ĐẶT VẤN ĐỀ: Hệ phương trình là bộ của hai hay nhiều hơn các phương trình với cùng tập hợp các ẩn số.. Khi giải hệ phương trình ta đi tìm các giá trị của ẩn số thỏa mãn các phương trình c
Trang 1A ĐẶT VẤN ĐỀ:
Hệ phương trình là bộ của hai hay nhiều hơn các phương trình với cùng tập hợp các ẩn số Khi giải hệ phương trình ta đi tìm các giá trị của ẩn số thỏa mãn các phương trình của hệ
Ngay trong cụm từ “hệ phương trình” đã bao hàm “ phương trình” Do đó, về mặt bản chất , hệ phương trình là mảng toán rộng hơn Hiểu được điều này giúp ta nhìn thấy được điều kiện cần để học tốt phần hệ phương trình, chính là trang bị một nền tảng tốt về giải phương trình Ngoài ra các em cũng cần vận dụng một cách linh hoạt những biến đổi đại số cơ bản , những hằng đẳng thức ,
Nhằm giúp HS nắm vững và có kĩ năng tốt trong việc giải hệ phương trình 2 ẩn Trong bài viết này, tôi chỉ hệ thống các bài tập và phương pháp giải hệ phương trình
2 ẩn mà học sinh thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi, thi vào các trường
chuyên , Tôi hy vọng qua bài viết này sẽ đóng góp thêm một số kinh nghiệm hướng dẫn HS làm quen và tiến tới giải tốt các bài toán giải hệ phương trình nâng cao trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên và giúp các em khi lên cấp III , các em sẽ dễ dàng hơn khi làm toán giải hệ phương trình
' ' 'x b y c a
c by ax
trong đó a, b, c, a’, b’, c’là các số thực cho trước và a, b, a’ b’ không đồng thời bằng không
+ Cách giải : dùng phương pháp thế hay phương pháp cộng và cách đặt ẩn phụ
Ví dụ : Giải hệ phương trình :
a/
xy y
x
y
x
2 7 6
1
Giải : ĐK: xy ≠ 0
Hệ phương trình đã cho viết lại:
2 1 1
7 6 1
y x
y x
2
7 6
v
u
v
u
2 5 5
v u v
1 1
u v
1 1
y
x
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (1 ; 1)
b/
18 1 2
1 2
2
2 1 2 3 2
2
y x y
x
y x y
x
Trang 2Giải :
ĐK: (2x - y)(x - 2y) ≠ 0
18 1 2
2 1 3
2
v
u
v
u
v u
v
18 1 2
18 8 4
12 1 9 1
u
v
9 1 2
1
12 1 2
1
y
x
y
x
19 2
12 2
y x
y x
2 5
y x
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (5 ; - 2 )
c/
3 5
1
2
1 1
1
y x
y
Giải:
3 5
1
2
1 1
1
y
x
y
3 5
1 2
2 2
1 2
y x
y
1 3
2 2
1 2
y
y x
3
1
2 2
1
2
y
y x
3 1
2 3
1 2 1 2
y x
3 1 2 1
y x
3
1
; 2 1
d/
1 2 8 2
3 2
4 2 2
1
y x y
x
y
x
y x y x y
x
(TSL10 ĐHSP TPHCM 12 -13) Giải:
1 2 8 2
3 2
4 2 2
1
y x y
x
y
x
y x y x y
x
1 2 8 2
2 2
3 2
4 2 2
1
y x y
x y x
y x y x y
x
1 2 8 2
2
1
3 2 4 1 2 1
y x y
x
y x y
x
0 2 8 2
2
2 2 4 2
1
y x y
x
y x y
x
(*)
0 8
2
2
4
v
u
v
u
0 8 2
4 8
2
v u v u
0 8 2 4 4
v u u
4
1
v
u
4 1 2
1
1 2 1
y
x
y
x
4 2
1 2
y x y x
4 2 3
y x y x
1 2
y x
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (2 ; 1 )
Bài tập: Giải hệ phương trình:
1/
xy y
x
y
x
4 3
12
1
8
9
xy y x y x
3 8 10
0 10 4
3/
0 1
2
1
1 6
2
3
y x y
x
y x y
x
y y
x
xy y
x
12 47 3
1 4
3
3 4 12
5 4
1
Trang 3
5/
0 3 3 1
2
27 3 1
y y x
x
y x
8 1 2 3 2 2 2
9 1 2
y y x
x
y x
PHƯƠNG PHÁP:
Rút x theo y ( hoặc y theo x) từ phương trình bậc nhất , thay vào phương trình bậc hai, ta được phương trình ẩn y ( hoặc x) Từ đây tìm được y ( hoặc x) và suy ra nghiệm của hệ phương trình
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: (bằng phương pháp thế trực tiếp)
a/
8
6 2
xy
y
x
(PTNK ban AB 00 – 01) Giải:
8
6 2
xy
y
x
8 2
6
2 6
y y y x
8 2 6
2 6
2
y y
y x
0 8 6
2
2
6
2 y
y
y
x
4
; 2 1
; 8
y x
y x
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là : (8 ; 1) , (-2 ; -4)
b/
1
1 2
2
2
x
xy
y y
x
(PTNK 11 – 12) Giải:
) 2 ( 1
) 1 ( 1 2
2 2
x xy
y y
x
x = 0 thì (2) vô lý Do đó x ≠ 0 ta có :
1
1 2
2
2
x
xy
y y
x
x x y
y y
x
1
1 2
2 2
x x y
x x x
x x
1
1 1 2
1 2 2
x
x
y
x x x x
x
x
1
2 2 1
2
4
x x y
x x
1
0 1
2 2 4
x
x
y
x
1 0
1 2
2
x x y x
1 1
1
1 1
1
1 1
Vậy nghiệm của hệ phương trình: (1 ; 2 ) và (-1 ; 0 )
c/
4 1
1
64
y
x
xy
(LHP ban AB 03 – 04)
Giải:
4 1
1
64
y
x
xy
4 64
xy x y xy
4 64 64
x y xy
16 64
y x xy
16 64 16
y
x
y y
16
0 64 16
2
y x
y y
8
8
y
x
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là : (8 ; 8)
d/
y x x
y
x
xy
x
2 1
1
2
2
(Chuyên TPHCM 11-12)
Giải: Cách 1:
y x
x
y
x
xy
x
2 1
1
2
2
y x xy x xy y x xy x
2 2
2 2
y x xy y x xy x
4
2
Trang 4 x y
x
Vậy nghiệm của hệ phương trình: (1 ; 1 ) và (-1 ; -1 )
từ đó có được lời giải
Cách 2:
) 2 ( 1
) 1 ( 1 2
2 2
x xy
y y
x
x = 0 thì (2) vô lý Do đó x ≠ 0 ta có :
1
1 2
2
2
x
xy
y y
x
x x y
y y
x
1
1 2
2 2
x x y
x x x
x x
1
1 1 2
1 2 2
x
x
y
x x x x
x
x
1
2 2 1
2
4
x x y
x x
1
0 1
2 2 4
x
x
y
x
1 0
1 2
2
x x y x
1 1
1
1 1
1
1 1
Vậy nghiệm của hệ phương trình: (1 ; 2 ) và (-1 ; 0 )
e/
1 )
2
(
3 )
1
(
2 2
x y x
y
y x y
x
(TSL10 ĐHQG HN 11 – 12 ) Giải:
1 )
2 (
3 )
1 (
2 2
x y x y
y x y x
1 )
2 ( ) 2 (
2 ) 1 ( ) 1 (
2 2
x y
x y
y x
y x
1 )
1 )(
2
(
2 ) 1 )(
1
(
2 2
x x
y
y y
x
1 2 ) 1 )(
2 (
1 2 ) 1 (
2 2
2
y y x
y
y y x
0 ) 1 1 1
)(
2
(
1 2
)
1
(
2 2
2
y x
y
y
y x
0 2
1
2 ) 1
y
y
y x
2
0 1
y
x
2 1
y x
Bài tập: Giải hệ phương trình: (bằng phương pháp thế trực tiếp)
9 3
3 3
y
x
y
x
8 6 2
xy
y x
(PTNK 00 – 01)
9 5
7 2
y xy
y
x
4/
13 2
2 2
y xy x y x
6 2 3 2
y x xy y x
9 ) (
3
0 1 4
3
y x xy
y x
4 3
3
2 2 2
x xy
xy y
x
8/
) ( 3 1
3
3 y x y x
y x
126 6
3 3
y
x
y
x
10/
3 30 ) 2 ( ) 2 )(
1 ( 3
2
y y y x y x
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: (bằng phương pháp cộng , trừ vế rồi dùng phương
pháp thế trực tiếp)
0 5 2
2
3 3 2
2 2
2
2
y x y
x
y x y
x
Giải:
0 5 2
2
3 3 2
2
2
2
2
y x y
x
y x y
x
0 5 2
2
6 6 4 2
2
2 2
2 2
y x y x
y x y x
3 3 2
6 11
5
2
2
y x y
x
y
x
Trang 5
0 4 3 1
5
6
11
2
2 y y
x
y
x
0 4 3 5
11 11 5
2 2
y y y x
0 21 167 146 5 6 11
y
y x
146 21
;
146
1
;
1
y x
y
x
146
21
; 146
129
b/
xy y
x y x
2 9
6 6
2
2
(PTNK 07 – 08) Giải:
xy y
x y
x
2 9
6 6
2
2
x y x
xy x y y x
6 6
0 9 2 6 6
2 2 2
x y
x
y x y
x
6 6
0 9 6
2
2
x y
x
y
x
6 6
0 3
2
2
18 3
2
x x y
2 3 3
x x y
c/
2 5 10
1
5 2 1 2
2 2
y
xy
xy
x
(PTNK 12 – 13 ) Giải:
2 5 10
1
5 2 1 2
2
2
y
xy
xy
x
1 5 2 5
2
5 2 1 2
2 2
y xy xy x
0 5
5 2 1 2
2 2
2
y x
xy x
2 2
2
5
5 2 1 2
x y
xy x
x y
x y x
x y
x y x
5
5 2 1 2
5 2 1 2
2
2
x y
x x
x y
x x
5
5 2 1 5
2
5 2 1 5
2
2 2
2 2
x y
x y
5 5
2
5
; 1
5
; 1
y x
y x
d/
0 2
0 3
2
2
2
2 2
x y x
y
x y
xy
(LHP 02 – 03) Giải:
Xét x = 0 thì y = 0 , hệ có nghiệm (x ; y ) = (0 ; 0)
Xét x ≠ 0 , ta có:
0 2
0 3
2
2
2
2 2
x y
x
y
x y
xy
0 2
0 3 2
2 3
2
2 2
x y x xy
x y xy
2 3
2 0 2
x y x
xy
x y y
x
2 3
2 ) 2
(
x y x
xy
x x
y
0 3 2 2 2
2
2 3 2 2 3 2 3 2
x x x x
x x x x y
0 3 2 2 ) 2 (
2 3 2 3 3 3 2
x x
x x x y
0 2 3
2
2
2
2 3
3
3
3
2
x
x
x
x
x
y
0 12 12 3 4 2
2
3 6 3 3 3 2
x x x x x
x y
0 8 11 3
2 3 6 3 2
x x x
x y
0 8 3 1
2 3 3 3 2
x x x
x y
2
0 8 3
0 1
3 2 3
3
x
x y
x
x
2
3 8 1
3 2 3
x
x y x x
Trang 6 x = -1 , Ta có: y =
1 2 1
1
3
2
3
2 3
8
3
2 3
9
6 2 3 2 3
2
0 0
y x
;
1 1
y x
;
3
3
9
6
3
2
y
x
Bài tập Giải hệ phương trình:(bằng phương pháp cộng , trừ vế rồi dùng phương
pháp thế trực tiếp)
0 5 2
2
3 3 2
2
2
2
2
y x y
x
y x y
x
0 5
12 6
4
2 2 2 2
y x y x
y x y
x
0 15 3 2
2
27 9 6
2
2
2
2
y x y
x
y x y
x
0 10 4
12 12
4 4
2 2
2 2
y x
y x
y x
y x
Ví du 3: Giải hệ phương trình:(Bằng PP đưa một phương trình của hệ về phương
trình tích rồi sử dụng phương pháp thế )
a/
0 2 2
0
2
2 2
2
3 x y x y xy
x
x
xy
(TSĐH khối D – 2012)
Giải:
0 2 2
0 2
2 2 2
3
y xy y x y
x
x
x
xy
0 ) ( ) (
)
2
2
(
0
2
2 2 2
3
y x y
y
xy
x
x
xy
0 1 2 0 2
2
y x y x x xy
y
x
x
xy
2
0 2
hoặc
1 2
0 2
x y x xy
y
x
x
x
2
hoặc
1 2
0 2 2
2 2
x y
x x
1
1
y
x
hoặc
5 2 5 1
y
x
hoặc
5 2 5 1
y x
1 1
y x
;
5 2 5 1
y
x
;
5
2
5 1
y
x
b/
0 12 6
0 2
2
2
2
2 2
x y
x
x y xy y
x
(LQĐ- Bình Định 12 – 13) Giải:
0 12 6
0 2
2
2
2
2
2
x y
x
x y xy y
x
0 12 6
0 2
2 2
2 2
2 2
x y x
x y y xy xy x
0 12 6
0 ) 1 )(
2
(
2
x
y x y x
0 12 6
0 1
0 2
2
x
y x hay y
x
0 12 6
1
2
2
2
x y
x
y x
hay
y
x
0 12
6
2
2
2
x
y
x
y
x
0 12 12 4 2
2 2
x y y y x
0 4 4
2
2
x
y
y
x
0 ) 2 ( 2
2
y y x
2 4
y x
0 12 )
1
(
6
)
1
(
1
2
2
y
y
y
y
x
0 12 6 6 2 1 12
2 2
y y y y y x
0 19
8
1
y
y
x
8 19 1
y
y x
8 19 8 11
y x
8 11
Trang 7c/ x2 y2 xy 7 (HSG TP 02 – 03)
Giải:
7 8
2
2
2
2
xy y
x
y x y
x
7 1
2
2 y xy x
xy y x
0 7 0 ) 1 ( ) 1
(
2
2 y xy
x
y y
x
0 7 0 ) 1
).(
1
(
2
2 y xy
x
y x
0 7 0 1 0 1
2
2 y xy x
y
x
0 7
; 1
0 7
; 1
2 2 2 2
xy y x y
xy y x x
0 6
;
1
0 6
;
1
2
2
x x
y
y y
x
0 6 3 2
; 1
0 6 3 2
; 1
2 2
x x x
y
y y y
x
0 3 2
;
1
0 3 2
;
1
x x
y
y y
x
3
2
; 1
3
2
; 1
x hay x
y
y hay y
x
Hệ phương trình có 4 nghiệm là :
2
1
y
x
;
3 1
y x
;
1 2
y x
;
1 3
y x
Bài tập : Giải hệ phương trình:(Bằng phương pháp đưa một phương trình của hệ về phương trình tích rồi sử dụng phương pháp thế )
4 2
4 2 2
2
2
xy
x
xy y
x
x
2 1
2
2y xy
x
xy y
x
4 2
4 2 2
2
2
xy
x
xy y
x
x
3 7 2 7 2
3
4 2 2
y x y
x
y x y
x
(TSL10 chuyên - Hải Dương 05 -06)
6
2
2 2
x
y
y y x
x
3 3
1
2 2
2
y y
x
xy y
x
(TSL10 ĐHNN HN 08 – 09)
0 4 2 4
0 ) (
2
2
2
2
2
y x y
x
y x xy y
x
(TSL10 ĐHNN HN 09 – 10) 8/
54 4 4 3
0
3 2 2
3
4
5
y xy y
x
x
y x
y
x
x
9/
32 3
4 6
9
0
2 3 4 4
5
2
3
y x xy y
x
x
y x
y
x
x
Ví dụ 5 : Giải hệ phương trình ( Viết phương trình (1) của hệ thành một phương
trình bậc hai theo ẩn x ( hoặc y) , sau đó tính x theo y)
) 2 ( 10
) 1 ( 2
2
2
2
y
x
x y xy
x
Giải:
Từ đó ta tìm được hệ phương trình có 3 nghiệm là :
3
1
y
x
;
3 1
y x
;
1 3
y x
0 4
0 2 5
2
2
2
2 2
y x y
x
y x y xy
x
(TSL10 ĐHQG HN 03 – 04)
Giải:
0 4
0 2 5
2
2
2
2 2
y x y
x
y x y xy
x
) 2 ( 0 4
) 1 ( 0 2 5 2 1
2 2
2 2
y x y x
x x y x y
Trang 8Với y1 = 2 – x x2– 2x + 3 = 0 ( vô nghiệm)
5
13
; 5 4
5
2 4 4
2
2
2
y
x
y x xy
x
(PTNK Hải Phòng 02 -03) Giải:
5
2 4 4
2
2
2
y
x
y x xy
x
) 2 ( 5
) 1 ( 0 2 4 4
1
2 2 2
y x
y x y x
Từ đó ta tìm được hệ phương trình có 4 nghiệm là :
17
1
; 17
38
Bài tập Giải hệ phương trình ( Viết phương trình (1) của hệ thành một phương
trình bậc hai theo ẩn x, sau đó tính x theo y)
2 3 2
2
2
2
y
x
y x xy
x
10 2
2 2 2
y x
x y xy
x
5 3 1 2
2
2
2
y
x
y x xy
x
0 14 10 2
0 2 2 2
3
2 2
2 2
y x y
xy
x
y x y xy
x
1
1 3
6
2
2
2
y
x
y x
xy
x
(TSL10 ĐHNN HN 04-05)
0 4
0 2 5
2
2
2
2 2
y x y
x
y x y xy
x
( HSG Thanh Hóa 07 – 08)
Ví Dụ 6 : Giải hệ phương trình : ( PP chia vế theo vế rồi dùng PP thế)
3 7 1
2 7 1
x
y
y
x
(PTNK ban AB 01 – 02)
Giải:
Điều kiện x , y ≠ 0
3 7 1
2 7 1
x
y
y
2 3 7 1
1 2 7 1
x xy y xy
y x
Hệ đã cho tương đương
y x
y x
2 3 2 7 1
y x
y y
2 3
2 7 1 2
3
y
x
y y
2
0 2 7
y x
y y
2
0 1 3 2
y x
y y
2 3 3 1 2
3
1
; 2 1
Trang 9Bài tập:: Giải hệ phương trình : ( PP chia vế theo vế rồi dùng PP thế)
1/
4 21 1
5 21 1
x
y
y
x
2/
4 1 3 4 1
x y y x
3/
2 15 1
7 15 1
x
y
y
x
4/
3 14 4 7 4
x y y x
Kiến thức thường vận dụng
+ Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ không thay đổi khi thay x bởi y; y bởi x
Phương pháp thường vận dụng
+ Đặt S = x + y và P = xy : Biến đổi hê phương trình đã cho về hệ hai ẩn S và P
Chú ý: Nếu hệ phương trình đối xứng loại I có nghiệm (x , y) thì (y, x) cũng là
nghiệm của nó
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1 : Giải hệ phương trình: a/
3 12
2 2
xy y x
y x y x
(Olympiad Canada
2010 – 2011)
Giải:
lại thành
3
12 2
2
P
S
S P
S
) 2 ( 3
) 1 ( 12 2
2
S P
S P S
Thế (2) vào (1) ta thu được
0 3
xy y x
(x , y) = (0 ; 3) hay (x , y) = (3 ; 0) Với S = - 6 P = 9 Khi đó : x, y là nghiệm của phương trình :
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 cặp nghiệm là (0 , 3) ; (3 ; 0) ; ( -3 ; -3)
30 4
3 3
xy y x y x
(TSL10 Chuyên ĐH Vinh 07 - 08)
Giải:
Hệ phương trình đã cho tương đương:
30
)
(
4
2
2
y
x
xy
y
x
30 2 4
2 xy y x xy y x
Trang 10
2 2 30
P
S
P P( 16 2P) 30 2 2 16 30 0
P
3 4
P
S
ta có:
3
4
y x y x
3 1
y x
và
1 3
y x
5 4
P
S
ta có:
5
4
y x y x
(vô nghiệm) Vậy hệ phương trình có nghiệm : (1 ; 3) , (3 ; 1)
17 1
) 1 (
8 ) 1 )(
1 (
xy y
y x x
y x
(TSL10 – chuyên HN 02 – 03)
Giải:
17 1
)
1
(
8
)
1
)(
1
(
xy y
y
x
x
y
x
17 8
) 1 )(
1 (
2
2 x y y xy x
y x
17 )
(
7
2 xy x y y
x xy y x
17
7
2 S P
S
P
S
Giải ra ta được 2 nghiệm (S ; P) là (4 ; 3)và (-6 ; 13)
3 4
P
S
ta có:
3
4
y x y x
3 1
y x
và
1 3
y x
13
6
P
S
ta có:
3
6
y x y x
(vô nghiệm) Vậy hệ phương trình có nghiệm : (1 ; 3) , (3 ; 1)
Ví dụ 4:
6 126
3 3
y x
y x
(*) Đặt t = - y hệ phương trình trên trở thành:
6
126
3
3
t
x
t
6
126 2
2
t x
t xt x t
6
126 3
2
t x
xt t
x t x
6
126 3
2
S
P S
6
126 3
36 6
S
P
6
5
S
P
5
6
xt
t
x
5 1
t x
và
1 5
t x
Vậy hệ phương trình (*) có nghiệm : (5 ; -1) , (-1 ; 5)
Ví dụ 5:
4 65
2 2 6 6
y x y x
(*)
4
65
3
3
v
u
v
4
65 3
2
v u
uv v
u v u
Dùng phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại I để giải
Ví dụ 6:
35 1 1
5
3
3 y x
xy y x
(*) (PTNK ban AB 03 – 04)
35 1 1
5
3
3 y
x
xy
y
x
35 1 1
6 1
3
3 y x
y xy
35 1 1
6 1 1
3
3 y x
y x
Đặt u = (x + 1) ; v = (y + 1) hệ phương trình trên trở thành:
6
.
35
3
3
v
u
v
6
35 3
2
v u
uv v
u v u
6
35 3
2
P
P S
S
6
0 35 18
3
P
S S
6
0 35 7 25 5
3
P
S S S
S
S
6
0 7 5
5 2
P
S S
S
6 0 5
P S
( Vì S2 + 5S +7 > 0 )