Bài giảng cấu trúc dữ liệu thuật toán chương 2 nguyễn đức nghĩa

Recursive Step: Gi ng nh trong cây nh phân m r ng... Để đơn giản ta giả thiết rằng chỉ số như vậy là tồn tại... Do đó, nếu gọi hnlà số lần di chuyển đĩa ít nhất, ta có công thức đệ qui

Trang 2

C u trúc d li u và thu t toán - NGUY N C NGH A, B môn KHMT, HBK Hà N i 3

Trang 3

Trang 4

Trang 5

Trang 6

Trang 7

Trang 8

Fractals

fractals là ví d v hình nh đ c

Trang 9

Hàm đ qui (Recursive Functions)

Các hàm đ qui đ c xác đ nh ph thu c vào bi n nguyên không

âm n theo s đ sau:

B c c s (Basic Step): Xác đ nh giá tr c a hàm t i n=0: f(0).

B c đ qui (Recursive Step): Cho giá tr c a f(k), k ≤ n, đ a ra

tính giá tr c a hàm đ qui ta thay th d n theo đ nh ngh a đ qui

đ thu đ c bi u th c v i đ i s càng ngày càng nh cho đ n t n

Trang 10

Trang 11

Nói thêm v Fibonacci

S Fibonacci trong các c u trúc t nhiên

The left and right going spirals are neighboring Fibonacci numbers!

Trang 12

T l vàng (Golden Section)

1 (1 5) 1.6180 2

Trang 13

nh ngh a đ qui c a xâu

Gi s  = b ng ch cái (alphabet).

T p  * các xâu (strings) trên b ng ch cái  đ c đ nh ngh a đ qui nh sau:

Basic step: xâu r ng là ph n t c a  *

Recursive step: n u w thu c  * và x thu c   wx thu c  *

Ví d : T p các xâu nh phân thu đ c khi ={0,1}:

Trang 14

Basic Step: M t nút là cây có g c.

Recursive Step: Gi s T1, ,Tn, là các cây v i g c là r1, rn,

N u ta t o m t g c m i r và n i g c này v i m i m t trong s các g c r1, rn,

b i m t c nh t ng ng, ta thu đ c m t cây có g c m i.

Cây là c u trúc d li u quan tr ng th ng đ c dùng đ t ch c tìm ki m và s p

x p d li u

Trang 15

Cây nh phân (Binary Trees)

Cây nh phân m r ng (Extended Binary Trees):

Basic Step: t p r ng là cây nh phân m r ng.

Recursive Step: N u T1 và T2 là các cây nh phân m r ng, thì cây T1.T2 sau đây c ng là cây nh phân m r ng: ch n m t nút g c m i và g n T1 v i g c

b i m t c nh nh là cây con trái và g n T2nh là cây con ph i.

Basic Step: M t nút là cây nh phân đ y đ

Recursive Step: Gi ng nh trong cây nh phân m r ng

K t qu là chúng ta không th g n cây r ng vào bên trái c ng nh

Trang 16

M t s đ nh ngh a

Ký hi u h(T) là đ cao c a cây nh phân đ y đ nh ngh a đ qui c a h(T):

Basic Step: Chi u cao c a cây T g m duy nh t m t nút g c là h(T)=0.

Recursive Step: N u T1và T2là các cây nh phân đ y đ , thì cây nh phân đ y

đ T = T1.T2có chi u cao h(T) = 1+max(h(T1), h(T2)).

Ký hi u n(T) là s đ nh trong cây Ta có th đ nh ngh a đ qui n(T) nh sau:

Basic Step: S đ nh trong cây T g m duy nh t m t nút g c là n(T) = 1;

Recursive Step: N u T1và T2là các cây nh phân đ y đ , thì s đ nh c a cây

T = T1.T2là n(T) = 1+n(T1)+n(T2).

nh ngh a đ qui và Qui n p

đ ng và là b sung cho nhau nh ngh a đ qui th ng giúp

đ c đ nh ngh a đ qui Ng c l i, các ch ng minh b ng qui

n p toán h c th ng là c s đ xây d ng các thu t toán đ qui đ gi i quy t nhi u bài toán.

Ch ng minh b ng qui n p toán h c th ng bao g m hai ph n:

Trang 17

Trang 18

C u trúc c a thu t toán đ qui

• Thu t toán đ qui th ng có c u trúc sau đây:

Thu t toán RecAlg(input)

end;

Thu t toán chia đ tr

(Divide and conquer)

thu t toán c b n, nó bao g m 3 thao tác

con

bài toán c n gi i

Gi i các bài toán con m t cách đ qui.

Trang 19

C u trỳc d li u và thu t toỏn - NGUY N C NGH A, B mụn KHMT, HBK Hà N i 37

Thu t toỏn chia đ tr

Chia bài toán thành a bài toán con kích thước n/b;

for (mỗi bài toán trong a bài toán con) do D-and-C(n/b);

Tổng hợp lời giải của a bài toán con để thu được lời giải của bài toán gốc;

end;

Thu t toỏn chia đ tr

• Cỏc thụng s quan tr ng c a thu t toỏn:

– n 0 - kớch th c nh nh t c a bài toỏn con (cũn g i là neo đ qui) Bài toỏn con v i kớch th c n 0 s đ c gi i tr c ti p.

– a - s l ng bài toỏn con c n gi i

Trang 20

– S p x p m i dãy con m t cách đ qui s d ng s p x p tr n

– Khi dãy ch còn m t ph n t thì tr l i ph n t này

• T h p (Combine)

– Tr n (Merge) hai dãy con đ c s p x p đ thu đ c dãy đ c s p x p

g m t t c các ph n t c a c hai dãy con

Merge Sort

MERGE-SORT (A, p, r)

Trang 21

Ví d – n là lu th a c a 2

1 2 3 4 5 6 7 8

q = 4

6 2 3 1 7 4 2 5

1 2 3 4

7 4 2 5

5 6 7 8

6 2 3 1

1 2

2 5

3 4

7 4

5 6

3 1

7 8

6 2

1 2 3 4

7 5 4 2

5 6 7 8

6 3 2 1

Trang 22

Ví d – n không là lu th a c a 2

6 2 5 3 7 4 1 6 2 7 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

q = 6

4 1 6 2 7 4

1 2 3 4 5 6

6 2 5 3 7

7 8 9 10 11

q = 9

q = 3

2 7 4

1 2 3

4 1 6

4 5 6

5 3 7

7 8 9

6 2

10 11

7 4

1 2

2

3

1 6

4 5

4

6

3 7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

7 6 4 4 2 1

1 2 3 4 5 6

7 6 5 3 2

7 8 9 10 11

7 4 2

1 2 3

6 4 1

4 5 6

7 5 3

7 8 9

6 2

10 11

Trang 23

Tr n (Merging)

• u vào: M ng A và các ch s p, q, r sao cho p ≤ q < r

– Các m ng con A[p q] và A[q + 1 r] đã đ c s p x p

• u ra: M ng con đ c s p x p A[p r]

1 2 3 4 5 6 7 8

6 3 2 1 7 5 4 2

Trang 24

Trang 25

Trang 26

Trang 27

Trang 28

Lính canh

Ví d : MERGE(A, 9, 12, 16)

Trang 29

Ví d (ti p)

Trang 30

1 2 3 4 5 6 7 8

6 3 2 1 7 5 4 2

Trang 31

Trang 32

Cài đ t các thu t toán đ qui

Trang 33

Ho t đ ng c a Fact(5) int Fact(int n){

Trang 34

Trang 35

Trang 36

Trang 37

Trang 38

Trang 39

if (n==0) return 1;

else return n*Fact(n-1);

}

Return 5! = 120

Trang 40

Bài toán: Cho mảng số x[1 n] được sắp xếp theo thứ tự không giảm

và số y Cần tìm chỉ số i (1  i  n) sao cho x[i] = y

Để đơn giản ta giả thiết rằng chỉ số như vậy là tồn tại Thuật toán để giải bài toán được xây dựng dựa trên lập luận sau: Số y cho trước

– hoặc là bằng phần tử nằm ở vị trí ở giữa mảng x

– hoặc là nằm ở nửa bên trái (L) của mảng x

– hoặc là nằm ở nửa bên phải (R) của mảng x.

Trang 41

boolean binary_search_2(int* a, int n, int x) {

/* Test xem x có m t trong m ng a[] kích th c n */

int i;

if (n > 0) {

i = n / 2;

if (a[i] == x)

Trang 42

Tìm ki m nh phân

(xét c tr ng h p không tìm th y)

function Bsearch(x[1 n], start, finish) {

middle:= (start+finish)/2;

if (start=finish) { /* Base step */

if (x[middle]=y) return middle

else return notFound ;

sau: “Có 3 c c a, b, c Trên c c a có m t ch ng g m n cái đ a

đ ng kính gi m d n t d i lên trên C n ph i chuy n ch ng

đ a t c c a sang c c c tuân th qui t c: m i l n ch chuy n 1

đ a và ch đ c x p đ a có đ ng kính nh h n lên trên đ a có

đ ng kính l n h n Trong quá trình chuy n đ c phép dùng

c c b làm c c trung gian”

Trang 43

•Có 3 c c và m t ch ng đ a đ c s p x p theo th t đ ng kính

gi m d n t d i lên trên c c A.

3 2 1

Tower of Hanoi - Tr ng thái k t thúc

Trang 44

kính l n h n

3 2

M c ích: S d ng ít l n di chuy n a nh t

Trang 45

Trang 46

Trang 47

– Chuy n đ a 1 và 2 sang B (đ qui)

3

2 1

– Chuy n đ a 1 và 2 sang B (đ qui)

 Sau đó chuy n đ a 3 sang C

Trang 48

Trang 49

3 2 1

Bài toán tháp Hà n i

quy t bài toán đ t ra

Trang 50

Bài toỏn thỏp Hà n i

• Bước (i) và (iii) đòi hỏi giải bài toán tháp Hà nội với n-1 đĩa, vì vậy số lần

di chuyển đĩa ít nhất cần thực hiện trong hai bước này là 2hn-1 Do đó, nếu

gọi hnlà số lần di chuyển đĩa ít nhất, ta có công thức đệ qui sau:

Trang 51

move (1, start, finish, spare);

move (n-1, spare, finish, start);

} }

Tower of Hanoi Example, n=5

Trang 52

Phân tích thu t toán đ qui

• phân tích thu t toán đ qui ta th ng ti n hành nh sau: – G i T(n) là th i gian tính c a thu t toán

– Xây d ng công th c đ qui cho T(n).

– Gi i công th c đ qui thu đ c đ đ a ra đánh giá cho T(n)

• Nói chung ta ch c n m t đánh giá sát cho t c đ t ng c a T(n)

nên vi c gi i công th c đ qui đ i v i T(n) là đ a ra đánh giá

Trang 53

Trang 54

Phân tích th i gian c a thu t toán chia đ tr

• G i T(n) – th i gian gi i bài toán kích th c n

• Th i gian c a chia đ tr đ c đánh giá d a trên đánh giá th i gian th c hi n 3 thao tác c a thu t toán:

– Chia bài toán ra thành a bài toán con, m i bài toán kích th c n/b: đòi h i th i gian: D(n)

– Tr (gi i) các bài toán con: aT(n/b)

Chia bài toán thành a bài toán con kích th c n/b;

for (m i bài toán trong b bài toán con) do D-and-C(n/b);

T ng h p l i gi i c a a bài toán con đ thu đ c l i gi i c a bài toán g c;

Trang 55

Gi i công th c đ qui: nh lý th rút g n

c a dãy s tho mãn công th c đ qui d ng

Trang 56

Trang 57

Phân tích Bsearch

• G i T(n) là th i gian tính c a vi c th c hi n Bsearch(x[1 n],1,n), ta có

T(1) = c T(n) = T(n/2) + d trong đó c và d là các h ng s

else /* y>x[m] */

return Bsearch(x,m+1,f) }

}

Phân tích thu t toán tính C(n,k)

• Xét thu t toán đ qui đ tính h s nh th c C(n,k):

int C(int n, int k){

if ((k==0)||(k==n)) return 1;

else return C(n-1,k-1)+C(n-1,k);

}

Trang 58

• S d ng k thu t này, trong nhi u tr ng h p, ta gi

Trang 59

Bài toán con trùng l p

• Nh n th y là trong các thu t toán đ qui là m i khi

c n đ n l i gi i c a m t bài toán con ta l i ph i tr nó

m t cách đ qui Do đó, có nh ng bài toán con b gi i

Bài toán con trùng l p trong vi c tính C(5,3)

C(5,3)

C(3,3) C(3,2)

C(3,2) C(3,1)

C(4,3) C(4,2)

Trang 60

Bài toán con trùng l p khi tính FibRec(4)

Trang 61

qui có nh

rút ng n th i gian tính c a thu t toán, b i vì, m i khi c n đ n

đ c gi i tr c đó.

đ c ghi nh n vào D[n,k] Nh v y, n u D[n,k]>0 thì đi u đó

Trang 62

2.6 Ch ng minh tính đúng đ n c a thu t toán đ qui

Ch ng minh tính đúng đ n c a thu t toán đ qui

• ch ng minh tính đúng đ n c a thu t toán đ qui thông th ng ta

s d ng qui n p toán h c.

• Ng c l i ch ng minh b ng qui n p c ng th ng là c s đ xây

d ng nhi u thu t toán đ qui

• Ta xét m t s ví d minh ho

Trang 63

Ví d 1

• Ví d 1 Ch ng minh hàm Fact(n) cho ta giá tr c a n!

– C s qui n p Ta có Fact(0) = 1 = 0!

– Chuy n qui n p Gi s Fact(n-1) cho giá tr c a (n-1)!, ta

ch ng minh Fact(n) cho giá tr c a n! Th c v y, l nh Fact(n) s tr l i giá tr

n*Fact(n-1) = (theo gi thi t qui n p) = n*(n-1)! = n!

Xét hàm trên Pascal sau đây

function Count(x: integer): integer;

begin

if x=0 then

Trang 64

else return (x % 2 + Count(x /2));

ph i s d ng bao nhiêu màu đ tô các ph n b chia b i các

đ ng th ng này sao cho không có hai ph n có chung c nh

• P(n): Luôn có th tô các ph n đ c chia b i n đ ng th ng v

v trí t ng quát b i 2 màu xanh và đ sao cho không có hai

ph n có chung c nh nào b tô b i cùng m t màu.

Trang 65

Ví d 3

• C s qui n p Khi n = 1, m t ph ng đ c chia làm hai ph n,

m t ph n s tô màu xanh, ph n còn l i tô màu đ

minh kh ng đ nh đúng v i n.

n p có th tô màu các ph n sinh ra b i hai màu tho mãn đi u

Trang 66

Trang 67

Trang 68

• P(n): Luôn có th x p n đ i tr ng ra thành m t hàng ngang

sao cho ngo i tr hai ng i đ ng hai mép, m i ng i trong hàng luôn đ ng c nh m t đ i tr ng c a đ i th ng đ i mình

Trang 69

Ví d 5

gi thi t qui n p, luôn có th x p h ra thành hàng ngang tho

Trang 70

Trang 71

THU T TOÁN QUAY LUI

Định dạng
Số trang	96
Dung lượng	33,77 MB