Các nguyên lý của dòng chảy chất lỏng và sóng mặt trong sông, cửa sông, biển và đại dương chương 5

Việc tích phân phương trình Euler đối với dòng chảy không quay không nén dẫn đến phương trình BERNOULLI mà liên hệ những thay đổi vận tốc, áp suất và mực nước trong chất lỏng không nhớt

Chương 5 Động lực học chất lỏng

5.1 Mở đầu

Để mô tả những chuyển động chất lỏng trong một miền nhất định, cần có sẵn một tập hợp các phương trình vi phân có thể giải bằng giải tích hoặc bằng số nhờ áp dụng những điều kiện ban đầu và những điều kiện biên

Những phương trình cơ bản cần thiết là phương trình liên tục (bảo toàn khối lượng)

và phương trình chuyển động (bảo toàn năng lượng) theo Định luật thứ hai của Newton (1642 -1727)

Những phương trình chuyển động đối với một chất lỏng không nhớt được biết là phương trình EULER Việc tích phân phương trình Euler đối với dòng chảy không quay không nén dẫn đến phương trình BERNOULLI mà liên hệ những thay đổi vận tốc, áp suất và mực nước trong chất lỏng không nhớt và cũng thích hợp khi những hiệu ứng của nhớt không đáng kể

Những phương trình chuyển động đối với một dòng chảy nhớt được biết là phương trình NAVIER-STOKES Những phương trình đối với một dòng chảy rối được gọi là những phương trình REYNOLDS

5.2 Phương trình liên tục (cân bằng khối lượng)

5.2.1 Thể tích điều khiển

Trong hình 5.1, khối lượng đi vào trong khu vực một khối chữ nhật với những mặt song song có các cạnh x, y và z theo hướng +x là U y z, và đi ra khỏi nó theo hướng +x là khối lượng trong đó cộng với suất biến thiên của khối lượng theo hướng +x nhân với x Đây là những số hạng bậc nhất:

x z y U x z y

x z y U

Vì y và z không đổi theo x; z và x không đổi theo y; x và y không đổi theo z

và x, y và z không đổi theo t, chúng ta có thể chia cho đại lượng x y z là thể tích của khu vực được xét Sau đó ta nhận được:

t z

W y

V x

V x

U

đối với cả dòng chảy ổn định lẫn không ổn định (vận tốc có thể thay đổi theo thời gian cũng như vị trí trong chất lỏng) Điều này cũng có thể biểu thị như sau (xem Phụ lục B):

5.2.1 Dòng nguyên tố

Bởi vì không có dòng chảy nào xuyên qua các biên (theo định nghĩa), dòng khối lượng qua mỗi mặt cắt ngang là không đổi Giả thiết Vi pháp tuyến với mặt phẳng Aithì:

dòng thể tích =  

i

A i

idA const

Dòng thể tích được gọi là lưu lượng Q (= ViAi)

5.2.3 Dòng chảy không ổn định một chiều trong lòng dẫn hở

Hình 5.2 cho thấy một tình huống dòng không ổn định một chiều Độ sâu nước h và vận tốc trung bình độ sâu U là những hàm của vị trí x và thời gian t Bề rộng b của dòng chảy là một hàm của x

Lưu lượng là:   

A

U bh Udz

Thay đổi khối lượng chất lỏng sau thời gian t do sự thay đổi cao độ bề mặt chất lỏng là:

x t t

h b x bh x t t

h h

x x

Q Q t

Nếu b không đổi theo hướng x (db/dx = 0), thì:

0 ) (

h

đối với dòng ổn định (h/t = 0) cho thấy:

0 ) (

U h t

0 )

W x

db b x f dz x

f dz y x f x

x a

x b

b

a

) , ( )

, ( )

, (

) (

) (

s z

z

z x W z x W dx

dz z x U dx

dz z x U Udz

U

q , Ub = U(x,zb) và Us = U (x,zs), Ws = W(x,zs) và Ws = W(x,zs) dẫn

đến:

dz U dx

dz U x

q

(5.2.14) Phương trình (5.2.12) có thể được chi tiết hơn nữa bằng việc áp dụng điều kiện biên

động học, chỉ rõ rằng vận tốc kết quả ở biên luôn luôn song song với biên, dẫn đến:

t

z x

z U

ú s

z U

b b

z x

h

(5.2.18)

5.3 Cân bằng động lượng

5.3.1 Định luật thứ hai của Newton

Định luật thứ hai của Newton phát biểu rằng lực tổng hợp tác động lên một khối lượng đã cho tỷ lệ với độ biến thiên động lượng tuyến tính của khối lượng đó theo thời gian Trong cách viết vectơ:

5.3.2 Động lượng và năng lượng đi qua một mặt cắt

Động lượng trên đơn vị thời gian và trên đơn vị bề rộng đi qua một mặt cắt nhỏ có chiều cao dz là:

0

2 2

U A

 (5.3.10)

U A

F3 trên đơn vị bề rộng tại cửa cống có thể xác định bằng việc áp dụng phương trình (5.3.1) trên miền ABCD

Những vận tốc chảy vào và chảy ra trung bình độ sâu là U1 và U2

Động lượng trên đơn vị bề rộng đi vào mặt cắt 1 trong thời gian t là:

1q U1t

Động lượng trên đơn vị bề rộng ra khỏi mặt cắt 2 trong thời gian t là:

Hình 5.4 cho thấy những ứng suất bề mặt trên một phần tử chất lỏng đối với một chất lỏng không nhớt Trong trường hợp này không có những ứng suất nhớt Những ứng suất bề mặt chỉ là những ứng suất pháp tuyến do áp suất  Trong mục 3.2 đã chỉ ra rằng áp suất là đẳng hướng (đại lượng vô hướng bằng nhau trong tất cả các hướng) Như vậy,

x = y = z = - p (5.4.1)

Hình 5 4 ứng suất pháp tuyến của chất lỏng trong một chất lỏng không nhớt

Hình 5.5 cho thấy những ứng suất bề mặt trên một phần tử chất lỏng nhớt đang chuyển động Có những ứng suất pháp tuyến () và những ứng suất tiếp tuyến () Những ứng suất tiếp tuyến là những ứng suất trượt Chỉ số đầu tiên của ứng suất chỉ

ra hướng của ứng suất; chỉ số thứ hai chỉ ra mặt phẳng vuông góc với hướng trong đó ứng suất tác động Như vậy yx tác động theo hướng y và trong mặt phẳng vuông góc với trục x Định luật Pascal không hợp lệ: x  y  z

Hình 5.5 Những ứng suất tiếp tuyến (trượt) và pháp tuyến trong một chất lỏng nhớt

Đối với chất lỏng Newton những ứng suất trượt là:

) (

x

V y

Uxy

Vyz

z

U x

3

2 2

z

W y

V x

U x

U p

z

W y

V x

U x

V p

3

2 2

z

W y

V x

U x

W p

z y x x

U W y

U V x

U U

P z

V W y

V V x

V U

P z

W W y

W V x

W U

g P dt

V d

ơng 7

5.4.3 Phương trình Bernoulli

Tích phân những phương trình Euler đối với dòng chảy ổn định không quay không nén dẫn đến phương trình Bernoulli mà liên hệ những thay đổi vận tốc, áp suất và mực nước trong chất lỏng không nhớt

Phương trình Euler đối với dòng ổn định theo hướng x:

x

P z

U W y

U V x

Vxy

V x

W W x

V V x

1 2

1

x W

V W V





gz P V

x  (5.4.12)

Những biểu thức tương tự có thể dẫn xuất theo những hướng y và z

Như vậy, những gradient của số hạng ( V2 P  gz )

 bằng không Điều này có

nghĩa là số hạng vô hướng:

const gz

P

V   ) 

 (5.4.13)

trong mỗi điểm của trường dòng chảy đối với dòng chảy ổn định không quay không nhớt, được biết là định luật Bernoulli (1700- 1782) Phương trình (5.4.13) cũng có thể biểu thị như sau:

const H

trong đó He là cột nước tổng cộng so với một mặt phẳng tham chiếu nằm ngang

Hình 5.6 Phương trình Bernoulli đối với dòng chảy không quay trong lòng dẫn hở

V z g

V



2 2

2 2 1

2 1

2

Phương trình Bernoulli đối với một đường dòng

Những phương trình Euler có thể đơn giản bằng việc đưa ra một hệ tọa độ tự nhiên, như trong hình 5.7 Trục s trùng với vectơ vận tốc Trục n trùng với bán kính cong Trục b hướng thẳng góc với mặt phẳng s - n Điều này dẫn đến những thành phần vận tốc Vs = Vn = Vb = 0 theo những hướng s, n và b Thành phần trọng lực theo hướng s là: gz/s

Tương tự, những thành phần trọng lực theo hướng n và b là: gz/n và gz/b (xem hình 5.8)

Những phương trình Euler có thể biểu thị như sau:

s

z g s

P s

V V t

s s

P s

V V t

s n

P b

V V t

s b

lỏng không nhớt Đối với dòng ổn định (Vs / t = 0) nó cho thấy:

0 ) 2

s

 2

z g

P g

V

e

 2

2

(5.4.20) dọc theo một đường dòng

Những phương trình (5.4.19) và (5.4.20) phát biểu rằng áp suất nhỏ khi vận tốc lớn

và ngược lại, như trong hình 5.9 Một građien áp suất tồn tại để tăng tốc chất lỏng từ

điểm 1 đến điểm 2

Một máy bay có thể bay vì hình dạng của cánh làm cho vận tốc không khí ở trên cánh cao hơn (áp suất thấp hơn) so với dưới nó, dẫn đến một áp lực thực tế hướng lên trên

Hình 5.9 Đường dòng trong dòng chảy lòng dẫn hở

Trong mục 5.4.3 thấy rằng phương trình (5.4.11) và (5.4.12) hợp lệ đối với toàn bộ

trường dòng chảy trong trường hợp dòng không nhớt không quay Trong trường hợp dòng nhớt (những ứng suất trượt nội   0) năng lượng trên đơn vị khối lượng giảm dọc theo một đường dòng Thông thường, những hiệu ứng nhớt có thể bỏ qua khi xét một khoảng cách nhỏ dọc một đường dòng và phương trình (5.4.19) và (5.4.20) có thể ứng dụng như một sự gần đúng

Hướng n (thẳng góc với đường dòng)

Phương trình (5.4.16) là phương trình Euler theo phương pháp tuyến Hướng n

d-ương theo hướng cong Đối với dòng ổn định:

n

z g n

P s

P r

Vs

(5.4.24)

Hình 5.10 Thành phần dòng chảy thẳng góc với đường dòng

Những phương trình (5 4 23) và (5 4 24) phát biểu rằng tồn tại một građien áp suất thẳng góc với đường dòng cong áp suất giảm theo hướng n dương (về phía tâm của đường cong) vì cần có một áp lực thực tế theo hướng đó để phát sinh đường đi cong của một hạt chất lỏng (xem hình 5.11) Như vậy, áp suất tương đối lớn ở mặt phía ngoài

và tương đối thấp ở mặt bên trong của đường cong

Građien áp suất p/n là số âm, vì áp suất giảm theo hướng n dương

Hình 5.11 Građien áp suất thẳng góc với đường dòng

Tích phân riêng phương trình (5.4.24) theo hướng n dẫn đến (xem thêm hình 5.12):

gr

V pn

Tích phân từ điểm 1 đến điểm 2 theo hướng n dương dẫn đến pn2 – pn1 < 0, hoặc

pn2 < pn1 Như vậy, cột nước đo áp nhỏ nhất về phía tâm của đường cong như đã phát biểu trước đây Kết quả này không phụ thuộc vào hướng tích phân, vì:

gr

V pn

Hình 5.12 Cột nước đo áp thẳng góc với đường dòng

Phân bố áp suất theo hướng n cũng có thể giải thích như sau: trong dòng chảy lõm (hình 5.13) những lực ly tâm hướng xuống và gia tăng trọng lực, phát sinh một áp suất lớn hơn áp suất thủy tĩnh; trong dòng chảy lồi những lực ly tâm hướng lên và tác động chống lại trọng lực dẫn đến một áp suất nhỏ hơn áp suất thuỷ tĩnh (hình 5.13)

Khi bán kính cong lớn vô tận (r = ), gradient áp suất thẳng góc với đường dòng bằng không và không có gia tốc thẳng đứng, có nghĩa là phân bố áp suất thủy tĩnh trong trường hợp dòng chảy song song

1 Dòng chảy song song trên đáy dốc

Hình 5.14 cho thấy một dòng đều song song (U / s = 0) trên một đáy dốc

Hình 5.14 Dòng chảy song song trên đáy dốc

Từ phương trình Bernoulli (5.4.24) dẫn đến (r = ):

0 )

2 ống đo áp suất chất lỏng Pito

Nếu một cái ống hở được đặt trong một dòng chảy trong lòng dẫn hở, như trong hình 5.15, chất lỏng sẽ dâng lên trong ống đến một chiều cao H

U g

P g

U





2 2 2 1 2 1

Thông thường, sử dụng ống đo áp suất chất lỏng kết hợp, mà trên thực tế gồm hai ống Một ống hở về phía dòng chảy, cái ống kia hở ở cả 2 phía của phần nằm ngang và

đo cột nước đo áp h (xem hình 5.16)

V H g

P g

V





2 2 2 1 1 2 1

2

Vì V1 << V2, P1 = P2 = 0, cho thấy:

V2 = 2gH1

Hình 5.17 Định luật Torricelli

4 Dòng chảy trên đập tràn

Hình 5.17 cho thấy dòng chảy qua một đập tràn nhỏ Phân bố áp suất ở trên đập tràn được chỉ ra Độ cong của đập tràn lấy sao cho (trong trường hợp này) áp suất ở đáy (điểm 3) thậm chí thấp hơn áp suất không khí áp suất tại điểm 1 có thể xác định bằng việc áp dụng phương trình Bernoulli thẳng góc với những đường dòng ở trên đập tràn, dẫn đến:

V pn

2

gr

V z z g



J z z g

Hình 5.18 Dòng chảy trên một đập tràn đỉnh hẹp (De Vries, 1985)

5 Quay ổn định quanh một trục thẳng đứng

Xoáy cưỡng bức

Hình 5.19 cho thấy một xoáy cưỡng bức quanh một trục thẳng đứng Chuyển động

là ổn định Một hạt chất lỏng tại điểm 2 ở khoảng cách r cách điểm 1 của trục thẳng

đứng mô tả một đường đi hình tròn trong mặt phẳng ngang với vận tốc V = r ( = vận tốc góc = const)

Theo phương trình (5.4.24), có một građien áp suất theo hướng n (mặt phẳng ngang)

gr

V n

pn ) 2(

Hình 5.19 Xoáy cưỡng bức

Lấy gốc trong trục thẳng đứng, cho thấy n = -r

r r g

r gr

V

pn    



2 2

r

r r g

pn 

g

r pn

pn

2

2 2 1 2

P z g

P

2

2 2 1 1 2

r P

g

P z g

2

2 2

r gz

z s

2

2 2 0 ,







trong đó: z0 = khoảng cách giữa bề mặt chất lỏng và z = 0 (trong trục)

Xoáy tự do

Hình 5.20 cho thấy một xoáy tự do ổn định quanh một trục thẳng đứng Một hạt chất lỏng ở khoảng cách r kể từ trục thẳng đứng mô tả một đường đi hình tròn trong mặt phẳng ngang với vận tốc V = c /r (c = const)

Điều đó cho thấy     

r

r

r gr

c

2 1

2 2 2 1

2

2

c gr

c pn

pn    

Vì z2 = z1 = 0 và P1 = 0, điều đó cho thấy (pr = P2)

2 1

2 2 2

2

c gr

c g

2 2 2 ,

2

c gr

z y x g

) (

1

2 2 2 2 2 2

z

U y

U x

U x

P z

U W y

U V x

1

2 2 2 2 2 2

z

V y

V x

V y

P z

V W y

V V x

W y

W x

W z

P z

W W y

W V x

W U

1

2 2 2 2 2

dt

V d

1

2 2 2 2 2 2

z

U y

U x

U x

P z

UW y

UV x

1

2 2 2 2 2 2

z

V y

V x

V y

P z

VW y

VV x

W y

W x

W z

P z

WW y

WV x

1

2 2 2 2 2

) (

2

Ux z

U W y

U V x

U U t U

z

W y

V x

U U z

U W y

U V x

U U t U

z

U W z

W U y

U V y

V U x

U U t

U z

UW y

UV x

z

W y

V x

U

0 thể hiện phương trình liên tục (xem hình 5.2.2)

5.4.5 Phương trình Reynolds

5.4.5.1 Dòng chảy phân tầng và dòng chảy rối

Những phương trình Navier-Stokes hợp lệ đối với dòng chảy rối và dòng chảy phân tầng tức thời Dòng chảy phân tầng có thể chỉ tồn tại dưới những điều kiện thủy lực đặc biệt, như đã được quan sát bởi Reynolds (1842-1912) Hình 5.21 cho thấy một thí nghiệm của Reynolds Nước đi vào một ống thuỷ tinh nằm ngang thông qua một đầu loe miệng từ một cái thùng, tại đó cao độ mặt nước tự do được giữ không đổi Dòng chảy trong ống được nhìn rõ bằng việc sử dụng một bơm phun màu vào miệng ống Reynolds thấy rằng, khi vận tốc dòng chảy trung bình nhỏ hơn một giá trị phân giới nhất định, màu trải dài trong ống theo một đường thẳng (dòng chảy phân tầng) Tuy nhiên, khi vận tốc vượt giá trị phân giới, màu trở nên không ổn định, gợn sóng và không đều (dòng chảy rối) và hoàn toàn lấp đầy cái ống khi những xoáy phát sinh Hình 5.22 cho thấy vận tốc theo thời gian tại một điểm cố định trong dòng chảy rối Reynolds ứng dụng phân tích thứ nguyên cho kết quả thí nghiệm của ông và kết luận rằng sự thay đổi từ dòng chảy phân tầng đến dòng chảy rối phải xuất hiện tại một giá trị định lượng cố

định, mà giờ đây được gọi là số Reynolds (Re) Số này biểu thị tỷ lệ của lực quán tính và lực nhớt, Re = UL/ (U = quy mô vận tốc, L = quy mô chiều dài,  = hệ số nhớt động học) Quy mô chiều dài trong thí nghiệm của Reynolds là đường kính ống D Dựa vào những kết quả thí nghiệm, dòng chảy phân tầng sẽ tồn tại đối với Re = UD /  < 2400 Những nhiễu loạn ban đầu trong dòng chảy sẽ mất đi khi Re < 2400, nhưng chúng sẽ lớn lên khi Re > 2400

2 2

Re

x U x

U U

những điều kiện dòng chảy ban đầu ở thượng lưu cái ống, mà có thể bị ảnh hưởng bởi những nhiễu động cơ học trong môi trường xung quanh hoặc bởi những nhiễu động khác Trong trường hợp một trạng thái rất ổn định, dòng chảy phân tầng có thể duy trì khi Re = 100000

Khi lấy bán kính thủy lực làm quy mô chiều dài đặc trưng, số Reynolds tới hạn đối với những lòng dẫn hở là khoảng 600 vì đường kính ống bằng 4 lần bán kính thủy lực (D = 4 R)

Cuối cùng, số Reynolds sẽ được giải thích chi tiết hơn Về cơ bản, số Reynolds là tỷ

lệ của các lực gia tốc và lực ứng suất trượt do nhớt tác động lên một phần tử chất lỏng (xem phương trình 5.4.31)

Vận tốc có thể đặc trưng bởi quy mô U Những tọa độ x và z thể hiện bởi quy mô L

Điều này dẫn đến:





UL L U

L U

Hình 5.22 Vận tốc trong dòng chảy rối

5.4.5.2 Thủ tục lấy trung bình thời gian của Reynolds

Reynolds áp dụng những phương trình Navier-Stokes đối với dòng chảy rối bằng việc trình bày một thủ tục lấy trung bình thời gian Mỗi biến tức thời được thể hiện bằng giá trị trung bình thời gian và một giá trị nhiễu động (xem hình 5.22) Như vậy:

U = u +u’, V = v + v’, W = w + w’, P = p + p’ (5.4.40) Những giá trị trung bình xác định như sau:

T

dt t F T

f

0

) (

1

trong đó T là chu kỳ thời gian lấy trung bình Chu kỳ T này cần phải lớn hơn quy mô rối ưu thế, nhưng nhỏ hơn những hiệu ứng tuần hoàn dài như quy mô thủy triều (T =