Giáo trình toán tài chính phần 2 đh kinh doanh công nghệ hà nội

Mỗi niên kim gồm hai phần:  phầntrả hết số tiền lãi do số dư nợ sinh ra trong thời kỳ  phầnthanh toán nợ gốc Trường hợp số tiền niên kim lại nhỏ hơn số tiền lãi phát sinh, ta vẫn phải

Chương V

Thanh toán nợ thông thường

Đ1 Đại cương

1 Phương thức vay vốn

Để huy động một nguồn vốn, thường có hai phương thức sau:

 Người đi vay vay vốn của một chủ nợ Chủ nợ có thể là một người, một ngân

hàng, thậm chí cả một tập đoàn ngân hàng hoặc một tổ chức tài chính.Khoản vay như vậy được gọi là vay nợ thông thường.

2 Phương thức và công thức thanh toán nợ thông thường

Có nhiều cách thanh toán: trả một lần, trả dần làm nhiều lần Trong phần này ta xét đếnviệc thanh toán trả dần nhiều lần bằng các niên kim

Mỗi niên kim gồm hai phần:

 phầntrả hết số tiền lãi do số dư nợ sinh ra trong thời kỳ

 phầnthanh toán nợ gốc

Trường hợp số tiền niên kim lại nhỏ hơn số tiền lãi phát sinh, ta vẫn phải bảo đảm trả hếtphần lãi đó và như vậy số dư nợ tăng lên Do đó, phần thanh toán nợ gốc có thể manggiá trị âm

Gọi D0 là số tiền vay ban đầu Đó chính là số dư nợ tính ở thời điểm 0 Gọi ak là niênkim cuối thời kỳ thứ k, mk là khoản thanh toán nợ gốc ở thời kỳ thứ k, Dk là số dư nợ saukhi thực hiện niên kim ak

Giả sử i là lãi suất một thời kỳ và Ik là số tiền lãi phải trả hết do số dư nợ Dk-1 sinh ra.Vậy Ik = Dk-1 i

Gọi n là số các niên kim dùng để thanh toán hết khoản nợ D0

Ta có các công thức sau:

Ik= Dk-1 i, ak = Ik + mk, Dk= Dk-1- mk (1)

3 Bảng thanh toán nợ

Để dễ theo dõi việc thanh toán nợ, ta lập Bảng thanh toán nợ Trong bảng cần thể hiện

liên tiếp các niên kim với hai thành phần của nó và số dư nợ

Do đó bảng có 5 cột sau: Thời kỳ, Niên kim, Lãi, Thanh toán nợ gốc, Số dư nợ

n an = In + mn In= Dn-1 i mn Dn= Dn-1- mn = 0

Bảng trên được thiết lập cho mọi trường hợp, cho mọi cách thức thanh toán bằng niênkim

Đ2 Thanh toán nợ thông thường

1 Quan hệ giữa niên kim và phần thanh toán nợ gốc

b) Khi các khoản thanh toán nợ gốc cố định, các niên kim lập thành một cấp số cộng với công sai d = -

iDmi

1i)(1m1q

1qm

.iD1

i)(1

i)(1

* Trong khi chứng minh mệnh đề 2, ta còn tìm được kết quả sau:

Khi các niên kim cố định, khoản thanh toán nợ gốc đầu tiên được tính bằng:

m1 =

1i)(1

i





 được cho trong Bảng V.

2 Các quy tắc cơ bản

Quy tắc 1: (Sự tương đương ở thời điểm n, thời điểm kết thúc vay nợ)

Giá trị thu được của khoản vốn vay tính ở thời điểm n bằng tổng các số tiền thu

được của tất cả các niên kim dùng để thanh toán nợ

k n k

Tổng giá trị thu được của n niên kim {ak} (dùng để thanh toán khoản nợ) tính tại thời

điểm n là a1(1+i)n-1 + a2(1+i)n-2 + + an-1(1+i) + an = 







n k

k n

k i

a

1

)1

Giá trị thu được của khoản nợ D0 tính tại thời điểm n là D0(1+i)n (**)Hai đại lượng đó phải bằng nhau Từ đó có (7)

Quy tắc 2: (Sự tương đương ở thời điểm 0, thời điểm bắt đầu vay nợ)

Số tiền nợ khi đi vay bằng tổng các giá trị hiện tại tính tại thời điểm gốc của tấtcả các niên kim dùng để thanh toán nợ

k k

Quy tắc 3: (Sự tương đương ở thời điểm p với 0 < p < n)

Số dư nợ sau khi thực hiện niên kim thứ p bằng hiệu của số tiền thu được củakhoản vốn vay ban đầu tính ở thời điểm p và tổng các số tiền thu được của t ất cảniên kim đã được thực hiện tính tại thời điểm p

k p k

p 0

D

(9)

Chứng minh:

Xét các niên kim a1, a2,…, ap Đó là các niên kim dùng để thanh toán nợ cho đến thời kỳ

p Tại thời điểm p, số dư nợ là Dp Ta có sơ đồ sau:

k i

a

1

)1(Giá trị thu được của khoản nợ D0 tính tại thời điểm p là D0(1+i)p

k i

a

1

)1( + Dp Từ đó có (9)

Quy tắc 4: (Sự tương đương ở thời điểm p với 0 < p < n)

Số dư nợ sau khi thực hiện niên kim thứ p bằng tổng các giá trị hiện tại tính tạithời điểm p của tất cả (n-p) niên kim sắp được thực hiện

j j

p

Tổng giá trị (n-p) niên kim đó tính tại thời điểm p là

ap+1(1+i)-1+ ap+2(1+i)-2 +….+ ap+(n-p)(1+i)-(n-p) = n - p -j

p+j j=1

1

n 1

i)(11a1i)(1

1i)(1i)(1ai)(1

n 1 k

1 - 1 n

1 k

1 - k 1

Giải:

Vì ak = a, nên

1,061

0,06 x1.000.000i)

(11

.iD

6 n

Vì phải bảo đảm thanh toán hết nợ, nên ta điều chỉnh ở a6

4 Thanh toán nợ bằng các niên kim cố định (a k = a = const)

a) Các kết quả đã có:

 m là một cấp số nhân với công bội q = 1+ik

1i)(1

iD

01-(1 i)

iDa



i)i(1

1i)(1aD







b) Tình hình thanh toán nợ

Sau khi thực hiện niên kim thứ p, gọi Rp là khoản tiền đã thanh toán được và Dp là số dư

nợ Ta thiết lập các công thức tính Rp và Dp

Ta có:

1i)(1

1i)(1Di

1i)(1 x1i)(1

iD1i)(1

1i)(1mm

1i)(1D

Ta có:

1i)(1

i)(1i)(1i)i(1

1i)(1a

1i)(1

i)(1i)(1D1i)(1

1i)(11DRDD

n

p n

n n

n

p n

0 n

p 0

p 0 p

c)Ví dụ:

Một khoản nợ được thanh toán bằng 10 niên kim cố định Khoản thanh toán nợ gốc thứ

1 là 79.504,60 USD và khoản thanh toán nợ gốc thứ 3 là 87.653,8125 USD Tìm:

 Lãi suất vay nợ

 Số tiền vay nợ lúc ban đầu, biết a = 129.504,60 USD

 Khoản thanh toán nợ gốc cuối cùng

 Số dư nợ sau khi thực hiện niên kim thứ 4

Giải:

79.504,60

587.653,812m

mi)(1

1

3 2

i(1

1i)

129.504,60i

1

ai1

* 657.325,47USD

0,05

1,051129.504,60i

i)(1

an

Quả vậy:

Từ Dn = Dn-1- mn = 0, ta có Dn-1 = mn

Từ an = Dn-1i + mn = mni + mn = mn(1+i), suy ra điều phải chứng minh

Do đó, nếu ak = a thì khoản thanh toán nợ gốc cuối cùng sẽ là

i1

500.000n

i



a1 = D0i + m1 = 500.000 x 0,05 +100.000 = 125.000

Đ3 Một vài phương thức thanh toán đặc biệt

1 Vay nợ với tiền lãi trả trước

a) Trường hợp tổng quát

Việc thanh toán vẫn được tiến hành bằng n niên kim ak, nhưng lãi được trả trước Nhưvậy khi ký hợp đồng vay số tiền D0, người đi vay đã phải trả ngay khoản tiền lãi phátsinh trong thời kỳ đầu

Ta phải thay đổi công thức tính ở (1) như sau:

Ik = Dki (k = 0,1 ,n)Như vậy In = Dni = 0

b) Trường hợp riêng: Các niên kim cố định a k = a = const

1(

Như thế  mk lập thành một cấp số nhân với công bội

i1

1

Vì

r

1r)(1mm

m

D0  1  n  1  n  nên m1 =

1r)(1

r)r(1

0,05i

 Cuối mỗi kỳ, người đi vay phải trả một khoản lãi I = D0i cho chủ nợ Niênkim cuối cùng thanh toán hết nợ gốc,

 Trả một lần cả gốc lẫn lãi

Gọi i’ là lãi suất ngân hàng, nơi người đi vay chuẩn bị quỹ ngầm Ta tính số tiền cần gửivào ngân hàng tương ứng với hai trường hợp trên:

a) Gọi a’ là số tiền cố định mà người đó gửi vào ngân hàng cuối mỗi thời kỳ

Do tiền lãi được trả cho chủ nợ từng thời kỳ, nên dãy n niên kim  a' chỉ để chuẩn bị trảcho khoản nợ gốc D0, hay D0 là giá trị thu được của dãy niên kim cố định Ta đã có côngthức

1)i'(1

i'D

a'Di'

1)i'(1

b) Vào cuối thời kỳ n, giá trị thu được của khoản vay ban đầu là D0(1+i)n Do đó

D0(1+i)n phải bằng giá trị thu được của dãy n niên kim a’ Vậy

1)i'(1

i'i)

(1Da'i)(1Di'

1)i'(1

0

n 0

Trái phiếu là một giấy chứng nhận do người đi vay xác nhận một phần vốn vay trong

một khoản vay lớn dài hạn Trái phiếu là một loại chứng khoán Người chủ nợ (ngườichủ trái phiếu) có thể thu hồi vốn trước thời hạn (khi trái phiếu của họ chưa được thanhtoán) bằng cách chuyển nhượng trái phiếu trên thị trường chứng khoán

Trái phiếu có các đặc điểm sau:

 Mệnh giá: duy nhất đối với một loại trái phiếu, mệnh giá trái phiếu thường

nhỏ để dễ phát hành

 Cupông: tiền lãi tính trên mệnh giá với lãi suất trái phiếu

 Giá phát hành: thấp hơn hoặc bằng mệnh giá

 Giá thanh toán: cao hơn hoặc bằng mệnh giá Nhiều trường hợp giá thanh

toán tăng dần theo các đợt thanh toán ở đây ta xét giá thanh toán cố định

 Tiền bù thanh toán (tiền khuyến khích): Hiệu giữa giá thanh toán và giá phát

b) C : Mệnh giá của mỗi trái phiếu

c) i : Lãi suất trái phiếu

d) c : Cupông trả cho mỗi trái phiếu c=Ci

e) E : Giá phát hành mỗi trái phiếu E ≤ C

f) R : Giá thanh toán mỗi trái phiếu R  C

g) Ak : Số lượng các trái phiếu được thanh toán trong đợt k

h) Rk : Số lượng các trái phiếu đã được thanh toán cho đến hết đợt k

i) Nk : Số lượng các trái phiếu còn lưu thông (chưa được thanh toán) sau đợt kj) ak : Niên kim thứ k Đó là số tiền thanh toán đợt k bao gồm:

* Ik : số tiền trả cupông cho Nk-1 trái phiếu còn đang lưu thông đến thời điểm thanh toán

* mk : số tiền thanh toán cho Ak trái phiếu

k

k(1 r)a

RN với r =

R

Chứng minh:

a) Có n đợt thanh toán Mỗi đợt có Ak (k=1,…,n) trái phiếu được thanh toán

Số lượng trái phiếu phát hành là N Vậy

c) Trước hết ta chứng minh hệ thức tổng quát sau bằng quy nạp:

j k j

j 1) (k j

j 1) (k j

j k

Ci nên khi C < R thì r < i và khi C = R thì r = i

 Từ Nn = Nn-1- An = 0, ta có Nn-1 = An Vậy

an = cNn-1 + RAn = cAn + RAn = An(c+R) = An(rR + R) = RAn(1 + r).Niên kim cuối cùng sẽ được tính bởi An =

r)R(1

an



3 Một số trường hợp thanh toán đặc biệt

a) Thanh toán bằng các niên kim cố định a k = a = const

* Từ công thức (2) ta có Ak+1 = Ak(1+r), hay dãy {Ak} lập thành một cấp số nhânvới công bội q = 1+r Vậy

Ak = A1(1+r)k-1

N là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân, nên

r

1r)(1A1r)(1

1r)(1A

rN

1r)(1

rN

1 k

rRN

rN1r)(1

1r)(1AA

1r)(1N

1 k

1r)(1N

r)(1r)(1N



b) Số lượng trái phiếu thanh toán mỗi đợt cố định A k = const

Có tất cả n đợt thanh toán, nên Ak=

c = - c

nN

Vậy dãy{ak} lập thành một cấp số cộng với công sai d = - c

Bảng có các cột sau:

Niên kim (Số tiền thanh toán) : ak = Ik + mk

Lãi (Tiền trả các cupông) : Ik = cNk-1

Thanh toán trái phiếu gốc

Số lượng trái phiếu : Ak

Số dư trái phiếu chưa thanh toán : Nk = Nk-1- Ak

Thanh toántrái phiếu gốcThời

kỳ

Số lượng Số tiền

Số dư trái phiếuchưa thanh toán(k) (ak = Ik+ mk) (Ik) (Ak) (mk) (Nk)

Ví dụ:

Một công ty phát hành 10.000 trái phiếu có mệnh giá 200 USD, lãi suất 4,5%, thanhtoán bằng 6 đợt với niên kim bằn g nhau Biết giá thanh toán cho mỗi trái phiếu là 225USD, lập bảng thanh toán trái phiếu

,6

000.1004

,0

104,1

000.10104,1

04,0000.101)1

Bảng thanh toán trái phiếu

Thanh toán trái phiếu gốcThời

Số trái phiếu cònlưu thông

5 Tình hình thanh toán trái phiếu

Để theo dõi việc thanh toán trái phiếu, cần biết hai đại lượng: số trái phiếu đã thanh toáncho đến hết đợt k hoặc số trái phiếu còn lưu thông sau khi thanh toán đợt k

a) Trường hợp a k = a

Trong phần 3 ta đã tìm được:

1r)(1

1r)(1N

r)(1r)(1N

1i)(1N

)(1)(1N

Từ (8) ta có

1(1,05)

1,05)((1,05)000.10





Chọn N8 = 5575 Sau đợt 8, còn 5575 trái phiếu chưa thanh toán

Đ3 Một số đặc trưng về thời hạn của trái phiếu

1 Median của trái phiếu

Median của trái phiếu là khoảng thời gian để thanh toán được một nửa số trái phiếu phát

hành

Gọi p là median thì Rp =

2N

Nếu ak= a , thì Rp =

1r)(1

1r)(1

1r)(1

p =

r)ln(1

1]}

r)[(12

r

1r)(12

1r

1r)(1 p   n Sau đó làm tròn để p nguyên dương

11,5 = 0,05Vậy

0,05

1(1,05)2

10,05

1(1,05)p   18 = 0,5x28,132385 = 14,0661925

Tra Bảng III thì 10 < p < 11 Vậy ta chọn (chẳng hạn) p = 11

2 Thời hạn trung bình của trái phiếu

a)Thời hạn trung bình của trái phiếu là khoảng thời gian lưu thông trung bình của trái

n 1





b) Thời hạn trung bình của trái phiếu khi các niên kim cố định

Nếu ak= a thì dãy{Ak} lập thành một cấp số nhân với công bội q = 1+r

Khi đó Ak = A1(1+r)k-1, từ (10) và (8) ta có

S1r)(1

rr)

k(1N

11r)(1

rNr)k(1N

A

1 k

1 k n

1

1 k 1

1 k

r)k(1 như sau:

1r)(1 n







Vậy

S =r

1 [ n(1+r)n

-r

1r)(1 n 

]Cuối cùng, thời hạn trung bình là:



n

1r)(1

] =

r

11r)(1

r)n(1

n1]

r)[(1n

n

n 

c) Thời hạn trung bình của trái phiếu khi số trái phiếu thanh toán mỗi đợt cố định

1)n

(nn

1N

kn

Nn

n 1

20

20 = 13,3 nămTrường hợp số lượng trái phiếu thanh toán hàng năm cố định, thời hạn trung bình là:

1

20 = 10,5 năm

Đ4 Lãi suất đầu tư và lãi suất giá thành

1 Khái niệm

Khi phát hành N trái phiếu với giá E, thì nguồn vốn huy động được là EN Người pháthành phải dùng n niên kim ak để thanh toán các trái phiếu và cupông Như vậy giá trịhiện tại (tại thời điểm phát hành) của dãy niên kim đó theo một lãi s uất x sẽ bằng EN.Lãi suất x cao hơn lãi suất trái phiếu i

Nếu bổ sung thêm một khoản tiền F mà nhà phát hành phải trả cho các chi phí, thì trênthực tế nhà phát hành chỉ huy động được một nguồn vốn (EN - F) Khi đó lãi suất thực tếx’ còn cao hơn lãi suất x





thay vào (12), ta có

(11

r

1 n

r

r R

E x

f

E x

Từ công thức (15) ta tìm được lãi suất giá thành x’

3 Trường hợp số trái phiếu thanh toán cố định

 L·i suÊt trung b×nh ®Çu t­

 L·i suÊt gi¸ thµnh, khi chi phÝ cho mçi tr¸i phiÕu lµ 6,5 USD

,0

)04,1(1225

199)

1(1)

E x

192,44

0,04

(1,04)1

225

6,56)(199r

r)(11R

fE'

)'1

Ví dụ 2:

Một công ty phát hành 40.000 trái phiếu có mệnh giá 6.000 USD Thanh toán ngangmênh giá bằng 10 niên kim cố định Lãi suất 11,25% Giá phát hành 5.960 USD Chiphí cho mỗi trái phiếu bằng 2% mệnh giá Tìm lãi suất giá thành trái phiếu

)1125,1(1000.6

)120960.5()1(1'

)'1

(

r

r R

f

E x

5 Lãi suất đầu tư của người mua trái phiếu

Lãi suất trung bình đầu tư x được tính trên tổng thể tất cả các trái phiếu Vậy đó là lãi

suất trung bình được tính chung cho toàn bộ n hững người đầu tư mua trái phiếu Tuynhiên, đối với từng người đầu tư thì lãi suất đầu tư trái phiếu của họ còn phụ thuộc vàothứ tự đợt thanh toán Vì vậy, các lãi suất đầu tư của người mua trái phiếu sẽ khác nhau.Gọi t là lãi suất đầu tư cho các t rái phiếu thanh toán đợt k Lúc phát hành, người đầu tư

bỏ một khoản tiền E (giá phát hành) để mua một trái phiếu Cứ sau mỗi đợt (từ đợt 1 đến

đợt k-1), người đó đươc trả cupông c = Ci Đến đợt k, người đó được trả c và R

t

t)(1

1   k + R(1+t)-k = E (16)

Tương tự, gọi t’ là lãi suất đầu tư đối với các trái phiếu thanh toán đợt k’, ta có phươngtrình tương đương đối với trái phiếu này tại thời điểm phát hành là:

ct'

)t'(1

1   k'

+ R(1+t’)-k’ = E (16’)

Các phương trình (16) và (16’) cho các giá trị t và t’ khác nhau.

1+t1 = 5.437,5/4.987 = 1,0903 Vậy t1 = 9,03 %

b) Đối với trái phiếu thanh toán đợt 2, ta có phương trình

437,5 (1+t2)-1 + 437,5 (1+t2)-2 + 5.000 (1+t1)-2 = 4.9874.987 (1+t2)2 - 437,5 (1+t2) - 5.437,5 = 0

Đặt 1+t2 = z, ta có phương trình

4.987 z2- 437,5 z - 5.437,5 = 0 Giải phương trình và chọn z > 1, ta tìm được z = 1.0889

Với t = 0,09 , vế trái (*) cho giá trị 4.919,78

Bằng phương pháp nội suy ta tìm được

t10 = 8,75 + (9 - 8,75)x

78,919.4000.5

987.4000.5





= 8,75 + 0,0405 = 8,7905Vậy t10 = 8,79 %

Nhận xét:

Càng thanh toán về sau, lãi suất đầu tư của người mua trái phiếu càng giảm

Để thuận tiện tính toán, ta gọi các niên kim còn lại là a1, a2,…, an Thời điểm trướcniên kim a1 một thời kỳ được gọi là thời điểm (ngày) định giá Số dư nợ đến ngày

định giá là K

Định giá của khoản nợ là tổng các giá trị hiện tại (tính tại thời điểm định giá) của dãy

niên kim {ak}, ký hiệu V:



 = 10.000x0,117460 = 11.746Vào ngày định giá còn 20 - 8 = 12 niên kim

Số tiền người chủ nợ nhận được là định giá của 12 niên kim với lãi suất t = 9,5% :

1   = 11.746 x 6,983839

= 81.042,17 USD

2 Quyền thu lợi toàn phần và quyền sở hữu danh nghĩa toàn phần

Khi thanh toán nợ, các niên kim ak gồm hai phần: phần trả lãi Ik và phần thanh toán nợgốc mk

ak = Ik + mk

k(1 t)m

3 Quyền thu lợi đơn vị và quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị

Quyền thu lợi đơn vị, ký hiệu u, là đại lượng

a) Quan hệ của quyền thu lợi đơn vị đối với quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị

Vào ngày định giá khoản nợ K = D0 được thanh toán bằng n niên kim {ak} Gọi i là lãisuất cho vay, t là lãi suất định giá, Dk là số dư nợ sau khi thanh toán niên kim ak

k 1

k i(1 t)D

k 1

k (1 t)D

K

Nhân hai vế của (a) với (1+t)

k (1 t)D

j

j (1 t)DK

k

k (1 t)D

K

1

k

(b)(Đặt j = k-1, sau đó đổi j thành k)

k

k(1 t)mK

k

k (1 t)D

k

k(1 t)mK1

k k

1 - n 1

n 1

Từ đó ta có công thức tính u theo p:

u =t