một số vấn đề về tập sinh cực tiểu của đại số đa thức bốn biến như modun steenrod

Tác động của A trên Pk được xác địnhtường minh bởi công thức Một trong những bài toán được quan tâm bởi nhiều tác giả nghiên cứu về Tôpô Đại số là xác định tập sinh cực tiểu của Pk được

NGUYỄN HỒNG NGUYÊN

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TẬP SINH CỰC TIỂU CỦA ĐẠI SỐ ĐA THỨC BỐN BIẾN

NHƯ MÔĐUN STEENROD

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2013

NGUYỄN HỒNG NGUYÊN

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TẬP SINH CỰC TIỂU CỦA ĐẠI SỐ ĐA THỨC BỐN BIẾN NHƯ MÔĐUN STEENROD

Mã số :60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN SUM

Bình Định - Năm 2013

2 Một số vấn đề cơ bản về bài toán hit đối với đại số Steenrod 92.1 Hàm β và các tính chất 92.2 Đơn thức chấp nhận được và các tính chất 102.3 Toán tử squaring của Kameko 13

3 Cơ sở chấp nhận được của đại số đa thức bốn biến tại các bậc

3.1 Các đơn thức không chấp nhận được của P4 tại bậc 2s+1− 3 173.2 Các đơn thức không chấp nhận được của P4 tại bậc 2s+1− 2 283.3 Các đơn thức không chấp nhận được của P4 tại bậc 2s+1− 1 39

Mở đầu

Kí hiệu Pk = F2[x1, x2, , xk] là đại số trên trường nguyên tố F2 có haiphần tử với k biếnx1, x2, , xk mỗi biến có bậc1 Đại số này là một môđuntrên đại số Steenrod modulo 2, A Tác động của A trên Pk được xác địnhtường minh bởi công thức

Một trong những bài toán được quan tâm bởi nhiều tác giả nghiên cứu

về Tôpô Đại số là xác định tập sinh cực tiểu của Pk được xét như mộtmôđun trên đại số Steenrod modulo 2, A Bài toán này được gọi là bàitoán hit đối với đại số Steenrod Nếu xét F2 như một A-môđun tầm thườngthì bài toán hit tương đương với việc xác định một cơ sở của không gianvectơ QPk = F2⊗APk trên F2 Bài toán này được nghiên cứu đầu tiên bởiPeterson [3], Singer [4], Wood [9], những người đã chỉ ra mối quan hệ củabài toán hit với một số bài toán cổ điển trong lý thuyết đồng biên (bordism)của các đa tạp, lý thuyết biểu diễn modulo của các nhóm tuyến tính, dãyphổ Adams đối với đồng luân ổn định của mặt cầu

Trong [3], Peterson đã đưa ra giả thuyết rằng, như một môđun trên đại

số Steenrod A, đại số đa thức Pk được sinh bởi các đơn thức bậc n thỏa

mãn α(n + k) 6 k, trong đó α(n) là số các hệ số 1 trong khai triển nhị phâncủa n và chứng minh giả thuyết này với k 6 2 Vào năm 1989, Wood [9] đãchứng minh giả thuyết này trong trường hợp tổng quát Đây là một công cụ

có hiệu quả đối với bài toán xác định tập sinh cực tiểu của A-môđun Pk

Kí hiệu GLk = GL(k,F2) là nhóm tuyến tính tổng quát trên trường F2.Nhóm này tác động thông thường trên đại số đa thức Pk Khi đó Pk là GLk-môđun Các tác động của A và GLk giao hoán nhau nên đại số các bất biến

PGLk

k của Pk đối với GLk là A-môđun con của Pk

Một trong những công cụ chính để nghiên cứu bài toán hit là đối ngẫucủa toán tử Squaring của Kameko

Từ kết quả này của Kameko và định lý của Wood, bài toán hit được rút gọn

về việc tính toán tại những bậc n thỏa mãn β(n) < k

Không gian vectơ QPk đã được tính toán tường minh bởi Peterson [3] với

k = 2, Kameko [2] với k = 3 Trường hợp k = 4 đã được tính toán chi tiếttrong công trình chưa công bố Sum [6] với k = 4 Gần đây các kết quả chínhvới k = 4 đã công bố trong Sum [8]

Trong luận văn này chúng tôi tìm hiểu và trình bày lại các kết quả trongKameko [2] và Sum [7] về các tính toán tường minh cơ sở chấp nhận đượccủa đại số đa thức 4 biến tại các bậc n thỏa mãn điều kiện α(n + β(n)) = 1.Tức là tại các n có dạng:

Nội dung chính của luận văn được chia làm 3 chương.

Chương 1 Chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa và các kết quả cần thiết

về đại số trên một trường, đại số đa thức, đại số Steenrod, cấu trúc môđuncủa đại số đa thức trên đại số Steenrod, nhóm tuyến tính tổng quát trêntrường nguyên tố có hai phần tử và tác động của nó trên đại số đa thức.Chương 2 Trình bày chi tiết một số kết quả trong [1], [2] về hàm β, cáctính chất của đơn thức hit, đơn thức chấp nhận được trên Pk

Chương 3 Trình bày lại các kết quả trong Kameko [2] và Sum [7] về cáctính toán tường minh cơ sở chấp nhận được của đại số đa thức 4 biến tại cácbậc n thỏa mãn điều kiện α(n + β(n)) = 1 Tức là tại các n có dạng:

1) n = 2s+1− 3;

2) n = 2s+1− 2;

3) n = 2s+1− 1,

trong đó s là số nguyên dương

Luận văn này đã được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình củaPGS.TS Nguyễn Sum Chúng tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết

ơn sâu sắc đến Thầy Qua đây, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy,

Cô giáo trong Khoa Toán, Phòng sau đại học của Trường Đại Học Quy Nhơn,gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi học tập vàhoàn thành luận văn

Do điều kiện thời gian và khả năng của bản thân có hạn nên luận vănkhó tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong được sự góp ý của quýthầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Bình Định, năm 2013

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về đại

số trên một trường, đại số Steenrod trên trường nguyên tố có hai phần tử,cấu trúc môđun của đại số đa thức trên đại số Steenrod, nhóm tuyến tínhtổng quát trên trường nguyên tố có hai phần tử và tác động của nó trên đại

(b) Phép nhân

.: A × A −→ A,(x, y) 7−→ xy,

(c) Phép nhân với vô hướng

: K× A −→ A,(α, x) 7−→ αx,

thỏa mãn những điều kiện sau đây:

(i) A cùng với hai phép toán cộng và nhân lập thành một vành

(ii) A cùng với hai phép toán cộng và nhân với vô hướng lập thành mộtkhông gian vectơ trên K.

(iii) Hai cấu trúc vành và không gian vectơ ở trên ràng buộc nhau bởiđiều kiện α(xy) = (αx)y = x(αy), với mỗi α ∈K, x, y ∈ A

Nói cách khác, A là một đại số trên K nếu nó vừa là một vành vừa làkhông gian véctơ trên K, trong đó phép cộng của vành A trùng với phépcộng trong không gian vectơ A, còn phép nhân của vành A liên hệ với phépnhân với vô hướng trong không gian vectơ A bởi công thức trong (iii)

Ví dụ 1.1.2 Vành đa thức K[x1, x2, , xn] hệ số trên trường K với cácbiến x1, x2, , xn là một đại số trên K

Ví dụ 1.1.3 Tập hợp M (n,K) các ma trận vuông cấp n với các phần tửtrong K, lập nên một đại số trên trường K đối với các phép toán thông thườngtrên ma trận

Định nghĩa 1.1.4 Giả sử A là một đại số trên K Một tập con của A đượcgọi là một đại số con nếu nó vừa là một vành con vừa là một không gianvectơ con của A

Định nghĩa 1.1.5 Cho tập con M ⊂ A Giao của tất cả các đại số con của

A chứaM được gọi là đại số con sinh bởiM đó chính là đại số con nhỏ nhấtcủa A chứa M

Định nghĩa 1.1.6 Tập con N ⊂ A được gọi là một iđêan của đại số A nếu

nó vừa là một iđêan của vành A vừa là một không gian vectơ con củaA Khi

đó có thể định nghĩa đại số thương A/N theo cách thông thường

Định nghĩa 1.1.7 Đại số thương A/N với các phép toán sau đây, trên tậpcác lớp ghép của N trong A :

(x + N ) + (y + N ) = (x + y) + N,(x + N ).(y + N ) = (xy) + N,

α(x + N ) = (αx) + N,

trong đó x, y ∈ A, α ∈ K

Định nghĩa 1.1.8 Giả sử A, B là các đại số trên K, ánh xạ ϕ : A → B

được gọi là một đồng cấu đại số nếu nó vừa là một đồng cấu vành vừa làmột đồng cấu K-không gian vectơ

đồng cấu ϕ gọi là đơn cấu (toàn cấu; đẳng cấu) nếu ϕ là đơn ánh (toànánh; song ánh)

Định nghĩa 1.1.9 Số chiều của không gian vectơ A trên K được định nghĩa

là số chiều của đại số A và vẫn được kí hiệu là dimKA

Định nghĩa 1.1.10 Đại số A được gọi là tự do nếu A được sinh bởi mộttập hợp S ⊂ A và tập hợp tất cả các đơn thức {a1.a2 an | ai ∈ S, i =

1, 2, , n, n > 0} là độc lập tuyến tính trong A

Nếu A được trang bị ba phép toán như nói ở định nghĩa 1.1.1 thỏa mãncác điều kiện (i), (ii), (iii) loại trừ điều kiện về tính chất kết hợp của phépnhân thì ta nói A là một đại số không kết hợp

Trong phần này, chúng tôi trình bày sơ lược về cấu trúc đại số của đại

số Steenrod mod 2 Cấu trúc của đại số này được trình bày chi tiết trongSteenrod và Epstein [5]

Kí hiệu eA là đại số kết hợp, tự do trên trường F2 gồm 2 phần tử sinh bởitập hợp các kí hiệu Sqi bậc i, với i là số nguyên không âm Gọi B là iđêancủa eA sinh bởi tập tất cả các phần tử có dạng

n < k Đại số thương A = A/Be được gọi là đại số Steenrod mod 2 Kí hiệu

Sqi là lớp trong A có đại diện là Sqi Khi đó trong đại số A có quan hệ

Các quan hệ trên gọi là quan hệ Adem của đại số Steenrod A Các kí hiệu

Sqi gọi là toán tử Steenrod bậc i hay bình phương Steenrod bậc i

Nhắc lại rằng đại số đa thức Pk trên trường F2 là một môđun trên đại sốSteenrod A với tác động của A trên Pk được cho như trong phần mở đầu

Kí hiệu A+ là iđêan của A sinh bởi tất cả các Sqi với i > 0 và A+Pk làtập hợp tất cả các đa thức hit trong Pk Tức là các đa thức được biểu diễndưới dạng tổng P

i>0Sqi(fi), trong đó fi ∈ Pk và bằng 0 hầu hết trừ một sốhữu hạn

0<i<2 sSqi(fi), trong đó fi ∈ F2 với 0 < i < 2s và s là một

số nguyên dương cho trước

Cho V là một không gian vectơ kchiều trên trường F2 Kí hiệuGL(V )

là tập hợp tất cả tự đẳng cấu tuyến tính của V Tập hợp GL(V ) cùng vớiphép toán hợp thành các ánh xạ lập thành một nhóm gọi là nhóm các tựđẳng cấu của V Phần tử đơn vị của GL(V ) là ánh xạ đồng nhất idV Phần

tử nghịch đảo của f ∈ GL(V ) là đẳng cấu ngược f−1 ∈ GL(V )

Vì dimF2V = k nên ta chọn một cơ sở cố định của F2-không gian vectơ

V Kí hiệu GLk = GL(k,F2) là nhóm gồm tất cả các ma trận vuông cấp k

khả nghịch với các hệ tử trong F2 Nhóm này được gọi là nhóm tuyến tínhtổng quát trên trường F2 Xét ánh xạ ϕ : GL(V ) −→ GLk đặt tương ứngmỗi tự đẳng cấu tuyến tính f của V với một ma trận M (f ) của nó đối với

cơ sở đã chọn Khi đó đồng cấu ϕ là đẳng cấu nhóm Do đó ta có thể đồngnhất nhóm GL(V ) với nhóm GLk

Chương 2

Một số vấn đề cơ bản về bài toán hit đối với đại số Steenrod

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất

cơ bản của hàm số học β ,một số kết quả về cơ sở chấp nhận được của đại

số đa thức được xét như môđun trên đại số Steenrod, bao gồm các kết quảtrong Kameko [2], Singer [4], Sum [7], Wood [9]

Trước tiên, chúng tôi trình bày các tính chất cơ bản của hàm số học β

được trình bày trong Kameko [2] và Sum [7]

Định nghĩa 2.1.1 Với n là số nguyên dương,

α(n) = số các hệ số 1 trong khai triển nhị phân của n

n = 2d1 + 2d2 + + 2ds−1 + 2ds − s

Từ định lý này ta thu được

Hệ quả 2.1.5 Với mỗi số nguyên dương n, số n − β(n) là không âm vàchẵn.

Hệ quả 2.1.6 Cho n là số nguyên dương Nếu β(n) = k thì β(n−k2 ) 6 k

Trong phần này, chúng tôi trình bày các khái niệm và một số kết quảtrong N.Sum [7], Singer [4] và Kameko [2] về đơn thức chấp nhận được vàđơn thức hit trong Pk

Từ đây về sau, nếu chúng ta nói M là một ma trận thì ta giả sử hệ số của

nó thuộc {0, 1} và số hệ số khác không của nó là hữu hạn Nếu M = (εij) làmột ma trận thì đơn thức x = xa1

τ (x) = (τ1(x), τ2(x), , τi(x), ),σ(x) = (a1, a2, , ak),

Ta gọi τ (x) và σ(x) tương ứng là τ-vectơ và σ-vectơ của đơn thức x

Ta đồng nhất một dãy hữu hạn các số nguyên (ξ1, ξ2, , ξm) với dãy vôhạn (ξ1, ξ2, , ξm, 0, 0, ) Xét quan hệ thứ tự từ điển 6 trên tập hợp các

số nguyên không âm Ta định nghĩa một quan hệ thứ tự trên tập các đơnthức trong Pk như sau

Định nghĩa 2.2.2 Cho x, y là các đơn thức trên Pk Ta nói rằng x < y nếu

và chỉ nếu một trong các điều sau đúng:

(i) τ (x) < τ (y),

(ii) τ (x) = τ (y) và σ(x) < σ(y)

Để thuận tiện cho việc sử dụng, chúng tôi nhắc lại một số tính chất cơbản về tác động của các toán tử Steenrod trên đại số đa thức

Mệnh đề 2.2.3 Cho f là một đa thức thuần nhất trong Pk Khi đó ta có:(i) Nếu i > deg f thì Sqi(f ) = 0 Nếu i = deg f thì Sqi(f ) = f2

(ii) Nếu i không chia hết cho 2s thì Sqi(f2s) = 0

Mệnh đề 2.2.6 Giả sử M là một s × k-ma trận và x là đơn thức tương ứngvới M Khi đó nếu tồn tại các đơn thức y1, y2, , yr sao cho

x = y1 + y2 + + yr + X

0<i<2 s

γiSqi(zi) mod Lk(τ (x)),

trong đó γi ∈ F2, zi ∈ Pk với 0 < i < 2s và yj < x, j = 1, 2, , r, thì matrận M là không chấp nhận được chặt

Chú ý 2.2.7 Cho x là một đơn thức và ∆ = (δij) là một s × k-ma trận.Nếu có một số nguyên không âm r sao cho δij = εi+r,j(x) với 1 6 i 6 s và

1 6 j 6 k thì ta viết ∆ x

Định lý sau là một trong những công cụ chính của chúng ta

Định lý 2.2.8 (Kameko [2]) Cho x là một đơn thức và ∆ = (δij) là một

s × k-ma trận Nếu ma trận ∆ không chấp nhận được chặt và ∆ x thì x làkhông chấp nhận được

Định nghĩa 2.2.9 Cho x là một đơn thức và f, g là hai đa thức thuần nhấtcùng bậc trên Pk Khi đó

(i) f ≡ g nếu và chỉ nếu f − g ∈ A+Pk Nếu f ≡ 0 thì f gọi là đa thứchit

(ii) x ≈ f nếu và chỉ nếu x − f ∈ A+Pk + Lk(τ (x))

Mệnh đề 2.2.10 Cho x, y là các đơn thức và f là một đa thức thuần nhấttrên Pk sao cho deg y = deg f và τi(x) = 0, với i > s > 0 Nếu y ≈ f thì

Bổ đề 2.2.12 Cho M là một 2 × k-ma trận và x là đơn thức tương ứng với

M Nếu τ1(x) = 0, τ2(x) > 0 hoặc τ1(x) < k, τ2(x) = k thì M là không chấpnhận được chặt

Mệnh đề 2.2.14 Chúng ta có một phân tích thành tổng trực tiếp của các

F2-không gian vectơ

Trong phần này, chúng tôi trình bày định nghĩa toán tử đối ngẫu củatoán tử squaring của Kameko và tính chất của nó Chúng tôi cũng nhắc lạicác kết quả của Wood [9], Singer [4] mà sẽ được sử dụng trong chương sau

Định nghĩa 2.3.1 Định nghĩa các đồng cấu φ, Sq0

∗ cảm sinh một đồng cấu của

F2-không gian vectơ

Sq∗0 : (F2 ⊗

A Pk)n −→ (F2 ⊗

A Pk)n−k

2 ,

với mọi n > k sao cho n − k là số chẵn Nói chung, Sq2tφ 6= φSqt Tức là φ

không phải là đồng cấu A-môđun

Tuy nhiên,trong một trường hợp riêng ta có kết quả sau

Định lý 2.3.2 (Kameko [2]) Nếu β(n) = k thì Sq∗0 là một đẳng cấu khônggian vectơ và φ cảm sinh một nghịch đảo của nó

Bây giờ chúng tôi nhắc lại tiêu chuẩn của Wood và của Singer về đơnthức hit trong Pk

Định lý 2.3.3 (Wood [9]) Cho x ∈ Pk, deg x = n Nếu β(n) > τ1(x) thì x

là hit

Định nghĩa 2.3.4 Một đơn thức z = xb1

1 xb2

2 xbk

k , được gọi là spike nếu

bj = 2sj − 1 với sj là số nguyên không âm và j = 1, 2, , k Nếu z là spikevới s1 > s2 > > sr−1 > sr > 0 và sj = 0 với j > r thì nó được gọi làspike cực tiểu

Định lý 2.3.5 (Singer [4]) Giả sử x ∈ Pk là một đơn thức bậc n, trong đó

α(n + k) 6 k và z là đơn thức spike cực tiểu bậc n Nếu τ (x) < τ (z) thì x

là hit

Từ định lý này, chúng ta thấy rằng nếu z là đơn thức Spike cực tiểu thì

Lk(τ (z)) ⊂ A+.Pk

Chúng ta kết thúc chương này bằng việc định nghĩa một số đồng cấu Amođun từ P4 đến P3 và một số tự đồng cấu của P4 để sử dụng trong chươngsau.

-Kí hiệuVklà F2- không gian vectơ con củaPk được sinh ra bởix1, x2, , xk.Nếu ϕ : Ve k → Vk0 là một đồng cấu của F2- không gian vectơ thì tồn tại duynhất đồng cấu vành ϕ : Pk → Pk0 sao cho ϕ(xi) = ϕ(xe i) với i = 1, 2, , k.Đồng cấu này cũng là một đồng cấu của A-mođun Vì vậy, nó xác định mộtđồng cấu của F2-không gian vectơ ϕ : F2 ⊗

A Pk →F2 ⊗

A Pk 0.Chú ý rằng nếu ϕ : Pk → Pk xác định một hoán vị của {x1, x2, , xk}

thì nó biến các đơn thức thành các đơn thức và bảo toàn τ-dãy

A

P4 là độc lập tuyến tính Cụ thể hơn, đểchứng minh một tập con của F2⊗

A P4 là độc lập tuyến tính, chúng ta xét mộtquan hệ tuyến tính của các phần tử trong tập hợp con này với hệ số trong

F2 Bằng cách sử dụng Định lý 2.3.5,chúng ta xác định được các ảnh củaquan hệ tuyến tính này dưới tác động của các đồng cấu fi, gj, h Từ những

quan hệ này trong F2⊗

trong đó s là số nguyên dương

Trước tiên, chúng ta nhắc lại một kết quả trong Kameko [2] về số chiềucủa F2-không gian vectơ (F2 ⊗

A P3)2s+1 −3.Theo Kameko [2], dim(F2⊗

A P3)2s+1 −3 = 3 với một cơ sở được cho bởi cáclớp

vs,1 = [2s−1 − 1, 2s−1− 1, 2s − 1], vs,2 = [2s−1 − 1, 2s− 1, 2s−1 − 1],

vs,3 = [2s− 1, 2s−1 − 1, 2s−1 − 1]

Từ kết quả này và Mệnh đề 2.2.14,chúng ta dễ dàng có

Mệnh đề 3.1.1

1 (F2 ⊗

A

P4)1 là một F2-không gian vectơ có số chiều bằng 4 với một cơ

sở bao gồm tất cả các lớp tương ứng với các đơn thức dưới đây:

a1,1 = (0, 0, 0, 1), a1,2 = (0, 0, 1, 0), a1,3 = (0, 1, 0, 0), a1,4 = (1, 0, 0, 0)

2 Với s> 2, (F2⊗

AQ4)2s+1 −3 là một F2-không gian vectơ có số chiều bằng

12 với một cơ sở bao gồm tất cả các lớp tương ứng với các đơn thức dưới đây:

ta có định lý sau đây

Định lý 3.1.2 Với mọi số nguyên s > 2, (F2 ⊗

A R4)2s+1 −3 là một F2-khônggian vectơ có số chiều bằng µ1(s) − 12 với một cơ sở bao gồm tất cả các lớptương ứng với các đơn thức dưới đây:

Mệnh đề này thì được chứng minh bằng việc kết hợp Định lý 2.2.8 và các

Vì vậy, bổ đề được chứng minh

Bổ đề 3.1.6 Các ma trận dưới đây là không chấp nhận được chặt

Vì vậy, bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 3.1.7 Các ma trận dưới đây là không chấp nhận được chặt

σ(y) < σ(3, 4, 3, 3) Nếu y = (2, 3, 4, 4) thì τ (y) = (1; 2; 2) < (3; 3; 1) Do

Cho y là một đơn thức trong(P4)61 Nếu y là một đơn thức trong vế phảicủa đẳng thức trên thì τ (y) = τ (15, 15, 15, 16) = (3; 3; 3; 3; 1) và σ(y) <σ(15, 15, 15, 16) Nếu y ∈ L4(3; 3; 3; 3; 1) thì τ (y) < (3; 3; 3; 3; 1) Vì vậy

Chúng ta chứng minh Mệnh đề này bằng cách chỉ ra rằng nếux 6= as,j, 16

j 6 µ1(s) thì có một ma trận không chấp nhận được chặt ∆ sao cho ∆ x.Chúng ta chứng minh quy nạp theo s Trường hợp s = 2 là tầm thường.Theo giả thiết quy nạp và Định lý 2.2.8, ta có kết luận cho các đơn thức

x = ziy2 với y = as,j, 1 6 j 6 µ1(s)

Với s = 3, tính toán trực tiếp ta được

Cho s = 4 Bằng tính toán trực tiếp chúng ta có được

∆9 z3a23,j với j = 19, 22, 29, 32; ∆10 z4a23,j với j = 16, 18, 25; ∆11 z3a23,j

với j = 15, 17, 26; ∆12 z2a23,j với j = 13, 14, 27; ∆15 z3a23,25 Từ những

điều này, các Bổ đề 3.1.5, 3.1.6, 3.1.7 và Định lý 2.2.8 chúng ta thấy rằngnếu x 6= a4,j, 1 6 j 6 45 thì x là không chấp nhận được Do đó, trường hợp

Sử dụng các điều vừa tính toán trên, các Bổ đề 3.1.5, 3.1.6, 3.1.7 và Định

lý 2.2.8, chúng ta có kết luận mệnh đề đúng với s + 1 Mệnh đề được chứngminh xong

Bây giờ, chúng ta chỉ ra rằng [as,j]; 13 6 j 6 µ1(s), là độc lập tuyến tính.Mệnh đề 3.1.8 Các thành phần [a2,13], [a2,14], [a2,15] là độc lập tuyến tínhtrong (F2 ⊗

A

R4)5.Chứng minh Giả sử có một tổ hợp tuyến tính γ1[a2,13]+γ2[a2,14]+γ3[a2,15] =

0, trong đó γ1, γ2, γ3 ∈ F2 xét các đồng cấu f1, f2, f3 Dưới tác động của các

đồng cấu này, các ảnh của tổ hợp tuyến tính trên tương ứng là

γ3[3, 1, 1] = 0, γ2[3, 1, 1] = 0, γ1[3, 1, 1] = 0

Vì vậy, γ1 = γ2 = γ3 = 0 Mệnh đề được chứng minh xong

Mệnh đề 3.1.9 Các thành phần [a3,j], 13 6 j 6 35, là độc lập tuyến tínhtrong (F2 ⊗

Thay (3.1.10.2) vào (3.1.10.1), chúng ta có được

45

Mệnh đề được chứng minh xong

Mệnh đề 3.1.11 Với mọi s > 5, các thành phần [as,j], 13 6 j 6 45, là độclập tuyến tính trong (F2 ⊗

A R4)2s+1 −3

Chứng minh Giả sử có một quan hệ tuyến tính của các thành phần trên

γ43[as,43] + γ44[as,44] + γ45[as,45] = 0 (3.1.11.3)Bây giờ, áp dụng đồng cấu h đối với (3.1.11.3) và chúng ta thu được

γ44vs,1+ γ45vs,2+ γ43vs,3 = 0

Điều này có nghĩa là γ43 = γ44 = γ45 = 0 Mệnh đề được chứng minhxong

Trước tiên, chúng ta nhắc lại một kết quả trong Kameko [2] về số chiềucủa F2-không gian vectơ (F2 ⊗

A P3)2s+1 −2

Theo Kameko [2], với s = 1 ,dim(F2 ⊗

R4)2s+1 −2 là một F2-không gian vectơ có số chiều bằng

µ1(s − 1) + 13 với một cơ sở bao gồm tất cả các lớp tương ứng với các đơnthức dưới đây:

i φ(as−1,j), trong đó các đơn thức as−1,j; s > 3, 1 6 j 6 µ1(s − 1), thìđược xác định như trong phần 3.1 và đồng cấu φ thì được xác định như trongĐịnh nghĩa 2.3.1 Nhớ lại rằng µ1(2) = 15, µ1(3) = 35, µ1(s−1) = 45, s > 5

ii Các đơn thức bs,j, 23 6 j 6 35, thì được xác định như dưới đây:

1 Với s = 2 ,F2-không gian vectơ (F2 ⊗

A R4)6 thì được sinh ra bởi 6 phần

tử [b2,j], 19 6 j 6 24

2 Với mọi s > 3, F2-không gian vectơ (F2 ⊗

A R4)2s+1 −2 thì được sinh rabởi µ1(s − 1) + 13 phần tử như trong Định lý 3.2.2

Chứng minh của Mệnh đề này dựa trên các bổ đề sau đây

Bổ đề 3.2.4 (Kameko [2]) Cho M là một 2 × 3-ma trận và x là đơn thứctương ứng với M Nếu τ1(x) < τ2(x) thì M là không chấp nhận được chặt

Từ chứng minh của Mệnh đề 3.1.3, Bổ đề 2.2.12 và Bổ đề 3.2.4, chúng ta

có các kết quả sau đây

Bổ đề 3.2.5 Cho x là một đơn thức có bậc 2s− 3 trong P4 với s > 3 Nếu

x là không chấp nhận được thì có một ma trận không chấp nhận được ∆ saocho ∆ x

Bổ đề 3.2.6 Cho x là một đơn thức chấp nhận được có bậc 2s+1− 2 trong

Điều này có nghĩa là α(n + 2) > 2 và chúng ta có điều mâu thuẫn

Giả sử rằng τ1(x) = 4 Thì x = φ(x0)với x0 là một đơn thức có bậc 2s− 3

Vì vậy x là chấp nhận được, sử dụng Bổ đề 3.2.5 và Định lý 2.2.8 chúng tathấy rằng x0 cũng là đơn thức chấp nhận được Từ Bổ đề 3.1.5, chúng ta có