Giáo trình toán tài chính phần 1 đh kinh doanh công nghệ hà nội

Giá trị thu được Số tiền thu được của một khoản vốn tại một thời điểm nào đó bằng giá trị gốc cộng với tiền lãi phát sinh trong khoảng thời gian từ thời điểm 0 đến thời điểm đang xét thờ

Lời nói đầu

Toán Tài chính là một môn toán ứng dụng, sử dụng công cụ toán học nhằm giảiquyết những vấn đề của tài chính và ngân hàng Toán Tài chính xây dựng một cách có

hệ thống các công thức, phương trình để xử lý chính xác các bài toán liên quan đến tàichính: tính tiền lãi, hiện tại hóa, tư bản hóa một nguồn vốn, chiết khấu thương phiếu, Toán tài chính cũng còn được áp dụng trong các lĩnh vực của quản lý: thẩm định dự án

đầu tư, đánh giá tình hình tài chính của một công ty, và vào việc thanh t oán các khoản

nợ thông thường, nợ trái phiếu, đặc biệt được áp dụng trên thị trường chứng khoán

Toán Tài chính rất có ích lợi cho sinh viên các ngành Tài chính, Ngân hàng,Quản trị kinh doanh…

Cuốn sách này bước đầu cung cấp một cơ sở lý thuyết về Toán tài chính Có một

số vấn đề nêu trong cuốn sách hiện nay còn chưa được áp dụng trong các ngân hàng ởViệt Nam, nhưng trong tương lai không xa, sẽ được dùng phổ biến theo tập quán của cácngân hàng trên thế giới

Những vần đề liên quan đến cổ phiếu và thị t rường chứng khoán chưa được đềcập đến Tuy nhiên, cuốn sách này đã trang bị một cơ sở kiến thức cơ bản về Toán tàichính, đủ giúp cho sinh viên thực hiện những nghiên cứu sâu hơn của mình sau này

Cuốn sách này được dùng làm tài liệu giảng dạy và học tập cho các giảng viên vàsinh viên trường Đại học Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội Hy vọng cuốn sách đáp ứng

được yêu cầu đào tạo của Nhà trường

Sử dụng kèm theo cuốn sách là Bảng tài chính Đó là các bảng cho sẵn các giá trịvới 6 hoặc 7 chữ số thập phân của 5 hàm số thường dùng trong Toán tài chính, giúp choviệc tính toán dễ dàng hơn

Khi biên soạn, cuốn sách không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận được sự

đóng góp quý báu của tất cảc các bạn đọc

Người biên soạn

Mục lục

Chương I Lãi đơn 9

Đ1 Đại cương 9

1 Định nghĩa 9

2 Lãi đơn 9

3 Giá trị thu được 10

4 Lãi suất trung bình 10

5 Lãi suất hiệu dụng 11

Đ2 Phương pháp thực hành tính lãi đơn 11

1 Phương pháp số và ước số cố định 11

2 Trường hợp năm dân sự 12

Chương II Chiết khấu theo lãi đơn 14

Đ1 Chiết khấu 14

1 Thương phiếu 14

2 Chiết khấu 14

3 Chiết khấu thương mại theo lãi đơn 14

4 Chiết khấu hợp lý theo lãi đơn 15

5 Các mối quan hệ giữa chiết khấu thương mại và chiết khấu hợp lý 16

Đ2 Thực hành chiết khấu 17

1 Chi phí chiết khấu (agio) 17

2 Giá trị ròng của thương phiếu 18

3 Lãi suất thực tế chiết khấu và lãi suất giá thành chiết khấu 18

Đ3 Sự tương đương của các thương phiếu theo lãi đơ n 20

1 Các định nghĩa 20

2 Định lý về sự tương đương 21

Đ4 Một số bài toán ứng dụng 23

1 Bài toán về thời hạn trả chung 23

2 Bài toán về thời hạn trả trung bình 23

Chương III Lãi gộp 25

Đ1 Đại cương 25

Đ2 Công thức tính lãi gộp 25

1 Giá trị thu được 25

2 áp dụng 25

3 Trường hợp khoảng thời gian không phải là một số nguyên 26

4 Lãi suất tỉ lệ và lãi suất tương đương 29

Đ3 Hiện tại hoá và chiết khấu theo lãi gộp 30

1 Hiện tại hoá 30

2 Tính giá trị của một khoản vốn tại một thời kỳ tuỳ ý 30

3 Chiết khấu theo lãi gộp 31

Đ4 Sự tương đương của các thương phiếu theo lãi gộp 32

1 Định nghĩa 32

2 Định lý cơ bản về sự tương đương của các thương phiếu 33

3 Thời hạn trả chung và thời hạn trả trung bình 34

4 Các ví dụ áp dụng 34

Đ5 So sánh các loại chiết khấu 37

1 Các công thức đã có về chiết khấu theo lã i đơn và lãi gộp 37

2 So sánh Ecvà Er 37

3 So sánh Ec và e 37

4 So sánh Er và e 38

5 Tóm tắt 38

Đ 6 Tư bản hoá và hiện tại hoá liên tục 38

1 Tư bản hoá liên tục 38

2 Hiện tại hoá liên tục 39

Chương IV Dãy niên kim 40

Đ1 Đại cương 40

1 Định nghĩa 40

2 Các loại dãy niên kim 40

Đ2 Dãy niên kim cố định cuối kỳ 40

1 Số tiền thu được của dãy niên kim cố định cuối kỳ 40

2 Các ví dụ áp dụng 41

3 Giá trị hiện tại của dãy niên kim cố định cuối kỳ 44

Đ3 Dãy niên kim cố định đầu kỳ 45

1 Số tiền thu được 45

2 Giá trị hiện tại 45

Đ4 Giá trị của một dãy niên kim tại một thời điểm bất kỳ 46

1 Giá trị của dãy niên kim tại thời điểm p 46

2 Thời hạn trả trung bình 47

3 Sự tương đương của các dãy niên kim 48

Đ5 Dãy niên kim bất kỳ 48

1 Tổng quát 48

2 Dãy niên kim lập thành một cấp số cộng 49

3 Dãy niên kim lập thành một cấp số nhân 49

Đ6 áp dụng của dãy niên kim: thẩm định dự án đầu tư 51

1 Một số tiêu chuẩn thẩm định dự án đầu tư: NPV và IRR 51

2 Ví dụ 53

Chương V Thanh toán nợ thông thường 55

Đ1 Đại cương 55

1 Phương thức vay vốn 55

2 Phương thức và công thức thanh toán nợ thông thường 55

3 Bảng thanh toán nợ 56

Đ2 Thanh toán nợ thông thường 56

1 Quan hệ giữa niên kim và phần thanh toán nợ gốc 56

2 Các quy tắc cơ bản 58

3 Ví dụ 60

4 Thanh toán nợ bằng các niên kim cố định (ak = a = const) 61

5 Thanh toán nợ với các khoản thanh toán nợ gốc cố định (mk = m = const) 63

Đ3 Một vài phương thức thanh toán đặc biệt 64

1 Vay nợ với tiền lãi trả trước 64

2 Thanh toán nợ gốc một lần 66

Chương VI Thanh toán nợ trái phiếu 67

Đ1 Đại cương 67

Đ2 Lý thuyết chung về thanh toán nợ trái phiếu 67

1 Cơ sở dữ liệu 67

2 Các công thức 68

3 Một số trường hợp thanh toán đặc biệt 70

4 Bảng thanh toán nợ 71

5 Tình hình thanh toán trái phiếu 73

Đ3 Một số đặc trưng về thời hạn của trái phiếu 74

1 Median của trái phiếu 74

2 Thời hạn trung bình của trái phiếu 75

Đ4 Lãi suất đầu tư và lãi suất giá thành 76

1 Khái niệm 76

2 Trường hợp niên kim cố định 77

3 Trường hợp số trái phiếu thanh toán cố định 77

4 Ví dụ 78

5 Lãi suất đầu tư của người mua trái phiếu 79

Chương VII Định giá các khoản nợ 81

Đ1 Định giá khoản nợ thông thường 81

1 Định giá 81

2 Quyền thu lợi toàn phần và quyền sở hữu danh nghĩa toàn phần 81

3 Quyền thu lợi đơn vị và quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị 82

4 Quan hệ của quyền thu lợi đơn vị và định giá đối với quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị 82

5 Quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị trong một số trường hợp đặc biệt 84

Đ2 Định giá khoản nợ trái phiếu 87

1 Trái phiếu với giá thanh toán ngang mệnh giá 87

2 Trái phiếu với giá thanh toán cao hơn mệnh giá 89

3 Các ví dụ 89

Bài tập 92

Chương I

Lãi đơn

Đ1 Đại cương

1 Định nghĩa

Tiền lãi là số tiền mà người đi vay phải trả thêm cho người cho vay, sau một khoảng thời

gian nào đó, ngoài số tiền đã vay ban đầu Đó chính là số tiền thuê khoản vốn ban đầu

Lãi suất theo một đơn vị thời gian (đ.v.t.g.) là tỉ số giữa số tiền lãi phải trả trong đ.v.t.g.

đang xét và số tiền đi vay Về mặt giá trị, lãi suất bằng số tiền lãi phải trả trong một

đ.v.t.g cho một đơn vị vốn vay Lãi suất không có đơn vị đo (thứ nguyên) và thường

được tính bằng %

Giá trị gốc của một khoản vốn là giá trị được xác định tại thời điểm 0, thời điểm gốc bắt

đầu tính lãi

Giá trị thu được (Số tiền thu được) của một khoản vốn tại một thời điểm nào đó bằng giá

trị gốc cộng với tiền lãi phát sinh trong khoảng thời gian từ thời điểm 0 đến thời điểm

đang xét (thời hạn cho vay)

2 Lãi đơn

Lãi đơn là tiền lãi được tính trên số vốn vay ban đầu trong suốt thời gian vay với lãi suất

cố định Lãi đơn tỉ lệ thuận với số vốn ban đầu, lãi suất và thời hạn cho vay

Gọi I là lãi đơn, C - số vốn ban đầu, a - khoảng thời gian cho vay tính theo năm, i - lãisuất một năm Khi đó

I = C.i.aThông thường, đặt t là lãi suất cho 100 đơn vị tiền tệ (chẳng hạn i = 9% = 0,09 thì t = 9).Khi đó

4 Lãi suất trung bình

Lãi suất trung bình của nhiều khoản vốn có lãi suất và khoảng thời gian cho vay khác

nhau là lãi suất khi nó thay thế các lãi suất khác nhau sẽ cho tổng số lãi không đổi.Giả sử có p khoản vốn Ci cho vay với là lãi suất ti và thời hạn cho vay nitương ứng Gọi

T là lãi suất trung bình, ta có:

i i i p

1 i

i i

36000

.n.tC36000

.T.nC

i i i inC

nt

C

Ví dụ:

Một người cho vay 3 khoản vốn như sau

Lãi suất trung bình là 8,04%

5 Lãi suất hiệu dụng

Trường hợp người cho vay được trả lãi trước, ngay tại thời điểm 0, thì lãi suất hiệu dụng

sẽ cao hơnlãi suất quy định t đã thoả thuận.

Với số vốn C sau n ngày, người cho vay thu được một khoản lãi I Do I được trả trước,nên thực tế vào thời điểm 0, người đó chỉ cho vay khoản tiền là (C -I) Số vốn (C-I) ban

đầu đã tạo nên số tiền lãi I Gọi t’ là lãi suất hiệu dụng, khi đó:

36000

C.t.nI

Ct'

Vậy lãi suất hiệu dụng là:

10,589

x300020000

ta chia cả tử và mẫu cho t và được

Đại lượng N được gọi là số Đại lượng D được gọi là ước số cố định Giá trị D sẽ ổn định

khi lãi suất chưa thay đổi và được dùng chung cho các trường hợp vốn và thời hạn khácnhau

euro97,216x213)50052625x183(5500x52

4000

1

)nCnCn(CD

1)NN(ND

1I

Ví dụ:

Sự chênh lệch giữa lãi thương mại và lãi dân sự của một nguồn vốn C đầu tư với lãi suất9,5% trong thời hạn 72 ngày là 1,14 triệu đồng Tìm nguồn vốn C

36500

Cx9,5x7236000

ta cã

1,140

36000x3650

36000)36500

Thông thường, thương phiếu có hối phiếu, lệnh phiếu.

Hối phiếu là một tờ lệnh trả tiền vô điều kiện của một người (người ký phát) gửi cho một

người khác (người bị ký phát) để yêu cầu người này phải trả, vào một ngày xác định, sốtiền ghi trên hối phiếu cho chính người ký phát hoặc cho một người xác định (người

được hưởng)

Lệnh phiếu là một giấy cam kết vô điều kiện do một người lập và ký tên, gửi cho một

người khác, cam kết mình sẽ trả, vào một ngày xác định, một khoản ti ền cho người đóhoặc cho người được hưởng

Số tiền ghi trên thương phiếu được gọi là mệnh giá của thương phiếu.

Ngày mà người bị ký phát phải trả tiền được gọi là ngày đáo hạn của thương phiếu.

Một thương phiếu có thể được chuyển nhượng dễ dàng

Khoản tiền bị trừ bớt được gọi là tiền chiết khấu.

Giá trị hiện tại của thương phiếu chính bằng mệnh giá trừ đi tiền chiết khấu.

Ký hiệu mệnh giá là C, tiền chiết khấu là E, giá trị hiện tại là V, ta có

3 Chiết khấu thương mại theo lãi đơn

Số tiền chiết khấu thương mại là số tiền lãi tính trên mệnh giá C của thương phiếu,

thường được kí hiệu là Ec.

Ngày mà ngân hàng làm chiết khấu được gọi là ngày thỏa thuận Gọi t là lãi suất chiết

khấu thỏa thuận, n là số ngày tính từ ngày thoả thuận đến ngày đáo hạn Số tiền chiếtkhấu thương mại Ec được tính như công thức lãi đơn:

D

Cn36000

Ctn

Khi đógiá trị hiện tại thương mại sẽ là

Vc = C - Ec.Vậy

36000

tn)

C(3600036000

CtnC

hay

D

n)C(DD

CnC

Ví dụ:

Giá trị hiện tại thương mại vào ngày 25/8 của một thương phiếu chiết khấu với lãi suất9% là 7.868 USD Nếu thương phiếu này được chiết khấu 30 ngày trước ngày đáo hạn,thì số tiền chiết khấu sẽ ít hơn 72 USD so với tiền chiết khấu vào ngày 25/8 Tìm mệnhgiá và ngày đáo hạn của thương phiếu

36000

9x30)C(36000

suy ra

C = 8.000 (USD)Gọi n là số ngày tính từ 25/8 đến ngày đáo hạn, theo công thức (2), ta có

36000

8000x9xn7868

Ngày đáo hạn là 66 ngày sau 25/8 Đó là ngày 30/10

4 Chiết khấu hợp lý theo lãi đơn

Số tiền chiết khấu hợp lý là số tiền lãi tính trên giá trị hiện tại (hợp lý) của thương phiếu,

thường được ký hiệu là Er Giá trị hiện tại (hợp lý) được ký hiệu Vr

Er =D

nVVE

V

r r r

Cnn

NnD

 số tiền chiết khấu thương mại và hợp lý,

 giá trị hiện tại thương mại và hợp lý của thương phiếu

456000

45 x1260n

Giá trị hiện tại thương mại: Vc = C - Ec= 1.260 - 9,45 = 1.250,55 (euro)

Giá trị hiện tại hợp lý: Vr = C - Er= 1.260 - 9,38 = 1.250,62 (euro)

5 Các mối quan hệ giữa chiết khấu thương mại và chiết khấu hợp lý

Nn n

D

N D

N E -

nnD

nEnD

nD

Ta tính

D

nDnDND

NE

Er

nN

DN

nDE

1E

1c r

1E

1c r



Đ2 Thực hành chiết khấu

1 Chi phí chiết khấu (agio)

Khi một thương phiếu được đem chiết khấu, Ngân hàng giữ lại chẳng những tiền chiết khấu, mà còn các khoản tiền khác, như các loại tiền hoa hồng, tiền thuế đánh vào các

hoạt động tài chính Tất cả các khoản tiền đó được gọi là tiền chi phí chiết khấu (agio).

Như vậy chi phí chiết khấu gồm các khoản tiền sau:

 Tiền chiết khấu

 Các loại hoa hồng

 Thuế đánh vào các hoạt động tài chính

Có rất nhiều các loại khoản tiền hoa hồng Chúng được phân thành các loại sau:

 Tiền hoa hồng được tính tỉ lệ thuận theo thời hạn Công thức tính các loại

hoa hồng này (chẳng hạn hoa hồng chuyển nhượng) tương tự như tính chiếtkhấu nhưng với lãi suất khác,

 Tiền hoa hồngđược tính không phụ thuộc vào thời hạn,

 Tiền hoa hồng cố định Đó là các lệ phí tính theo từng thương phiếu như lệ

phí phục vụ, lệ phí chuyển tiền khác địa điểm, lệ phí báo có, lệ phí chấpthuận chiết khấu,…

2 Giá trị ròng của thương phiếu

Giá trị ròng của thương phiếu là số tiền mà người được hưởng thực sự nhận được sau khi

đã khấu trừ agio Vậy:

Giá trị ròng = Mệnh giá - agioGiá trị hiện tại = Mệnh giá - Tiền chiết khấu

3 Lãi suất thực tế chiết khấu và lãi suất giá thành chiết khấu

Các khoản tiền hoa hồng và thuế đã làm tă ng lãi suất mà người được hưởng phải gánhchịu

Lãi suất chiết khấu t thoả thuận được rút ra từ công thức:

Ec = Ctn

36000.Vậy

t = E 36000c

CnTrên thực tế, ngân hàng đã khấu trừ agio (chứ không phải Ec), vì vậy lãi suất thực tế chiết khấu T sẽ được tính bởi công thức:

1

T

Chứng minh các hệ thức trên dễ dàng.

Ví dụ 1:

Một thương phiếu 1.000 euro có ngày đáo hạn 30/11 được đem chiết khấu ngày 1/10.Người được hưởng chấp nhận các điều kiện sau:

Lãi suất hoa hồng chuyển nhượng: 0,40% (tỉ lệ thuận theo thời hạn)

Thuế đánh vào các hoạt động tài chính : 17,60%

Tính agio, giá trị ròng, lãi suất thực tế chiết khấu , lãi suất giá thành chiết khấu

36000  0,666Hoa hồng cố định: 1+2,5 = 3,500

Ví dụ 2:

Ngày 1/10 một doanh nghiệp đưa đến Ngân hàng một thương phiếu để chiết khấu Ngày

đáo hạn của thương phiếu là 31/12 Biết lãi suất thực tế chiết khấu là 9,60%, tìm lãi suấtgiá thành chiết khấu

1T

36000.T

T.n36.00036.000

nT

1T'

91 x9,636000

9,6 x36000T.n

36000

a) Sự tương đương của hai thương phiếu

Hai thương phiếu được gọi làtương đương tại một ngày nào đó, nếu cả hai thương phiếu

đều có giá trị hiện tại bằng nhau vào ngày đó, khi chúng được chiết khấu cùng lãi suất

và cùng phương thức

Ngày mà hai thương phiếu tương đương được gọi là thời điểm tương đương Thời điểm

này phải xẩy ra trước ngày đáo hạn của hai thương phiếu

Gọi C1, C2 là mệnh giá của hai thương phiếu, V1, V2 là giá trị hiện tại của hai thươngphiếu Tại thời điểm tương đương, ta có

V1 = V2

C1- E1 = C2- E2Thông thường trong tính toán tương đương của các thương phiếu, ta dùng chiết khấuthương mại

Gọi n1 và n2 là thời hạn của hai thương phiếu Ta có sơ đồ sau:

nC

2 1 1

hay

D

)n-(DCD

)n(D

Vậy

1

2 2

1

nD

nDC

C





Chú thích:

n1 < n2  C1< C2Hai thương phiếu cùng mệnh giá nhưng thời hạn khác nhau, không thể tương đươngnhau (tương tự, khi chúng khác mệnh giá nhưng cùng thời hạn thì cũng không thể tương

đương nhau)

b) Sự tương đương của một thương phiếu với nhóm nhiều thương phiếu khác.

Một thương phiếu được gọi là tương đương với một nhóm nhiều thương phiếu khác vào

một ngày nào đó, nếu giá trị hiện tại của t hương phiếu bằng tổng các giá trị hiện tại củacả nhóm thương phiếu vào ngày đó, khi chúng được đem chiết khấu cùng lãi suất vàcùng phương thức

Gọi C là mệnh giá của thương phiếu đang xét và {Ck, k=1, ,p} là các mệnh giá củanhóm các thương phiếu Gọi t hời hạn tương ứng của chúng là n và {nk, k=1, ,p}.Tại thời điểm tương đương, ta có

k k

D

.nC(CD

Cn-

c) Sự tương đương của hai nhóm thương phiếu

Hai nhóm thương phiếu được gọi là tương đương nhau vào một ngày nào đó, nếu tổng

các giá trị hiện tại của hai nhóm thương phiếu bằng nhau vào ngày đó, khi chúng được

đem chiết khấu cùng lãi suất và cùng phương thức

k k

D

.nC





q 1 j

j j

D

.mB

1

nD

nDC

Chú ý rằng các thời điểm này (nếu có) đều xẩy ra trước ngày đáo hạn của cả hai thươngphiếu.

Tại thời điểm tương đương thứ 2, gọi n’1 và n’2 là thời hạn của hai thương phiếu

Khi đó n’1 = n1- p , n’2 = n2- p và

p)(nD

p)-(n-Dn'D

n'DC

C

1

2 1

2 2

)n(D

p)n-(D

1

2 1

Đó là điều phải chứng minh

Định lý 2

Thời điểm tương đương của một thương phiếu với một nhóm c ác thương phiếukhác là duy nhất, trừ trường hợp mệnh giá của thương phiếu đó bằng tổng cácmệnh giá của các thương phiếu trong nhóm Trong trường hợp này, nếu sự tương

đương đã xẩy ra tại một thời điểm nào đó thì sự tương đương luôn luôn xẩy ra tạimọi thời điểm (trước tất cả các ngày đáo hạn của mọi thương phiếu)

k k

D

.nC

p 1 k

k k

s)(nCC

D

CD

Cn-

k p 1 k

+ 



p 1

k k

CsCsC

D

sD

Cs

0s.C-

 thì (**) được thoả mãn với mọi s

Đó là điều phải chứng minh

Điều đó có nghĩa là phải giả thiết sự tương đương đã từng xẩy ra tại một thời điểm nào

đó rồi

Đ4 Một số bài toán ứng dụng

1 Bài toán về thời hạn trả chung

Khi một người muốn thay thế một nhóm các thương phiếu bằng một thương phiếu duynhất, người ta gọi đó là bài toán về thời hạn trả chung

Giả sử thương phiếu duy nhất có mênh giá C và thời hạn n ngày, ta sẽ có 2 loại bài toánsau:

 Biết C tìm n (n thường được gọi là thời hạn trả chung)

601200006000

301

Từ đó tính được

C = 59697,98 euro

2 Bài toán về thời hạn trả trung bình

Trường hợp thay thế một nhóm các thương phiếu bằng một thương phiếu duy nhất cómệnh giá C bằng tổng các mệnh giá của nhóm thương phiếu được gọi là bài toán về thời hạn trả trung bình.

Thời hạn n của thương phiếu thay thế được gọi là thời hạn trả trung bình.

Vào ngày thay thế, phương trình tương đương là

nCC

p 1

k k k

CD

CnC

k k

p 1

k k kC

nC

a) Gọi khoản tiền trả hàng tháng là V (V = Ck, k = 1, ,18)

Vào ngày thoả thuận, số nợ chỉ còn 33150 x 80% = 26520 USD

1200

Vx10x2V

1200

Vx10x1V

Ta tìm được

V = 1600 USDb) Thời hạn trả trung bình tính bằng tháng, kể từ ngày đã thỏ a thuận

5,918

x1600

18) x(1600

2) x(16001)

x

(1600

Chương III

Lãi gộp

Đ1 Đại cương

Một khoản vốn được gọi là gửi theo lãi gộp, nếu sau mỗi thời kỳ tính theo lãi đơn, số

tiền lãi thu được sẽ được gộp vào khoản vốn ở đầu thời kỳ để hình thành một khoản vốnmới và khoản vốn mới đó lại tạo ra tiền lãi ở thời kỳ tiếp theo, và tiếp tục như vậy cho

Bằng quy nạp, ta có công thức tính giá trị (số tiền) thu được sau n thời kỳ:

Cn = Co(1+i)n (1)

Chú thích:

 Dãy các giá trị thu được  C tạo thành một cấp số nhân với công bội q = (1+i)n

 Tiền lãi In thu được sau n thời kỳ là sự chênh lệch giữa Cnvà C0 hay In = Cn- Co.Vậy

In = Co[(1+i)n-1] (2)

2 áp dụng

4, khi đã cho biết 3 đại lượng

Trong tính toán thực hành, thường dùng Bảng tài chính Đó là bảng cho sẵn các giá trịcủa 5 hàm số sau:

n(1+i) - 1i

đầu nêu trong bảng là rời rạc, nên đối với các dữ liệu không có trong bảng thường dùng

Vậy lãi suất hàng năm là 9,25%

3 Trường hợp khoảng thời gian không phải là một số nguyên

được, mà phải sử dụng phương pháp nội suy.

AM  CM =

AN

AM xBN

Vậy

CM =

1

0,63,138428)x-

Từ đó

(1+i)12,6  3,138428 + 0,1883058 = 3,3267338

Chú thích:

Khi sử dụng máy tính thì (1+i)12,6 3,32313384

Do đó việc dùng phương pháp nào cần được chỉ định trong các bài toán áp dụng

Trong phần u

v thời kỳ tiếp theo, số tiền Ck sẽ tạo thêm một khoản lãi (đơn) là: Ck i

vuTổng hai số tiền trên được gọi là số tiền (giá trị) thu được hợp lý (kí hiệu Cnr):

Cnr = Ck + Cki

v

u = C

k(1+iv

u)Vậy

u.