Phương pháp không gian con krylov cho giảm bậc của hệ động lực tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCĐÀO TRUNG KIÊN PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN CON KRYLOV CHO GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Toán ứng dụng Mã

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐÀO TRUNG KIÊN

PHƯƠNG PHÁP KHÔNG GIAN CON KRYLOV CHO GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60.46.01.12

Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thanh Sơn

Thái Nguyên - 2013

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn ThanhSơn - Giảng viên khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại họcThái Nguyên, người thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trongsuốt quá trình hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy, cô đã vàđang tham gia giảng dạy tại trường Đại học Khoa học Thái Nguyên.Các thầy cô đã nhiệt tình giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợicho tôi hoàn thành khóa học tại trường

Đồng thời, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới tất cả bạn bè, đồngnghiệp và người thân đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập và viết luận văn

Mặc dù đã dành nhiều thời gian nghiên cứu tìm hiểu, song bảnluận văn không thể tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót Vì vậy, tôirất mong muốn nhận được sự góp ý của tất cả quý vị để luận văn nàyđược hoàn thiện hơn

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2013

Học viên

Đào Trung Kiên

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và các kết quả nghiên cứu trong luậnvăn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũngxin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đãđược cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõnguồn gốc

Tác giả

Đào Trung Kiên

Mục lục

Mục lục 1

Mở đầu 3

1 Phương pháp không gian Krylov cho giảm bậc của hệ động lực tuyến tính 8 1.1 Sơ lược về lí thuyết hệ động lực tuyến tính 8

1.1.1 Công thức nghiệm của phương trình trạng thái 9 1.1.2 Quan hệ đầu vào - đầu ra trong không gian trạng thái 9

1.1.3 Quan hệ đầu vào - đầu ra trong miền tần số 10

1.1.4 Chuẩn của hệ động lực 11

1.2 Sơ lược lịch sử của phương pháp 12

1.3 Phương pháp không gian con Krylov 13

1.3.1 Phương pháp giảm bậc của hệ động lực thông qua phép chiếu 13

1.3.2 Cơ sở của phương pháp 14

1.4 Thuật toán Arnoldi và thuật toán Lanczos 21

1.4.1 Thuật toán Arnoldi 22

1.4.2 Thuật toán Lanczos 23

1.5 Phương pháp Krylov cho hệ cấp hai [19] 24

1.5.1 Hệ động lực cấp 2 một đầu vào - một đầu ra 24

1.5.2 Giảm bậc bằng phương pháp hợp hóa mômen trong không gian trạng thái 25

1.5.3 Phương pháp giảm bậc sử dụng phép chiếu cho

hệ cấp 2 251.5.4 Một số chủ đề liên quan 28

2.1 Một số ví dụ 302.1.1 Mô hình Eady mô phỏng khí quyển trái đất 302.1.2 Mô hình Fom 33Kết luận 37Tài liệu tham khảo 38

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay, mô phỏng số là khâu rất quan trọng giúp các nhà sảnxuất tạo ra sản phẩm Bước này giúp các nhà thiết kế tạo ra mẫusản phẩm thỏa mãn các yêu cầu của nhà sản xuất Ngoài ra, việc môphỏng thay thế cho các thí nghiệm thực tế thường đắt tiền và kéo dài

sẽ giúp hạ giá thành và tiết kiệm thời gian

Trong bước đầu tiên của một mô phỏng, người ta phải tìm một môhình toán học mô tả hoạt động của thiết bị, hoặc một thành phầnđơn lẻ của nó Việc hình thành một mô hình được dựa trên các quyluật trong vật lý, hóa học, vv Quá trình này thường được kết thúcbởi một tập hợp các phương trình vi phân đạo hàm riêng Để có dữliệu mô phỏng người ta phải giải những phương trình đó trên máytính Để làm được điều này các phương trình vi phân đạo hàm riêngphải được rời rạc trong không gian bằng một số phương pháp số chẳnghạn như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) hoặc phương pháp saiphân hữu hạn (FDM) Thông qua quá trình tuyến tính hóa và khaitriển thích hợp ta thường thu được hệ tuyến tính không phụ thuộcthời gian dạng như sau:

E ˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)),y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)), (0.1)trong đó E, A ∈ RN ×N, B ∈ RN ×m, C ∈ Rl×N là các ma trận thựchoặc phức; x(t) là một véctơ mô tả trạng thái của hệ thống phụ thuộcvào thời gian t; u(t) đại diện cho đầu vào được đưa ra bởi người sửdụng hoặc được xác định bởi một quá trình, được gọi là đầu vào hoặc

tin đầu ra từ trạng thái x(t) và đầu vào u(t) mà người dùng quan tâmđến.

Hệ thống (0.1) là mô hình toán học cho tương ứng đầu vào-đầu ra.Nhập một đầu vào u(t) và quan sát các thông tin của đầu ra y(t).Hành động này được lặp đi lặp lại nhiều lần trong quá trình thiết kế,

mô phỏng

Hình 1: Sơ đồ đầu vào - đầu ra

Với các máy tính hiện đại, có được kết quả số dường như là đơngiản Nhưng nó không phải là dễ dàng như ta tưởng Trong các ngànhcông nghiệp, vì nhiều lý do như chi phí sản xuất hoặc sự tiện lợi củangười sử dụng, người ta có xu hướng tích hợp nhiều thành phần khácnhau vào một đơn vị nhỏ Điều này dẫn đến cái gọi là hệ thống vi cơđiện (micro-electro-mechanical systems -MEMS) Đó là sản phẩm màtrong đó có sự tích hợp các mạch điện và các thành phần cơ học khácvới kích cỡ micro Mô phỏng các vi hệ đó rất phức tạp Một mặt, kiếnthức về các hiện tượng xảy ra ở quy mô bình thường không thể được

áp dụng cho quy mô nhỏ, do đó chúng ta cần thiết phải xem xét lạicác hiệu ứng chỉ xảy ra ở quy mô nhỏ Mặt khác, để hiểu mối quan

hệ giữa các phần khác nhau của hệ thống, tất cả chúng phải được môphỏng trong sự tương tác qua lại

Thời gian mô phỏng các hệ động lực này phụ thuộc rất nhiều vàobậc N của hệ động lực, tức là cỡ của véctơ trạng thái x(t) Thôngthường bậc của các hệ động lực trong thực tế là từ vài nghìn trở lên,

do vậy thời gian thực hiện là rất lớn và đặc biệt không phù hợp chođòi hỏi của quá trình mô phỏng Từ đó người ta muốn xấp xỉ hệ độnglực bậc N ban đầu bởi một hệ động lực bậc n, với n  N Xấp xỉđược hiểu theo nghĩa: với mọi đầu vào giống nhau, đầu ra của hai hệđộng lực xấp xỉ bằng nhau Đương nhiên với bậc n nhỏ hơn nhiều lần,

thời gian mô phỏng sẽ được rút ngắn rất nhiều Công việc này gọi làgiảm bậc của hệ động lực.

Việc giảm bậc hệ của động lực rất quan trọng cả về mặt lý thuyết

và ứng dụng thực tế Có rất nhiều công trình đã viết về vấn đề này

và nhiều phương pháp đã được tìm ra Nổi bật hơn cả là ba phươngpháp: phân tích trực giao chính (Proper Orthogonal Decomposition),chặt cụt cân bằng (Balanced Truncation) và phương pháp không giancon Krylov (Krylov Subspace Methods) Trong ba phương pháp giảmbậc ở trên thì phương pháp không gian con Krylov có ưu điểm là dễlập trình, độ phức tạp của thuật toán thấp, có thể làm với hệ bậc cao

Do vậy chúng tôi quyết định chọn đề tài "Phương pháp không giancon Krylov cho giảm bậc của hệ động lực tuyến tính" để nghiên cứu

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Xây dựng phương pháp không gian con Krylov cho giảm bậc của

hệ động lực tuyến tính; áp dụng phương pháp này cho một số ví dụthực tế

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý thuyết của hệ động lực tuyến tính cấp một

và cấp hai, phương pháp không gian con Krylov và các thuật toánArnoldi, Lanczos

4 Phương pháp nghiên cứu

• Sử dụng các phép biến đổi của đại số tuyến tính, các kết quả củađại số tuyến tính và giải tích

• Sử dụng các tài liệu liên quan đến phương pháp giảm bậc bao gồm:các bài báo khoa học, sách chuyên khảo và các luận án về phươngpháp không gian con Krylov, thuật toán Arnoldi và Lanczos Và

sử dụng các dữ liệu đã được công nhận trong cộng đồng những

nhà khoa học nghiên cứu về lý thuyết giảm bậc để làm ví dụ minhhọa cho phương pháp.

5 Bố cục của luận văn

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm hai chương:

• Chương 1 Phương pháp không gian con Krylov cho giảm bậc của

hệ động lực tuyến tính

Giới thiệu sơ lược về lịch sử của phương pháp, lý thuyết hệ độnglực, lý thuyết xấp xỉ trong miền tần số và định lý chính Trình bàythuật toán Lanzcos và Arnoldi Trình bày về phương pháp Krylovcho hệ cấp hai

• Chương 2 Ví dụ số

Trình bày một số ví dụ số thực hiện trên Matlab

Một số kí hiệu dùng trong luận văn

• R+ là tập các số thực dương

• Rn×r là tập các ma trận thực cỡ n × r

• AT là ma trận chuyển của ma trận A

• span {a1, a2, , aj} là không gian sinh bởi các véctơ {a1, a2, , aj}

• colsp(A) là không gian sinh bởi các véctơ cột của ma trậnA

• ˙x(t) là đạo hàm của x theo biến t

• ¨x(t) là đạo hàm cấp 2 của x theo biến t

• Re(λ) là phần thực của số phức λ

• Λ(A) là tập hợp các giá trị riêng của ma trận A

• σi(A) là giá trị kỳ dị thứ i của ma trận A, trong đó σ1(A) ≥

σ2(A) ≥ ≥ σn(A)

• A∗ là ma trận chuyển vị liên hợp của ma trận A

• trace(A) là tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trậnvuông A, nghĩa là nếu A = (aij) là ma trận vuông cấp n thìtrace(A) = Pn

i=1aii

Chương 1

Phương pháp không gian Krylov cho giảm bậc của hệ động lực

tuyến tính

1.1 Sơ lược về lí thuyết hệ động lực tuyến tính

Hệ động lực tuyến tính không phụ thuộc thời gian có dạng

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)) (a),y(t) = Cx(t) + Du(t)) (b), (1.1)trong đó:

t ∈ (0, +∞) : biến thời gian,x(t) ∈ RN: véctơ trạng thái,u(t) ∈ Rm : đầu vào hay hàm điều khiển,y(t) ∈ Rl : đầu ra,

A ∈ RN ×N : ma trận động lực,

B ∈ RN ×m : ma trận đầu vào,

C ∈ Rl×N: ma trận đầu ra,

D ∈ Rl×m.Phương trình (1.1(a)) được gọi là phương trình trạng thái Để đơngiản người ta thường viết

˙x = Ax + Bu,

• Phần lớn các hệ động lực thường gặp là bất biến thời gian:

A, B, C, D là các ma trận hằng, nghĩa là chúng không phụ thuộcvào thời gian t

• Khi u(t) và y(t) là các hàm vô hướng, hay m = l = 1, thì hệ độnglực được gọi là một đầu vào - một đầu ra và kí hiệu là SISO (single

- input - single - output); trường hợp ngược lại nếu m, l > 1 thì

hệ được gọi là nhiều đầu vào - nhiều đầu ra và kí hiệu là MIMO(multiple-input - multiple-output)

• Khi xét hệ động lực người ta còn đưa vào một số khái niệm: tínhchất khoảng, tính nhất quán, tính nhân quả, tính đối chu trình,tính ổn định, tính đạt được và tính quan sát được, xem [20]

Xét hệ động lực tuyến tính không phụ thuộc thời gian sau:

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) (a),y(t) = Cx(t) + Du(t) (b) (1.3)Giả sử phương trình trạng thái (1.3(a)) có điều kiện ban đầu x0 =x(t0), bằng phương pháp biến thiên hằng số phương trình (1.3(a)) cónghiệm

x(t) = eA(t−t0 )

x0 +

tZ

t 0

eA(t−τ )Bu(τ )dτ (1.4)Theo đó, đầu ra được tính bởi

y(t) = CeA(t−t0 )x0 + C

Z t

t 0

eA(t−τ )Bu(τ )dτ + Du(t) (1.5)

Định nghĩa 1.1.1 Lq

R+, Rk
= {f : R+ → Rk : kf (t)kLq :=(R

R +

kf (t)kqqdt) < +∞}

t 0

CeA(t−τ )Bu(τ )d(τ ) (1.6)

L chính là ánh xạ đầu vào - đầu ra của hệ (1.3) với điều kiện ban đầu

x0 = 0 Khi đó ta gọi L là toán tử đầu vào - đầu ra

Nếu A là ma trận Hurwitz, nghĩa là Re(λi) < 0, ∀λi ∈ Λ(A) thì L

là một toán tử tuyến tính bị chặn Khi đó ta cũng nói hệ (1.3) là ổnđịnh

Lưu ý rằng công thức (1.4) và (1.5) chỉ có ý nghĩa về mặt lý thuyết,người ta hiếm khi sử dụng (1.4) và (1.5) trong các tính toán

Định nghĩa 1.1.2 Toán tử Laplace

f (t)e−stdt, s ∈ C (1.7)

Nếu f (t)e−αt ∈ L1

R+, Rk
thì (1.7) hội tụ trong miền Re(s) ≥ α.

Áp dụng biến đổi Laplace cho hệ (1.3) với điều kiện ban đầu x0 = 0

ta có:

sˆx(s) = Aˆx(s) + B ˆu(s), (1.8)ˆ

y(s) = C ˆx(s) + Dˆu(s) (1.9)

Từ (1.8) ta suy ra

ˆx(s) = (sI − A)−1B ˆu(s) (1.10)Kết hợp (1.9) và (1.10) ta có

ˆy(s) = (C(sI − A)−1B + D)ˆu(s) (1.11)Đặt H(s) = C(sI − A)−1B + D ∈ Cl×m Theo (1.11), H(s) cho ta côngthức tính ˆy(s) trực tiếp từ ˆu(s): ˆy(s) = H(s)ˆu(s)

Định nghĩa 1.1.3 H(s) được gọi là hàm chuyển (transfer function)của hệ động lực (1.3).

Muốn tính toán sai số của một phương pháp giảm bậc, người ta căn

cứ vào chuẩn của hệ động lực

Trước tiên ta định nghĩa chuẩn Schatten của ma trận

σip(A)

!1p, 1 6 p < ∞

σ1(A), p = ∞Khi p = 2, chuẩn k.kS,2 còn được gọi là chuẩn Frobenius hay chuẩnHilbert-Schmidt

Định nghĩa 1.1.4 Cho F : C+ → Cl×m là hàm ma trận giải tíchtrong C+, chuẩn Hardy của F được định nghĩa và kí hiệu là:

supz∈C +

σmax(F (z)),

kF kH

2 :=

supα>0

Z +∞

−∞

trace(F∗(α − iβ)F (α + iβ))dβ

12

Chú ý: Áp dụng Định lý modul cực đại [14] ta có:

kF kH

∞ = supz∈C +

Khi sử dụng những chuẩn này cho hệ động lực, người ta áp dụng vàohàm chuyển của hệ động lực

1.2 Sơ lược lịch sử của phương pháp

Theo phần 1.1, ta thấy rằng hàm chuyển của một hệ động lực chính

là đại diện của hệ động lực đó trong miền tần số Vì vậy có một xuhướng giảm bậc là tìm một hệ có bậc nhỏ hơn và có hàm chuyển xấp

xỉ hàm chuyển của hệ gốc Điều này có thể thực hiện thông qua việchợp hóa (1) các hệ số đầu trong khai triển Laurent của hàm chuyểngốc tại một điểm Phụ thuộc vào việc chọn điểm khai triển mà bàitoán giảm bậc được đặt tên khác nhau như sau:

• Mô tả từng phần (Partial realization): hợp hóa các số hạng củakhai triển quanh ∞

• Xấp xỉ Padé (Padé approximation): hợp hóa các số hạng của khaitriển tại 0

• Nội suy phân thức (Rational interpolation): hợp hóa các số hạngcủa khai triển tại s0 6= 0

Chẳng hạn, nếu A không suy biến, hàm chuyển H(s) = C(sE −A)−1B có khai triển tại 0 như sau:

H(s) =

∞Xi=0

−CA−(i+1)Bsi

Người ta gọi −CA−(i+1)B là mômen thứ i của hàm chuyển H(s) tại 0

(1) Hợp hóa xuất phát từ thuật ngữ tiếng Anh "match"; hợp hóa các hệ số đầu trong khai triển Laurent của hàm chuyển gốc tại một điểm được hiểu là làm cho các hệ số đầu trong khai triển hàm chuyển của hệ gốc và hệ giảm bậc giống nhau.

Do vậy bài toán hợp hóa mômen bây giờ trở thành: tìm một hệđộng lực bậc n, với hàm chuyển ˆH(s) có cùng q(n) mômen đầu tiênvới H(s) Ta có thể viết

H(s) = ˆH(s) + O((s − s0)q(n))

Đối với hệ động lực SISO, dễ dàng kiểm tra được rằng hàm chuyểncủa hệ gốc có thể được viết dưới dạng phân thức

ˆH(s) = PN −1(s)

QN(s) ,trong đó PN −1(s) là đa thức có bậc không quá N − 1, QN(s) là đa thứcbậc N Để tìm xấp xỉ Padé người ta đã tính toán hệ số của PN −1(s) và

PN −1(s) bằng việc giải phương trình tuyến tính có vế phải là mômencủa H(s) [12] Cách tiếp cận này gọi là phương pháp hợp hóa mômenhiện (explicit moment matching) Phương pháp này được sử dụngrộng rãi trong kỹ thuật đánh giá dạng sóng tiệm cận (AsymptoticWaveform Evaluation) [16,4,5] Tuy nhiên người ta phát hiện ra rằngphương pháp hợp hóa mômen hiện là không ổn định Do đó nó dẫntới sự không chính xác, đặc biệt khi bậc của hệ lớn Điều này xảy ra

do một nguyên nhân là phương pháp này đòi hỏi phải tính toán cụthể mômen của hệ gốc

Như vậy một yêu cầu xuất hiện là làm sao có thể hợp hóa mômennhưng không nhất thiết phải tính toán cụ thể các mômen đó Mụctiếp theo sẽ trình bày cụ thể giải pháp này thông qua phép chiếu lênkhông gian con Krylov

1.3 Phương pháp không gian con Krylov

Cho hệ động lực bậc N

E ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t),y(t) = Cx(t) + Du(t) (1.12)Mặc dù có ba phương pháp giảm bậc phổ biến khác nhau, nhưng

Chọn không gian chiếu có số chiều n sinh bởi các véctơ cột của matrận V ∈ RN ×n Sau đó xấp xỉ x bởi V ˆx, ˆx ∈ Rn, n < N Thay x bởibởi V ˆx trong (1.12) ta thu được

EV ˆx(t) = AV ˆx(t) + Bu(t) + R,ˆ

y(t) = CV ˆx(t) + Du(t), (1.13)trong đó R là thặng dư của phép xấp xỉ Ta buộc thặng dư R trong

hệ trên trực giao với một không gian con n chiều sinh bởi ma trận

y(t) = CV ˆx(t) + Du(t) (1.14)Định nghĩa 1.3.1 Hệ (1.14) được gọi là hệ giảm bậc của hệ (1.12)xây dựng bằng phương pháp chiếu bởi hai ma trận chiếu W và V

Lưu ý: Ma trận D không bị ảnh hưởng bởi quá trình hạ bậc nên

từ đây ta giả sử D = 0

Xét hệ (1.12) với hàm chuyển H(s) = C(sE − A)−1B Ta giả sửrằng det(λE − A) 6≡ 0 Khi đó,

(A − s0E)−1E(s − s0)

i(A − s0E)−1B

H(s) =

∞Xi=0

−C(A − s0E)−1E

i(A − s0E)−1B(s − s0)i (1.15)Cho s0 = 0 ta có xấp xỉ tại 0 của H(s) là:

H(s) =

∞Xi=0

 E−1As

i

E−1Bs−1hay

H(s) = C

∞Xi=0(E−1A)iE−1Bs−(i+1) (1.17)

Ta gọi (1.15), (1.16), (1.17) lần lượt là khai triển của hàm chuyển H(s)tại s0 6= ∞, tại 0 và tại ∞

Định nghĩa 1.3.2 Các hệ số trong khai triển của H(s) gọi là cácmômen của H(s)

−C(A−1E)iA−1B gọi là mômen thứ i tại 0 hay còn gọi là mômen tần

số thấp

C(E−1A)iE−1B gọi là mômen thứ i tại ∞ hay còn gọi là mômen tần

số cao, hay tham số Markov

−C((CA − s0E)−1E)i(A − s0E)−1B gọi là mômen thứ i tại s0 hay gọi

là mômen tần số tại s0

Định nghĩa 1.3.3 Cho A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m, n ≥ m, rank(B) = m.Không gian con Krylov bậc i tạo bởi A và B là:

Ta có m ≤ dim(Ki(A, B) ≤ mi.

Tại sao người ta lại sử dụng không gian Krylov cho việc giảm bậc?Trước hết ta thấy rằng trạng thái x(t) của hệ SISO với điều kiện banđầu thuần nhất có dạng x(t) = R0teA(t−τ )bu(τ )dτ Do đó việc xây dựng

hệ giảm nhằm xấp xỉ biểu thức eAtb Dựa trên quan sát người ta thấyrằng toán tử mũ ma trận có thể được xấp xỉ bởi phép chiếu trên khônggian con Krylov [10, 17] Liên hệ giữa không gian con Krylov và xấp

xỉ Padé được trình bày trong [8] Tuy nhiên ý tưởng ban đầu xuấthiện trong quá trình giải bài toán nội suy phân thức[11, 21] Chúng

ta nhắc lại định lý quan trọng dưới đây

Định lý 1.3.1 ([12], Theorem 1) Cho hệ động lực tuyến tính khôngphụ thuộc thời gian SISO bậc N dạng

˙x(t) = Ax(t) + bu(t),

Giả sử rằng tồn tại các ma trận hạng đầy đủ V, W ∈ RN ×r thỏa mãn

colsp(V ) = Kr(A, b),colsp(W ) = Kr(AT, cT),

Trong thực tế, s thường được chọn là iw với w ∈ R+ là tần số nào

đó Theo đó, H(iw) trở thành nhân tử khuyếch đại đầu vào để thuđược đầu ra ở tần số đó

Định lý này đã nêu ra một phương pháp hiệu quả để tìm xấp xỉcủa hàm chuyển đối với hệ bậc cao trong miền tần số ở một phạm vi

nào đó Nhiều khi người ta quan tâm đến xấp xỉ trong một dải tần sốrộng Xây dựng hệ giảm trong định lý (1.3.1) không giải quyết đượcvấn đề này, vì hệ giảm chỉ xấp xỉ hệ ban đầu quanh s0 Câu hỏi đặt

ra là tại sao người ta không gộp các không gian con Krylov liên quantới các tần số cần thiết vào không gian con chiếu sinh bởi V và W Ýtưởng này lần đầu tiên được đưa ra trong [21] khi các tác giả cố gắnghợp hóa cả mômen tần số cao và mômen tần số thấp, nghĩa là hợphóa các số hạng trong khai triển hàm chuyển tại 0 và ∞ đều được xử

lý cùng lúc Việc hợp hóa mômen tại một số điểm s0 6= ∞ đã đượcgiải quyết trong [9, 12], giải pháp áp dụng với hệ động lực có dạng

E ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t),

Tuy nhiên, chúng tôi trình bày lại chứng minh đưa ra trong [20] và sẽ

lý giải cho sự lựa chọn đó sau khi trình bày chứng minh Trước khi

đi vào nội dung, chúng ta cần một số bổ đề làm cơ sở để chứng minhđịnh lý chính sau đây

Bổ đề 1.3.1 Giả sử V, W ∈ Rn×r thỏa mãn WTV = Ir Khi đó nếu

H ∈ Rn×m, m ≤ r, colsp(H) ⊂ (V ) thì:

V WTH = HChứng minh Từ giả thiết ta suy ra tồn tại ma trận J ∈ Rr×m saocho H = V J Theo đó ta có, V WTH = V WTV J = V IJ = V J = H



Bổ đề 1.3.2 Giả sử V ∈ RN ×r, rank(V ) = r thỏa mãn: colsp(V ) ⊃

KkB((A − s0E)−1E, (A − s0E)−1B) và Z ∈ RN ×m, rank(Z) = r, saocho ZT(A − s0E)V khả nghịch Khi đó:

((A − s0E)−1E)j(A − s0E)−1B = V (( ˆA − s0E)ˆ −1E)j( ˆA − s0E)ˆ −1B,ˆ

(1.21)

j = 0, , kB − 1, trong đó ˆA = ZTAV, ˆE = ZTEV, ˆB = ZTB

Chứng minh Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp hữu hạn.

Với j = 0 , (1.21) trở thành (A − s0E)−1B = V ( ˆ A − s0E)ˆ −1Bˆ Ta có:

V ( ˆ A − s0E)ˆ −1B = V (Zˆ T(A − s0E)V )−1ZTB