta 4 trường hợp chân trị của bộ biến (p,q) là các bộ giá trị (0,0), (0,1), (1,0), và (1,1)
Trong trường hợp tổng quát, với n biến mệnh đề thì ta
có 2ntrường hợp chân trị cho bộ n biến đó
Trang 7Bảng chân trị của biểu thức Logic
Ví dụ 1:
Bảng chân trị của các biểu thức logic p→ q và ¬ p ∨ q
theo các biến mệnh đề p,q như sau:
Bảng chân trị của biểu thức Logic
Ví dụ 2:
Bảng chân trị của các biểu thức logic p ∨ ( q ∧ r) theo các biến mệnh đề p, q, r như sau:
p q r q ∧ ∧ r p ∨∨( q ∧∧r)
Sự tương đương Logic
Hai biểu thức logic E và F theo các biến mệnh đề nào
đó được gọi là tương đương logic khi E và F luôn luôn
có cùng chân trị trong mọi trường hợp chân trị của bộ
biến mệnh đề
Khi đó ta viết:E ⇔ F đọc là“E tương đương với F”
Như vậy, theo định nghĩa ta có thể kiểm tra xem 2
biểu thức logic có tương đương hay không bằng cách
lập bảng chân trị của các biểu thức logic
Ví d:từ bảng chân trị của các biểu thức logic p → q
và ¬ p∨q theo các biến mệnh đề p, q ta có:
p → q ⇔ ¬ p∨q
Biểu thức hằng đúng, hằng sai
Biểu thức logic E được gọi là hằng đúng nếu chân trị của E luôn luôn bằng 1 (đúng) trong mọi trường hợp
về chân trị của các biến mệnh đề trong biểu thức E
Nói một cách khác, E là một hằng đúng khi ta có: E
⇔1
Biểu thức logic E được gọi là hằng sai nếu chân trị của E luôn luôn bằng 0 (sai) trong mọi trường hợp về chân trị của các biến mệnh đề trong biểu thức E Nói một cách khác, E là một hằng đúng khi ta có: E ⇔ 0
Như vậy, ta có thể kiểm tra xem một biểu thức logic có phải là hằng đúng (hằng sai) hay không bằng cách lập bảng chân trị của các biểu thức logic
Biểu thức hằng đúng, hằng sai
Ví dụ:
Biểu thức p ∧ ¬ p là hằng sai
Biểu thức là p → q ↔ ¬ p∨ q là hằng đúng
Lu ý:
Giả sử E và F là 2 biểu thức logic Khi đó, E tương
đương logic với F (tức là ta có E ⇔ F) khi và chỉ khi
biểu thức logic E ↔ F là hằng đúng (tức là E ↔F ⇔1)
PHẦN 3
Trang 8Luật Logic là gì ?
Các luật logic là cơ sở để ta thực hiện các biến đổi
trên một biểu thức logic nhằm có được một biểu thức
logic mới tương đương logic với biểu thức logic có
trước
Các luật nầy có thể được suy ra trực tiếp từ các bảng
chân trị của các biểu thức logic
Các Luật Logic
Luật về phép phủ định
¬ ¬ p ⇔ p (luật phủ định của phủ định)
¬ 1 ⇔ 0
¬ 0 ⇔ 1
Luật giao hoán
p ∧ q ⇔ q ∧ p
p ∨ q ⇔ q ∨ p
Luật kết hợp
p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r
p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r
Các Luật Logic
Luật phân bố
p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Luật De Morgan
¬ (p ∧ q) ⇔ ¬ p ∨ ¬ q
¬ (p ∨ q) ⇔ ¬ p ∧ ¬ q
Luật về phần tử bù
p ∨ ¬ p ⇔ 1
p ∧ ¬ p ⇔ 0
Các Luật Logic
Luật kéo theo
p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Luật tương đương
¬ (p ∧ q) ⇔ ¬ p ∨ ¬ q
¬ (p ∨ q) ⇔ ¬ p ∧ ¬ q
Các Luật của phép Hội
p ∨ p ⇔ p (tính lũy đẳng)
p ∨ 1 ⇔ 1 (Luật thống trị)
p ∨ 0 ⇔ p (Luật trung hòa)
p ∨ (p ∧ q) ⇔ p (Luật hấp thụ)
Các Luật của phép Hội
p ∧ p ⇔ p (tính lũy đẳng)
p ∧ 1 ⇔ p (Luật trung hòa)
p ∨ 0 ⇔ 0 (Luật thống trị)
p ∧ (p ∨ q) ⇔ p (Luật hấp thụ)
Trang 9PHẦN 4
Các quy tắc thay thế Qui tắc 1
Trong một biểu thức logic E, nếu ta thay thế một biểu thức con bởi một biểu thức logic tương đương với biểu thức con đó thì ta sẽ được một biểu thức mới E' tương đương với biểu thức E
Ví dụ:
Cho biểu thức logic E = q ∨¬ p Thay thế q trong biểu thức E bởi biểu thức ¬ ¬ q (tương đương với q) ta được một biểu thức mới E' = ¬ ¬ q ∨¬ p
Theo qui tắc thay thế 1 ta có:
q ∨ ¬ p ⇔ ¬ ¬ q ∨ ¬ p
Các quy tắc thay thế
Qui tắc 2
Giả sử biểu thức logic E là một hằng đúng Nếu ta
thay thế một biến mệnh đề p bởi một biểu thức logic
tuỳ ý thì ta sẽ được một biểu thức logic mới E’ cũng là
một hằng đúng
Ví dụ:
Ta có biểu thức E(p,q) = (p → q) ↔ ( ¬ p ∨ q) là một
hằng đúng Thay thế biến q trong biểu thức E bởi biểu
thức q ∧ r ta được biểu thức logic mới:
E’(p,q,r) = (p → (q ∧ r)) ↔ ( ¬ p ∨ (q ∧ r))
Theo qui tắc thay thế 2 ta có biểu thức E’(p,q,r) cũng
là một hằng đúng
Các ví dụ quy tắc thay thế
Ví dụ 1: Chứng minh rằng (p → q) ⇔ (¬ q → ¬ p) Giải :
Ta có (p → q) ⇔ (¬ p ∨ q) (luật kéo theo)
⇔(q ∨ ¬ p) (luật giao hoán)
⇔(¬ ¬ q ∨ ¬ p) (luật phủ định)
⇔(¬ q ¬ p) (luật kéo theo)
Bài tập nhỏ: hãy chứng minh
a) ((p → q) ∧ p) → q là một hằng đúng b) p ∧ q → p là một hằng đúng
c) p → p ∨ q là một hằng đúng
