Bài giảng cấu trúc dữ liệu thuật toán chương 4 nguyễn đức nghĩa

How We View a Tree... Vì th các phép toánnh leftmost_child và right_sibling là không xác đ nh đ c.. Do đó cách bi u Danh sách các con Lists of Children danh sách các con c a nó.. di n da

các nút r1,r2, , r k Trong cây này r là g c và T1, T2, , T k là các cây con c a g c r Các nút r1, r2, , r k đ c g i là con (children)

c a nút r.

Chú ý: Nhi u khi đ phù h p ta c n đ nh ngh a cây r ng (null

Cây l ch thi đ u

1/28/2013

Trong i th ng cây r t hay c s d ng di n t

l ch thi u c a các gi i th thao theo th th c u lo i

Johan I 1667-1748

Nikolaus 1662-1716

Jacob I 1654-1705

Nikolaus II

1695-1726

Daniel 1700-1782

Johan II 1710-1790

Nikolaus I 1687-1759

Jacob II 1759-1789 Johan III

1746-1807

Cây phân c p qu n lý hành chính

Ban Giám đ c

Phòng Tài v

Cây bi u th c (Expression Tree)

• Nút trong - internal node

• Chi u cao - hight

• Chi u sâu - depth

Các thu t ng chính

• N u n1, n2, , n k là dãy nút trên cây sao cho n i là chac a n i+1 v i 1  i < k, thì dãy

nàyđ c g i là đ ng đi (path) t nút n1t i nút n k. dài (length) c a đ ng đi là

b ng s l ng nút trên đ ng đi tr b t 1 Nh v y đ ng đi đ dài 0 là đ ng đi t

• Các nút có cùng chađ c g i là anh em (sibling).

• Cây con (subtree)c a m t cây là m t nút cùng v i t t c các h u du c a nó.

• Chi u cao (height) c a nút trên cây là b ng đ dài c a đ ng đi dài nh t t nút đó

đ n lá c ng 1 Chi u cao c a cây (height of a tree) là chi u cao c a g c. sâu/m c

(depth/level)c a nút là b ng 1 c ng v i đ dài c a đ ng đi duy nh t t g c đ n nó.

1/28/2013 C U TRÚC D LI U VÀ THU T TOÁN

Thu t ng nút

nodes

parent

Thu t ng

con cha

Thu t ng cây con - subtree

1/28/2013

C U TRÚC D LI U VÀ THU T TOÁN

Thu t ng cây con

Thu t ng cây con

sibling

ng đi trên cây

a

c b

Path 1: { a, b, f, j } Path 2: { d, i }

How We View a Tree

• Các con c a m t nút th ng đ c x p th t t trái sang ph i Nh

v y hai cây trong hình sau đây là khác nhau, b i vì hai con c a nút

a xu t hi n trong hai cây theo th t khác nhau:

X p th t các nút

th t quan tr ng nh t, đó là Th t tr c, Th t sau và

Th t gi a (Preorder, Postorder, và Inorder)

– N u cây T là r ng, thì danh sách r ng là danh sách theo th

Duy t theo th t tr c - Preorder Traversal

• Th t tr c (hay duy t theo th t tr c - preorder

Duy t theo th t sau - Postorder Traversal

Thu t toán duy t theo th t tr c - Preorder Traversal

void PREORDER ( nodeT r )

e

j

1/28/2013 C U TRÚC D LI U VÀ THU T TOÁN

Thu t toán duy t theo th t sau - Postorder Traversal

• Thu t toán duy t theo th t sau thu đ c b ng cách đ o ng c hai thao tác (1) và (2) trong PREORDER :

void POSTORDER ( nodeT r )

e

j

Thu t toán duy t theo th t gi a - Inorder Traversal

void INORDER (nodeT r )

v a trình bày hãy hình dung là ta đi vòng

quanh bên ngoài cây b t đ u t g c, ng c

chi u kim đ ng h và sát theo cây nh t

Ch ng h n, đ ng đi đó đ i v i cây trong

e

j

• i v i th t tr c , ta đ a ra nút m i khi đi qua nó.

• i v i th t sau , ta đ a ra nút khi qua nó l n cu i tr c khi quay v cha c a nó.

• i v i th t gi a , ta đ a ra lá ngay khi đi qua nó, còn nh ng nút trong đ c đ a ra khi l n th hai đ c đi qua.

• Chú ý r ng các lá đ c x p th t t trái sang ph i nh nhau trong c

ba cách s p x p.

4.1.4 Cây có nhãn (Labeled Tree)

• Thông th ng ng i ta gán cho m i nút c a cây m t nhãn (label)

ho c m t giá tr , c ng t ng t nh chúng ta đã gán m i nút c a danh sách v i m t ph n t Ngh a là, nhãn c a nút không ph i là tên

g i c a nút mà là giá tr đ c c t gi trong nó Trong m t s ng

d ng ta có th thay đ i nhãn c a nút mà tên c a nó v n đ c gi nguyên.

• Ví d : Xét cây có 7 nút n1, , n7 Ta gán nhãn cho các nút nh sau:

Cây bi u th c (Expression Tree)

• Cây trong ví d v a nêu có tên g i là cây bi u th c

(a+b)*(a-c)

• Qui t c đ cây có nhãn bi u di n m t bi u th c là:

– M i nút lá có nhãn là toán h ng và ch g m m t toán h ng đó Ví d nút n4 bi u

di n bi u th c a.

– M i nút trong n đ c gán nhãn là phép toán Gi s n có nhãn là phép toán hai

ngôi q, nh + ho c *, và con trái bi u di n bi u th c E1 và con ph i bi u di n

4.1.5 ADT Cây

n là g c (nó không có cha), tr l i  Theo ngh a này,  là nút

r ng ("null node") dùng đ báo hi u r ng chúng ta s d i kh icây

• leftmost_child(n, T) tr l i con trái nh t c a nút n trong cây T,

• label(n, T) tr l i nhãn c a nút n trong cây T Tuy nhiên, ta

không đòi h i cây nào c ng có nhãn

• createi(v, T1, T2, , T i) là h các hàm, m i hàm cho m t giá

tr c a i = 0, 1, 2, createi t o m t nút m i r v i nhãn v và

g n cho nó i con, v i các con là các g c c a cây T1, T2, , T i,theo th t t trái sang Tr l i cây v i g c r Chú ý, n u i = 0, thì r v a là lá v a là g c

• root(T) tr l i nút là g c c a cây T, ho c  n u T là cây r ng.

• makenull(T) bi n T thành cây r ng.

Bi u di n cây

• Có nhi u cách bi u di n cây Ta gi i thi u qua v ba cách bi u

di n c b n:

– danh sách các con (Lists of Children)

bi u di n T là h tr thao tác parent b i danh sách tuy n tính A

trong đó m i ph n t A[i] ch a con tr đ n cha c a nút i Riêng g c

c a T có th phân bi t b i con tr r ng.

• Khi dùng m ng, ta đ t A[i] = j n u nút j là cha c a nút i, và A[i] = 0

n u nút i là g c.

• Cách bi u di n này d a trên c s là m i nút c a cây (ngo i tr g c)

đ u có duy nh t m t cha V i cách bi u di n này cha c a m t nút có

th xác đ nh trong th i gian h ng s ng đi t m t nút đ n t tiên c a chúng (k c đ n g c) có th xác đ nh d dàng:

Bi u di n cây dùng m ng

• Ví d

A

• H n ch : Cách dùng con tr cha không thích h p cho các thao tác v i con Cho nút

n, ta s m t nhi u th i gian đ xác đ nh các con c a n, ho c chi u cao c a n H n

n a bi u di n b i con tr cha không cho ta th t c a các nút con Vì th các phép toánnh leftmost_child và right_sibling là không xác đ nh đ c Do đó cách bi u

Danh sách các con (Lists of Children)

danh sách các con c a nó

di n danh sách đã trình bày trong ch ng tr c

nh t

Danh sách các con (Lists of Children)

• Có m ng con tr đ n đ u các danh sách con c a các nút 1, 2, , 10:

header[i] tr đ n danh sách con c a nút i.

Danh sách các con (Lists of Children)

• Ví d : Có th s d ng mô t sau đây đ bi u di n cây

typedef ? NodeT; /* d u ? c n thay b i đ nh ngh a ki u phù h p */

typedef ? ListT; /* d u ? c n thay b i đ nh ngh a ki u danh sách phù h p */

Cài đ t leftmost_child

• D i đây là minh h a cài đ t phép toán leftmost_child Vi c

cài đ t các phép toán còn l i đ c coi là bài t p

NodeT leftmost_child (NodeT n, TreeT T)

/* tr l i con trái nh t c a nút n trong cây T */ {

ListT L; /* danh sách các con c a n */

• Vì v y đ bi u di n cây ta có th l u tr thông tin v con c c trái và em k

c n ph i c a m i nút Ta có th s d ng mô t sau:

struct Tnode

{

charword[20]; // D li u c t gi nút

struct Tnode *leftmost_child;

struct Tnode *right_sibling;

};

typedef struct Tnode treeNode;

treeNode Root;

Bi u di n cây b i con trái và em k c n ph i

H

G B

I

C

K J

55

Bi u di n cây t ng quát b i cây nh phân (con trái và con ph i=em k c n ph i) A

A B

D C

J I H

H

G B

I

C

K J

Cây nh phân

Dùng con trái và em k c n ph i

(The Leftmost-Child, Right-Sibling Representation)

Duych có thao tác parent là đòi h i ph i duy t danh sách nên

th ng xuyên, ng i ta ch p nh n b sung thêm 1 tr ng n avàob n ghi đ l u cha c a nút

4.2.1 nh ngh a cây nh phân - Binary Tree

• nh ngh a Cây nh phân là cây mà m i nút có nhi u nh t là

Cây nh phân T 1 Cây nh phân T 2 Cây t ng quát

Tính ch t c a cây nh phân

• B đ 1

(i) S đ nh l n nh t trên m c i c a cây nh phân là 2 i-1 , i≥1.

(ii) M t cây nh phân v i chi u cao k có không quá 2 k -1 nút , k ≥ 1 (iii) M t cây nh phân có n nút có chi u cao t i thi u là log2(n+1).

• Ch ng minh:

• (i) B ng qui n p theo i

– C s : G c là nút duy nh t trên m c i=1 Nh v y s đ nh l n nh t

trênm c i=1 là 20= 2 i-1

– Chuy n qui n p: Gi s v i m i j, 1 ≤ j < i, s đ nh l n nh t trên m c

j là 2 j-1 Do s đ nh trên m c i-1 là 2 i -2 , m t khác theo đ nh ngh a m i

đ nh trên cây nh phân có không quá 2 con, ta suy ra s l ng nút l n

nh t trên m c i là không v t quá 2 l n s l ng nút trên m c i-1,

ngh a là không v t quá 2*2i - 2 = 2 i-1

1/28/2013 C U TRÚC D LI U VÀ THU T TOÁN

Tính ch t c a cây nh phân

2, , k, theo b đ 1, s này là không v t quá

nút các m c i =1, 2, , k đ u là l n nh t có th đ c T đó

ta có:

1 1

Cây nh phân đ y đ (full binary tree)

nh ngh a Cây nh phân đ y đ (Full Binary Trees) là cây

Cây nh phân hoàn ch nh (Complete Binary Trees)

nh phân đ sâu n tho mãn:

– là cây nh phân đ y đ n u không tính đ n các nút đ sâu n, và

– t t c các nút đ sâu n là l ch sang trái nh t có th đ c

• B đ 3 Cây nh phân hoàn ch nh đ sâu n có s l ng nút n m trong

kho ng t 2 n-1 đ n 2 n - 1

• Ch ng minh Suy tr c ti p t đ nh ngh a và b đ 1.

Ví d Cây nh phân hoàn ch nh

Cây nh phân cân đ i (balanced binary tree)

• nh ngh a Cây nh phân đ c g i là cân đ i (balanced ) n u chi u cao

c a cây con trái và chi u cao c a cây con ph i chênh lêch nhau không quá

1 đ n v

• Nh n xét:

– N u cây nh phân là đ y đ thì nó là hoàn ch nh

– N u cây nh phân là hoàn ch nh thì nó là cân đ i

Ví d :

1 Cây nào là đ y đ ?

2 Cây nào là hoàn ch nh?

3 Cây nào là cân đ i?

4.2.2 Bi u di n cây nh phân

d ng cách bi u di n này ta có th cài đ t nhi u phép toán v i cây r t

hi u qu

tr Gán tên cho các nút c a cây nh phân hoàn ch nh T t trên xu ng

m ng A trong đó ph n t th i c a A là giá tr c t gi trong nút th i

HD

B

K

L J

F

E

C A

Cây nh phân hoàn ch nh

Cây nh phân hoàn ch nh Complete Complete Binary Tree Binary Tree

H

H D D K K B B F F J J L L A A C C E E

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tìm S d ng H n chCon trái c a A[i] A[2*i] 2*i <= n

Con ph i c a A[i] A[2*i + 1] 2*i + 1 <= n

Cha c a A[i] A[i/2] i > 1

Bi u di n cây nh phân dùng con tr

M i nút c a cây s có con tr đ n con trái và con tr đ n

D C

J I H

H

G B

I

C

K J

struct Tnode * left;

struct Tnode *right;

};

typedef struct Tnode treeNode;

treeNode* makeTreeNode(char *word);

treeNode *RandomInsert(treeNode* tree,char *word);

void freeTree(treeNode *tree);

void printPreorder(treeNode *tree);

void printPostorder(treeNode *tree);

void printInorder(treeNode *tree);

int countNodes(treeNode *tree);

int depth(treeNode *tree);

Cài đ t hàm tính s nút và đ sâu c a cây

int countNodes(treeNode *tree) {

/* the function counts the number of nodes of a tree*/

if( tree == NULL ) return 0;

int depth(treeNode *tree) {

/* the function computes the depth of a tree */

if( tree == NULL ) return 0;

Duy t cây nh phân

• Duy t cây nh phân là cách duy t có h th ng các nút c a cây

T ng t cây t ng quát, ta xét ba th t duy t cây nh phân:

– Th m nút (Visit a node),

– Th m cây con trái theo th t tr c (Visit left subtree),

– Th m cây con ph i theo th t tr c (Visit right subtree)

– Th m cây con trái theo th t sau (Visit left subtree),

– Th m cây con ph i theo th t sau (Visit right subtree)

• Th m nút (Visit the node)

• Duy t cây con trái (Traverse the left subtree)

• Duy t cây con ph i (Traverse the right subtree)

void printPreorder(treeNode *tree)

Preorder Traversal

24

7

5

8 10

3

6

9 1

11

2, 4, 7, 1, 9, 3, 6, 5, 10, 8, 11

24

• Duy t cây con trái (Traverse the left subtree)

• Th m nút (Visit the node)

• Duy t cây con ph i (Traverse the right subtree).

void printInorder(treeNode *tree)

Inorder Traversal

24

7

5

8 10

3

69

1

11

1, 7, 9, 4, 6, 3, 2, 10, 5, 11, 8

24

Duy t theo th t sau - LRN

Postorder Traversal

• Duy t cây con trái (Traverse the left subtree)

• Duy t cây con ph i (Traverse the right subtree)

• Th m nút (Visit the node).

void printPostorder(treeNode *tree)

7

5

8 10

3

69

1

11

1, 9, 7, 6, 3, 4, 10, 11, 8, 5, 2

24

Ví d : Duy t cây nh phân

• Chú ý: Ta có th xây d ng đ c cây nh phân mà th t tr c và

th t gi a ho c th t sau và th t gi a là nh nhau; nh ng không

th có cây nh phân mà th t tr c và th t sau là nh nhau

struct Tnode * left;

struct Tnode *right;

};

typedef struct Tnode treeNode;

treeNode* makeTreeNode(char *word);

treeNode *RandomInsert(treeNode* tree,char *word);

void freeTree(treeNode *tree);

void printPreorder(treeNode *tree);

void printPostorder(treeNode *tree);

void printInorder(treeNode *tree);

int countNodes(treeNode *tree);

int depth(treeNode *tree);

printf("The tree in preorder:\n"); printPreorder(randomTree);

printf("The tree in postorder:\n"); printPostorder(randomTree);

printf("The tree in inorder:\n"); printInorder(randomTree);

printf("The number of nodes is: %d\n",countNodes(randomTree));

printf("The depth of the tree is: %d\n", depth(randomTree));

G n ng u nhiên nút m i vào cây

treeNode *RandomInsert(treeNode *tree,char *word){

struct Tnode * left;

struct Tnode *right;

};

typedef struct Tnode treeNode;

treeNode* makeTreeNode(char *word);

treeNode *RandomInsert(treeNode* tree,char *word);

void freeTree(treeNode *tree);

void printPreorder(treeNode *tree);

void printPostorder(treeNode *tree);

void printInorder(treeNode *tree);

int countNodes(treeNode *tree);

int depth(treeNode *tree);

printf("The number of nodes is: %d\n",countNodes(randomTree));

printf("The depth of the tree is: %d\n", depth(randomTree));

4.3.1 Cây bi u th c

An application of binary trees:

Binary Expression Trees

3 Các cây con trái và ph i c a nút phép toán bi u di n các bi u th c con ( subexpressions ) c n đ c th c

hi n tr c khi th c hi n phép toán g c c a các cây con.

• M c (đ sâu) c a các nút trên cây cho bi t trình t

th c hi n chúng (ta không c n s d ng ngo c đ ch

• Duy t cây bi u th c theo th t tr c (Preorder)

– Cho ta ký pháp ti n t (Prefix Notation)

• Duy t cây bi u th c theo th t gi a (Inorder)

– Cho ta ký pháp trung t (Infix Notation)

• Duy t cây bi u th c theo th t sau (Postorder)

– Cho ta ký pháp h u t (Postfix Notation)

– Mã hoá với độ dài cố định (fixed length code) Dễ mã

hoá cũng như dễ giải mã, nhưng lại đòi hỏi bộ nhớ lớn

– Mã phi tiền tố (prefix free code) là cách mã hoá mỗi

ký tự c bởi một xâu nhị phân code(c) sao cho mã của

một ký tự bất kỳ không là đoạn đầu của bất cứ mã

của ký tự nào trong số các ký tự còn lại Tuy đòi hỏi

việc mã hoá và giải mã phức tạp hơn nhưng thông

thường tỏ ra đòi hỏi ít bộ nhớ hơn.

David A Huffman 1925-1999

Mã hoá đ dài c đ nh

đ nh, đ dài c a xâu t i thi u là [log 26] =5 bit

C U TRÚC D LI U VÀ THU T TOÁN

NGUY N C NGH A - B môn KHMT

Cây mã hoá đ dài c đ nh

• Mã hoá đ dài c đ nh là mã phi ti n t

Cây mã hoá Morse

• Mã hoá Morse không là phi ti n t

• Gi i mã “ -” ??? Ch u ch t?

• Ph i có d u phân bi t các ch cái: “ # -”  IU

• Bài toán:Tìm cách mã hoá t i u, t c là tìm cây nh phân T

làm t i thi u hoá t ng đ dài có tr ng s

trong đó depth(c) là đ dài đ ng đi t g c đ n lá t ng ng

c depth c

f T

61 55 41 40

E Char

T A O I N

R H L D

31 27

C U

238 T

81

238 270

126

238 270

238 270

126

238 270

Xây dựng mã Huffman

125 Freq

93 80 76 73 71

61 55 41 40

E Char

T A O I N

R H L D

31 27

C U

65 S

0000 Fixed

0001 0010 0011 0100 0101

0111 1000 1001 1010 1011 1100 0110

110 Huff

011 000 001 1011 1010

1000 1111 0101 0100 11100 11101 1001

<Khởi động P là gốc của cây Huffman>

While <chưa đạt đến kết thúc của B> do

begin

x  bit tiếp theo trong xâu B;

If x = 0 then P  Con trái của P

Else P  Con phải của P

If (P là nút lá ) then begin

<Hiển thị kí hiệu tương ứng với nút lá>

< ặt lại P là gốc của cây Huffman>

end;

end

end;