Ebook cơ sở các phương pháp vật lý hạt nhân thực nghiệm a i abramov, IU a kazanski, e x matuxevich

đó có thể nhận được giá trị này với xác suất nhất định khi tiến hành các phép đo sau đó, để kiểm tra mức độ phù hợp của các giả định đã chọn với các kết quả đo, … Các phương pháp thống k

Giới thiệu sách Cuốn sách "Cơ sở các phương pháp vật lý hạt nhân thực nghiệm" của A.I Abramov, IU.A Kazanski và E.X Matuxevich có ý nghĩa rất quan trọng trong việc hình thành hệ thống kiến thức hạt nhân thực nghiệm cho những người có nguyện ước đi vào các lĩnh vực như nghiên cứu hạt nhân thực nghiệm, ứng dụng kỹ thuật hạt nhân Trong cuốn sách này trình bày những cơ sở của các quá trình vật lý để ghi đo bức xạ, các nguyên tắc hoạt động và những đặc tính chủ yếu của các detector các bức xạ hạt nhân; xem xét các phương pháp đo phổ nơtron, gamma và các hạt mang điện, đo tiết diện tương tác các nơtron với các hạt nhân

Với lòng mong mỏi cung cấp một lượng kiến thức tốt cho sinh viên và cán bộ trẻ ngành hạt nhân để họ có thể sớm "đứng trên vai những người khổng lồ" mà đỡ gặp khó khăn do rào cản ngôn ngữ, TS Nguyễn Đức Kim đã bỏ rất nhiều công sức để dịch quyển sách này Để quyển sách ra đời bằng tiếng Việt, cũng không thể không nhắc tới vai trò của TS Nguyễn Xuân Hải - Viện Nghiên cứu hạt nhân - đã với nhóm khai thác các kênh ngang của lò phản ứng hạt nhân Đà Lạt có những thảo luận để nhóm biên dịch diễn tả các hiện tượng, các quá trình vật lý một cách uyển chuyển, nhẹ nhàng

Các hỗ trợ từ PGS.TS Nguyễn Nhị Điền - Viện trưởng Viện Nghiên cứu hạt nhân và nhiều cán bộ khác cũng tạo sự tự tin, hào hứng trong các hoạt động dịch và hiệu đính sách

Chúng tôi cũng trân trọng cảm ơn PGS.TS Vương Hữu Tấn đã cung cấp nguyên bản quyển sách, đã có những hỗ trợ rất to lớn để hình thành nhóm nghiên cứu hạt nhân thực nghiệm, tạo nên một trong các tiền đề để bản dịch này đến được với những người cần

Phạm Đình Khang

Mục lục

Phần 1 Nguồn bức xạ và các tính chất chung của bức

xạ hạt nhân

khi ghi đo chúng

§1.1 Vật lý hạt nhân và thống kê

1.2 Các quy luật phân bố thống kê

1.3 Các đặc trưng thống kê của số liệu thực nghiệm

2.1 Nhận xét chung

2.2 Tương tác của các hạt tích điện nặng với vật chất

2.3 Tương tác của electron với vật chất

2.4 Tương tác của bức xạ gamma với vật chất

2.5 Tương tác của nơtron với vật chất

3.1 Các nguồn hạt tích điện nặng

3.2 Các nguồn nơtron

3.3 Các nguồn bức xạ gamma

Phần 2 Cơ sở vật lý của các hoạt động của các

detector ghi nhận bức xạ hạt nhân

4.1 Hàm phản ứng của detector

4.2 Các đặc trưng thời gian của detector

4.3 Độ phân giải năng lượng của detector

4.4 Hiệu suất ghi

4.5 Mối liên hệ giữa các đặc trưng của trường bức xạ với

các thể hiện của detector

5.1 Các loại detector

5.2 Các phương pháp ghi không có sự khuếch đại khí

5.3 Các phương pháp ghi có sự khuếch đại khí

6.3 Các đặc tính của Silic và Gemani

6.4 Các chuyển mức trong chất bán dẫn

6.5 Tạo các phần tử mang điện trong chất bán dẫn dưới tác

dụng của bức xạ ion hóa 6.6 Độ phân giải năng lượng

6.7 Độ phân giải thời gian

6.8 Dạng vạch phổ và hiệu suất ghi

6.9 Ảnh hưởng của trường bức xạ tới các tính chất của

detector 6.10 Các dạng cơ bản của detector bán dẫn

7.1 Nguyên lý làm việc

7.2 Các chất nhấp nháy

7.3 Các ống nhân quang điện

7.4 Các đặc trưng của detector nhấp nháy

8.1 Buồng Winson

8.2 Buồng bọt

8.3 Các nhũ tương hạt nhân

8.4 Các detector tia lửa điện ghi hạt tích điện

8.5 Các detector điện dung rắn

8.6 Các phương pháp xác định đặc trưng của hạt trong

10.2 Các đặc trưng chung của phương pháp đo hoạt độ

10.3 Đo hoạt độ của nguồn alpha

10.4 Đo hoạt độ của nguồn bêta

10.5 Đo hoạt độ của nguồn gamma

10.6 Đo hoạt độ của nguồn nơtron

10.7 Các phép đo tương đối

11.1 Những lưu ý

11.2 Đo năng lượng các hạt nhờ uồng ion hóa, detector nhấp

nháy và detector bán dẫn 11.3 Phổ kế từ ghi các hạt nặng tích điện

12.1 Các lưu ý

12.2 Phổ học gamma với detector nhấp nháy

12.3 Phổ kế từ ghi gamma

12.4 Phổ kế nhiễu xạ tinh thể ghi gamma

12.5 Phổ học gamma với các detector bán dẫn

13.1 Các lưu ý

13.2 Các phương pháp sơ bộ đánh giá năng lượng của

nơtron 13.3 Các phương pháp hạt nhân giật lùi

13.4 Sử dụng phản ứng hạt nhân cho phổ học nơtron

13.5 Phương pháp thời gian bay

13.6 Các phổ kế tinh thể

14.1 Phương pháp truyền qua với hình học "tốt"

14.2 Phươngpháp truyền qua với hình học dạng cầu

14.3 Phương pháp kích hoạt

14.4 Phương pháp ghi hạt thứ cấp

14.5 Phương pháp làm chậm nơtron trong chì

A.I Abramov IU.A Kazanski E.X Matuxevich

CƠ SỞ CÁC PHƯƠNG PHÁP THỰC NGHIỆM

VẬT LÝ HẠT NHÂN

Xuất bản lần thứ ba, có chỉnh lý và bổ sung

Dùng cho sinh viên các trường đại học

Bộ Đại học và Trung học chuyên nghiệp đã cho phép dùng sách này làm tài liệu giảng dạy cho sinh viên các trường đại học

Moskva.NXB NLNT.1985

có chú ý đến những thành tựu gần đây trong kỹ thuật thực nghiệm vật lý

Dùng cho sinh viên các năm cuối các chuyên ngành thích hợp và cho các nghiên cứu sinh cũng như các nhà vật lý – hạt nhân

LỜI NÓI ĐẦU CHO LẦN XUẤT BẢN THỨ BA

Sau khi xuất bản lần thứ hai, các tác giả đã tiếp tục nhận được những nhận xét và mong muốn cải tiến cấu trúc cuốn sách, bổ sung những chương mục mới và những góp ý có liên quan đến những nhược điểm và những điểm không chính xác còn sót lại Những đóng góp đó đã được

sử dụng khi chuẩn bị cho lần xuất bản thứ ba

Không cho là hợp lý khi thay đổi căn bản cấu trúc, nội dung và quy mô cuốn sách, chẳng hạn, nhân việc mô tả các phương pháp tự động hóa thực nghiệm, các tác giả đã đặt ra mục tiêu khi chỉnh lý là chú ý đến những thay đổi chủ yếu trong kỹ thuật thực nghiệm hạt nhân đang phát triển nhanh chóng có liên quan đến cả việc xuất hiện những dạng detector mới, cả việc tìm ra những phương pháp đo mới Làm việc đó chỉ có thể bằng việc loại bỏ những phần đã trở nên cũ

kỹ do nguyên nhân này hay nguyên nhân khác, bớt đi những phụ lục và trình bày cô đọng hơn

Tất nhiên là chỉnh lý như vậy ít động chạm đến phần I: “Các nguồn và các tính chất chung của bức xạ hạt nhân” Trong phần này, chương 1 đã được mở rộng một chút, chủ yếu do đưa thêm vào phần phân bố χ2, chỉnh lý mục 2.5 “Tương tác các nơtron với vật chất” và một số

số liệu mới về các nguồn nơtron

Những thay đổi lớn nhất là trong phần II Trong chương 5 đã có thêm mục mới “Các detector ion hóa dạng lỏng” Trong chương 6 đã phân tích cả các detector bán dẫn chế tạo từ germani tinh khiết và các detector trên cơ sở CdTe và HgI 2 Trong chương 7, chú ý đến các số liệu gần đây, đã trình bày cơ chế phát sáng của các chất nhấp nháy vô cơ Trong chương 8, mục dành để mô tả các detector chất rắn đã được mở rộng

Đã loại bỏ khỏi phần III các đoạn mô tả những phương pháp đã cũ dùng để xác định năng lượng của các hạt mang điện theo quãng chạy và đo năng lượng photon theo phương pháp truyền qua và theo các sản phẩm của các phản ứng hạt nhân và đã rút gọn chương 10 Do đó, đã xem xét

kỹ hơn phương pháp đo năng lượng của các hạt ion hóa mạnh nhờ các detector bán dẫn (ППД), thảo luận những phương pháp mới để đo năng lượng các hạt mang điện, trên cơ sở phối hợp các phổ kế từ và detector bán dẫn tính năng cao, và các phương pháp đo năng lượng photon nhờ các phổ kế chứa các chất nhấp nháy dung lượng lớn và detector bán dẫn

Trong chương dành cho phần đo các tiết diện nơtron đã thảo luận các thực nghiệm kèm theo việc ghi các nơtron thứ cấp

Các tác giả bày tỏ cảm ơn sâu sắc đến tất cả các độc giả, bằng cách này hay cách khác, đã

có những góp ý thiết thực và đã đặt ra những yêu cầu Đương nhiên, họ đã giúp làm tăng chất lượng cuốn sách

E.X Matuxevich đã viết các chương 1, 3, 6, 9 và các mục 8.3 – 8.6, IU.A Kazanski đã viết các chương 2, 4, 5, 7, 11, 12 và các mục 8.1, 8.2 và A.I Abramov đã viết các chương 10, 13,

14

đó có thể nhận được giá trị này với xác suất nhất định khi tiến hành các phép đo sau đó,

để kiểm tra mức độ phù hợp của các giả định đã chọn với các kết quả đo, … Các phương pháp thống kê phân tích số liệu trở thành điều kiện tất yếu khi tiến hành các nghiên cứu không chỉ trong vật lý, mà còn trong nhiều lĩnh vực khoa học

Thống kê học có liên quan chặt chẽ với lý thuyết xác suất – một trong số các phần của toán học – và sử dụng các khái niệm cơ bản, các luận cứ và kết luận của toán học Đối với thống kê học, đặc trưng chủ yếu là phép dựng quy nạp – từ việc quan sát biến cố trong thực nghiệm dẫn đến giả thuyết Sự khác biệt trong cách tiếp cận lý thuyết xác suất

và thống kê học được thấy rõ trong các ví dụ dưới đây

Bài toán điển hình của lý thuyết xác suất Khi đồng xu được tung lên thì có một xác suất được biết p là rơi “xấp”, và một xác suất (1 – p) là “ngửa” Xác suất nào của việc

N lần tung lên có n lần đồng xu “xấp” ? Lý thuyết xác suất cho phép tính toán xác suất

của hiện tượng này

Bài toán điển hình của thống kê học Đồng xu được tung lên N lần, trong đó n lần rơi “xấp”; có thể nói gì về thông số chưa biết p? Rõ ràng là không nên hy vọng nhận

được câu trả lời xác định tới mức như trong trường hợp đầu Thống kê học chỉ cho phép

chỉ ra giá trị giống như thật nhất của thông số p, cũng như khoảng các giá trị của nó, mà giá trị thực p nằm trong đó với xác suất nhất định Như vậy, trong phân tích thống kê tồn

tại độ bất định có tính nguyên tắc

Tuy nhiên trong vật lý hạt nhân và vật lý các hạt cơ bản, các phương pháp thống

kê có ý nghĩa đặc biệt, bởi vì sự cần thiết thực sự của phương pháp thống kê trong thế giới vi mô xuất phát từ tính thống kê của chính bản thân các hiện tượng của thế giới vi

mô Trong một ý nghĩa nào đó có thể nói về sự khác nhau có tính nguyên tắc trong nguồn gốc những thăng giáng của các đại lượng vĩ mô và vi mô *

Khi đo các đại lượng vĩ mô có thể khẳng định rằng, hầu như với độ chính xác cho trước bất kỳ, bản thân đại lượng đó có giá trị xác định hoàn toàn, còn các kết quả đo có mức sai lệch nào đó do các dụng cụ đo hoặc bản thân đối tượng đo không hoàn chỉnh

Các số đo của dụng cụ đo tập hợp quanh giá trị trung bình theo một quy luật thống kê nào

đó Khi đo các đại lượng đặc trưng cho các quá trình trong thế giới vi mô, việc xuất hiện sai lệch trong các chỉ số của các dụng cụ chủ yếu là do những thăng giáng giá trị của bản thân đại lượng được đo và chẳng thể nào cải tiến được thiết bị để giảm bớt hoặc loại trừ hoàn toàn sai lệch đó Tất nhiên, trong các thực nghiệm thực tế được tiến hành trong vật

lý hạt nhân và vật lý các hạt cơ bản, trong phần lớn các trường hợp đều tồn tại cả hai nguyên nhân sai lệch chỉ số của các dụng cụ đo

Trong chương này sẽ xem xét các các định luật phân bố thống kê, vốn được sử dụng thường xuyên hơn cả khi mô tả và phân tích các kết quả đo trong vật lý hạt nhân, một số những đặc tính có tính thống kê của các số liệu thực nghiệm, cũng như xem xét một cách rất ngắn gọn vấn đề kiểm tra các giả thuyết bằng thống kê Đặc biệt lưu ý đến khía cạnh tư tưởng của các vấn đề được đề cập, vì vậy chương này không thể được dùng làm hướng dẫn thực hành để xử lý các số liệu thực nghiệm Việc thảo luận sâu hơn những vấn đề đã được đề cập, cũng như những hướng dẫn thực hành về xử lý các số liệu thực nghiệm và các phương pháp mô tả chúng, có thể tìm được trong tài liệu đã được giới thiệu

1.2 Các định luật phân bố thống kê

Trước khi xem xét các định luật phân bố thống kê các đại lượng ngẫu nhiên, ta đưa

ra một số khái niệm cơ bản của thống kê học và lý thuyết xác suất Trong lý thuyết xác

suất, biến cố ngẫu nhiên được hiểu là biến cố kèm theo một số kết quả Nếu do biến cố

mà một đại lượng biến đổi dạng số được đề cập đến, thì người ta gọi đại lượng đó là đại

l ượng ngẫu nhiên Các đại lượng ngẫu nhiên tuân theo các định luật thống kê

Đại lượng ngẫu nhiên liên tục, ví dụ năng lượng của hạt β khi phân rã hạt nhân, có thể nhận những giá trị bất kỳ trong một vùng nào đó Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc chỉ

nhận những giá trị chính xác nhất định, khác nhau một lượng hữu hạn, ví dụ số các số đếm của máy đếm của cũng các hạt β đó trong một đơn vị thời gian

Lưu ý rằng, trên thực tế luôn luôn đụng chạm đến các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, bởi vì mọi đại lượng ngẫu nhiên liên tục đều chỉ có thể đo được gần đúng với độ chính xác đến một số nào đó sau dấu phảy Phép gần đúng về tính liên tục của đại lượng ngẫu nhiên cho phép sử dụng các phương pháp toán học đơn giản hơn Nó đúng khi bước rời rạc nhỏ và việc chuyển sang đại lượng ngẫu nhiên liên tục không dẫn đến những sai

số đáng kể

Ký hiệu đại lượng ngẫu nhiên bằng chữ cái in hoa, ví dụ X, còn giá trị cụ thể của

nó là chữ cái viết thường, trong trường hợp này là x

Tần suất xuất hiện các giá trị riêng của đại lượng được đo tuân theo một định luật

phân b ố xác suất của đại lượng ngẫu nhiên nào đó, hoặc nói ngắn gọn, phân bố đại lượng ngẫu nhiên Trong trường hợp đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì mỗi xác suất p(x i) được

gán cho một giá trị x i của nó Tập hợp các giá trị xác suất p(x i ) được gọi là phân bố xác

su ất rời rạc Hàm p(x i ) nhận một giá trị nhất định chỉ khi x = x i và bằng 0 khi mọi giá trị

khác của x không bằng x i

-

* Chia ra thế giới vĩ mô và vi mô, nói chính xác, chỉ là tạm thời, bởi vì không thể tách bạch rõ ràng gianh giới giữa chúng, nhưng trên thực tế luôn luôn có thể chỉ ra

Đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì hàm p(x i ) có ý nghĩa của mật độ xác suất của đại lượng x, nghĩa là của xác suất phù hợp với khoảng đơn vị của đại lượng x

Giả sử, các phân bố xác suất p(x) và p(x i) là chuẩn, nghĩa là thỏa mãn điều kiện

rời rạc x i

Phân bố xác suất rời rạc của đại lượng ngẫu nhiên hoàn toàn được cho bởi tập hợp

các giá trị xác suất, hoặc hàm phân bố p(x i) Phân bố liên tục hoàn toàn được cho bởi mật

độ p(x) của nó Nói cách khác, biết các hàm p(x) và p(x i) có thể xác định tất cả các tính chất phân bố

Nếu có một hệ các đại lượng ngẫu nhiên X, Y, Z nào đó (ví dụ năng lượng của một

bùng phát trong lò phản ứng kiểu xung, số nơtron bùng phát và thời gian kéo dài xung)

thì có thể đưa ra khái niệm phân bố xác suất chung của các đại lượng ngẫu nhiên đó p(x,

y, z ) Trong trường hợp này thường đưa ra khái niệm vector ngẫu nhiên có các thành phần tương ứng thay cho hệ các đại lượng ngẫu nhiên, hoặc như thường nói, đại lượng

ng ẫu nhiên nhiều chiều có phân bố xác suất nhiều chiều

Trong nhiều trường hợp thường cần tách riêng các tính chất quan trọng nhất của phân bố Muốn vậy người ta đưa vào những đặc tính như giá trị trung bình, phương sai, tính không đối xứng

Để mô tả định lượng mối quan hệ giữa hai đại lượng ngẫu nhiên, sử dụng hệ số đối xạ

được gọi là giá trị trung bình, hoặc kỳ vọng toán học của đại lượng ngẫu nhiên (hoặc hàm

của đại lượng ngẫu nhiên) tương ứng với phân bố liên tục và phân bố rời rạc Đôi khi đại

lượng µ được gọi là giá trị trung bình thực

Nếu một quá trình nào đó được mô tả bằng phân bố thống kê, thì giá trị riêng của đại lượng ngẫu nhiên đặc trưng cho quá trình đó sẽ khác với giá trị trung bình của nó

Kỳ vọng toán học của tất cả các sai số có thể có không phải là đơn vị đo sai lệch của đại

lượng ngẫu nhiên, bởi vì đối với đại lượng ngẫu nhiên x có µ trung bình thì nó bằng 0:

điều được kiểm tra bằng tính toán trực tiếp

Sử dụng phương sai làm đơn vị đo độ tản mạn của đại lượng ngẫu nhiên so với giá trị trung bình của nó Giá trị trung bình của bình phương các sai số so với giá trị trung

bình của đại lượng ngẫu nhiên được gọi là phương sai Ký hiệu phương sai là D(X) hoặc

σ2(X) [Đối số ở σ(X) hoặc D(X) thường được bỏ qua hoặc được viết ở dạng chỉ số: σ2X

hoặc D X .] Giá trị dương của căn bậc hai phương sai σ(X) được gọi là độ lệch chuẩn, hoặc độ lệch toàn phương trung bình Đối với đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

Dễ dàng liên kết độ lệch chuẩn với xác suất của đại lượng ngẫu nhiên trong một phép đo trong một khoảng nhất định Người ta sử dụng một đại lượng, bằng bội của σ, cho một phần lớn hơn nằm ngoài khoảng này Khi đó xác suất đã nói sẽ bằng:

g g

Ở đâyP(µ−gσ ≤ ≤x µ+gσ) – xác suất cho đại lượng x nằm trong khoảngµ±gσ

Đối với phân bố Gauss [xem (1.17)], ví dụ khi g = 1 thì P(µ−gσ ≤ ≤x µ+gσ)=

0,68, còn khi g = 2 thì nó bằng 0,95 Điều đó có nghĩa là, khi có rất nhiều số đo của đại lượng ngẫu nhiên X thì có 68% trường hợp nó ở trong khoảng có gianh giới µ±gσ, còn

có 95% trường hợp – trong khoảng có gianh giới µ±2gσ

Biểu thức (1.5) có thể sử dụng không phải trong tất cả các trường hợp, bởi vì khoảng µ±gσcó thể lớn hơn khoảng thay đổi của đại lượng biến đổi Như vậy, đối với

phân bố Poisson (xem dưới đây) giá trị nhỏ nhất của x i bằng 0, còn khi µ nhỏ thì đại lượng µ – gσ có thể nhỏ hơn 0 Cũng cần lưu ý rằng, đối với các phân bố không đối

xứng (dạng phân bố Poisson) số lượng các giá trị x trong các khoảng µ + gσ và µ – gσ là

khác nhau

Chú ý đến một tính chất quan trọng của phương sai, nó dễ dàng nhận được bằng

tính toán trực tiếp: nếu có tập hợp n đại lượng ngẫu nhiên độc lập X i, thì phương sai của tổng các đại lượng đó bằng tổng các phương sai, nghĩa là

Đối với n đại lượng ngẫu nhiên X i có các phương sai như nhau

Ngoài phương sai hoặc độ lệch chuẩn, các thăng giáng của đại lượng ngẫu nhiên

còn được đặc trưng bởi độ lệch toàn phương trung bình tương đối δ – một đại lượng

Nó âm, nếu mật độ xác suất p(x) dãn nhiều về bên trái µ, và dương nếu p(x) dãn về

phía phải µ Nếu phân bố đối xứng, thì thông số γ bằng 0

Bây giờ ta thảo luận về các dạng quan hệ giữa các đại lượng ngẫu nhiên, chẳng

hạn của hai đại lượng ngẫu nhiên liên tục X và Y có mật độ phân bố xác suất p(x, y) Các biến cùng thứ nguyên X và Y được gọi là độc lập về thống kê, nếu đối với tất cả các giá trị

có thể có của các biến đó thỏa mãn điều kiện

p x y( , )= p x p y( ) ( ), (1.9)

ở đây p(x) và p(y) – các mật độ phân bố xác suất cùng thứ nguyên

Có thể diễn giải tính độc lập thống kê của hai đại lượng ngẫu nhiên như sau: xác

suất nhận một giá trị nào đó của một trong số các đại lượng không phụ thuộc vào giá trị

của đại lượng khác Trong trường hợp ngược lại của mối quan hệ chặt, khi mỗi giá trị của

một đại lượng ngẫu nhiên này ứng với một giá trị duy nhất của đại lượng khác, đó là

quan h ệ hàm số y = f(x)

Phổ biến hơn cả là mối quan hệ giữa các đại lượng ngẫu nhiên không phải ở dạng hàm số và nó biểu hiện ở dạng trung bình, nói cách khác, mối quan hệ tồn tại giữa các giá trị trung bình của các đại lượng ngẫu nhiên Lưu ý rằng, thậm chí nếu sự phụ thuộc giữa hai đại lượng vật lý là dạng hàm số, thì sự phụ thuộc giữa các giá trị đo được của chúng khi có các sai số đo cũng biểu hiện ở dạng trung bình và ứng với mỗi giá trị của một đại lượng cũng là cả một tập hợp các giá trị của đại lượng khác Một trong những bài toán cơ bản của thống kê học là xác định các mối quan hệ giữa các đại lượng ngẫu nhiên

Mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y được gọi là hệ

s ố đối xạ ρ XY và được xác định bằng biểu thức

ngẫu nhiên rời rạc Đối với các X và Y không đối xạ thì hệ số đối xạ của chúng bằng 0 Nếu X và Y độc lập với nhau thì dễ dàng nhận thấy từ (1.9) và (1.10) là ρ XY = 0 Tuy nhiên, khẳng định ngược lại là không đúng, nghĩa là ρXY ≠ 0 thì X và Y không nhất thiết

là độc lập với nhau

Hệ số đối xạ thay đổi trong khoảng từ – 1 đến + 1 Đối xạ dương có nghĩa là,

những giá trị lớn của Y tương ứng với những giá trị lớn của X, còn đối xạ âm – những giá trị nhỏ của Y tương ứng với những giá trị lớn của X Chỉ khi có sự phụ thuộc tuyến tính giữa X và Y thì hệ số đối xạ bằng ±1

Bây giờ ta xét dãy các phân bố thống kê mà các nhà thực nghiệm hoạt động trong lĩnh vực vật lý hạt nhân thường xuyên phải đụng chạm đến Trước hết ta xét các phân bố

rời rạc: phân bố xác suất nhị thức và phân bố xác suất Poison, và sau đó là các phân bố

liên tục: phân bố của các tích phân, phân bố góc vuông, phân bố Gauss (chuẩn) và phân

bố χ2

Phân bố nhị thức Giả sử, biến cố nào đó chỉ có thể có hai kết quả: thành công và không

thành công Giả sử, xác suất kết quả thành công bằng Θ, khi đó xác suất kết quả không thành

công là 1 – Θ Nếu biến cố xảy ra N lần, thì xác suất p(x) của việc có kết quả thành công lặp lại x lần, còn không thành công là (N – x) lần, bằng tích của số các phép thử, mà nhờ chúng có thể chọn ra x trong số N, và xác suất của phép thử lúc đầu x lần có kết quả thành công lặp lại liên tiếp, còn sau đó (N – x) lần – không thành công Như vậy, xác suất x các kết quả thành công

Tập hợp các xác suất (1.11) được gọi là phân bố nhị thức Thật vậy, đại lượng ngẫu nhiên

X tuân theo phân bố (1.11), vốn hoàn toàn được đặc trưng bởi hai thông số : Θ và N

Trên hình 1.1 là hình dạng của phân bố nhị thức ở các giá trị Θ và N khác nhau

Hình 1.1 Phân bố nhị thức ở những giá trị của các thông số N, Θ khác nhau

[ theo trục tung – p(x)]

Định luật phân bố xác suất nhị thức mô tả quá trình có số lượng hữu hạn các phép thử N, mà từ

các phép thử đó thực hiện các lựa chọn thống kê Quá trình phân rã một nhóm các hạt nhân phóng xạ giống nhau là một ví dụ của quá trình như vậy Trong trường hợp đó xác suất kết quả

thành công (phân rã) bằng (1 – exp (– λt)), còn không thành công – exp (– λt), ở đây λ – hằng số,

không phụ thuộc vào thời gian, đặc trưng cho dạng hạt nhân đã cho Theo (1.11) có thể xác định

số hạt nhân x trong tổng số N hạt nhân đã phân rã trong thời gian t Áp dụng công thức (1.11) trong trường hợp này là có ý nghĩa nếu N không lớn, trường hợp ngược lại, xác suất phân rã sẽ

được mô tả tốt nhờ phân bố Poisson, theo công thức của phân bố này sẽ dễ dàng tính toán hơn

Một ví dụ khác của quá trình được mô tả bằng phân bố nhị thức – chùm hạt đi qua bia trong thực nghiệm xác định tiết diện tương tác của các hạt với các hạt nhân của bia Ở đây, kết quả thành công – phản ứng với bia, không thành công – các hạt đi qua bia mà không tương tác Công thức (1.11) cho phép tính toán số lượng phản ứng trong bia

Bằng tính toán trực tiếp dễ dàng nhận được giá trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên đối với

phân bố nhị thức là µ = NΘ, còn phương sai D = NΘ(1 – Θ)

Có thể nói rằng, đối với phân bố nhị thức, độ không đối xứng γ nhỏ hơn 0, nếu Θ < ½,

bằng 0 khi Θ = ½ và lớn hơn 0, nếu Θ > ½ Nếu Θ được cố định, thì γ → 0 khi N → ∞ đối với

mọi Θ

Phân bố Poisson Các đại lượng ngẫu nhiên, mà xác suất xuất hiện của chúng trong phép

thử riêng rẽ là nhỏ và không đổi, đều tuân thủ phân bố Poisson Nếu xác suất của việc biến cố sẽ

xảy ra trong một khoảng nhỏ (thời gian, không gian,…) ∆t, mà tỷ lệ thuận với độ dài của khoảng

đó, nghĩa là xác suất của biến cố bằng m∆t, ở đây m – đại lượng không đổi, thì xác suất x của các biến cố độc lập trong khoảng có độ dài t được xác định như sau:

ở đây µ = mt Biểu thức (1.12) còn được gọi là phân bố Poisson

Đi đến phân bố Poisson có thể bằng việc chuyển một cách có giới hạn từ phân bố nhị thức (1.11), sau khi đưa số lượng phép thử tiến tới vô cùng, còn xác suất kết quả thành công Θ tiến tới 0, sao

cho tích N Θ = µ vẫn còn là hữu hạn và không đổi Chuyển tiếp như vậy cho thấy rõ rằng, (1.12)

mô tả phân bố xác suất của những biến cố hiếm gặp

Phân bố Poisson khi thông số duy nhất µ có những giá trị khác nhau được minh họa trên

hình 1.2 Đại lượng µ có thể nhận các giá trị dương bất kỳ, trong khi đó x – chỉ nhận các giá trị nguyên dương Vì vậy p(x) chỉ có nghĩa khi x nguyên; trên hình 1.2 các giá trị p(x) được nối với nhau bằng các đường cong chỉ là để nhìn rõ Từ hình 1.2 suy ra rằng, p(x + 1)/p(x) = µ/(x + 1) Nếu µ < 1, thì p(x + 1)/p(x) < µ/(x + 1) với mọi x và p(x) đạt đến giá trị cực đại khi x = 0 Nếu như µ > 1, thì p(x) lúc đầu tăng khi x tăng, đạt đến giá trị cực đại khi x ≈ µ, còn sau đó giảm dần

Hình 1.2 Phân bố Poisson khi thông số µ có những giá trị khác nhau;

Những giá trị p(x) chỉ có nghĩa khi x nguyên

Có thể lấy việc ống đếm phóng điện qua khí ghi bức xạ phông, vốn do các sản phẩm phân

rã phóng xạ có trong môi trường xung quanh và bức xạ vũ trụ gây ra, làm ví dụ của quá trình được mô tả bằng phân bố Poisson Trong trường hợp này, việc ghi các hạt của ống đếm – biến cố ngẫu nhiên, có thể coi số các số đếm trung bình là không phụ thuộc vào thời gian, xác suất rơi vào ống đếm của hai hạt ion hóa trong khoảng thời gian bằng thời gian chết của ống đếm là nhỏ đáng bỏ qua, nghĩa là các số đếm là độc lập

Nếu trong (1.12) đặt x = 0, ta có

trị hữu hạn µ

Tính toán trực tiếp có thể cho thấy, giá trị trung bình x đối với phân bố Poisson thực chất bằng µ Từ đó có thể suy ra, ví dụ, nếu µ = mt và t – thời gian, thì m – cường độ của biến cố

Đáng lưu ý là phương sai của phân bố Poisson, vốn cũng dễ dàng thấy được bằng tính toán trực

tiếp bằng giá trị trung bình Đẳng thức D = µ được sử dụng rộng rãi để tính toán phương sai trong các trường hợp khi chỉ một phép đo x được thực hiện

Độ không đối xứng của phân bố Poisson, vốn bằng µ-1/2, luôn luôn dương và tiến tới 0 khi µ tăng, nghĩa là khi µ tăng thì phân bố ngày càng trở nên đối xứng hơn

Phân bố của độ kéo dài các khoảng Xét quá trình ngẫu nhiên được mô tả bằng phân bố

Poisson, ví dụ hoạt động của ống đếm nhấp nháy được chiếu xạ bằng nguồn có cường độ* thấp

và không đổi, ta sẽ nhận được biểu thức cho phân bố độ kéo dài của các khoảng thời gian giữa các số đếm kế tiếp nhau

Gọi tốc độ đếm trung bình – n số đếm trong một đơn vị thời gian Lấy thời điểm ban đầu

tùy ý ** t = 0 Lần đếm gần nhất sẽ diễn ra giữa các thời điểm t và t + ∆t, nếu trong khoảng thời gian t không có lần đếm nào, còn trong khoảng thời gian dt sẽ diễn ra một lần đếm Bởi vì các lần đếm độc lập với nhau nên xác suất cần tìm của việc, độ kéo dài khoảng đo nằm giữa t và ∆t chính là tích của xác suất biến cố thứ nhất exp (– nt) và xác suất biến cố thứ hai ndt Như vậy,

p (t)dt = ndt exp (– nt), từ đó ta nhận được phân bố độ kéo dài các khoảng:

p t( )=nexp(−nt). (1.14)

Rõ ràng, khi t tăng thì xác suất của việc, lần đếm là lần thứ nhất trong khoảng dt, sẽ giảm theo

hàm mũ Khoảng giữa các biến cố càng nhỏ thì xác suất thấy có khoảng như vậy càng lớn Phân

bố các khoảng không chỉ mô tả những phân bố theo thời gian (các số đếm của ống đếm, thời gian sống của các hạt không bền), mà còn mô tả những phân bố các khoảng theo không gian, ví dụ phân bố của cái được gọi là các electron-δ dọc theo vết của hạt ion hóa: trong biểu thức (1.14)

chỉ cần thay thời gian giữa các lần đếm liên tiếp bằng đoạn l giữa các electron-δ liền kề

Giá trị trung bình của độ kéo dài của khoảng và phương sai của nó được tính toán dễ dàng bằng

tích phân từng phần biểu thức (1.14) và bằng, tương ứng là n-1 và n-2 Lưu ý rằng, phương sai của phân bố các khoảng bằng bình phương giá trị trung bình, trong khi đó thì phương sai của phân bố Poisson bằng giá trị trung bình Độ lệch bình phương tương đối của phân bố các khoảng δ không

đổi và bằng 1 cho mọi n Phương sai lớn có nghĩa là, độ kéo dài của khoảng giữa các biến cố liên

tiếp có xác suất lớn, vốn không phụ thuộc vào cường độ trung bình, có thể khác rất nhiều so với giá trị trung bình của mình

-

* Giả thiết về cường độ nhỏ do cần bỏ qua thời gian chết của máy đếm

** Do tính độc lập của các số đếm trong các khoảng không chờm lên nhau nên việc chọn điểm bắt đầu đo không ảnh hưởng đến những kết luận sau đó Ví dụ, điểm bắt đầu đếm có thể trùng với một xung nào đó

Phân bố đều (đồng xác suất) hoặc vuông góc Nếu tất cả các giá trị của đại lượng ngẫu

nhiên trong khoảng từ a đến b là đồng xác suất, thì

( ) 0 khi , ; ( ) 1/ ( ) khi .

Đối với phân bố vuông góc, giá trị trung bình bằng (b – a/2), còn phương sai bằng (b – a)2/12

Phân bố Gauss (phân bố chuẩn) Phân bố Gauss (chuẩn) là phân bố quan trọng hơn cả

thường gặp trong thống kê Nó có dạng đường cong hình chuông đối xứng, lan đến vô cùng ở cả các hướng dương và âm Có thể nhận được trường hợp đặc biệt của phân bố Gauss có một thông

số bằng việc chuyển giới hạn (khi µ → ∞) từ phân bố Poisson Trong trường hợp đó, độ không đối xứng của phân bố Poisson tiến tới 0 (cũng như 1/ ) Khi thay x! trong công thức (1.12) bằng biểu thức gần đúng của nó, vốn đúng khi x lớn, và sử dụng hiện tượng là nếu µ tăng thì độ

rộng tương đối của phân bố Poisson giảm (δ = 1// )), có thể nhận được hàm phân bố ở dạng

p x( ) (1/ 2= πµ) exp[ (− x−µ) / (2 )].2 µ (1.16)

Trong công thức này x – đại lượng ngẫu nhiên liên tục; p(x), như thường lệ, mang ý nghĩa

mật độ xác suất Phân bố (1.16) là trường hợp đặc biệt của phân bố Gauss vốn có dạng:

lý hạt nhân, biểu thức (1.17) mô tả, ví dụ, phân bố những góc tán xạ đàn hồi khi hạt mang điện đi qua vật chất, phân bố quãng chạy của những hạt nặng mang điện trong vật chất, phân bố của các xung theo biên độ khi ghi các hạt mang điện bằng detector bán dẫn v.v…

Phân bố Gauss được sử dụng rộng rãi khi phân tích sai số của các thực nghiệm Việc sử dụng rộng rãi phân bố chuẩn trong lý thuyết đo là dựa trên những khẳng định đã được chứng minh trong lý thuyết xác suất rằng, đại lượng ngẫu nhiên, vốn là tổng của rất nhiều các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân bố hầu như tùy ý, được phân bố đúng như (1.17), nghĩa là, các điều

kiện để sử dụng định luật phân bố chuẩn khi mô tả các số liệu thực nghiệm sẽ xuất hiện trong các trường hợp, khi có thể thể hiện đại lượng ngẫu nhiên đang được xem xét ở dạng tổng đủ lớn của các số hạng độc lập, mà mỗi số hạng trong số đó có ảnh hưởng tương đối nhỏ đến tổng Tình trạng như vậy thường đặc trưng cho các thực nghiệm phức tạp Ta sẽ minh họa tính hội tụ vào phân bố chuẩn ở một ví dụ đơn giản của tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, vốn tuân theo

phân bố đều Dễ dàng thấy rằng, phân bố của tổng Z của hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập X và

Y , vốn có phân bố φ(x) và q(y), được xác định bằng tích phân

Thao tác này được gọi là tích chập các phân bố φ(x) và q(y) Nếu đại lượng đang xét Z là

tổng của ba đại lượng ngẫu nhiên hoặc nhiều hơn nữa, thì có thể nhận được phân bố của tổng đó bằng cách tích chập liên tiếp

Hình 1.4 Phân bố đều có a = 0 và b = 1 (1)

và phân bố của tổng hai đại lượng ngẫu

nhiên, mỗi đại lượng trong số đó phân bố

đều trong khoảng 0 – 1 (2) và phân bố của

tổng ba đại lượng ngẫu nhiên, mối đại lượng

trong số đó phân bố đều trong khoảng 0 – 1

(3), phân bố Gauss có µ = 1/2, 1 và 3/2 và δ

= 1/12, 1/6 và 1/4 (tương ứng 4 – 6)

Phân bố đều có a = 0 và b = 1 và phân bố của tổng hai hoặc ba đại lượng ngẫu nhiên cùng

thuộc phân bố như vậy, được trình bày trên hình 1.4 Để so sánh, cũng trên hình này đã đưa ra phân bố Gauss có các giá trị trung bình 1/2, 1 và 3/2 và có các phương sai tương ứng là 1/12, 1/6, và 1/4 Các diện tích dưới các đường cong đã chuẩn hoá

Rõ ràng, tổng của cả ba đại lượng ngẫu nhiên, mà các phân bố của chúng còn xa so với chuẩn, vẫn thống nhất với phân bố Gauss có giá trị trung bình và phương sai tương ứng

Phân bố χ 2 Phân bố χ2 (khi bình phương) được sử dụng rộng rãi khi kiểm tra tính phù hợp của các số liệu thực nghiệm với giả thuyết tiên nghiệm nào đó khi nhận những khoảng tin cậy cho các thông số thống kê, khi kiểm tra tính độc lập của các biến trong một loạt các bài toán khác nhau

Giả sử, X1, X2, …, X i , …, X v – tập hợp v các đại lượng ngẫu nhiên, mỗi đại lượng trong số

đó được phân bố theo định luật chuẩn với kỳ vọng toán học µi và phương sai δ2i của mình Các

bình phương của các giá trị chuẩn X i U i2 = (X i – µi)2/δ2i do tính ngẫu nhiên của X i– cũng là các đại lượng ngẫu nhiên Lấy tổng của chúng, tổng này là đại lượng ngẫu nhiên mới

vào v Nếu như không phải mọi đại lượng ngẫu nhiên v (hoặc không phải mọi biểu hiện của một

đại lượng ngẫu nhiên) là độc lập, thì số bậc tự do, vốn là thông số trong phân bố χ2, sẽ nhỏ hơn v

một lượng bằng số các mối liên hệ giữa các giá trị riêng biệt χ2 Trong các giáo trình toán thống

kê cho thấy, mật độ phân bố xác suất đối với χ2

p

v

χ = χ χ <χ < ∞ (1.21) Các đồ thị của phân bố này được trình bày trên hình 1.5

Hình 1.5 Phân bố χ2 ở những giá trị bậc tự

do khác nhau

Giá trị trung bình của χ2 bằng số bậc tự do M(χ2) = v, còn phương sai – 2v Đối với việc áp dụng,

quan trọng là phân bố xác suất tích lũy

2

* 0

χ

χ <χ = ∫ χ χ , vốn khó nhận được bằng cách lấy tích phân trực tiếp (1.21) Trong các tài liệu hướng dẫn về thống kê đưa ra các bảng chi tiết 2 2

*

P χ <χ cho các v khác nhau

1.3 Những đặc tính thống kê của các số liệu thực nghiệm

Sự khác nhau giữa giá trị đo được của đại lượng đang được nghiên cứu và giá trị

thực của nó được gọi là sai số đo, hoặc sai số của đại lượng được đo Khi đánh giá độ tin

cậy của các kết quả đo, người ta phân biệt hai nhóm sai số khác nhau về nguyên tắc: các

nhóm hệ thống (hoặc hiệu chuẩn) và thống kê (hoặc ngẫu nhiên)

Sai s ố hệ thống đặc trưng cho độ chính xác của việc chia độ và hiệu chuẩn thiết bị,

chuyển dịch thang đo của dụng cụ,… chúng xuất hiện ví dụ khi sử dụng giá trị không đúng của đại lượng mẫu chuẩn, khi tính toán không đúng các yếu tố bên ngoài vốn có thể

dự tính được ảnh hưởng của chúng đến quá trình đo Nếu nguồn sai số hệ thống (ví dụ, giá trị không đúng của tiết diện phản ứng “chuẩn”) được nhận ra, thì thông thường dễ hiệu chỉnh một cách thích hợp Khả năng loại trừ sai số hệ thống vẫn là dấu hiệu đặc trưng của nó Nhưng bình thường khó mà nhận ra sai số hệ thống cố định (hoặc thay đổi chậm) Việc so sánh các kết quả đo cùng một đại lượng, nhận được trong một số thực nghiệm khác nhau về nguyên tắc, là cách kiểm tra quyết định

Sai s ố thống kê đặc trưng cho tính tái hiện của các kết quả quan trắc sau khi khắc

phục được các sai số hệ thống Không thể loại bỏ chúng khỏi mỗi kết quả của các phép

đo

Sau đây sẽ chỉ xem xét các đặc tính thống kê của các số liệu thực nghiệm

Trước tiên ta phân tích trường hợp đo trực tiếp, khi đại lượng được đo trực tiếp có

liên quan đến đại lượng cần đo một cách đơn trị nghĩa là có thể tìm được giá trị của đại lượng ngẫu nhiên theo từng phép đo đơn lẻ

Nếu việc xác định một đại lượng vật lý X nào đó theo n giá trị đo đạc riêng biệt x1, x2,

…, xn là mục đích của thực nghiệm, thì có thể đặc trưng cho kết quả các phép đo nhờ một

số thông số thống kê Thông thường, để làm các thông số thống kê như vậy người ta sử dụng

1) giá trị X giống như thật hơn cả, để làm giá trị này người ta sử dụng giá trị trung

bình ch ọn lọc;

2) phương sai phân bố của các giá trị riêng biệt của đại lượng được đo gần với giá trị

trung bình có tính chọn lọc, nghĩa là phương sai chọn lọc;

3) sai số của giá trị trung bình chọn lọc;

4) hệ số đối xạ chọn lọc (khi đo hai đại lượng ngẫu nhiên hoặc nhiều hơn)

Trong một loạt hữu hạn bất kỳ các phép đo, không thể đánh giá chính xác được cả giá trị trung bình thực µ, cả phương sai δ2, cả các yếu tố khác của hàm phân bố của một đại

lượng ngẫu nhiên Các hàm phân bố đã được xem xét trên đây mô tả tập tổng, nghĩa là,

tập hợp có tính giả thuyết của tất cả các giá trị có thể có mà đại lượng ngẫu nhiên có thể nhận

Trong thực nghiệm luôn luôn phải có việc chọn lọc – số lượng hữu hạn các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên Mục đích của phân tích thống kê – chỉ ra các phương pháp, nhờ

chúng mà có thể nhận được những giá trị của các thông số chưa biết thuộc tập tổng và

các sai số của chúng, vốn đến lượt mình được gọi là các đại lượng ngẫu nhiên

Xét các thông số thống kê

Giá trị trung bình chọn lọc <X>* Trên thực tế trong hầu hết các trường hợp người

ta sử dụng giá trị trung bình số học để tính toán giá trị trung bình thực

1

1

,

n i i

đại lượng x i được phân bố theo định luật chuẩn (hoặc gần định luật chuẩn)

Khi tăng số lần đo, X càng gần đến µ Kỳ vọng toán học của giá trị trung bình

chọn lọc trong điều kiện mỗi giá trị x iđều thuộc tập tổng với µi trung bình và phương sai

1 ( ) ( ),i

* Trong tài liệu, đôi khi ký hiệu giá trị trung bình chọn lọc là X

** Từ định nghĩa phương sai, dễ dàng có D(cx) = c2D (x), nếu c = const

Độ chính xác tính toán được xác định bằng biểu thức

D X( )=σ( ) /x i n, (1.26)

nó cho thấy, độ chính xác tăng tỷ lệ với n Hệ thức rất quan trọng này đúng cho mọi phân bố Cần nhấn mạnh rằng, nó nhận được khi có giả thiết rất cơ bản về tính độc lập

của các giá trị riêng biệt x i

Phương sai chọn lọc s2 Trong các biểu thức (1.25) và (1.26) đã giả định rằng, đã

biết phương sai phân bố của đại lượng X Trên thực tế cũng chỉ có thể xác định được

phương sai chọn lọc

Việc tính toán s2 của giá trị thực của phương sai σ2 cần dựa trên giá trị trung bình

chọn lọc <X> và tập hợp hữu hạn các kết quả đo riêng biệt Trong trường hợp đó, biểu thức cho phương sai chọn lọc s2 sẽ nhận được từ biểu thức cho σ2 (1.4) bằng cách thay µ

bằng <X> và chuyển từ lấy trung bình theo tập tổng sang lấy trung bình theo số lượng hữu hạn n phép đo:

Như vậy, giá trị tốt nhất của phương sai thực σ2, được biểu diễn qua các kết quả

của số lượng hữu hạn n các phép đo độc lập của đại lượng ngẫu nhiên X, có dạng sau:

1( ) 1

n i i

=

∑ đã thay cho n đại lượng ngẫu nhiên (x i – <X>), vì vậy có n

– 1 đại lượng ngẫu nhiên độc lập

Lưu ý rằng, khi rút ra biểu thức (1.29) đã không đưa thêm vào bất kỳ giả thiết nào

về đặc trưng phân bố của đại lượng X, nghĩa là, giá trị phương sai là đúng cho mọi phân

bố

Trong trường hợp chỉ có một phép đo đại lượng X thì giá trị trung bình chọn lọc <X> = x

Khi đó phương sai dường như bất định, bởi vì không biết độ tản mạn của các số liệu thực nghiệm Ví dụ, đối với phân bố Gauss phương sai là thông số độc lập, không có liên quan nào với giá trị trung bình Tuy nhiên, như đã thấy, nếu như có cơ sở để giả thiết

rằng, phân bố đã cho là phân bố Poisson, mà trong vật lý hạt nhân điều đó thường xảy ra, thì có thể tính toán giá trị σ2 như sau:

σ2 ≈ X ≈x. (1.31)

Sai số của giá trị trung bình chọn lọc σ<x> Như đã nói trước đây, thông thường

mục đích của một loạt n các phép đo độc lập một đại lượng vật lý X nào đó x 1 , x 2 , …, x n

là tìm ra giá trị chọn lọc <X> của nó, và xác định xác suất của việc, giá trị trung bình

chọn lọc khác giá trị trung bình thực µ ở mức độ ít hơn so với một giá trị cho trước nào

đó Để làm đại lượng như vậy thường chọn sai số toàn phương trung bình (hoặc sai số

chu ẩn) của giá trị trung bình σ<x>*

Trên đây đã nói, độ chính xác của giá trị µ theo giá trị trung bình chọn lọc <X>

tăng tỷ lệ với (1.25) Định lý giới hạn trung tâm của thống kê học cho phép đưa ra kết

luận về phân bố <X> Nó khẳng định rằng, nếu đại lượng ngẫu nhiên có giá trị trung bình

µ và phương sai hữu hạn σ, thì khi khối lượng chọn n tiến đến vô cùng**, phân bố của giá

trị trung bình chọn lọc <X> sẽ tiến đến phân bố chuẩn với giá trị trung bình µ và phương

sai σ2/n Khi đó, phân bố X không hoàn toàn nhất thiết phải là phân bố chuẩn Khi n nhỏ

(chọn một lượng không lớn), phân bố các giá trị trung bình chọn lọc luôn luôn gần chuẩn hơn so với phân bố của các biến cố khởi nguồn

Việc <X> tiến tới phân bố chuẩn cho phép xác định sai số toàn phương trung bình

của giá trị trung bình chọn lọc σ<x>, bằng căn bậc hai của phương sai phân bố các giá trị trung bình chọn lọc Theo định nghĩa σ<x> = σ/ , ở đây n – số lượng phép đo; σ – độ lệch bình phương trung bình của phân bố X Để tính toán sai số toàn phương trung bình,

thay giá trị độ lệch chuẩn chưa biết bằng giá trị chọn lọc của nó theo (1.29) Khi đó

2 1

1

( ) ( 1)

n i X

i

n n n

σσ

<X>, trong khi độ lệch chuẩn được xác định bằng chính quá trình vật lý và không phụ

thuộc vào số lượng phép đo Nói cách khác, khi tăng số lần đo, có thể nhận được giá trị trung bình chọn lọc <X> ngày càng gần với giá trị trung bình thực khi không có các sai

số hệ thống và đối xạ giữa các lần đo riêng biệt, nhưng khi đó những lần đo riêng biệt sẽ thăng giáng tỷ lệ với độ lệch chuẩn của chính đại lượng ngẫu nhiên và khi σ lớn thì những thăng giáng đó rất rõ rệt Ví dụ, có thể dễ dàng đo khoảng thời gian trung bình giữa các số đếm của ống đếm bức xạ ion hóa với sai số toàn phương trung bình dưới 10-3, trong khi đó xác suất nhận biết khoảng đó trong mỗi lần đo riêng biệt, vốn vượt quá 2 lần hoặc hơn nữa so với các khoảng trung bình, là bằng 0,134

Lưu ý rằng, từ (1.32) suy ra, khi số lần đo tiến gần tới vô cùng thì σ<x> → 0 Kết luận đó, vốn đúng đối với các phép đo độc lập, lại không xác đáng khi có đối xạ giữa các phép đo riêng biệt Có thể cho thấy, ví dụ, trong trường hợp các phép đo chính xác như nhau có hệ số đối xạ dương ρ giữa mỗi cặp đo như nhau, σ<X> sẽ tiến tới giá trị hữu hạn

σ ρ

Độ chuẩn của phân bố <X> gần µ là quan trọng để hiểu ý nghĩa cách ghi chép

các kết quả đo đại lượng X mà các nhà vật lý thường sử dụng: <X> ± σ <X> Viết như vậy

là giả định rằng, với xác suất 0,68 đại lượng chưa biết µ (giá trị trung bình thực) nằm

trong khoảng <X> ± σ <X> Xác suất đó tăng lên đến 0,95 nếu khoảng đó tăng đến <X> ±

2σ<X>

Hệ số đối xạ chọn lọc q Trong thực nghiệm, không phụ thuộc vào việc liệu đại

lượng được đo là rời rạc hay liên tục, có thể chỉ nhận được một tập hợp hữu hạn các giá trị của đại lượng đó Vì vậy hệ số đối xạ giữa hai đại lượng ngẫu nhiên được tính toán

theo việc chọn hữu hạn các giá trị của nó Đối với cách chọn có chứa n cặp giá trị (x i , y i)

của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y, hệ số đối xạ chọn lọc q được xác định bằng biểu

ở đây <X>, <Y> và s X, s Y được xác định theo (1.22) và 1.27)

Trong thực tế, để xác định q cần tiến hành rất nhiều thực nghiệm, đặc biệt trong

trường hợp các sự phụ thuộc đối xạ yếu, điều này có liên quan đến, như thường nói, độ

ổn định thống kê kém của hệ số đối xạ Có thể coi là đủ tin cậy khi xác định hệ số đối xạ trong trường hợp giá trị của nó lớn hơn 0,1

Sai số của các phép đo không trực tiếp Những biểu thức cho các sai số đã được

xem xét trên đây là thuộc về các đại lượng ngẫu nhiên được đo trực tiếp Trong các thực nghiệm có phức tạp bao nhiêu đi nữa thì đại lượng ngẫu nhiên được nghiên cứu cũng là kết hợp phức tạp của rất nhiều các đại lượng ngẫu nhiên được đo Những phép đo như

vậy được gọi là không trực tiếp Có thể nhận được dạng quan hệ giữa các đại lượng được

đo trực tiếp và đại lượng cần tìm nhờ các định luật vật lý đã biết cũng như trên cơ sở các

Triển khai hàm Z(X) thành chuỗi Taylor đối với điểm µ và giới hạn trong một số

số hạng đầu của dãy triển khai đó

Z x( )=Z( ) (µ + X −µ) ( ) (Z′ µ + X−µ)2Z′′( ) / 2 µ + (1.34)

Lấy trung bình theo phân bố X, hoặc, cũng như vậy, tính kỳ vọng toán học, ta nhận

được biểu thức gần đúng sau:

M Z X[ ( )]≈Z( ) 0µ + +σ2Z′′( ) / 2 µ +

Bỏ qua các số hạng bậc hai và bậc lớn hơn, ta có

M Z X[ ( )]≈Z( ).µ

Bây giờ, dùng biểu thức đó, ta viết biểu thức gần đúng cho phương sai:

D Z X[ ( )]=M Z X[ ( )−M Z X[ ( )]]2 ≈M Z X[[ ( )−Z( )] ],µ 2 (1.35) nghĩa là, phương sai xấp xỉ tuyến tính của hàm bằng kỳ vọng toán học của bình phương hiệu số giữa hàm và giá trị của hàm tại điểm µ

Từ (1.34), khi bỏ qua các số hạng bậc hai, ta có

Trong trường hợp, khi đại lượng cần tìm Z là hàm của m đại lượng ngẫu nhiên độc lập X i,

người ta sử dụng phép triển khai m chiều thành chuỗi Taylor lân cận điểm có tọa độ µ i Lập luận tương tự như trên sẽ dẫn đến biểu thức cho phương sai xấp xỉ tuyến tính:

[ ( ) / ]

m

i i i X

Một lần nữa nhấn mạnh rằng, (1.37) – công thức xấp xỉ, đúng khi độ lệch X i so với

µi không lớn Biểu thức (1.38) được sử dụng rộng rãi khi phân tích các sai số, và kết quả

đo Z được viết ở dạng

Z±σZ . (1.39)

Khi đó trong phần lớn các trường hợp đều giả định, nhưng không bắt buộc rằng,

phân bố < Z > gần với chuẩn Tính hội tụ tốt của phần lớn các phân bố tới chuẩn, thậm

chí cả khi không có nhiều biến độc lập, và giá trị nhỏ của các sai số toàn phương trung bình tương đối trong các thực nghiệm thông thường đều chứng thực cho giả định đó

Khắc nghiệt hơn là điều kiện độc lập của các đại lượng ngẫu nhiên X i Nếu X i đã được đối xạ, thì biểu thức cho phương sai trở nên phức tạp và trong đó xuất hiện các số hạng có các đạo hàm giao nhau

Minh họa hiệu ứng đối xạ ở ví dụ hàm Z (X 1 , X 2 , …, X m), vốn phụ thuộc tuyến tính

vào Xi, nghĩa là hàm mà triển khai nó thành dãy Taylor dừng ở số hạng tuyến tính Cho Z (X 1 , X 2 , …, X m ) = a1X 1 +a2 X 2 , …, a m X m Theo định nghĩa

hạng không chéo bằng 0, nếu tất cả các đại lượng ngẫu nhiên X i độc lập Thực vậy, giả sử

kỳ vọng toán học của tích các đại lượng ngẫu nhiên độc lập bằng tích các kỳ vọng toán học của chúng, và chú ý đến (1.3) ta có

M X[( j−µj)(X k−µk)]=M X[( j−µj)] [(M X k−µk)] 0=

Khi đó

2 1

Nếu tồn tại đối xạ giữa X j và X k, thì kỳ vọng toán học của tích không bằng tích của các kỳ vọng toán học, nghĩa là,

số hạng của tổng kép trong (1.45) bằng m (m – 1) và như vậy, phương sai khi có đối xạ

có thể vượt xa phương sai cho các biến độc lập X i Thậm chí đối với hai biến độc lập, khi giả sử rằng ρik thay đổi trong khoảng từ – 1 đến + 1, phương sai có thể thay đổi từ 0 đến giá trị phương sai gấp đôi đối với hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập

Kiểm tra giả thuyết về luật phân bố Tiêu chí thích ứng 2

*

χ Việc đánh giá một cách tin cậy luật phân bố của một đại lượng vật lý nào đó, ví dụ phân bố theo góc của các nơtron tán xạ trên các hạt nhân của một nguyên tố nhất định, là mục đích của nhiều thực nghiệm trong vật lý hạt nhân Không thể xác định được luật phân bố chính xác của đại lượng ngẫu nhiên trong thực nghiệm, bởi vì muốn vậy cần phải có một lượng vô cùng lớn các phép đo để nhận được tập hợp tổng thể, còn từ một số hữu hạn các phép đo chỉ xác định được sự chọn lựa hữu hạn Từ đó có thể suy ra ngay kết luận rằng, thực nghiệm không thể chứng minh được tính đúng đắn của một giả thuyết (lý thuyết), mà chỉ cho phép đưa ra kết luận về tính không mâu thuẫn của nó với các số liệu thực nghiệm

Thông thường, trước khi tiến hành thực nghiệm đã hình thành một hoặc một số giả thuyết

đã được tiên nghiệm từ lý thuyết hoặc từ kết quả của những thực nghiệm trước đó, thường là gián tiếp Bởi vì đại lượng được đo (trong ví dụ của chúng ta – số số đếm của detector tùy thuộc vào góc tán xạ) – ngẫu nhiên, nên, thậm chí nếu luật phân bố của nó đã được biết chính xác, ở dạng chọn lựa hạn chế, cũng sẽ nhận thấy những sai lệch của các kết quả quan trắc so với tính toán theo phân bố Xuất hiện câu hỏi: liệu những sai lệch đã được nhận thấy của các đại lượng đã được đo so với lý thuyết đã tiên đoán là ngẫu nhiên hoặc có những sai lệch hệ thống, nghĩa là lý thuyết không đúng?

Tiêu chí kiểm tra giả thuyết về phân bố đã được tiên đoán được gọi là tiêu chí phù

h ợp Nhờ nó có thể xác định, sau khi đã cho trước cái gọi là xác suất tin cậy, liệu các

quan trắc thực nghiệm có thích ứng với giả thuyết tiên nghiệm hay không Xác suất tin cậy được xác định bằng các điều kiện của bài toán và được lấy gần bằng một – 0,9; 0,95

Trên thực tế thường sử dụng nhiều hơn cả là tiêu chí phù hợp 2

χ Ta sẽ xét tiêu

chí này Giả sử cần kiểm tra giả thuyết về việc, đại lượng ngẫu nhiên X tuân theo luật phân bố p(x) Xét thực nghiệm, trong đó nhận được n phép đo độc lập X Chia toàn bộ vùng thay đổi của X làm l khoảng ∆1, ∆2, …, ∆l và tính toán số lượng các giá trị đã đo

được của X đã rơi vào mỗi khoảng Bởi vì phân bố lý thuyết p(x) được giả định là đã biết,

có thể tính số lượng lý thuyết các giá trị X trong khoảng thứ i np i , ở đây p i – xác suất đại

lượng ngẫu nhiên rơi vào khoảng thứ i Nếu tần suất thực nghiệm n i khác nhiều so với np i

lý thuyết, thì cần gạt bỏ giả thuyết về tính thích ứng của lý thuyết và thực nghiệm Tiêu chí 2

χ tạo khả năng thể hiện một cách định lượng mức độ thích ứng này

Giả sử, giả thuyết được kiểm tra p(x) là đúng Khi đó đại lượng ngẫu nhiên n i tuân

theo phân bố nhị thức với kỳ vọng toán học p i n và phương sai np i (1 – p i)

Trong giáo trình toán thống kê cho thấy, khi n→∞ thì tổng 2

=

−

∑ có phân bố

2

χ với v = l – 1 bậc tự do không phụ thuộc vào luật phân bố của đại lượng ngẫu nhiên X

Sử dụng tiêu chí sau đây làm thước đo sai lệch giữa lý thuyết (np i) và thực nghiệm

(n i)

2 2

* 1

χ được mô tả bằng công thức (1.21)

chỉ khi n → ∞ Trên thực tế, để n i lớn hơn 5 là hoàn toàn đủ Trong trường hợp ngược lại, người ta tăng các khoảng ∆i (khi xây dựng tiêu chí 2

*

χ không đòi hỏi các khoảng phải

bằng nhau)

Chương 2

TƯƠNG TÁC CỦA BỨC XẠ ION HÓA VỚI VẬT CHẤT

2.1 Những nhận xét chung

B ức xạ ion hóa – đó là dạng bức xạ, mà tương tác của nó với môi trường sẽ dẫn

đến việc tạo ra các ion có dấu khác nhau Bức xạ ion hóa bao gồm các hạt mang điện có

động năng đủ để ion hóa trong các va chạm nguyên tử, được gọi là bức xạ ion hóa trực

ti ếp Bức xạ ion hóa trực tiếp có thể cấu tạo từ các proton, điện tử, hạt α, các mảnh phân

hạch,… Thuộc bức xạ ion hóa gián tiếp là dạng bức xạ mà kết quả tương tác của nó với môi trường có thể tạo ra bức xạ ion hóa trực tiếp Bức xạ ion hóa gián tiếp có thể bao gồm các photon, nơtron, các mezon trung tính,…

Tương tác của bức xạ với các điện tử, nguyên tử, hạt nhân của môi trường diễn ra

do tác động của các lực khác nhau: culông, điện từ, hạt nhân Nếu tính đến việc, các tương tác có thể là đàn hồi và không đàn hồi, thì số lượng các quá trình khác nhau sẽ rất lớn

Trong chương này chỉ xem xét các tương tác, căn bản là để ghi bức xạ trong một vùng năng lượng nhất định.Truyền thống trong vật lý hạt nhân năng lượng thấp và trung b‡nh là nghiên cứu các hiện tượng khác nhau trong vùng năng lượng của các hạt mang điện và các photon từ hàng chục keV đến hàng chục MeV Các tương tác nơtron đáng quan tâm trong khoảng năng lượng rộng hơn rất nhiều: từ phần trăm eV đến hàng chục MeV Khi quan tâm đến các dải năng lượng đó và các tính chất cụ thể của các bức xạ khác nhau, thuận lợi hơn cả là xem xét các quá trình tương tác chủ yếu một cách riêng biệt đối với các dạng bức xạ ion hóa sau đây: các hạt nặng mang điện mà khối lượng của chúng lớn hơn nhiều so với khối lượng của điện tử, các hạt nhẹ mang điện (điện tử và positron), các photon và các nơtron Phân loại như vậy thuận tiện cho những lý giải sau đây Khi đi qua vật chất, các hạt mang điện tiêu hao phần lớn năng lượng của mình để ion

hóa và kích thích các nguyên tử của môi trường (mất năng lượng cho ion hóa), cũng như

(tùy thuộc vào năng lượng và khối lượng của hạt) để bức xạ điện từ (mất năng lượng cho phát xạ), vốn xuất hiện trong chuyển động có gia tốc của các hạt mang điện Các tương tác culông với các hạt nhân của môi trường cũng có ảnh hưởng rõ rệt đến những mất mát năng lượng và thay đổi hướng chuyển động của các hạt Khác biệt chủ yếu trong tương tác của các hạt mang điện nặng và nhẹ là ở chỗ, đối với các hạt nặng trong dải năng lượng đang xét điều chủ yếu là mất năng lượng cho ion hóa và đường đi của chúng trong môi trường hầu như là thẳng, còn đối với các hạt nhẹ, ngược lại điều đáng kể là mất năng lượng cho phát xạ và quỹ đạo của chúng trong môi trường không phải là thẳng Các photon và nơtron không mang điện và vì vậy chúng không tạo ra bất kỳ hiệu ứng phóng

xạ và ion hóa rõ rệt nào Nhưng do các va chạm đàn hồi và không đàn hồi (hạt nhân, điện từ) với các nguyên tử và các hạt nhân của môi trường, các photon (chủ yếu do tương tác điện từ với các nguyên tử) và các nơtron (chủ yếu do tương tác với các hạt nhân) tạo ra các hạt mang điện tự do (các điện tử, hạt nhân giật lùi, các hạt α,…)và mất đi phần lớn năng lượng của mình

Năng lượng mất do bức xạ trong môi trường và đã tiêu hao trên một đơn vị quãng đường tính bằng gam trên 1 cm2, hầu như không phụ thuộc vào trạng thái tồn tại của môi trường

đó (khí, chất lỏng, vật rắn) Việc hấp thụ năng lượng trong môi trường dẫn đến những hiện tượng sẽ được sử dụng để ghi bức xạ Sự biến đổi năng lượng đã được hấp thụ và những hiện tượng kèm theo nó phụ thuộc rất nhiều vào trạng thái tồn tại của vật chất Trong chất khí, do mất năng lượng cho ion hóa mà tạo ra các điện tử tự do và các ion, điều này làm thay đổi điện trở của khối khí Trong các chất bán dẫn, khi mất năng lượng cho ion hóa cũng tạo ra các phần tử mang điện tích âm và dương, điều này cũng làm thay đổi điện trở Trong một số tinh thể, năng lượng bị hấp thụ chuyển hóa thành bức xạ điện

từ trong phần phổ nhìn thấy được Các hiện tượng đó và những hiện tượng khác xuất hiện khi bức xạ tương tác với vật chất và những đặc tính định lượng của chúng được xem xét khi trình bày các cơ sở vật lý ghi đo (xem các chương 5 – 9)

2.2 Tương tác của các hạt nặng mang điện với vật chất

Khi di chuyển trong vật chất, các hạt nặng mang điện mất năng lượng của mình chủ yếu do các va chạm culông không đàn hồi với các nguyên tử, dẫn đến ion hóa và kích thích các lớp điện tử của các nguyên tử Như vậy, trong trường hợp ion hóa, năng lượng của hạt được truyền cho điện tử Trong mỗi hành động ion hóa, hạt mất đi một phần tương đối nhỏ năng lượng của mình (năng lượng lớn nhất có thể truyền cho điện tử không

quá 4 mE/M, ở đây m – khối lượng điện tử; M – khối lượng của hạt mang điện; E – động năng của hạt) và lệch đi một góc nhỏ (lệch lớn nhất là một góc m/M) Hạt còn tiêu hao

một lượng năng lượng nhỏ hơn nữa khi kích thích nguyên tử (không lớn hơn năng lượng liên kết của điện tử trong nguyên tử) Vì vậy có thể coi quá trình mất năng lượng của hạt mang điện do các va chạm culông không đàn hồi với các nguyên tử là liên tục, còn chuyển động của hạt nặng mang điện – hầu như thẳng

Trong vùng năng lượng đang xét, những mất mát năng lượng của các hạt mang điện do tán xạ culông đàn hồi trong các hạt nhân là nhỏ so với ion hóa, điều này có liên quan chủ yếu đến xác suất nhỏ của quá trình tán xạ của các hạt mang điện ở các góc lớn Tuy nhiên cần phải tính đến hiệu ứng đó khi nghiên cứu chi tiết đường đi của hạt mang điện, bởi vì tán xạ culông nhiều lần của các hạt mang điện trên các hạt nhân dẫn đến việc phân tán rõ rệt hướng chuyển động của chúng Các tương tác hạt nhân trong các quá trình mất năng lượng của hạt mang điện bắt đầu mang lại phần đóng góp rõ rệt khi năng lượng

đủ cao, khi mà năng lượng của hạt mang điện cao hơn rào cản culông và những mất mát ion hóa nhỏ Thật vậy, đối với proton được làm chậm trong grafit, tương tác hạt nhân là đáng kể khi năng lượng proton lớn hơn hoặc gần bằng 30 MeV, còn đối với các hạt α – cao hơn 100 MeV Trong khi đó, các tương tác hạt nhân trong chì đối với các proton là đáng kể khi năng lượng cao hơn 200 MeV, còn đối với các hạt α – khi năng lượng còn cao hơn

Đối với các hạt nặng mang điện có điện tích lớn (các mảnh phân hạch), có thể không cần để ý đến các tương tác hạt nhân (rào cản culông cao), tuy nhiên đối với chúng, mất mát năng lượng do tán xạ culông trên các hạt nhân của vật chất lại đáng kể hơn

Như vậy, trong vùng năng lượng dưới 50 MeV, đối với các hạt nặng mang điện chỉ có tương tác culông với các nguyên tử (không đàn hồi – nguyên nhân mất năng lượng chủ yếu) và với các hạt nhân (đàn hồi – nguyên nhân chủ yếu xuất hiện sự phân tán hướng chuyển động) là có ý nghĩa để xem xét

Mất năng lượng cho ion hóa Trong phép gần đúng cổ điển, một tính toán tương

đối đơn giản, do Bor thực hiện, đã cho phép đánh giá những mất mát năng lượng riêng của các hạt mang điện do tương tác với các điện tử Giả sử hạt đang chuyển động theo

hướng x đi cách một đoạn y (thông số ngắm) cách một điện tử tự do đang đứng yên Ta

cho rằng do tương tác với hạt mà điện tử sẽ chuyển động chậm tới mức có thể bỏ qua sự dịch chuyển của nó khi tính toán hình dạng của điện trường và lực mà hạt đang chuyển động tác động lên nó Giả định này đương nhiên là không đúng, nếu vận tốc của hạt tương đương với vận tốc mà điện tử nhận được khi va chạm, nghĩa là trong trường hợp

các giá trị của thông số ngắm là cực tiểu ymin Tuy nhiên giả định này cho phép đánh giá một cách rất đơn giản xung lượng đã truyền cho điện tử, bởi vì trong trường hợp này, hợp phần của xung lượng khác 0 chỉ ở hướng vuông góc với hướng chuyển động của hạt Giá

trị của xung lượng đó về bậc bằng tích của lực tĩnh điện (ze2/y2) với thời gian tác động

của nó (~ y/v) Như vậy, năng lượng điện tử nhận được sau một va chạm:

(ze2/ y2 2) ( / ) / 2y v 2 m=e4 /z2(2mv2/y2).

Nếu mật độ điện tử trong môi trường là nZ thì mất mát năng lượng của hạt mang

điện trên một đơn vị quãng đường do tương tác của hạt mang điện với các điện tử trong

lớp 2 ydy tỷ lệ với [2πnZz e2 4 / (mv2 )](dy y/ ) Mất mát năng lượng toàn phần trên một

đơn vị quãng đường do tương tác với tất cả các điện tử (với mọi y khả dĩ)

dE dx/ ≈ 2 [π e z4 2/mv2)]nZln(y max /ymin ). (2.1)

Có thể xác định giá trị giới hạn của thông số ngắm trong (2.1), vốn nhận được trong giả định tương tác của hạt mang điện với các điện tử tự do từ những lập luận sau đây Lưu ý rằng, năng lượng các hạt mang điện mất đi sau một va chạm với một điện tử

tự do tỷ lệ nghịch với bình phương của thông số ngắm, nghĩa là,

này được đặc trưng bởi cái gọi là thế ion hóa trung bình I Như vậy,

ln(E max /Emin ) ln(2 = mv2/ ).I

Những tính toán chi tiết hơn, có tính đến các hiệu ứng cơ lượng tử và tương đối tính, đã cho phép Bete nhận được biểu thức chính xác hơn cho mất mát năng lượng trung bình của hạt trên một đơn vị quãng đường:

dE dx/ =[4πe z4 2 / (mv) )]2 nZln(2mv2/ )I −β2−ln(1−β2)], (2.2)

ở đây β = v/c Đại lượng dE/dx được gọi là khả năng hãm của vật chất

Tính toán các mất mát năng lượng riêng theo (2.2) là đúng nếu các vận tốc của các hạt không quá nhỏ Điều này là do khi vận tốc nhỏ thì có khả năng các hạt mang điện bắt

và và làm mất các điện tử Quá trình này không được tính đến trong biểu thức (2.2) Ngoài ra, khi năng lượng của các hạt mang điện nhỏ thì thế ion hóa trung bình bắt đầu phụ thuộc vào vận tốc của hạt

Thế ion hóa trung bình thay đổi từ 15,6 eV đối với hydro đến 810 eV đối với

urani Đối với các nguyên tố từ Z > 47, tỷ số I/Z ≈ 8,8 ± 0,3

Sự phụ thuộc khả năng hãm các hạt khác nhau của không khí vào năng lượng được trình bày trên hình 2.1 Rõ ràng, các hạt có điện tích như nhau ở mức năng lượng cao hơn

hàng trăm MeV có mất mát riêng hầu như giống nhau Rõ ràng là nếu dựng dE/dx là hàm của vận tốc hạt thì đối với các hạt có z như nhau, chúng sẽ như nhau trong toàn bộ vùng

năng lượng

Hình 2.1 Sự phụ thuộc khả năng hãm của

không khí ở điều kiện tiêu chuẩn vào động

năng của các hạt khác nhau:

1 – hạt α; 2 – deutron; 3 – proton; 4 –

µ-meson; 5 – điện tử (đường đứt – có tính đến

mất mát phóng xạ)

Mối liên hệ giữa năng lượng và độ dài quãng chạy Đường đi của các hạt nặng mang

điện trong vật chất hầu như là thẳng, còn mức tản mạn của các độ dài quãng đường không lớn, vì vậy có thể nói về độ dài quãng chạy của các hạt mang điện trong vật chất Sự thật, điều đó không phải đúng cho tất cả các hạt, bởi vì do tương tác hạt nhân hoặc culông với hạt nhân mà một số hạt có thể (với xác suất thấp) thay đổi đột ngột hướng chuyển động của mình hoặc thậm chí bị hạt nhân hấp thụ Ta tính độ dài quãng chạy của hạt và mối liên hệ của nó với năng lượng mà không quan tâm đến các tương tác hạt nhân và culông của các hạt với các hạt nhân

Khi biết sự phụ thuộc khả năng hãm của vật chất đã cho vào năng lượng của hạt, có thể

tính độ dài quãng chạy của hạt đã bị làm chậm từ năng lượng E0 đến năng lượng E1 Có thể viết

độ dài quãng chạy của hạt có điện tích z và khối lượng M trong vật chất có số nguyên tử Z ở dạng

Từ các công thức (2.4) và (2.5) thấy rằng, độ dài quãng chạy của hạt là hàm của vận tốc

của nó, hệ số tỷ lệ đứng trước nó hàm chứa những đặc tính của hạt M/z2 và của môi trường nZ

Vì vậy tỷ lệ các độ dài quãng chạy của các hạt khác nhau có cùng vận tốc đầu và cuối được xác định bằng hệ thức

trị v1 ≠ 0, chừng nào mà (2.2) còn đúng Tỷ số giữa các độ dài toàn phần quãng chạy (đến v1 = 0) của các hạt có các điện tích như nhau và các vận tốc ban đầu như nhau tỷ lệ thuận với tỷ số giữa các khối lượng của chúng Nhưng tỷ số giữa các độ dài của các quãng chạy toàn phần đối với các hạt có các điện tích khác nhau lại không xác định được bằng (2.6), bởi vì động thái của chúng khi vận tốc thấp (thay đổi thế ion hóa trung bình, mất và nhận điện tử) là khác nhau Mức hiệu chỉnh là rất không đáng kể Chẳng hạn, các độ dài quãng chạy của các proton và của các hạt α liên quan với nhau bằng hệ thức sau đây:

ℜ =p 1, 07ℜ − α 0, 20, (2.7)

ở đây ℜ và p ℜ – độ dài quãng chạy (cm) tương ứng của proton và hạt α có vận tốc ban đầu v α

trong không khí ở áp suất tiêu chuẩn

Để tính toán độ dài quãng chạy của proton trong không khí ở các điều kiện tiêu chuẩn có thể sử dụng công thức gần đúng sau đây, đúng cho năng lượng từ vài MeV đến 200 MeV:

ℜ =p ( / 9,3) ,E 1,8 (2.7a)

ở đây ℜ – độ dài quãng chạy của proton, m; E – năng lượng của nó, MeV p

Độ dài quãng chạy của các hạt mang điện, tính bằng gam vật chất trên 1 cm 2 , tăng lên khi

số nguyên tử của vật chất tăng Một mặt, điều đó có liên quan đến nguyên nhân cơ bản – khi tăng

số nguyên tử của vật chất thì số điện tử trong 1 g chất đó tăng lên Mặt khác, khi tăng Z thì thế

ion hóa trung bình cũng tăng lên, điều này dẫn đến giảm khả năng hãm của vật chất Có thể minh họa điều đã nói bằng các con số sau đây: độ dài quãng chạy của proton có năng lượng 10 MeV là 0,34 g/cm2 trong chì, 0,21g/cm2 trong đồng, 0,15 g/cm2 trong không khí và chỉ 0,055 g/cm2 trong hydro

Các tỷ số giũa các độ dài quãng chạy của các hạt mang điện trong các khí ở các áp suất như nhau được xác định bằng số điện tử trong phân tử khí Nếu không để ý đến sự thay đổi của

thế ion hóa I, thì các tỷ số giữa các độ dài quãng chạy tỷ lệ nghịch với số điện tử trong phân tử

khí Cần lưu ý điều đó khi tính toán các độ dài quãng chạy của các hạt mang điện trong các khí

có các phân tử phức tạp Thật vậy, độ dài quãng chạy trong metan nhỏ thua gần 5 lần so với trong hydro khi ở cùng một áp suất

Trong một số trường hợp cần quan tâm đến sự phụ thuộc của dE/dt vào quãng đường mà

hạt đã đi qua trong vật chất Hạt đi qua quãng đường càng lớn, thì vận tốc của nó càng nhỏ và như vậy, mất mát năng lượng riêng càng lớn [xem (2.2)] Nói cách khác, mật độ lớn nhất của các nguyên tử đã bị ion hóa và bị kích thích thấy được ở cuối quãng chạy của hạt

Những thăng giáng của các độ dài quãng chạy Các độ dài quãng chạy đo được của

các hạt có năng lượng như nhau cũng khác nhau một chút Điều đó có liên quan đến việc, khi làm chậm thì những mất mát năng lượng của hạt có đặc tính thống kê Ngoài ra, do tán xạ đàn hồi của các hạt mà các hình chiếu đường đi của chúng trên các hướng đã chọn là khác nhau Có thể đo được mức tản mạn của các độ dài quãng chạy, ví dụ, khi ghi số hạt đã đi qua độ dày khác nhau của vật chất (hình 2.2) Nếu lấy vi phân của phân bố đã đo được, ta sẽ nhận được phân bố các quãng chạy ( )p ℜ gần với giá trị trung bình ℜ , giá trị này được mô tả khá tốt bằng phân bố Gauss:

p( )ℜ dℜ =exp[ (− ℜ − ℜ) / 22 Dℜ]dℜ/ 2πDℜ, (2.8)

ở đây Dℜ– phương sai của phân bố ( )p ℜ Đối với các quãng chạy của các proton trong không khí, ví dụ, khi ℜ = 3 cm độ lệch toàn phương trung bình ∆ℜ ℜ ~ 2%, khi ℜ = 10 / 3 cm /

∆ℜ ℜ ~ 1,4% và khi ℜ = 105 cm ∆ℜ ℜ ~ 0,8% /

Hình 2.2 Sự phụ thuộc của số lượng tương

đối các hạt N đi qua lớp chất hấp thụ vào độ

dày lớp t (đường đứt – đạo hàm của sự phụ

thuộc đó)

Các tương tác culông đàn hồi của các hạt mang điện với các hạt nhân tăng lên khi tăng số nguyên tử của các hạt nhân môi trường, vì vậy đối với các chất có số nguyên tử lớn hơn thì những tản mạn các độ dài quãng chạy sẽ lớn hơn Đối với chì, ví dụ, chúng lớn hơn khoảng 1,5 lần so với không khí Những thăng giáng độ dài quãng chạy tương đối không lớn của các hạt mang điện cho phép xác định các mức năng lượng của các hạt theo các độ dài quãng chạy đo được

Tán xạ đàn hồi của các hạt mang điện bởi các hạt nhân Tương tác culông của

các hạt mang điện với các hạt nhân có thể dẫn đến thay đổi rõ rệt hướng chuyển động của hạt và năng lượng của nó Xác suất va chạm culông của hạt mang điện với hạt nhân được

mô tả bằng công thức Rezerford Khi giả định rằng, khối lượng của hạt nhỏ so với khối lượng của hạt nhân, công thức đó có dạng

Các công thức (2.9) và (2.10) nhận được khi giả định rằng, không có việc lớp điện

tử chắn điện tích hạt nhân và rằng điện tích hạt nhân là điện tích điểm Vì vậy các công thức này đúng trong một khoảng góc nhất định từ θmin đến θmax Góc θmin được nhận thấy khi hạt mang điện đi qua một đoạn khoảng bằng kích thước của lớp điện tử, kể từ hạt nhân, và về bậc, bằng tỷ số giữa bước sóng của hạt va vào λ= h/ p và bán kính chắn hiệu

dụng của hạt nhân a0Z-1/3 (a0 – bán kính Bor; 2 2 9

a = h me ≈ − cm); đối với hạt α có năng lượng 5 MeV, tương tác với các hạt nhân có khối lượng nguyên tử trung bình, nó là 5.10-5 sr (steradian) Góc θmax được nhận thấy khi hạt mang điện đi sát gần hạt nhân, nghĩa là, ở khoảng bằng bán kính hạt nhân kể từ tâm hạt nhân, và xấp xỉ bằng 0,5 sr

Chú ý đến những nhận xét trên, ta sẽ tính góc lệch trung bình của hạt khi nó chuyển động lệch khỏi hướng ban đầu và mất mát năng lượng trung bình do nó va chạm culông đàn hồi với các hạt nhân Khi hạt mang điện di chuyển trong vật chất sẽ có một lượng lớn các va chạm trên các góc nhỏ (góc tán xạ trung bình một lần va chạm xấp xỉ bằng 2θ min ), và sau khi đi qua lớp vật

chất t các hạt sẽ có phân bố theo các góc p(θ), vốn được mô tả bằng công thức sau đây:

p(θ) θ 2θexp( θ / θ ( )) θ/θ ( ).d = − 2 2 t d 2 t (2.11)

Bình phương trung bình của góc tán xạ θ ( ) 2 t phụ thuộc vào quãng đường hạt đã đi qua,

và có thể tính nó một cách đơn giản, khi giả định rằng, θ ( ) 2 t sau nhiều va chạm bằng tổng θ2i sau

mỗi va chạm và rằng, trên quãng chạy t năng lượng của hạt không thay đổi đáng kể

ở đây thừa số trước dấu tích phân – số va chạm trên quãng đường t, còn tích phân – bình phương

trung bình của góc tán xạ của hạt trong một va chạm

Dường như biểu thức dưới tích phân với độ chính xác trên 2% không thay đổi khi θ max < 1,4 sr, nếu đặt sin4(θ/2) ≈ θ4/16 và sinθ ≈ θ Khi đó giá trị của bình phương trung bình của góc tán xạ sẽ có dạng

  (2.14)

Trong (2.14) đại lượng pc được tính bằng MeV, t – gam trên 1 cm2, A – khối lượng

nguyên tử

Từ các hệ thức trên đây suy ra, θ 2 ( )t tăng nhanh khi tăng số thứ tự nguyên tử của các hạt

nhân-tán xạ và giảm động năng của các hạt

Khi sử dụng các công thức để tính toán θ 2 ( )t cần nhớ rằng, các tính toán được thực hiện

cho các hạt có khối lượng nhỏ so với khối lượng hạt nhân của các nguyên tử-tán xạ, và rằng, trên

đường của quãng chạy t vận tốc của hạt được giả định là không đổi Đối với các proton có năng

lượng 20 MeV đã đi trong đồng một quãng đường bằng độ dày 0,4 g/cm2 (đó là khoảng 1/5 độ dài quãng chạy), thì θ 2 ( )t ~ 3.10-3 rad

Để tính toán mất mát năng lượng trung bình trên một đơn vị quãng đường của hạt mang điện do các va chạm đàn hồi, cần nhân tiết diện tán xạ đàn hồi (2.9) với mất mát năng lượng trong một va chạm ∆E(θ) và lấy tích phân theo mọi góc tán xạ có thể có:

Giả sử rằng, tỷ số giữa khối lượng của hạt mang điện và khối lượng của hạt nhân M A, mà

ở đó xảy ra tán xạ, nhỏ hơn 0,2, sau khi lấy tích phân (2.15) ta có

( ) 2 2 4

упр

dE dx = πz Z e nM M E

{ 2 2 2 }

min

x | ln sin(θ / 2) | ( + M A−MM A− M ) / [2(M +M A) ] (2.17) Rất thú vị khi những mất mát năng lượng do các va chạm đàn hồi với các hạt nhân được

so sánh với các mất mát năng lượng cho ion hóa

2 ион

Những mất mát năng lượng của các mảnh phân hạch Các sản phẩm được tạo

ra khi các hạt nhân phân hạch – các nguyên tố có số khối lượng từ 70 đến 160 – được gọi

là các mảnh phân hạch Các mảnh phân hạch do các nơtron phân chia hạt nhân có năng

lượng không quá lớn (< 20 MeV) tạo ra hai nhóm với các số khối lượng trung bình 95 và

140 và các điện tích 38 và 54 Năng lượng trung bình của các mảnh nhẹ – gần 100 MeV,

còn của các mảnh nặng – 65 MeV Ngay sau khi phân hạch, mảnh nhẹ có điện tích + 20e, còn mảnh nặng là +22e Độ dài quãng chạy trung bình của các mảnh vỡ nhẹ trong không

khí ở các điều kiện tiêu chuẩn – khoảng 2,7 cm, còn của các mảnh vỡ nặng – 2,1 cm

Quá trình hãm các mảnh phân hạch trong môi trường khác với hãm các hạt mang điện khác, như các proton và hạt α, các hạt này bảo toàn được điện tích của mình hầu như suốt chiều dài quãng chạy Xác suất bắt và mất nơtron của các hạt này chỉ đáng kể ở cuối quãng chạy Các mảnh phân hạch liên tục thay đổi điện tích của mình trong quá trình

hãm, và điều này dẫn đến việc, mất mát năng lượng ion hóa riêng dE/dx có giá trị lớn

nhất ở điểm đầu quãng chạy của mảnh vỡ và liên tục giảm đi cùng với mất mát năng

lượng Nhớ rằng, đối với các proton và hạt α, dE/dx có giá trị lớn nhất ở cuối quãng chạy

Khi hãm các mảnh phân hạch trong môi trường, các va chạm culông đàn hồi có ý nghĩa căn bản Trong các công thức đã đưa ra trên đây cho các mất mát ion hóa luôn luôn giả định rằng, các hạt mang điện không mang theo điện tử, nghĩa là điện tích hiệu dụng của chúng trùng với điện tích hạt nhân của hạt mang điện Điều đó cũng đúng cho các proton (các hạt nhân của hydro), cho hạt α (hạt nhân hai lần ion hóa của hêli),… Tuy nhiên, điện tích trung bình của các mảnh phân hạch không trùng với điện tích hạt nhân của mảnh phân hạch Vì vậy những mất mát ion hóa tỷ lệ với 2 2

эф

z Z (ở đây zэф– đó là điện tích hiệu dụng của mảnh vỡ – hiệu giữa điện tích hạt nhân mảnh vỡ với tổng các điện tích của các điện tử trong lớp của nó), bởi vì các va chạm ion hóa diễn ra trên các khoảng cách giữa các nuclit có kích thước cỡ nguyên tử và ở đây chính điện tích hiệu dụng của các mảnh vỡ là căn bản [xem (2.1)] Những mất mát năng lượng trong các va chạm culông hạt nhân cũng tỷ lệ với 2 2

z Z , ở đây z – điện tích hạt nhân của mảnh phân hạch

[xem (2.15)] Trong trường hợp này, trong (2.15) có điện tích hạt nhân, bởi vì các va

chạm culông diễn ra ở khoảng cách gần tới mức có thể không tính đến sự có mặt của điện tích trong các lớp điện tử của các nuclit đó Như vậy, tỷ lệ giữa các mất mát năng lượng

do các va chạm culông đàn hồi của các hạt nhân và của các va chạm ion hóa tỷ lệ với

Z (z/zэф)2 Đối với các hạt nhân nhẹ đã ion hóa (các proton, hạt α) Z(z/zэф)2 = 1 Đối với

các mảnh phân hạch thậm chí ở ngay điểm đầu quãng chạy của chúng Z(z/zэф)2 ≈ 4, còn ở cuối quãng chạy tỷ lệ này đạt đến 400 hoặc hơn nữa Xác suất tương đối cao của các va chạm culông đàn hồi của các mảnh phân hạch với các hạt nhân làm tăng bình phương trung bình của góc tán xạ Do đó, các hạt nhân giật lùi cũng được hình thành với xác suất lớn, với khối lượng tương đối lớn của các mảnh phân hạch khi làm chậm chúng trong môi trường Các hạt nhân giật lùi này có thể đạt đến năng lượng đáng kể

Các điện tử thứ cấp khi hãm các hạt nặng Mỗi khi hạt mang điện va chạm ion hóa với

nguyên tử thì một hoặc vài điện tử được bứt ra Những điện tử nhanh nhất trong số đó có khả năng tạo ra quá trình ion hóa thứ cấp, mà theo đó có thể ghi được các điện tử thứ cấp này trong các dụng cụ đo vết Các điện tử thứ cấp, mà năng lượng của chúng lớn so với năng lượng ion hóa, được gọi là δ-điện tử Ta sẽ tính lượng δ-điện tử được hạt mang điện tạo ra trên một đơn vị đường đi Khi xem xét tương tác culông của các điện tử tự do đang đứng yên với các hạt mang

điện, có thể viết tiết diện hình thành δ-điện tử có năng lượng Eδ *:

dσ =[2πe z dE4 2 δ / (mv E2 δ2)], (2.19)

[Tiết diện làm điện tử có năng lượng Eδ khi hạt mang điện có thông số ngắm y được viết như

sau: dσ = 2 ydy Khi sử dụng mối liên hệ giữa Eδ và y [Eδ = e4z2/(2mv2y2)], dễ dàng có được

công thức (2.19)], ở đây v – vận tốc của hạt mang điện Các điện tử, bay theo hướng chuyển động của hạt, có năng lượng lớn nhất, bằng 4m e /M, vì vậy biểu thức (2.19) đúng khi Eδ ≤ 4m e /M

Khi nhân dσ với số điện tử trong 1 cm3 môi trường nZ, ta có số δ-điện tử được tạo ra trên

1 cm đường đi của hạt mang điện: dNδ = nZdσ Khi lấy tích phân (2.19) ta nhận được lượng điện tử có năng lượng Eδ >Eδ′ , được tạo ra trên 1 cm độ dài quãng chạy của hạt mang điện:

Nδ =[2πe z nZ4 2 / (mv2)][1/Eδ ′ −M / (4mE)] (2.20)

Trong nitơ, ở các điều kiện tiêu chuẩn, các proton có vận tốc v tạo ra số δ-điện tử như

sau:

Nδ =4,7.10 (1/−2 Eδ ′ −10 /1,02−3 β2) /β2, (2.21)

ở đây Eδ′ – năng lượng cực tiểu của δ-điện tử, keV; β = v/c đối với hạt mang điện

Khi năng lượng của các proton 10 MeV (β = 0,146) trên 1 cm độ dài quãng chạy xuất hiện gần 0,33 δ-điện tử có năng lượng cao hơn 5 keV

2.3 Tương tác của các điện tử với vật chất

Các điện tử với năng lượng tương đối nhỏ (≤ 2 MeV) khi di chuyển trong vật chất

sẽ mất năng lượng của mình do ion hóa và kích thích các điện tử nguyên tử, cũng giống như các hạt nặng mang điện Tuy nhiên, khác với các hạt nặng mang điện, điện tử trong một va chạm có thể mất phần lớn năng lượng của mình và tán xạ trên một góc lớn Điều

đó có nghĩa là, những thăng giáng trong chiều dài quãng chạy của các điện tử lớn hơn nhiều và đường đi của điện tử trong môi trường là không thẳng như trường hợp các hạt nặng mang điện

Tán xạ đàn hồi của các điện tử do các hạt nhân, cũng giống như của các hạt nặng mang điện, diễn ra chủ yếu ở các góc nhỏ, và những mất mát năng lượng có liên quan đến tán xạ đàn hồi trên các hạt nhân cũng không đáng kể

Do tán xạ trong trường culông của các điện tử và các hạt nhân, điện tử thay đổi hướng chuyển động của mình và như vậy, sẽ chuyển động tăng tốc Được biết, hạt mang điện chuyển động tăng tốc sẽ bức xạ năng lượng tỷ lệ với bình phương gia tốc Trong trường culông, gia tốc tỷ lệ thuận với điện tích và tỷ lệ nghịch với khối lượng hạt Do đó, những mất mát năng lượng cho bức xạ điện từ (hãm) đối với các hạt mang điện có khối lượng nhỏ là căn bản Cường độ bức xạ hãm đối với các hạt nặng mang điện trong vùng năng lượng đang xét nhỏ hơn nhiều bậc và vì vậy đã không được chú ý đến

Những mất mát ion hóa của năng lượng Khi các điện tử va chạm với nhau

chúng có thể mất một phần đáng kể năng lượng của mình (trung bình đến 1/2) Nhưng nếu giả sử rằng, điện tử sơ cấp luôn luôn có năng lượng lớn hơn so với điện tử giật lùi, thì lượng mất của nó là 1/4 Các tính toán mất mát năng lượng trên một đơn vị đường đi đã được Bete thực hiện Trong dạng tổng quát nhất chúng được xác định bằng công thức

ở đây e – cơ số của logarit tự nhiên

Giá trị trung bình dE/dx cho các điện tử được đưa ra trên hình 2.1 Những thăng

giáng mất mát năng lượng của điện tử lớn hơn đáng kể so với của các hạt nặng mang điện, điều này do dải năng lượng mà điện tử có thể mất trong một va chạm lớn hơn Do

đó, chùm điện tử đơn năng lượng sau khi đi qua lớp vật chất “bị xói mòn” về năng lượng (hình 2.3) Đương nhiên, trong trường hợp này phân bố điện tử theo năng lượng sau khi

đi qua lớp grafit có độ dày cho trước không chỉ là do những thăng giáng mất mát năng lượng Cả những va chạm đàn hồi nhiều lần của các điện tử với các nguyên tử, điều làm tăng quãng đường của một phần các điện tử trong chất hấp thụ, cũng có ý nghĩa không kém Nhưng cả trong trường hợp này, khi đã loại trừ ảnh hưởng của tán xạ nhiều lần (trong buồng Winson, ví dụ, có thể theo dõi đường đi của các điện tử riêng biệt), thì mức tản mạn mất năng lượng trên một đoạn quỹ đạo nhất định cũng lớn

Hình 2.3 Phân bố điện tử theo năng lượng

sau khi đi qua lớp grafit có độ dày khác

nhau (năng lượng ban đầu của các điện tử

2,83 MeV)

Những mất mát do phát bức xạ hãm Khi chuyển động có gia tốc, các điện tử

phát ra bức xạ điện từ, bức xạ này thường được gọi là bức xạ hãm Bức xạ hãm có phổ

liên tục, biên trên của nó được xác định bởi năng lượng của các điện tử Nếu biết tiết diện

phát photon với tần suất v, khi điện tử có năng lượng E tương tác với các nguyên tử môi trường, bằng σ (E, v) (cm2/s.nguyên tử), thì mất mát năng lượng do bức xạ hãm cho một đơn vị quãng đường, có thể được viết ở dạng sau đây:

max

рад 0

( / ) ( , )( ) ,

v

dE dx hvσ E v Ev dv

− = ∫ (2.24)

ở đây n, giống như trước đây – số nguyên tử trong một đơn vị thể tích môi trường, còn

vmax = E/h Xác suất phát photon của bức xạ hãm trong trường hạt nhân nguyên tử và trong trường điện tử tỷ lệ với v-1, vì vậy các mất mát do bức xạ hãm tỷ lệ với năng lượng của các điện tử

Để mô tả thuận tiện những mất mát phát xạ, đưa vào tiết diện hiệu dụng σрад, vốn không phụ thuộc vào năng lượng Giá trị trung bình các mất mát phát xạ vừa đưa vào bằng tích phân trong phương trình (2.24) chia cho năng lượng của điện tử, nghĩa là,

( −dE dx/ ) рад =nEσрад (2.25)

Nếu năng lượng của các điện tử thỏa mãn điều kiện E >> 1,37 mc2/Z1/3, thì σрад

không phụ thuộc vào năng lượng và bằng khoảng 2.10-27Z2 ln (183/Z1/3) Khi năng lượng điện tử thấp, σрад là hàm của năng lượng, nhưng sự phụ thuộc đó yếu

28 2{ 2 }

рад 6.10 Z 4 ln[2 / (E mc )] 4 / 3

σ ≈ − −

Ta sẽ so sánh những mất mát năng lượng của các điện tử cho việc ion hóa các nguyên tử

môi trường và cho bức xạ Những mất mát năng lượng cho ion hóa khi v ≈ c tỷ lệ với Z và logarit của năng lượng, còn mất mát cho bức xạ tăng tuyến tính với năng lượng và tỷ lệ với Z2, vì vậy khi năng lượng lớn những mất mát cho bức xạ chiếm ưu thế Có thể đưa đại lượng năng lượng

tới hạn Eкр vào, ở năng lượng đó những mất mát năng lượng cho ion hóa và những mất mát cho bức xạ là tương đương Dưới mức năng lượng đó những mất mát cho ion hóa chiếm ưu thế, còn trên – những mất mát cho bức xạ Bete và Hailer đưa ra hệ thức gần đúng giữa các mất mát năng lượng cho ion hóa và cho phóng xạ:

рад

2 ион

Đối với các trường hợp, khi E > Eкр và khi σ рад không phụ thuộc vào E, sau khi lấy tích

phân (2.25) ta sẽ nhận được mối quan hệ tuyến tính giữa logarit năng lượng của hạt và quãng chạy của nó Khoảng cách mà trên đó năng lượng của điện tử giảm đi e lần do bức xạ được gọi là

độ dài phóng xạ X0 Từ (2.25), giả sử σ рад không phụ thuộc vào năng lượng, dễ dàng nhận được

X0 = 1/(Nσрад ) Khi đó

− (dE dx/ ) / Е = 1/ Х 0 (2.27)

Độ dài phóng xạ thay đổi từ X0 = 5,8 g/cm2 đối với chì và X0 = 85 g/cm2 đối với hêli Phân bố năng lượng của cường độ bức xạ hãm, vốn được các điện tử phát ra khi hãm trong bia chì mỏng, được đưa ra trên hình 2.4 Trong trường hợp bia dày có kích thước lớn hơn một số độ dài phóng xạ thì phổ sẽ khác Để nhận được nó, cần làm đồng đều các phổ đã được đưa ra, chú ý đến các mất mát cho ion hóa và sự phụ thuộc σ (E)

Trong môi trường, khi quãng chạy bằng độ dài phát xạ, điện tử có năng lượng cao hơn

Eкр sẽ phát ra một photon có năng lượng tương đương với năng lượng của bản thân nó, và một số photon có năng lượng nhỏ hơn nhiều Các photon có năng lượng cao hơn 1.02 MeV có thể tạo ra các cặp điện tử-positron Như vậy, những thác điện tử-photon được hình thành

Phân bố theo góc của bức xạ hãm có tính có hướng được thể hiện rõ ràng Thật vậy, ở những mức năng lượng phi tương đối của các điện tử, góc trung bình phát ra các lượng tử của

bức xạ hãm bằng mc2/E, ở đây E – năng lượng của điện tử, cũng không phụ thuộc vào năng

lượng của các lượng tử của bức xạ hãm

Hình 2.4 Phân bố năng lượng của cường độ bức xạ hãm, vốn được các điện tử có năng

lượng khác nhau phát ra (năng lượng được biểu diễn bằng đơn vị mc2) khi hãm trong bia chì mỏng; trục tung là tích của năng lượng photon và số photon trong khoảng năng lượng đơn vị

Hình 2.5 Sự phụ thuộc của số điện tử đi qua lớp chất hấp thụ t, vào độ dày của chất hấp

thụ đó Giao của đường thẳng đứt với trục hoành là giá trị độ dài quãng chạy ngoại suy

Độ dài quãng chạy của các điện tử Xem xét việc các điện tử đi qua lớp vật chất dày là

có phức tạp do tán xạ nhiều lần và mất mát năng lượng Dấu hiệu đặc trưng cho tán xạ nhiều lần của các điện tử cũng giống như cho các hạt nặng mang điện, là góc lệch trung bình Tuy nhiên, việc nhìn nhận như vậy chỉ đúng cho các lớp vật liệu có độ dày không lớn, khi những mất mát năng lượng của điện tử trong đó là không đáng kể Nếu điện tử nhanh đi vào vật chất, thì lúc đầu

ít có khả năng xảy ra tán xạ theo các góc lớn Do các mất mát phóng xạ và mất mát ion hóa, năng lượng của điện tử giảm đi và tán xạ theo các góc lớn ngày càng có ý nghĩa lớn hơn Góc lệch trung bình của các điện tử tăng lên khi tăng quãng đường đã đi qua trong vật chất Sau đó, sau nhiều tác động tán xạ theo các góc lớn, điện tử “quên mất” hướng ban đầu của mình, và có thể xem sự dịch chuyển của nó như là khuếch tán Do quá trình tán xạ nhiều lần, số lượng điện tử đi qua lớp có độ dày đã cho giảm đi khi tăng độ dày của lớp đó Sự phụ thuộc của số điện tử đi qua

lớp vật chất có độ dày đã cho vào độ dày của lớp được gọi là hàm suy giảm Các hàm suy giảm

điển hình của các chùm điện tử đơn năng lượng trong nhôm được trình bày trên hình 2.5 Để thuận tiện, lấy độ dài quãng chạy ngoại suy làm đặc điểm cho hàm, độ dài này được xác định theo giao điểm của đoạn thẳng kéo dài của hàm suy yếu với trục hoành Dường như độ dài quãng chạy ngoại suy có quan hệ tuyến tính với năng lượng điện tử Ví dụ, đối với nhôm

ℜ =0,526 ,E (2.28) nếu ℜ được đo bằng gam trên 1 cm2, còn năng lượng E – bằng MeV

Sự giảm đi của số các điện tử, khi các hạt nhân trong các lá mỏng phân rã-β*, có đặc trưng gần như hàm mũ Tuy nhiên các độ dài quãng chạy ngoại suy nhận được đối với các hạt β trong hàm năng lượng biên của các phổ β gần bằng các giá trị đã cho đối với các điện tử (2.28)

* Khi các hạt nhân phân rã β, các điện tử có phân bố năng lượng liên tục kéo dài đến một năng lượng nào đó, vốn được gọi là năng lượng biên Phổ điện tử khi phân rã β được trình bày trong chương 3

Thật vậy, đối với các năng lượng biên của các phổ β cao hơn 0,8 MeV, độ dài quãng chạy ngoại suy trong nhôm (g/cm2)

ℜ =0,542Eβ −0,133, (2.29)

ở đây Eβ được tính bằng MeV

2.4 Tương tác của bức xạ gamma với vật chất

Không thể coi mất mát năng lượng của các photon là quá trình liên tục như đối với các hạt nặng mang điện, bởi vì khi tương tác với các điện tử và các nguyên tử môi trường photon mất hoặc là toàn bộ năng lượng của mình (bị hấp thụ), hoặc là một phần năng lượng của mình (bị tán xạ) Trong trường hợp bị tán xạ, do tương tác mà photon thay đổi đáng kể hướng chuyển động của mình Vì vậy chỉ một tác động là đủ để đưa photon ra khỏi chùm song song ban đầu của photon Do những đặc điểm đó (xem chương 1) chùm

song song của các photon khi đi qua lớp vật liệu có độ dày t sẽ giảm đi theo luật hàm mũ:

nguyên tử σ vào, thì µ = nσ (n – số lượng nguyên tử trong 1 cm3 vật chất)

Đã biết nhiều loại tương tác của bức xạ điện từ với các điện tử, nguyên tử và các hạt nhân môi trường Để ghi các photon và đặc biệt đối với việc suy giảm của chúng trong môi trường, ba quá trình sau đây chiếm vai trò chính: hấp thụ quang điện (hiệu ứng quang điện), tán xạ của các photon trên các điện tử tự do (tán xạ Compton) và sinh ra cặp positron-điện tử trong trường của nguyên tử (tạo cặp) Tiết diện tương tác toàn phần của các photon với các nguyên tử σ được cộng gồm tiết diện hiệu ứng quang điện σф, tiết diện tán xạ Compton σк và tiết diện hình thành cặp σп

Để ghi các photon, hiệu ứng quang hạt nhân (các phản ứng quang hạch) cũng có ý nghĩa, tuy nhiên tiết diện của nó trong vùng năng lượng dưới vài chục MeV là không đáng kể so với tiết diện tương tác của các photon với các điện tử

Hiệu ứng quang điện Trong hiệu ứng quang điện, toàn bộ năng lượng hv của

photon rơi vào được tiêu hao để bứt điện tử ra khỏi nguyên tử Có thể xác định năng lượng của điện tử từ hệ thức sau đây:

E e=hv−B e, (2.31)

ở đây B e – năng lượng liên kết của điện tử Từ hệ thức trên thấy rằng, hiệu ứng quang

điện chỉ có thể có trong các trường hợp, khi hγ > B e Vì vậy tiết diện hiệu ứng quang điện phải chịu những đột biến lớn ở các năng lượng, bằng các năng lượng ion hóa của các lớp

K , L

Các tính toán hiệu ứng quang điện cho thấy nó xảy ra chủ yếu ở lớp K (gần 80%) Đối với năng lượng của các photon hv = mc2, nhưng không gần biên hấp thụ K, tiết diện của hiệu ứng quang điện trên lớp K nhận được ở dạng

Trong biểu thức trên (σ ф )K – tiết diện của hiệu ứng quang điện, cm2; Z – điện tích của hạt

nhân nguyên tử Tiết diện toàn phần của hiệu ứng quang điện σ ф ≈5(σф)K/4

Như đã thấy từ (2.32), tiết diện của hiệu ứng quang điện giảm rất nhanh khi tăng năng lượng của các photon và khi giảm điện tích của hạt nhân Công thức (2.32) mô tả không chính xác động thái của tiết diện trong các vùng gần biên giới của dải hấp thụ Tuy nhiên nó truyền đạt đúng sự phụ thuộc định lượng của tiết diện hiệu ứng quang điện vào năng lượng và điện tích hạt nhân

Ở các năng lượng hv >> mc2 tiết diện hiệu ứng quang điện tỷ lệ nghịch với năng lượng của các photon Vì lý do đó, đối với các nguyên tố nặng, ví dụ chì, hiệu ứng quang điện có ý nghĩa rõ rệt thậm chí ở năng lượng gần bằng 5 MeV

Hiệu ứng quang điện kèm theo bức xạ đặc trưng của các nguyên tử do các điện tử chuyển vào các vị trí trống trong lớp điện tử của nguyên tử Bức xạ đặc trưng không phải bao giờ cũng kèm theo hiệu ứng quang điện Các điện tử của lớp ngoài của nguyên tử có thể truyền năng lượng

Trong trường hợp đó, ngoài các quang điện tử với năng lượng E xuất hiện các điện tử có năng lượng gần với I (được gọi là điện tử Auger) Các điện tử auger được quan sát thấy với xác suất cao trong hiệu ứng quang điện ở các nguyên tử có Z nhỏ và trung bình

Phân bố theo góc của các quang điện tử phụ thuộc vào năng lượng của chúng Khi năng lượng thấp (hàng chục keV) các quang điện tử được phát ra chủ yếu ở hướng vuông góc với chùm photon Khi năng lượng tăng, góc bay ra trung bình của các quang điện tử giảm (20 – 300 khi năng lượng 0,5 MeV) Tiết diện của quang điện tử tùy thuộc vào năng lượng của các photon đối với chì và nhôm được trình bày trên hình 2.6

Tán xạ Compton Nếu năng lượng của photon lớn hơn đáng kể so với năng lượng

liên kết điện tử, thì có thể xem xét va chạm đàn hồi của photon với điện tử tự do Khi đó,

theo các định luật bảo toàn năng lượng và xung lượng có thể nhận được mối quan hệ giữa năng lượng của photon tán xạ hv′ , năng lượng của photon rơi vào hv và góc tán xạ θ (so

với hướng ban đầu của photon), cũng như mối quan hệ giữa năng lượng của điện tử

compton E và góc bay ra φ của nó:

2 2

2

0 sin θ 2

góc φ và tiết diện vi phân của quá trình truyền năng lượng cho điện tử trong khoảng từ E đến E +

dE là có ý nghĩa quan trọng Có thể nhận được các tiết diện đó từ (2.34) khi thay thế các biến phù hợp:

Phổ các điện tử giật lùi được tính theo (2.37) được trình bày trên hình 2.7 Rõ ràng, khi năng lượng cao, phân bố các điện tử-compton hầu như đồng xác suất, trừ vùng gần năng lượng photon, nơi có vùng dâng cao đáng kể Các điện tử giật lùi trong hiệu ứng compton hướng chủ yếu dọc theo hướng chuyển động ban đầu của các photon Năng lượng photon càng cao, tính dị hướng càng cao Nếu năng lượng photon vượt quá 2 MeV, thì phần lớn các điện tử có góc bay ra dưới 200

Trong một số trường hợp cần tính đến vận tốc của các điện tử có tương tác với các photon Dường như chuyển động của các điện tử trong nguyên tử dẫn đến mức tản mạn rõ rệt năng lượng của các điện tử giật lùi Ví dụ, nếu xung lượng của photon nhỏ hơn xung lượng của điện tử đang bay ngược với nó, thì photon không mất mà nhận thêm năng lượng Ta xét hiện tượng đó Giả sử xung lượng của điện tử nhỏ so với xung lượng của photon Ta sẽ đánh giá, năng