Bài giảng cấu trúc dữ liệu thuật toán chương 7 nguyễn đức nghĩa

Trang 1

3 Các thu t toán duy t đ th

Thu t toán tìm ki m theo chi u sâu, Thu t toán tìm ki m theo chi u r ng

4 M t s ng d ng c a tìm ki m trên đ th

Bài toán đ ng đi, Bài toán liên thông,

th không ch a chu trình và bài toán s p x p tôpô, Bài toán tô màu đ nh đ th

5 Bài toán cây khung nh nh t

Thu t toán Kruscal, C u trúc d li u bi u di n phân ho ch,

6 Bài toán đ ng đi ng n nh t

Thu t toán Dijkstra, Cài đ t thu t toán v i các c u trúc d li u

Trang 2

 Các c nh th hi n đ ng bay n i hai sân bay

 Các s trên c nh có th là chi phí (th i gian, kho ng cách)

VINNHT

HAP

BKK

HCMHAN

Trang 6

 nh n s c nh / get number of edges

 nh n s đ nh / get number of vertices

 cho bi t đ th là có h ng hay vô h ng / tell whether graph

Trang 7

Vi c l a ch n cách bi u di n ph thu c vào t ng bài toán c

th c n xét, t ng thu t toán c th c n cài đ t

Có hai v n đ chính c n quan tâm khi l a ch n cách bi u

Trang 8

 Dòng toàn không ~đ nh cô l p.

 M[i, i] = 1  khuyên (self-loop)

Trang 9

trong đó  là giá trị đặc biệt để chỉ ra một cặp (i,j) không là

cạnh, tuỳ từng trường hợp cụ thể, có thể được đặt bằng mộttrong các giá trị sau: 0, +, -

( , ), nếu ( ) [ , ]

4

3

5 8

6

8

6 7

2 3

5 3 68

6

2 78

Trang 10

w w v y u

v w x y z t

b e b

b f

c a

b c d e f

Trang 11

 Th i gian tr l i các truy v n:

 Li t kê các đ nh k c a v: O(<s đ nh k >) (t t h n ma tr n k )

 Hai đ nh i, j có k nhau? Tìm ki m trên danh sách:

(degree(u)) ánh giá trong tình hu ng t i nh t là O(|V |) => không

Trang 12

3

5 8

6

8

6 7

2 3

Adjacency Matrix

Trang 13

 Xây d ng các thu t toán kh o sát các tính ch t c a đ th ;

 Là thành ph n c b n c a nhi u thu t toán.

C n xây d ng thu t toán hi u qu đ th c hi n vi c duy t đ

th Ta xét hai thu t toán duy t c b n:

 Tìm ki m theo chi u r ng (Breadth First Search – BFS)

 Tìm ki m theo chi u sâu (Depth First Search – DFS)

Trang 14

Ý t ng chung

Trong quá trình th c hi n thu t toán, m i đ nh m t trong

ba tr ng thái:

 Ch a th m (th hi n b i màu tr ng),

 ã th m nh ng ch a duy t xong (th hi n b i màu xám)

 ã duy t xong (th hi n b i màu đen).

Quá trình duy t đ c b t đ u t m t đ nh v nào đó Ta s

Thu t toán tìm ki m theo chi u r ng

(BFS algorithm)

Trang 15

 Xám (Gray) – đã th m nh ng ch a duy t xong.

 en (Black) – đã duy t xong

Trang 16

Thu t toán tìm ki m theo chi u r ng trên đ th G

C F

Ví d : Th c hi n BFS(A)

32 Nguy n c Ngh a - B môn KHMT HBKHN

Trang 17

J H

C F

Q = {A}

I

J H

C F

Q = {B,F}

Trang 18

J H

C F

Q = {F,C,J}

I

J H

C F

Q = {C,J,E,I}

Trang 19

J H

C F

Q = {J,E,I,H}

I

J

H

C F

Q = {E,I,H}

Trang 20

J

H

C F

Q = {I,H}

I

J

H

C F

Q = {H}

Trang 21

J

H

C F

Q = {} K t thúc BFS(A)

Trang 22

Cây tìm ki m theo chi u r ng (Breadth-first Tree)

E

Trang 24

Tìm ki m theo chi u sâu

Input: G = (V, E) - đ th vô h ng ho c có h ng

Output: V i m i v  V

 d[v] = th i đi m b t đ u th m (v chuy n t màu tr ng sang xám)

 f [v] = th i đi m k t thúc th m (v chuy n t màu xám sang đen)

f[u]  time  time + 1

Trang 25

Thu t toán tìm ki m theo chi u sâu trên đ th G

Trang 28

4/5 3/6

Trang 31

4/5 3/6

Trang 32

Các kho ng th i gian th m [d[v], f[v]] c a các đ nh có c u

trúcl ng nhau (parenthesis structure).

Trang 33

C u trúc l ng nhau (parenthesis structure)

nh lý V i m i u, v, ch có th x y ra m t trong các tình

hu ng sau:

1 d[u] < f [u] < d[v] < f [v] ho c d[v] < f [v] < d[u] < f [u] (ngh a là hai kho ng th i gian th m c a u và v là d i nhau)

và khi đó u và v là không có quan h t tiên – h u du

2 d[u] < d[v] < f [v] < f [u] (ngh a là kho ng th i gian th m

c a v là l ng trong kho ng th i gian th m c a u) và khi đó v

là h u du c a u.

3 d[v] < d[u] < f [u] < f [v] (ngh a là kho ng th i gian th m

c a u là l ng trong kho ng th i gian th m c a v) và khi đó u

là h u du c a v.

Ví d

Trang 34

 C nh t i (Forward edge): đi t t tiên đ n h u du

 C nh vòng (Cross edge): c nh n i hai đ nh không có

quan h h hàng

Trang 35

Nh n bi t các lo i c nh

nh n bi t c nh (u, v) thu c lo i c nh nào, ta d a vào màu

c a đ nh v khi l n đ u tiên c nh (u, v) đ c kh o sát C th ,

n u màu c a đ nh v là

 Tr ng, thì (u,v) là c nh c a cây;

 Xám, thì (u,v) là c nh ng c;

 en, thì (u,v) là c nh t i ho c vòng Trong tr ng h p này đ phân

bi t c nh t i và c nh vòng ta c n xét xem hai đ nh u và v có quan h

h hàng hay không nh s d ng k t qu c a đ nh lý v c u trúc l ng nhau.

 Gi s (u,v)E Không gi m t ng quát gi s d[u] < d[v] Khi đó v

ph i tr thành đã duy t xong tr c khi u tr thành đã duy t xong.

 N u (u,v) đ c kh o sát l n đ u tiên theo h ng uv, thì tr c th i

đi m kh o sát v ph i có màu tr ng, và do đó (u,v) là c nh c a cây.

 N u (u,v) đ c kh o sát l n đ u tiên theo h ng vu, u ph i có màu

xám t i th i đi m kh o sát c nh này và do đó nó là c nh ng c.

Trang 36

4 M t M t ss ng ng d ng d ng c a c a tìm tìm ki m ki m trên trên đđ th th

Các ng d ng c a DFS và BFS

Các thu t toán tìm ki m trên đ th BFS và DFS

đ c ng d ng đ gi i nhi u bài toán trên đ th ,

ch ng h n nh

 Tìm đ ng đi gi a hai đ nh s và t c a đ th ;

 Ki m tra tính liên thông, liên thông m nh c a đ th ;

 Xác đ nh các thành ph n liên thông, song liên thông, liênthông m nh;

 Tính hai phíac a đ th ;

 Tínhph ng c a đ th



Trang 37

Bài toán đ ng đi

Bài toán đ t ra là: "Cho đ th G=(V,E) và hai đ nh s, t c a nó H i

có t n t i đ ng đi t s đ n t hay không? Trong tr ng h p câu tr

N u t không đ c th m, ta kh ng đ nh là không có đ ng đi c n tìm.

Chú ý: ng đi tìm đ c t s đ n t theo BFS_Visit(s) là đ ng đi

ng n nh t (theo s c nh).

Bài toán liên thông

ki m tra xem đ th G có ph i liên thông hay không N u G

không là liên thông, c n đ a ra s l ng thành ph n liênthông và danh sách các đ nh c a t ng thành ph n liên thông

gi i bài toán này, ta ch vi c th c hi n DFS(G) (ho cBFS(G)) Khi đó s l n g i th c hi n BFS_Visit()(DFS_Visit()) s chính là s l ng thành ph n liên thông c a

đ th Vi c đ a ra danh sách các đ nh c a t ng thành ph nliên thông s đòi h i ph i đ a thêm vào bi n ghi nh n xem

m i đ nh đ c th m l n g i nào trong BFS(G) (DFS(G))

Trang 38

Bài toán liên thông m nh

Hãy ki m tra xem đ th G có ph i liên thông m nh hay

không?

K t qu sau đây cho phép qui d n bài toán c n gi i v bàitoán đ ng đi

và ch khi luôn tìm đ c đ ng đi t m t đ nh v đ n t t c

ng c h ng c a t t c các cung.

D th y n u A là ma tr n k c a G thì ma tr n chuy n v AT là ma tr n k c a GT (đi u này gi i thích tên g i đ th chuy n v ).

Trang 39

Thu t toán ki m tra tính liên thông m nh

đ nh u không đ c th m thì G không liên thông

m nh, n u trái l i G là liên thông m nh.

th không ch a chu trình

• Bài toán: Cho đ th G=(V,E) H i G có ch a chu trình hay không

• M nh đ th G là không ch a chu trình khi và ch khi DFS th c hi n

đ i v i G không phát hi n ra c nh ng c.

• Ch ng minh

 ) N u G không ch a chu trình thì không th có c nh ng c Hi n nhiên:

b i vì s t n t i c nh ng c kéo theo s t n t i chu trình.

 ) Taph i ch ng minh: N u không có c nh ng c thì G là á chu trình Ta

ch ng minh b ng l p lu n ph n đ : G có chu trình   c nh ng c G i v là

đ nh trên chu trình đ c th m đ u tiên, và u là đ nh đi tr c v trên chu trình Khi vđ c th m, các đ nh khác trên chu trình đ u là đ nh tr ng.Ta ph i th m

đ c t t c các đ nh đ t đ c t v tr c khi quay tr l i t DFS-Visit() Vì

th c nh uv đ c duy t t đ nh u v t tiên v c a nó, vì th (u, v) là c nh

ng c.

Trang 40

Bài toán s p x p tôpô (Topological Sort)

Bài toán đ t ra là: Cho đ th có h ng không có chu trình G= (V, E).

Hãy tìm cách s p x p các đ nh sao cho n u có c nh (u,v) thì u ph i đi

 Khi cung (u,v) đ c kh o sát, thì u có màu xám Khi đó v

có th có m t trong 3 màu: xám, tr ng, đen

 N u v có màu xám  (u,v) là c nh ng c  T n t i chu

Trang 41

Thu t toán s p x p tôpô

Thu t toán có th mô t v n t t nh sau:

Th c hi n DFS(G), khi m i đ nh đ c duy t xong

ta đ a nó vào đ u danh sách liên k t (đi u đó có ngh a là nh ng đ nh k t thúc th m càng mu n s càng g n đ u danh sách h n).

Danh sách liên k t thu đ c khi k t thúc DFS(G) s cho ta th t c n tìm.

Thu t toán s p x p tôpô

TopoSort(G)

1 for uV color[u] = white; // kh i t o

2 L = new(linked_list); // kh i t o danh sách liên k t r ng L

3 if (color[v] == white) TopVisit(v);

4 N p u vào đ u danh sách L // uđã duy t xong

}

Th i gian tính c a TopoSort(G) là O(|V|+|E|).

Trang 42

Ví d

th G DFS(G) Th t tôpô

Thu t toán xoá d n đ nh

M t thu t toán khác đ th c hi n s p x p tôpô đ c xây d ng d a trên m nh đ sau

Trang 43

T m nh đ ta suy ra thu t toán xoá d n đ nh đ th c

hi n s p x p tôpô sau đây:

 Tho t tiên, tìm các đ nh có bán b c vào b ng 0 Rõ ràng ta

có th đánh s chúng theo m t th t tu ý b t đ u t 1

 Ti p theo, lo i b kh i đ th nh ng đ nh đã đ c đánh scùng các cung đi ra kh i chúng, ta thu đ c đ th m i

Trang 44

Ví d Th c hi n thu t toán xoá d n đ nh đ i v i đ th

f

c h

ánh s a b i 1Xoá các cung đi ra kh i a

Trang 45

f

c h

ánh s f b i 2Xoá các cung đi ra kh i f

f

c h

1 2 nh e và j có deg-(e)= deg-(j) = 0

ánh s e và j theo th t tu ý

b i 3 và 4Xoá các cung đi ra kh i e và j

Trang 46

f

c h

nh i và g có deg-(i)= deg-(g) = 0ánh s i và g theo th t tu ý

b i 5 và 6Xoá các cung đi ra kh i i và g

f

c h

b i 7, 8 và 4Xoá các cung đi ra kh i b, d và h

Trang 47

f

c h

BAO ÓNG TRUY N NG

Transitive Closure

Trang 48

E* = {(u,v)| có đ ng đi t u đ n v trên G}

Bài toán: Cho đ th có h ng G, tìm bao đóng truy n ng G*

0

3

45

0

3

45

M nh đ Thu t toán tìm đ c bao đóng truy n ng v i th i gian O(|V|3 ).

CM: Ta ch ng minh thu t toán tìm đ c bao đóng truy n ng b ng qui n p.

 L n l p 1: Ma tr n có 1 v trí (s,t) iff có đ ng đi s-t ho c s-0-t

 L n l p th i: Gán ph n t v trí (s,t) giá tr 1 iff có đ ng đi t s đ n t trong

đ th không ch a đ nh v i ch s l n h n i (ngo i tr hai mút)

 L n l p th i+1

 N u có đ ng đi t s đ n t không ch a đ nh có ch s l n h n i – A[s,t] đã có giá

tr 1

 N u có đ ng đi t s đ n i+1 và đ ng đi t i+1 đ n t, và c hai đ u không ch a

đ nh v i ch s l n h n i (ngo i tr hai mút) thì A[s,t] đ c gán giá tr 1

Nguy n c Ngh a - B môn KHMT HBKHN

Trang 49

Thu t toán Warshall c i ti n

Ta có th c i ti n thu t toán b ng cách b sung thêm câu l nh

Trang 51

2

Trang 52

Thu t toán Kruskal

Thu t toán s xây d ng t p c nh E T c a cây khung nh nh t

T = (V, E T) theo t ng b c

Tr c h t s p x p các c nh c a đ th G theo th t không

gi m c a đ dài

B t đ u t t p E T = , m i b c ta s l n l t duy t trongdanh sách c nh đã s p x p, t c nh có đ dài nh đ n c nh

có đ dài l n h n, đ tìm ra c nh mà vi c b sung nó vào t p

E T không t o thành chu trình trong t p này

Thu t toán s k t thúc khi ta thu đ c t p E T g m n-1 c nh.

Trang 53

Cài đ t thu t toán Kruskal

Có 2 thao tác đòi h i nhi u tính toán nh t trong 1

b c l p c a thu t toán Kruskal:

gi m c a đ dài. i v i đ th có m c nh, b c này đòi h i th i gian

O(m log m) Khi đó trong b c l p vi c ch n c nh l n nh t đòi h i th i

gian O(1).

Tuy nhiên, đ xây d ng cây khung nh nh t v i n-1 c nh, nói chung,

th ng ta ch ph i xét p < m c nh Do đó thay vì s p x p toàn b dãy

c nh ta s s d ng heap-min:

 t o đ ng đ u tiên ta m t th i gian O(m),

 Vi c vun l i đ ng sau khi l y ra ph n t nh nh t g c đòi h i th i

gian O(log m).

 Suy ra thu t toán s đòi h i th i gian O(m+p log m) cho vi c s p x p

các c nh Trong vi c gi i các bài toán th c t , s p th ng nh h n

r t nhi u so v i m.

Trang 54

Ki m tra: T p E T  {e} có ch a chu trình hay không?

Ký hi u E* =E T  {e}

Vi c này có th th c hi n nh s d ng thu t toán ki m tra xem

đ th G=(V,E*) có ch a chu trình hay không đã trình bày

trong m c tr c Th i gian c n thi t là O(n), trong đó n = |V|.

V i nh ng đ xu t v a nêu ta thu đ c cài đ t thu t toánKruskal v i th i gian

O(m+m log m) + O(n.m) = O(nm + m log m)

Chú ý: Có cách th c hi n khác d a trên c u trúc d li u các

t p không giao nhau đ th c hi n thao tác ki m tra t p E T 

{e} có ch a chu trình hay không?

C u trúc d li u cho thu t toán Kruskal

B sung c nh (u, v) vào E T có t o thành chu trình?

• M i thành ph n c a T (đang xây d ng) là m t cây.

• Khi u và v thu c cùng m t thành ph n liên thông thì vi c b

sung (u,v) s t o thành chu trình.

• Khi u và v thu c các thành ph n liên thông khác nhau thì vi c

b sung (u,v) s không t o thành chu trình.

Trang 55

• Khi c nh (u, v) đ c b sung vào T, hai thành ph n ch a u và

Trang 56

112

C u trúc d li u các t p không giao nhau

( Disjoint-set Data Structures)

V n đ đ t ra là: Cho t p V g m n ph n t , ta c n xây d ng

c u trúc d li u bi u di n phân ho ch t p V ra thành các t p con V1, V2, …, V k h tr th c hi n hi u qu các thao tác sau:

 Makeset(x): T o m t t p con ch a duy nh t ph n t x.

 Union(x, y): Thay th các t p V i và V j (trong đó x  V i

và y  V j ) b i t p V i  V jtrong phân ho ch đang xét

 Find(x): Tìm tên r(V i) c a t p V i ch a ph n t x.

Nh v y, Find(x) và Find(y) tr l i cùng m t giá tr khi và

ch khi x và y thu c cùng m t t p con trong phân ho ch.

C u trúc d li u đáp ng yêu c u này có tên là c u trúc d

li u Union-Find (ho c Disjoint-set data structure)

Trang 57

Trang 58

}

Th i gian: O(h)

Trang 59

Phân tích đ ph c t p

Có th th y th i gian tính c a hàm Find(x) ph thu c vào

đ cao c a cây ch a x Trong tr ng h p cây có k đ nh và

có d ng nh m t đ ng đi thì đ cao c a cây s là k- 1.

Trang 60

Li u có cách nào đ gi m đ cao c a các cây con?

Có m t cách th c hi n r t đ n gi n: Khi n i hai cây chúng ta s đi u ch nh con tr c a g c c a cây con có ít đ nh h n, ch không th c hi n vi c

n i m t cách tu ti n.

ghi nh n s ph n t c a m t cây chúng ta s

s d ng thêm bi n Num[v] ch a s ph n t c a cây con v i g c t i v.

u:= Find(x); // Tìm u là g c c a cây con ch a x

v:= Find(y); // Tìm u là g c c a cây con ch a y

Trang 61

CM Qui n p theo s đ nh c a cây.

T b đ suy ra các thao tác Find và Union đ c

Trang 62

Phân tích th i gian tính

Thu t toán Kruskal s d ng c u trúc d li u Union-Find

Dòng 1-3 (kh i t o): O(|V|)

Dòng 4 (s p x p): O(|E| log |E|)

Dòng 6-8 (các thao tác v i phân ho ch): O(|E| log |E|)

T ng c ng: O(|E| log |E|)

Trang 63

Phát bi u bài toán

nh ngh a Cho đ th có h ng G = (V, E) v i tr ng s trên c nh c(e),

e E Gi s s, tV và P(s, t) là đ ng đi t s đ n t trên đ th

P(s,t): s = v0, v1, …., v k-1 , v k = t.

Ta g i đ dài c a đ ng đi P(s,t) là t ng tr ng s trên các cung c a nó,

t c là n u ký hi u đ dài này là  (P(s,t)) , thì theo đ nh ngh a

Có 3 d ng bài toán đ ng đi ng n nh t c b n

 Bài toán 1) Tìm đ ng đi ng n nh t gi a 2 đ nh cho tr c.

 Bài toán 2) Tìm đ ng đi ng n nh t t m t đ nh ngu n s đ n t t c các đ nh còn l i.

 Bài toán 3) Tìm đ ng đi ng n nh t gi a hai đ nh b t kì.

Các bài toán đ c d n ra theo th t t đ n gi n đ n ph c

t p h n

N u ta có thu t toán đ gi i m t trong ba bài toán thì thu ttoán đó c ng có th s d ng đ gi i hai bài toán còn l i

Định dạng
Số trang	70
Dung lượng	28,85 MB