Kinh tế lượng xác định về thực nghiệm các quy luật kinh tế

Thu thập một mẫu thống k gồm cc cặp X, Y , trong đĩ X chỉ lượng thu nhập khả dụng của hộ gia đình đơn vị ngn đồng v Y chỉ lượng chi tiu cho tiu dng của hộ gia đình đĩ đơn vị ngn đồng t

MỞ ĐẦU

Kinh tế lượng với thuật ngữ tiếng Anh l “Econometrics” được Gio sư

Kinh tế học người Na Uy, A.K Ragnar Frisch (Nobel kinh tế năm 1969), sử

dụng đầu tin vo khoảng năm 1930 Từ ny được ghp từ hai từ gốc l “Econo”

cĩ nghĩa l kinh tế v “Metrics” cĩ nghĩa l đo lường

Từ đĩ, kinh tế lượng cĩ thể hiểu l “đo lường kinh tế” mặc d ngy nay

phạm vi của kinh tế lượng đ được mở rộng hơn nhiều v người ta đ đưa ra

nhiều định nghĩa khc nhau để giải thích Tuy nhin, phạm vi của gio trình ny

tự giới hạn trong nỗ lực trình by một khía cạnh quan trọng của kinh tế

lượng :

Xác định về thực nghiệm các quy luật kinh tế.

Cc lý thuyết kinh tế thường nu ra cc giả thuyết về chất (định tính) v khi

đĩ, kinh tế lượng cố gắng lượng hĩa cc giả thuyết ny (bằng cch định lượng

cc quan hệ) Chẳng hạn, kinh tế học vi mơ khẳng định rằng khi cc điều kiện

khc khơng thay đổi, nếu giảm gi một loại hng hĩa no đĩ thì sẽ lm tăng lượng

cầu về loại hng hĩa ny v ngược lại Giả thuyết ny cho biết quan hệ giữa gi cả

v lượng cầu l nghịch biến v kinh tế lượng cố gắng lượng hĩa chng, chẳng

hạn cho biết lượng cầu sẽ tăng/giảm bao nhiu khi ta giảm/tăng một đơn vị

gi cả Nói khc đi, kinh tế lượng quan tm đến việc kiểm định về mặt thực

nghiệm cc lý thuyết kinh tế

Để làm điều này, kinh tế lượng sử dụng các số liệu thống kê vê các

phương pháp thống kê tốn để tìm ra bản chất mối quan hệ giữa các đại

lượng

1 Phương php Kinh tế lượng.

Nội dung của phương php kinh tế lượng thường gồm cc bước sau :

Bước 1 Đặt vấn đề cần khảo st của lý thuyết kinh tế lin quan đến giả

thuyết về cc mối quan hệ giữa cc biến kinh tế

Ví dụ, ta khảo st giả thuyết của kinh tế học vĩ mơ cho rằng mức tiu dng

của cc hộ gia đình cĩ quan hệ cng chiều với thu nhập khả dụng của họ

Bước 2 Thiết lập mơ hình tốn học để mơ tả mối quan hệ giữa cc biến

kinh tế khảo st

Chẳng hạn, với biến Y chỉ lượng chi tiu cho tiu dng một hộ gia đình v

biến X chỉ thu nhập khả dụng của hộ gia đình đĩ, ta thnh lập một mơ hình

tuyến tính dạng

Y   X ,trong đĩ 1 v 2 l cc tham số cần ước lượng m ta gọi l cc tham số của mơ

hình v  l yếu tố ngẫu nhin m nguồn gốc tồn tại của nĩ l do quan hệ giữa cc

biến kinh tế nĩi chung l ngẫu nhin, khơng chính xc

Bước 3 Sử dụng cc số liệu thống k thu thập được để ước lượng cc tham

số của mơ hình

Chẳng hạn, dựa trn mẫu thống k khảo st trn n hộ gia đình, ta được n cặp

số liệu X , Y , với 1 i ni i   , trong đĩ X v i Y lần lượt l lượng thuinhập khả dụng v lượng chi tiu cho tiu dng của hộ gia đình thứ i Dng một

phương php thống k tốn, m người ta gọi l phương php hồi quy, nhằm ước

lượng cc tham số 1 v 2

Bước 4 Phn tích kết quả dựa trn giả thuyết kinh tế

Ví dụ, với mơ hình Y   1 2X  nu trong bước 2 v với mẫu thống

k trong bước 3 được dng để ước lượng tham số, nếu ước lượng 0  2 1được kiểm định chấp nhận, ta thấy nĩ ph hợp với giả thuyết kinh tế trongbước 1 vì  2 0 cho thấy khi lương thu nhập khả dụng tăng (X tăng) thìlượng chi tiu cho tiu dng tăng (Y tăng) đồng thời  2 1 ph hợp với giảthuyết lượng chi tiu cho tiu dng hộ gia đình khơng vượt qu mức thu nhậpkhả dụng của hộ gia đình đĩ (Y X ) Khi đĩ, ta cĩ thể nĩi rằng mơ hình tốnhọc trong bước 2 l ph hợp về mặt kinh tế Trường hợp mơ hình đ chọnkhơng ph hợp về mặt kinh tế, ta cần trở lại bước 2 để thnh lập một mơ hìnhkhc với mong muốn rằng mơ hình ny sẽ tốt hơn

Bước 5 Khai thc kết quả.

Khi mơ hình nhận được ph hợp với giả thuyết kinh tế, ta cĩ thể dng mơhình ny để :

- Dự bo kết quả

- Kiểm tra hay đề ra chính sch

Ví dụ, với mơ hình Y   1 2X  được chấp nhận v với một mứcthu nhập khả dụng X cho trước của một hộ gia đình, ta dự bo lượng chi tiucho tiu dng của hộ gia đình đĩ

Ta minh họa cc bước trn qua ví dụ số cụ thể sau :

Bước 1 Giả thuyết kinh tế : mức chi tiu cho tiu dng của cc hộ gia đình cĩ

quan hệ cng chiều với thu nhập khả dụng của họ

Bước 2 Xt mơ hình Y   1 2X , với Y chỉ lượng chi tiu cho tiu

dng v X chỉ lượng thu nhập khả dụng của một hộ gia đình, 1 v 2 l cc

tham số cần ước lượng

Bước 3 Thu thập một mẫu thống k gồm cc cặp X, Y , trong đĩ X chỉ

lượng thu nhập khả dụng của hộ gia đình (đơn vị ngn đồng) v Y chỉ lượng

chi tiu cho tiu dng của hộ gia đình đĩ (đơn vị ngn đồng) trong cng một đơn

vị thời gian, ta cĩ cc số liệu

Biểu diễn cc điểm ny trn trục tọa độ với trục hồnh chỉ thu nhập v trục

tung chỉ chi tiu như trong hình 1

Hình 1

R rng với cng một mức thu nhập khả dụng X như nhau, chi tiu cho tiudng Y l một biến ngẫu nhin lấy nhiều gi trị khc nhau v điều ny giải thích sựtồn tại tham số ngẫu nhin  trong mơ hình khảo st sự lin hệ của chi tiu Ytheo thu nhập X Một trong những giải thuật đơn giản để xc định cc tham số1

 v 2 l ứng với mỗi gi trị của X, ta thay thế cc gi trị Y tương ứng bằng

gi trị trung bình của nĩ (điểm đnh dấu trong hình 2) v tìm đường thẳng điqua cc điểm ny Chẳng hạn, với gi trị X 80, ta cĩ cc gi trị Y tương ứng l

Bước 4 Do hệ số  2 0.4833 thỏa điều kiện 0  2 1 nn kết quả

ny ph hợp với giả thuyết kinh tế trong Bước 1

Bước 5 Ta cĩ thể dng mơ hình nhận được trong Bước 3 để dự bo Chẳng

hạn, nếu biết thu nhập khả dụng của một hộ gia đình l X 300, ta dự đốn

chi tiu cho tiu dng trung bình của hộ gia đình ny l Y 171.3233

Cc bước trn cần được thực hiện tuần tự v mỗi bước cĩ một vai trị khc

nhau trong qu trình phn tích một vấn đề kinh tế Tuy nhin, việc tìm ra bản

chất một vấn đề kinh tế l khơng đơn giản Do đĩ, qu trình nu trn thường

được lặp đi lặp lại nhiều lần cho đến khi ta thu được một mơ hình chấp

nhận được Qu trình phn tích kinh tế lượng như thế cĩ thể biểu diễn bằng sơ

đồ sau

Hình 3Hơn nữa, cần nhấn mạnh rằng thnh cơng của bất kỳ một qu trình phntích kinh tế no cũng đều phụ thuộc vo việc sử dụng cc số liệu thích hợpcũng như phương php sử lý cc số liệu đĩ Cĩ ba loại số liệu : Số liệu theothời gian (chuỗi thời gian), số liệu cho v số liệu hỗn hợp

Số liệu theo thời gian l cc số liệu thu thập tại từng thời điểm nhất định.

Chẳng hạn như số liệu về GDP bình qun của Việt Nam theo cc năm từ 1998– 2006 được cho trong bảng sau :

Bảng 1 : Số liệu theo thời gian

Số liệu cho l số liệu thu thập tại một thời điểm ở nhiều nơi, địa phương,

đơn vị, khc nhau Chẳng hạn như số liệu về GDP bình qun trong năm 2006của cc nước Brunei, Campuchia, Indonesia, Lo, Malaysia, Myanmar,Philippines, Singapore, Thi Lan, Việt Nam được cho như sau

Indonesia 1581 Singapore 30162

Bảng 2 : Số liệu cho

Số liệu hỗn hợp l số liệu tổng hợp của hai loại trn, nghĩa l cc số liệu thu

thập tại nhiều thời điểm khc nhau ở nhiều địa phương, đơn vị khc nhau

Chẳng hạn như số liệu về GDP bình qun của cc nước, từ 1998 – 2006

Bảng 3 : Số liệu tổng hợp Nguồn : Tổng hợp bo co IMF v ASEAN

Cc số liệu ny thường l cc số liệu về lượng, nghĩa l chng cĩ thể định lượng

bằng những con số như gi cả, thu nhập, v.v Đối với cc số liệu về chất,

nghĩa l số liệu định tính như nam/nữ, cĩ/chưa cĩ gia đình, nơng thơn / thnh

thị, v.v , người ta thường lượng hĩa cc biến ny bằng cc biến giả (dummy),

chẳng hạn biến X, với X 0 chỉ nam, hay cĩ gia đình v X 1 chỉ nữ, hay

chưa cĩ gia đình, v.v

Ví dụ 1 Số liệu cho trong bảng sau cho biết tiền lương (Y : đơn vị USD)

trong một thng của 49 nhn vin, được so snh bởi giới tính ( D0 : Nữ ,

bỏ sĩt quan st, v.v

2 Đnh gi sơ bộ số liệu thống k.

Khi cĩ cc số liệu thống k, trước hết người ta cĩ thể biểu diễn chng bằng

cc điểm trn một hệ trục tọa độ để cĩ một nhận định sơ bộ gọi l biểu đồ rờirạc (hay biểu đồ phn tn số liệu) Ngồi ra, người ta cịn cĩ thể ước lượng mốiquan hệ giữa chng bằng một số cc tham số thống k

Xt cc bộ số liệu X , Y , i 1, , ni i  , của hai biến ngẫu nhin X, Y với

cc trung bình

Một cch trực quan, khi X,Y 0, đa số những gi trị của X lớn hơn gi

trị trung bình của nĩ, Xi  X 0, đi km với những gi trị của Y lớn hơn gi

trị trung bình của nĩ, Yi  Y 0, v ta cĩ thể nĩi rằng X, Y cĩ quan hệ

đồng biến với nhau.

Ngược lại, khi X,Y 0, đa số những gi trị của X lớn hơn gi trị trung

bình của nĩ, Xi  X 0, đi km với những gi trị của Y nhỏ hơn gi trị

trung bình của nĩ, Yi  Y 0, v ta nĩi X, Y cĩ quan hệ nghịch biến với

X,Y 0

 

Ngồi ra, khi X v Y cĩ quan hệ tuyến tính với nhau m ta cịn gọi l cĩ hiện

tượng cộng tuyến giữa X v Y, nghĩa l tồn tại  0 sao cho Y X ,thì vì Yi Xi  , với mọi i, ta suy ra

tuyến với nhau.

Ví dụ 2 Khảo st mối quan hệ giữa điểm điểm trung bình ở PTTH v Đại

học của 50 học sinh ở một trường đại học của Mỹ ta cĩ bảng số liệu sau :

2.88 3.13 2.34 3.35 3.22 3.33 3.43 3.15 2.86 3.72.15 3.27 3.13 3.61 2.53 3.56 3.22 3.41 2.56 3.5

3.31 4.13 2.92 3.56 3.12 4.05 2.64 3.45 2.34 3.16

dng một phần mềm my tính Chẳng hạn với Eview, ta được

Hình 6

Đồ thị trn cho thấy khơng cĩ mối quan hệ tuyến tính giữa DTBDH v

DTBPTTH Trong trường hợp ny người ta cho rằng chng độc lập nhau

Ví dụ 3 Bảng sau cho số liệu về tỷ lệ lạm pht v tỷ lệ thất nghiệp của Mỹ

Hình 7

Đồ thị trn cho thấy khơng cĩ mối quan hệ tuyến tính giữa TLLAMPHAT

v TLTHATNGHIEP Trong trường hợp ny người ta cho rằng chng cĩ quan

hệ phi tuyến với nhau

Tuy nhin ta khơng thể chỉ dựa vo đồ thị phn tn để đnh gi mối hệ giữa cc

bộ số liệu, m ta cịn sử dụng cc cơng cụ của tốn học để đnh gi cc quan hệtrn Chẳng hạn, để đo lường mức độ chặt chẽ của sự tương quan giữa haibiến số ngẫu nhin, độc lập với đơn vị đo lường của cc biến số ngẫu nhin,

người ta dng hệ số tương quan tuyến tính, hay vắn tắt l hệ số tương quan,

X,Y

r , xc định bởi

X,Y X,Y

X Y

r  

  ,trong đĩ X v Y lần lượt l độ lệch chuẩn của X v Y,

(ii) 1 r X,Y 1 v rX,Y 0 khi v chỉ khi X,Y 0.

(iii) Nếu X v Y cĩ quan hệ tuyến tính với nhau, nghĩa l Y   X, thì

do Y   X, 2Y   , nghĩa l2 2X

X Y

r 0, nghĩa l rX,Y 1, thì X v Y cĩ quan hệ đồng biến chặt Ngược

lại, nếu rX,Y 0, nghĩa l rX,Y 1, thì X v Y cĩ quan hệ nghịch biến

chặt.

Ví dụ 4 : Ta khảo st dữ liệu về gi vng (GP), chỉ số gi tiu dng (CPI) v chỉ

số chứng khốn trn thị trường chứng khốn NewYork (NYSE) từ năm 1977

Trước hết, ta vẽ đồ thị rời rạc của GP theo CPI v của NYSE theo CPI, tađược

Đồ thị cho thấy khơng cĩ sự tương quan chặt giữa GP v CPI Ngược lại,

cĩ sự tương quan đồng biến chặt giữa NYSE v CPI Bằng cơng cụ thống k,

Ví dụ 5 : Người ta khảo st hai lý thuyết khc nhau lin quan đến hnh vi tiu

dng của dn chng :

- Theo Keynes, tổng tiu dng, CONS (Consumption Expenditure), cĩ quan

hệ đồng biến với tổng thu nhập (khả dụng), YD (Disposable Income)

- Trong khi đĩ, cc nh kinh tế học cổ điển tin rằng tiu dng cĩ quan hệ

nghịch biến với li suất, RR (Real Interest Rate), trong nền kinh tế

Bằng cch thu thập số liệu về CONS, YD v RR từ năm 1955 đến năm

1986, người ta cĩ số liệu sau

Hình 10

v hệ số tương quan giữa chng l rCONS,YD 0.998.Tương tự, với CONS v RR, ta cĩ đồ thị rời rạc

Hình 11

v hệ số tương quan rCONS,RR 0.348.

Từ đồ thị rời rạc cũng như hệ số tương quan, ta kết luận :

Với mơ hình của Keynes : Giả thuyết CONS đồng biến theo YD l đng.

Khoảng 99% bộ số liệu của CONS v YD khẳng định giả thuyết ny

Với mơ hình kinh tế học cổ điển : Giả thiết CONS nghịch biến theo RR

khơng chính xc Khảng 35% bộ số liệu của CONS v RR cho thấy quan hệ

giữa chng l tuyến tính (nhưng lại l quan hệ đồng biến)

3 Cc ký hiệu chung.

Với X, Y, Z, hay X , 1 X , 2 X , để chỉ cc biến số ngẫu nhin, cc gi3

trị của chng lần lượt được ký hiệu l X , j Y , j Z , hay j X , 1, j X2,j, X3,j

, , trong đĩ chỉ số j chỉ số liệu thứ j của biến tương ứng Đặc biệt đối với

chuỗi thời gian, người ta thường dng chỉ số t thay cho j, nhằm nhấn mạnh

yếu tố thời gian, chẳng hạn Y v t X lần lượt chỉ số liệu của cc biến Y v1,t

1

X tại thời điểm t

Với biến số ngẫu nhin X lấy cc gi trị X , 1 X , , 2 X , trung bìnhn

(mean), hay kỳ vọng (expectation) của biến số ngẫu nhin X, ký hiệu E X , 

X

 hay X , xc định bởi

n i

phương sai (variance) của X, ký hiệu  hay var(X) , được định nghĩa l2X

kỳ vọng của biến X E(X) 2, nghĩa l

var(X) E X E(X)  ,

v căn bậc hai của phương sai, ký hiệu X hay se(X) , được gọi l độ lệch

chuẩn (standard error) của X,

se(X) var(X) Ngồi ra, để tiện ký hiệu cho nhiều trường hợp, với biến số ngẫu nhin X

lấy cc gi trị X , 1 X , , 2 X v cĩ trung bình X , ta định nghĩa biến số ngẫun

nhin x tương ứng bởi

x X  X, yi Yi  Y, i 1, 2, , n.

Với vectơ ngẫu nhin X, Y lấy cc gi trị  X , Y , i 1, 2, , ni i  , hiệp

phương sai (covariance), ký hiệu X,Y hay cov(X, Y) , được định nghĩa l

X Y

cov(X, Y)r

MƠ HÌNH HỒI QUY HAI BIẾN

Hồi quy với thuật ngữ tiếng Anh l “Regression” được Francis Galton sửdụng vo năm 1886 trong một cơng trình nghin cứu nổi tiếng của ơng vềchiều cao của những đứa trẻ cĩ cha cao hoặc thấp khơng bình thường sinh

ra Ơng quan st sự phụ thuộc về chiều cao của cc chu trai vo chiều cao chacủa chng Lập đồ thị phn bố, ơng thấy

 Với chiều cao cho trước của người cha thì chiều cao của cc chu traitương ứng sẽ nằm trong một khoảng, dao động quanh gi trị trungbình

 Chiều cao của cha tăng thì chiều cao trung bình của cc chu traitương ứng cũng tăng

Hơn nữa, ơng cịn nhận thấy rằng chiều cao trung bình của cc chu traicủa nhĩm cĩ cha cao nhỏ hơn chiều cao của cha v chiều cao trung bình của

cc chu trai của nhĩm cĩ cha thấp lớn hơn chiều cao của cha

Trong cơng trình nghin cứu của mình, Galton dng cụm từ “regression to

mediocrity”, quy về trung bình, để chỉ xu hướng ny m sau ny người ta gọi l

luật Galton Từ đĩ, vấn đề hồi quy được nhiều người quan tm v hồn thiện,

đồng thời hầu hết cc ứng dụng của phn tích hồi quy đ cĩ nội dung rộng hơn

nhiều

1 Phn tích hồi quy

Phn tích hồi quy nghin cứu mối lin hệ phụ thuộc của một biến, gọi l biến

phụ thuộc hay biến được giải thích, theo một hay nhiều biến khc, gọi l cc

biến độc lập hay biến giải thích.

Chẳng hạn, trong nghin cứu của Galton, biến “chiều cao con” l biến phụ

thuộc, biến “chiều cao cha” l biến độc lập v phn tích hồi quy của Galton

nhằm nghin cứu mối lin hệ giữa hai biến ny

Ta cĩ thể đưa ra rất nhiều ví dụ về sự phụ thuộc của một biến vo một hay

nhiều biến khc Kỹ thuật phn tích hồi quy gip ta nghin cứu mối quan hệ như

vậy giữa cc biến Ta thường ký hiệu

Y chỉ biến phụ thuộc hay biến được giải thích,

i

X chỉ biến độc lập hay biến giải thích thứ i

Phn tích hồi quy giải quyết cc vấn đề sau :

 Ước lượng v dự đốn gi trị trung bình của biến phụ thuộc với gi trị đ

cho của biến độc lập

 Kiểm định giả thiết về bản chất sự phụ thuộc

Ch ý rằng trong mơ hình hồi quy, biến độc lập l biến khơng ngẫu nhin,

nĩ cĩ gi trị xc định, cịn biến phụ thuộc l biến ngẫu nhin cĩ phn phối xc suất,nghĩa l ứng với mỗi gi trị của biến độc lập, biến phụ thuộc cĩ thể lấy nhiều

gi trị khc nhau nhưng cc gi trị ny tun theo một luật phn phối xc suất xc định,thường l phn phối chuẩn

Chẳng hạn, trong phn tích hồi quy hai biến, ta xt

Y l biến phụ thuộc,

X l biến độc lập,biến độc lập X lấy cc gi trị xc định X , 1 X , , 2 X v ứng với mỗi gi trịncủa X của X, với i 1, 2, , ni  , ta cĩ m(i) gi trị tương ứng của Y, Y ,i,1 i,2

Y , , Yi,m(i) trình by trong bảng 1 Như vậy, ứng với một gi trị X1của X, ta cĩ m(1) số liệu tương ứng của Y, ứng với gi trị X của X, ta cĩ2m(2) số liệu tương ứng của Y, , ứng với gi trị X của X, ta cĩ m(n) sốnliệu tương ứng của Y, v do đĩ ta cĩ cả thảy m(1) m(2) m(n)   k

Yn,m(n)

i,m(i)YBảng 1Chẳng hạn, với phn tích hồi quy thu nhập/chi tiu giới thiệu trong chương

mở đầu, ta cĩ biến độc lập X chỉ lượng thu nhập khả dụng của một hộ giađình v biến phụ thuộc Y chỉ lượng chi tiu cho tiu dng hộ gia đình đĩ

Giả sử ta cĩ cc bộ số liệu X , Yi i, j cho tổng thể, với i 1, 2, , n ,

j 1, 2, , m(i) Ứng với mỗi gi trị của X, X X i, với i 1, 2, , n , ta

cĩ thể cĩ nhiều gi trị của Y tương ứng nn quan hệ của Y theo X khơng l quan

hệ “hm số” Tuy nhin, ứng với mỗi gi trị của X, X X i, ta cĩ duy nhất gitrị trung bình E Y X X  i, nn quan hệ ny trở thnh quan hệ hm số

v hm số ny được gọi l hm hồi quy tổng thể, PRF (Population Regression Functions) m trong trường hợp ny, ta cịn gọi l hm hồi quy đơn (hồi quy hai

biến), do nĩ chỉ cĩ một biến độc lập Trường hợp cĩ nhiều hơn một biến độc

lập, ta gọi l hm hồi quy bội.

Trước hết, giả sử PRF l hm tuyến tính

hồi quy; 1 gọi l hệ số tự do hay hệ số chặn, 2 gọi l hệ số gĩc (nĩ cho biết

tỷ lệ thay đổi của Y đối với X)

Tính tuyến tính ở đy đng đối với cả tham số cũng như đối với cc biến.Điều ny khơng đng trong nhiều trường hợp khc, chẳng hạn hm

E Y X    X tuyến tính đối với tham số nhưng khơng tuyến tính(phi tuyến) đối với biến Ngược lại, hm E Y X    1 2X tuyến tínhđối với biến nhưng phi tuyến đối với tham số

Ch ý rằng trong phn tích hồi quy tuyến tính, hm hồi quy tổng thể đượchiểu l tuyến tính đối với tham số nhưng khơng nhất thiết tuyến tính theo ccbiến

Ngồi ra, do Y l biến số ngẫu nhin, nn ứng với quan st thứ i trong tổngthể, X X i, gi trị Y Y i tương ứng sai khc với gi trị trung bình

1 2 iX

   một đại lượng sai số ngẫu nhin, ký hiệu i Do đĩ, ta cịn viết

Y   X , (2.1.2)

trong đĩ  l một đại lượng ngẫu nhin v (2.1.2) được gọi l hm hồi quy tổng

thể ngẫu nhin Thơng thường, đại lượng ngẫu nhin  được ngầm hiểu v khi

đĩ, hm hồi quy tổng thể (ngẫu nhin) được viết tắt l

1 2

Y    X

2.2 Hm hồi quy mẫu.

Cũng như vấn đề về mẫu v tổng thể trong lý thuyết thống k, chng ta hoặc

khơng cĩ tổng thể, hoặc cĩ nhưng khơng thể nghin cứu được tồn bộ tổng thể

Do đĩ, ta chỉ cĩ thể ước lượng hm hồi quy tổng thể với những thơng tin từ cc

mẫu ngẫu nhin lấy ra từ tổng thể

Hm hồi quy xy dựng trn cơ sở của một mẫu ngẫu nhin được gọi l hm hồi

quy mẫu, SRF (Sample Regression Function), hay hồi quy mẫu.

R rng l với nhiều mẫu khc nhau, ta cĩ nhiều SRF khc nhau Do đĩ, vấn đề

đặt ra l cần ước lượng PRF bằng SRF tốt nhất theo nghĩa l SRF ny cĩ cc tính

chất : tuyến tính, khơng chệch, cĩ độ lệch chuẩn nhỏ nhất

Cụ thể, với hm hồi quy tổng thể tuyến tính, hm hồi quy mẫu cĩ dạng

Y    X,trong đĩ Y l ước lượng điểm của E Y X ,    l ước lượng điểm của ˆ1  v1

Phương php bình phương nhỏ nhất, OLS (Ordinary Least Square), do nh

tốn học Đức Carl Fredrich Gauss đưa ra Với phương php ny, km theo một

vi giả thiết, cc ước lượng thu được cĩ một số tính chất đặc biệt m nhờ đĩ nĩ

trở thnh phương php hồi quy mạnh v phổ biến nhất

3.1 Nội dung phương php OLS.

Giả sử Y   1 2X l PRF cần tìm Ta tìm cch ước lượng nĩ bằng cch

từ một mẫu gồm n quan st X , Y , với i 1, 2, , ni i 

Khi đĩ, ứng với mỗi i, sai biệt giữa gi trị chính xc, Y , v gi trị ước lượng,i

  sao cho tổng bìnhphương cc phần dư, ni 1 ie2, l nhỏ nhất Ch ý rằng tổng bình phương ccphần dư ny l hm theo hai biến  1 2 

ˆ ˆ,

 nhận được bằng cc cơng thức trn được gọi l cc ước

lượng bình phương nhỏ nhất của 1 v 2

Ch ý rằng cơng thức (3.1.1) cĩ thể viết lại l (xem phần phụ lục)

trong đĩ X,Y, rX,Y lần lượt l hiệp phương sai, hệ số tương quan của X, Y

v S , X S lần lượt l độ lệch chuẩn (khơng hiệu chỉnh) của X, Y.Y

Ví dụ 1 Bảng sau cho số liệu về li suất ngn hng (Y) v tỷ lệ lạm pht (X)

trong năm 1988 ở 9 nước

Từ hm hồi quy mẫu ny, ta kết luận rằng khi X thay đổi một đơn vị thì Y

thay đổi 1.249407 đơn vị Nĩi khc đi, khi tỷ lệ lạm pht tăng/giảm 1% thì li

r  r 0.996637168;

ta suy ra

X,Y 2

3.2 Cc giả thiết của mơ hình.

Để cĩ thể dng cc cơng cụ của thống k tốn nhằm đnh gi chất lượng của

mơ hình hồi quy tuyến tính, ta cần cc giả thiết sau trn biến số X v đại lượngsai số ngẫu nhin  ,

Giả thiết 1 Biến giải thích X l biến phi ngẫu nhin, nghĩa l cc gi trị của nĩ

được hồn tồn xc định Giả thiết ny đương nhin được thỏa trong mơ hình hồiquy tuyến tính

Giả thiết 2 Kỳ vọng của sai số ngẫu nhin  bằng 0, nghĩa l

E  E  X X 0 Giả thiết ny cĩ nghĩa l cc yếu tố khơng xuất

hiện trong mơ hình, được đại diện bởi đại lượng ngẫu nhin  , khơng ảnh

hưởng một cch cĩ hệ thống đến gi trị trung bình của Y

Giả thiết 3 Phương sai của sai số khơng đổi (phương sai thuần nhất),

nghĩa l Var i Var j 2, với mọi i, j Giả thiết ny cĩ nghĩa l cc gi

trị cụ thể của Y tương ứng với cng một gi trị của X đều được phn bố xung

quanh gi trị trung bình của nĩ với cng một mức độ phn tn như nhau

Giả thiết 4 Khơng cĩ tương quan giữa cc sai số, nghĩa l cov( , ) 0 i j  ,

với mọi i, j Giả thiết ny cĩ nghĩa l sai số ở số liệu quan st ny khơng ảnh

hưởng gì tới sai số ở số liệu quan st khc

Giả thiết 5 Sai số v biến giải thích khơng cĩ tương quan, nghĩa l

cov( , X) 0  Giả thiết ny l cần thiết vì nĩ cho php tch bạch ảnh hưởng

của X v của cc yếu tố khơng xuất hiện trong mơ hình đến cc gi trị của Y

Giả thiết ny đương nhin được thỏa do X l phi ngẫu nhin

3.3 Tính chất của cc ước lượng bình phương nhỏ nhất.

Với cc giả thiết cho trong 3.2, ta cĩ

3.3.1 Định lý Gauss – Markov Với cc giả thiết 1-5 của mơ hình hồi quy

tuyến tính, cc ước lượng cho bởi phương php OLS l cc ước lượng tuyến

tính, khơng chệch v cĩ phương sai nhỏ nhất trong lớp cc ước lượng tuyến

 được xc định một cch duy nhất ứng với mỗi mẫu gồm n cặp

quan st X , Y Ứng với cc mẫu khc nhau, chng cĩ gi trị khc nhau.i i

ii) ˆ1

 v 2

ˆ

 l cc ước lượng điểm của 1 v 2 v l cc đại lượng ngẫu nhin

với phương sai cho bởi



 

n 2 i

2

i 1

2 i

i 1

Xˆ

i 1

ˆvar

 của nĩ,

2 i

3.3.3 Tính chất cho hm hồi quy mẫu

Hm hồi quy mẫu ˆ ˆ1 ˆ2

Y    X cĩ cc tính chất i) SRF đi qua trung bình mẫu X, Y , nghĩa l   

Y    X.ii) Gi trị trung bình của Y bằng với gi trị trung bình quan st Y, nghĩa l

ˆ

Y Y iii) Gi trị trung bình của phần dư e bằng 0, nghĩa l e 1nni 1 i e 0.iv) Phần dư e v Y khơng tương quan, nghĩa l n 

4 Hệ số xc định mơ hình.

Gọi TSS (Total Sum of Squares) l tổng bình phương cc sai số giữa gi trị

quan st Y với gi trị trung bình của chng,i

ESS (Explained Sum of Squares) l tổng bình phương cc sai lệch giữa gi

trị của Y tính theo hm hồi quy mẫu với gi trị trung bình,

RSS (Residual Sum of Squares) l tổng bình phương cc sai lệch giữa gi

trị quan st của Y v cc gi trị nhận được từ hm hồi quy mẫu,

TSS đo độ chính xc của số liệu thống k,

ESS đo độ chính xc của hm hồi quy so với trung bình, v

RSS đo độ chính xc của hm hồi quy mẫu so với hm hồi quy tổng thể

Nhận xt rằng

TSS ESS RSS  Nếu cc số liệu quan st của Y đều nằm trn SRF thì RSS 0 v

để đo mức độ ph hợp của hm hồi quy

Ta cĩ 0 R 2  v 1 R2 rX,Y2, với rX,Y l hệ số tương quan giữa

X v Y Do đĩ, Khi R2  , ta được đường hồi quy “hồn hảo”, mọi sai lệch của Y (so với1trung bình) đều giải thích được bởi mơ hình hồi quy

Khi R2  , X v Y khơng cĩ quan hệ tuyến tính.0

Cc tham số lin quan đến hệ số xc định mơ hình cịn cĩ thể tính bằng cccơng thức sau :

r l hệ số tương quan giữa X v Y Ngồi ra, đẳng thức (3.3.6) cịn được

viết lại thnh (xem phụ lục)

X 2

(so snh với rX,Y2 0.9966371682 0.993285644)

By giờ, trong ứng dụng, người ta nĩi rằng biến X giải thích được trn

99% sự thay đổi của biến Y Nĩi khc đi, sự thay đổi của tỷ lệ lạm pht giải

thích được trn 99% sự thay đổi của li suất ngn hng 

Nhìn chung cc kết quả tính tốn trn kh phức tạp khi số liệu quan st lớnhay trong cc mơ hình khc Trn thực tế, người ta thường dng cc phần mềmkinh tế lượng để hỗ trợ cho việc tính tốn Chẳng hạn, với phần mềm Eview(xem phần phụ lục), ta được cc kết quả cho trong bảng sau

Hình 3 : Bảng kết quả hồi quyGiải thích cc kết quả trong bảng

Dependent Variable : Biến phụ thuộc l Y Method : Phương php ước lượng l phương php OLS Date – Time : Ngy giờ thực hiện

Sample : Số liệu mẫu 1 – 9

Included observations : Cở mẫu l 9

Cột Variable : Cc biến giải thích cĩ trong mơ hình (trong đĩ C l biến số

Adjusted R – Squared : Hệ số R điều chỉnh 2

S.E of regression : Gi trị ước lượng cho  :  1.724951

Sum squared resid : Tổng bình phương cc phần dư ( RSS )

Log likelihood : Tiu chuẩn ước lượng hợp lý

Durbin – Watson stat : Thống k Durbin – Watson

Mean dependent var : Gi trị trung bình của biến phụ thuộc

S.D dependent var : Độ lệch chuẩn của biến phụ thuộc

- Akaike info criterion : Tiu chuẩn Akaike

- Schwarz info criterion : Tiu chuẩn Schwarz

- F – Statistic : Gi trị của thống k F1035.543

- Prob( F – Statistic) : Gi trị p-value của thống k F tương ứng

P(F 1035.543) 0.0000  Với F l biến ngẫu nhin cĩ phn phối Fisher

cĩ bậc tự do (k 1, n k) 

5 Phn phối xc suất của cc ước lượng.

Như trình bầy trong phần 2.2 về hm hồi quy mẫu, ứng với mỗi một mẫu

khc nhau, ta nhận được một hm hồi quy mẫu với cc hệ số hồi quy khc nhau

Ví dụ, ta coi như số liệu trong phần 1 về sự tương quan giữa biến X chỉ

lượng thu nhập khả dụng của một hộ gia đình v biến phụ thuộc Y chỉ lượng

chi tiu cho tiu dng hộ gia đình đĩ như l số liệu của tổng thể cần xc định Từ

số liệu tổng thể ny, ta lấy ba mẫu khc nhau:

hồi quy tổng thể 1, 2 cũng như hm hồi quy tổng thể (PRF) bằng cc hệ số

hồi quy mẫu cũng như hm hồi quy mẫu (SRF) m cịn phải kiểm tra bản chất

sự biến thin của cc hệ số hồi quy mẫu Ngồi ra, người ta cịn cần thiết phải

khai thc cc thơng tin nhận được từ hm hồi quy mẫu, chẳng hạn như thực

hiện cc dự bo hay kiểm định cc giả thuyết về mơ hình đặt ra Để lm được cc

điều ny, cần thiết phải biết cc phn phối xc suất của ˆ1

1

2ˆ 1 1

5.1 Khoảng tin cậy cho 2.

se  tính được từ mẫu nn từ độ tin cậy  cho trước, ta suy

ra khoảng tin cậy cho T v từ đĩ suy ra khoảng tin cậy cho 2

5.2 Khoảng tin cậy cho 1.

Tương tự, từ thống k



 

1 1 1

ta suy ra khoảng tin cậy cho 1 với độ tin cậy  cho trước

5.3 Khoảng tin cậy cho  2

Từ thống k

2 2 2

    





nn với độ tin cậy  0.9, tra bảng phn phối Student với n 9 2 7 độ

tự do, ta được gi trị C 1.895 v suy ra khoảng tin cậy cho 1 v 2 lần

với độ tin cậy  0.9, tra bảng phn phối chi-bình phương với

n 9 2 7   độ tự do, ta được khoảng tin cậy cho  l 2 2.167;14.067 

số giả thiết lin quan đến cc hệ số hồi quy

ta bc bỏ H, chấp nhận H Đặc biệt, với 2 0

  , giả thiết H cĩ nghĩa l “biến độc lập X khơng ảnh

hưởng gì tới biến phụ thuộc Y” Khi đĩ, thống k tương ứng l





 

2 2



 

2 2

ˆ1.249407

0.0388se

H, chấp nhận H v ta kết luận rằng tỷ lệ lạm pht cĩ ảnh hưởng đến li suất

ngn hng, với nguy cơ sai lầm  0.05 

5.5 So snh 1 với  cho trước.1

Dng thống k (5.2) Với nguy cơ sai lầm  cho trước, nếu  nằm trong1

khoảng tin cậy của 1 với độ tin cậy    1 , ta chấp nhận H Ngược lại,

Dng thống k (5.3) Với nguy cơ sai lầm  cho trước, nếu  nằm trong20

khoảng tin cậy của  với độ tin cậy 2    1 , ta chấp nhận H Ngược

lại, ta bc bỏ H, chấp nhận H

6 Kiểm định sự ph hợp của hm hồi quy Phn tích hồi quy v phn tích

phương sai.

Trong phần ny, ta khảo st việc phn tích hồi quy theo quan điểm của phn

tích phương sai Việc phn tích ny cung cấp cho ta một phương php hữu ích

khc trong việc giải quyết vấn đề phn đốn thống k

2 X

S

2 1

2 2

Do đĩ, qu trình phn tích phương sai cho php ta đưa ra cc phn đốn thống k

về độ thích hợp của hm hồi quy

Chẳng hạn, với số liệu của ví dụ 1, ta cĩ

Ngồi phương php kiểm định cc hệ số hồi quy bằng khoảng tin cậy, ta cịn

cĩ phương php kiểm định bằng gi trị p – value được thực hiện như sau :

i

Tse

  





Bước 2 : Tính p value P( T  T )0 , trong đĩ TSt(n 2)

Bước 3 : So snh gi trị p – value với mức ý nghĩa  cho trước, nếu

p value   : Bc bỏ giả thuyết H

Tương tự cho bi tốn kiểm định sự ph hợp của mơ hình, với gi trị

Chẳng hạn như trong ví dụ 1, ta cĩ p–value

P( T 32.17985) 0.0000 0.05

7 Ứng dụng phn tích hồi quy vo dự bo.

Ta cĩ thể dng hm hồi quy mẫu để dự bo gi trị của biến phụ thuộc Y

tương ứng với một gi trị của biến độc lập X Cĩ hai loại dự bo

Dự bo trung bình cĩ điều kiện của Y ứng với X X 0

Dự bo gi trị c biệt của Y ứng với X X 0

0 0

Ngồi ra, do trong cơng thức của  0 ˆ0

se Y  Y , ta thay  chưa biết2bằng ˆ2

Từ phn phối ny, ta suy ra ước lượng khoảng cho gi trị ring biệt Y 0

Chẳng hạn, với số liệu của ví dụ 1, ta xt cc vấn đề :

Dự bo mức li suất trung bình nếu tỷ lệ lạm pht l X0 5%

Do đĩ với  0.1, tra bảng phn phối Student với độ tự do

n 9 2 7   , ta được C 1.895 Từ đĩ, suy ra khoảng ước lượng cho

2.975456987 1

9 9 14.809339733.33539492

0

Y 8.9887285 1.895 1.82630636  

8 Ví dụ tổng hợp

Ví dụ 2 Số liệu về năng suất (Y, đơn vị tạ/ha) v mức phn bĩn (X, đơn vị

tạ/ha) cho một loại cy trồng tính trn một ha trong 10 năm từ 1988 đến 1997cho trong bảng sau

b) Giải thích ý nghĩa kinh tế của cc hệ số nhận được

c) Tính độ lệch tiu chuẩn của cc ˆ

 d) Với mức ý nghĩa 5%, hy cho biết mức phn bĩn cĩ ảnh hưởng đến năngsuất loại cy ny khơng ?

e) Tìm khoảng tin cậy 95% cho cc hệ số hồi quy

f) Tính R v giải thích ý nghĩa kết quả nhận được.2g) Với mức phn bĩn l 20 tạ/ha, hy dự bo gi trị trung bình v gi trị c biệtcủa năng suất với độ tin cậy 95%

Giải a) Trước hết, ta cĩ đồ thị sau

Hình 5

Đồ thị trn mơ tả quan hệ giữa “năng suất” Y v “phn bĩn” X v ta thấy cĩ

khả năng quan hệ giữa phn bĩn v sản lượng l cĩ dạng tuyến tính

Để ước lượng hm hồi quy tổng thể E Y X    1 2X, ta xt hm hồi

b) Ý nghĩa của cc hệ số hồi quy.

Về lý thuyết, khi tăng lượng phn bĩn thì năng suất cy trồng sẽ tăng Hệ

số ˆ2

1.66 0

   cho thấy kết quả trn ph hợp với lý thuyết Số 1.66 cho

biết nếu tăng thm 1 tạ phn bĩn trn 1 ha, năng suất trung bình sẽ tăng 1.66 tạ

(Hệ số ˆ1

27.125

  cho thể diễn tả rằng khi khơng bĩn phn ( X0) thì

năng suất trung bình của loại cy trn l 27.125 tạ/ha)

c) Độ lệch chuẩn của cc hệ số hồi quy.

Phương sai của cc hệ số hồi quy cho bởi cơng thức

d) Mức phn bĩn cĩ ảnh hưởng đến năng suất loại cy ny khơng ?

Để trả lời cu hỏi ny, ta phải kiểm định giả thiết sau

2 2



 

2 2

ˆ1.659722222

0.101321089se



Do T C, ta bc bỏ H, chấp nhận H , nghĩa l : mức phn bĩn cĩ ảnh

hưởng đến năng suất

e) Khoảng tin cậy cho cc hệ số hồi quy.

Để tìm khoảng tin cậy cho cc hệ số hồi quy 1 v 2, ta dng cc thống k





 

1 1 1

v do đĩ, khoảng ước lượng cho 2 l 1.43;1.89 

Ta cĩ thể giải thích rằng : Nếu tăng thm 1 tạ phn bĩn trn 1 ha, năng suất

trung bình sẽ tăng ít nhất 1.43 tạ v nhiều nhất 1.89 tạ trn 1 ha, với độ tin cậy

Ta nĩi sự biến thin của lượng phn bĩn giải thích được xấp xỉ 97% sự biến

thin của năng suất

g) Dự bo gi trị trung bình v gi trị c biệt khi mức phn bĩn l X0 20

ˆ0 ˆ1 ˆ2 0

Y    X 27.125 1.659722222 20 60.31944444 60.32   

Từ đĩ, với độ tin cậy  95%, từ bảng phn phối Student với

10 2 8  độ tự do, ta được C 2.306 v ta suy ra ước lượng cho

2 0 2 X

2 2

10 10 7.589466384

5.913194794 16.545578126

v ta nhận được ước lượng khoảng cho Y l 0 54.42; 66.22 

Ví dụ 3 Bảng sau cho số liệu về Gi bn (Y đơn vị : ngn USD / ft ) v2

- Mơ hình hồi quy : Y 52.35091 0.13875X 

- Độ lệch chuẩn của cc hệ số hồi quy

- Diện tích cĩ ảnh hưởng đến Gi bn khơng? với mức ý nghĩa 5%

Để trả lời cu hỏi ny, ta xt bi toan kiểm định sau

2 2

Ví dụ 4 Bảng sau cho số liệu về thu nhập (X đơn vị nghìn USD / thng) v

chi tiu cho việc chăm sĩc sức khoẻ (Y đơn vị nghìn USD / thng ) của 51 c

a) Hy ước lượng mơ hình hồi quy

b) Tính độ lệch tiu chuẩn của cc 

c) Với mức ý nghĩa 5%, hy cho biết thu nhập cĩ ảnh hưởng đến chi tiu

cho sức khoẻ c nhn khơng ?

d) Tính R v giải thích ý nghĩa kết quả nhận được.2

e) Với mức với mức thu nhập X 100 nghìn USD, hy dự bo gi trị

trung bình v gi trị c biệt của chi tiu cho sức khoẻ c nhn, với độ tin cậy 95%

Giải Ta cĩ đồ thị phn tn số liệu

Hình 8

Đồ thị trn mơ tả quan hệ giữa “Chi tiu cho chăm sĩc sức khoẻ” Y v “Thunhập c nhn” X v ta thấy cĩ khả năng quan hệ giữa phn bĩn v sản lượng l cĩdạng tuyến tính

Ta cĩ bảng kết quả hồi quy sau

Hình 9Dựa vo bảng kết quả hồi quy ta cĩ thể trả lời cc cu hỏi sau :

- Mơ hình hồi quy



Y 0.176496 0.141652 X  

- Độ lệch tiu chuẩn của cc 

mơ hình hồi quy trn giải thích được xấp xĩ 98.02% bộ số liệu quan st

Với mức thu nhập X0 100 nghìn USD ta cĩ,

Từ đĩ, với độ tin cậy  95%, từ bảng phn phối Student với

51 2 49  độ tự do, ta được C 1.96 v ta suy ra,

Khoảng ước lượng cho E Y X 100   l : 10.3885;18.2949 

Khoảng ước lượng cho gi trị c biệt Y l : 0 9.300606;19.38282

Chương 2

MƠ HÌNH HỒI QUY BỘI

Trong thực tế, một đại lượng thay đổi thường chịu sự tc động của nhiều

hơn một đại lượng Chẳng hạn nhu cầu Y của một loại hng hĩa thường lệ

thuộc vo nhiều yếu tố như thu nhập người tiu dng, gi của hng hĩa đĩ, gi của

hng hĩa thay thế Do đĩ, ta cần tổng qut hĩa mơ hình hồi quy hai biến trình

bầy trong chương 1 cho trường hợp cĩ nhiều hơn hai biến, m ta gọi l hồi quy

bội.

Trước hết, ta xt trường hợp đơn giản nhất của mơ hình hồi quy bội : mơhình hồi quy ba biến Mơ hình ny khảo st một biến phụ thuộc Y theo haibiến độc lập X v 2 X Sau đĩ, mơ hình ny được mở rộng cho trường hợp3tổng qut k biến trong đĩ biến Y phụ thuộc theo cc biến X , 2 X , , 3 X kNhắc lại rằng ta chỉ xt trường hợp mơ hình tuyến tính theo tham số vkhơng nhất thiết phải l tuyến tính theo cc biến

1 Mơ hình hồi quy tuyến tính ba biến.

 l hệ số tự do, 2 v 3 l cc hệ số hồi quy ring theo cc biến.

Với tổng thể gồm N bộ gi trị X ; X ; Y , i 1,2, , N2,i 3,i i  , trong đĩi

Y sai khc với kỳ vọng cĩ điều kiện một đại lượng sai số ngẫu nhin, ký hiệui

 , nghĩa l

Y E Y X X , X X      X   X  

1.2 Cc giả thiết của mơ hình.

Giả thiết 1 Gi trị trung bình cc sai số bằng 0, E X , X2 3 0

Giả thiết 2 Phương sai của cc sai số i l hằng, var   , i i 2 

Giả thiết 3 Khơng cĩ hiện tượng tự tương quan giữa cc sai số i, nghĩa l

 i j

cov  , 0, với mọi ij

Giả thiết 4 Khơng cĩ hiện tượng cộng tuyến giữa X v 2 X , nghĩa l3khơng cĩ quan hệ tuyến tính giữa cc biến giải thích

Giả thiết 5 Cc sai số i đều cĩ phn phối chuẩn,  2

i N 0;

   ,  i

1.3 Ước lượng tham số.

Để ước lượng tham số của mơ hình

E Y X , X    X   X ,

người ta dng một mẫu gồm n bộ gi trị X ; X ; Y , i 1,2, ,n2,i 3,i i  , để

thnh lập hm hồi quy mẫu, SRF, dạng

 l ước lượng điểm của j, với j 1, 2, 3

Khi đĩ, gi trị ước lượng thứ i của SRF sai khc so với gi trị tương ứng của PRF

một đại lượng m ta gọi l phần dư, ký hiệu ei

Y    X   X e ,nghĩa l

Thế (4) vo (2), (3) v với yi Yi  Y, x2,i X2,i  X2,

i 2 2,i 3 3,i 3,i 3

1.4 Phương sai của hệ số hồi quy.

Phương sai v độ lệch chuẩn của ˆ1

2 i

ˆvar  sẽ lớn v do

8 ˆ2

 v 3

ˆ

 l cc ước lượng tuyến tính khơng chệch v cĩ phương sai nhỏ

nhất trong lớp cc ước lượng tuyến tính khơng chệch của 2 v 3

Ch ý rằng với cc giả thiết đ nu thì

1.6 Hệ số xc định hồi quy bội.

Trong mơ hình hồi quy hai biến, R đo độ thích hợp của hm hồi quy.2

Nĩ cho ta hình ảnh về tỷ lệ của tồn bộ sự biến đổi của biến phụ thuộc Y dobiến giải thích X gy ra Trong mơ hình hồi quy bội, tỷ lệ của tồn bộ sự khcbiệt của biến Y do tất cả cc biến giải thích X , 2 X gy ra, gọi l hệ số xc3

định hồi quy bội, R , xc định bởi2

n 2 i

n 2 i

i 1

eESS

Ta cĩ 0 R 2  Khi 1 R2  , ta nĩi mơ hình hồi quy giải thích 100% sự1thay đổi của Y Nếu R2  thì mơ hình khơng giải thích sự thay đổi no của0

Y Ngồi ra ta cịn cĩ một tính chất quan trọng của R l nĩ l hm khơng giảm theo2

số biến giải thích cĩ trong mơ hình Dễ thấy rằng ni 1 i y2 ni 1 (Yi  Y)2độc lập với số biến nhưng ni 1 i e2 l hm giảm theo số biến ny Do đĩ, nếu tăng

số biến giải thích của mơ hình thì R cũng tăng Vì vậy, khi so snh hai mơ2hình hồi quy cĩ cng biến phụ thuộc nhưng cĩ số biến độc lập khc nhau, ta cầnphải cẩn thận trong việc lựa chọn mơ hình với R cao nhất.2

Để so snh hai số hạng R , ta cần phải tính đến số lượng biến độc lập cĩ2trong mơ hình Cĩ thể thực hiện điều ny dễ dng nếu chng ta xem xt một hệ số

xc định thay thế khc như sau :

n 2 i

n 2 i

trong đĩ k l số cc tham số trong mơ hình bao gồm cả hệ số tự do ( trong mơhình hồi quy ba biến thì k 3 ) R được gọi l 2 R cĩ hiệu chỉnh Thuật2ngữ hiệu chỉnh cĩ nghĩa l hiệu chỉnh theo bậc tự do tương ứng với cc tổng

bình phương trong cơng thức định nghĩa của R Số bậc tự do của 2

n 2 i

i 1

y



 l n 1 .Giữa R v 2 R cĩ lin quan với nhau Người ta chứng minh được rằng2

i) Khi k 1 thì R2 R2  , nghĩa l số biến cng lớn thì hệ số xc định1

hồi quy đ hiệu chỉnh cng nhỏ hơn hệ số xc định chưa hiệu chỉnh

ii) Mặc d R luơn luơn dương nhưng 2 R cĩ thể m Nếu 2 R m thì khi p2

dụng, ta coi gi trị của nĩ l 0

Trn thực tế, người ta thường dng R hơn cho d rằng chưa cĩ một chứng2

minh chặt chẽ no cho thấy tính ưu việt hơn hẳn của nĩ so với R 2

Người ta dng hệ số xc định hồi quy bội đ hiệu chỉnh để quyết định cĩ nn

đưa thm biến giải thích mới vo mơ hình hay khơng ? Cĩ thể chứng minh

được rằng việc đưa thm biến giải thích l cần thiết chừng no gi trị của R2

cịn tăng ln v hệ số hồi quy của biến được đưa thm vo mơ hình khc 0 l cĩ ý

nghĩa

Để biết được hệ số hồi quy của biến mới đưa thm vo hm hồi quy khc 0 cĩ

ý nghĩa hay khơng, ta cần kiểm định giả thuyết

k k

Cần ch ý rằng, khi dng R để so snh hai mơ hình (d l hệ số cĩ hiệu chỉnh2

hay khơng), cỡ mẫu n v biến phụ thuộc phải giống nhau; cc biến giải thích cĩ

thể cho ở bất cứ dạng no

1.7 Khoảng tin cậy của cc hệ số hồi quy.

Với cc giả thiết về i đ nu thì

j j





 

j j j

1.9 Kiểm định giả thiết đồng thời

Xt giả thiết đồng thời

H :  0,nghĩa l giả thiết rằng cc hệ số hồi quy 2 v 3 đồng thời bằng 0 Điều ny cĩnghĩa l cả hai biến giải thích đều khơng cĩ ảnh hưởng gì đến biến phụ thuộc

Y Giả thiết ny tương đương với giả thiết

2

H : R  0Nĩi khc đi, cc giả thiết thống k ny tương đương với giả thiết về sự phụthuộc tuyến tính của Y vo hai biến X v 2 X 3

Giả thiết ny được kiểm định dựa vo thống k

2 2

Ví dụ 1 Số liệu về doanh thu (Y), chi phí cho quảng co (X ), tiền lương2

của nhn vin tiếp thị (X ) của 12 cơng nhn (đơn vị triệu đồng) cho bởi bảng3

Suy ra phương sai, độ lệch chuẩn của ˆ1

được thể hiện trong bảng sau

Hình 1 : Bảng kết quả hồi quy 3 biếnGiải thích kết quả của bảng hồi quy

- Dependent Variable : Biến phụ thuộc l Y

- Method : Phương php ước lượng l phương php OLS

- Date – Time : Ngy giờ thực hiện

- Sample : Số liệu mẫu 1 – 12

- Included observations : Số quan st l 12

- Cột Variable : Cc biến giải thích cĩ trong mơ hình (trong đĩ C l biến số



1 1

- Adjusted R – Squared : Hệ số R điều chỉnh 2

- S.E of regression : Gi trị ước lượng cho  :  4.003151

- Sum squared resid : Tổng bình phương cc phần dư ( RSS )

- Log likelihood : Tiu chuẩn ước lượng hợp lý

- Durbin – Watson stat : Gi trị thống k d của Durbin – Watson

- Mean dependent var : Gi trị trung bình của biến phụ thuộc

- S.D dependent var : Độ lệch chuẩn của biến phụ thuộc

- Akaike info criterion : Tiu chuẩn Akaike

- Schwarz info criterion : Tiu chuẩn Schwarz

- F – Statistic : Gi trị của thống k F 1035.543

- Prob( F–Statistic) : Gi trị p-value của thống k F tương ứng

P(F 180.3545) 0.0000  Với F l biến ngẫu nhin cĩ phn phối Fisher

hệ số tự do, j, với j2, 3, , k, l cc hệ số hồi quy ring

Điều ny cĩ nghĩa l tổng thể bao gồm N bộ gi trị

Y , X , X , , Xi 2,i 3,i k,i, với i 1, 2, , N , sao cho

Y    X   X    X   ,trong đĩ i l sai số của Y so với kỳ vọng cĩ điều kiệni

 2 2,i 3 3,i k k,i

E Y X X , X X , , X X ,

Y    X   X    X  ,

với  l sai số của Y.

By giờ, từ mẫu quan st, Y , X , X , , Xi 2,i 3,i k,i, với i1, 2, , n,lấy từ tổng thể, ta cĩ

n

YYY

n

n

eee

hay ký hiệu dưới dạng ma trận, E ee T 2I.

iii) X , 2 X , , 3 X đ được xc định, nghĩa l ma trận X được hồn tồn xck

định

iv) Khơng cĩ hiện tượng cộng tuyến giữa cc biến giải thích Nĩi khc đi,

hạng của ma trận X bằng k

v) ei N 0;  2, với mọi i

2.3 Ước lượng tham số.

Hm hồi quy mẫu SRF cĩ dạng

k

ˆˆˆ

k

e

ˆe

Ví dụ 2 Số liệu quan st của một mẫu cho ở bảng sau Trong đĩ

Y: Lượng hng bn được của một loại hng hĩa (tấn / thng)

2.4 Hệ số xc định hồi quy bội.

Hệ số xc định hồi quy bội R cĩ thể tính bằng một trong hai cơng thức2sau

i) R2 1 RSS ESS

   , trong đĩ TSS Y T Y n Y  2; ESS T XTY n Y  2;

r l hệ số tương quan giữa biến Y v biến X j

2.6 Ma trận hiệp phương sai.

Để kiểm định giả thiết, tìm khoảng tin cậy cũng như thực hiện cc suy

đốn thống k khc, ta cần phải tìm  ˆj

var  , với j 1, 2, , k v

 ˆ ˆi j

cov  , Phương php ma trận gip ta cĩ thể thực hiện điều ny

Ma trận hiệp phương sai của ˆ

Với số liệu ở ví dụ 2 v sử dụng Eview, ta tìm được cc kết quả sau

 Mơ hình hồi quy

Hình 2 : Kết quả hồi quyTrong đĩ

- Dịng Estimation Command : Cho biết lệnh để tìm hm hồi quy (Xem

phụ lục)

- Dịng Estimation Equation : Cho biết dạng phương trình hồi quy, trong

đĩ C(1), C(2), C(3) lần lượt l cc hệ số hồi quy

- Dịng Substituted Coefficients : Cho biết kết quả chi tiết của dạng hm

trn

 Ma trận hiệp phương sai

Hình 3 : Ma trận hiệp phương saiKết quả trong bảng trn cho biết gi trị về hiệp phương sai của cc hệ số hồiquy Chẳng hạn như,

Do ˆj

 cĩ phn phối chuẩn với kỳ vọng j v phương sai  j

ˆvar  , với



 ˆj 2 j, jvar   c , j 1, 2, , k ,

Từ đĩ, ta dễ dng suy ra khoảng ước lượng cũng như kiểm định giả thiết

về hệ số hồi quy ring

Đặc biệt, ta cĩ thể kiểm định giả thiết

H :    0.Khi đĩ, nghịch thuyết l H : tồn tại ít nhất một hệ số hồi quy ring khc 0

Dng đại lượng ngẫu nhin

ESS

k 1 RSS

Ta dng

2 2



var Y  X X X  X v  ˆ0  ˆ0

se Y  var Y