Sự dao động của hệ phương trình vi phân có đối số lệch

Các tác giả nghiên cứu sự dao động nghiệm của hệ phương trình vi phân có đối số lệch theo hướng bắt đầu từ hệ phương trình vi phân có đối số lệch tuyến tính trên cơ sở phương trình đặc t

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

• Thầy Hướng Dẫn:

Phó Giáo sư - Tiến sĩ : Lê Hoàn Hóa

Khoa Toán-Tin học

Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

• Thầy Phản Biện 1:

Tiến sĩ : Nguyễn Anh Tuấn

Khoa Toán-Tin học

Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

• Thầy Phản Biện 2:

Tiến sĩ : Nguyễn Thành Long

Khoa Toán-Tin học

Trường Đại học Tự Nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

• Người Thực Hiện:

Võ Văn Cường

Trường Cao Đẳng Sư phạm Kiên Giang

LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ Hồ CHÍ MINH

L ỜI CẢM ƠN

Xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS.Lê Hoàn Hóa, khoa Toán-Tin học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Người đã dạy dỗ, động viên, giúp đỡ tôi học tập trong thời gian học cao học

và đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn quí thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian quí báu đọc, góp ý và phản biện cho luận văn

Xin chân thành cảm ơn quí thầy cô trong khoa Toán-Tin học hai trường, Trường Đại học SP Tp.HCM và Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Tp.HCM đã tận tình dạy dỗ và truyền đạt kiến thức cho tôi

Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiên khoa Toán-Tin học, Phòng Quản lý KHSĐH Trường Đại học SP Tp.HCM đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tại trường

Xin chân thành cảm ơn BGH và Hội đồng Giáo viên Trường CĐSP Kiên Giang, những người đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học

Cuối cùng tôi xin tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn hữu và đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Thành phố Hồ Chí Minh 2003

Võ Văn Cường.

M ỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 4

MỤC LỤC 5

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 6

MỞ ĐẦU 7

Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM DUY NHẤT CUA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ ĐỐI SỐ LỆCH 9

1.1 Lý thuyết cơ bản về sự tồn tại nghiệm duy nhất 9

1.2 Tính bị chặn theo hàm mũ của nghiệm 18

1.3 Biến đổi Laplace 20

1.4 M ột số kết quả về sự dao động của phương trình tuyến tính đổi số lệch vô hướng 22

Chương 2 : SỰ DAO ĐỘNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ ĐỐI SỐ LỆCH 26

2.1 Điều kiện cần và đủ cho sự dao động của hệ phương trình tuyến tính autonomous 27

2.2 Điều kiện tường minh cho dao động và không dao động của hệ tuyến tính autonomous 30

2.3 Điều kiện đủ cho sự dao động của hệ phương trình tuyến tính non autonomous 40

2.4 Sự dao động của hệ phương trình vi phân đối số lệch Logistic 45

Chương 3: SỰ DAO ĐỘNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG HÒA CÓ ĐỐI SÔ LỆCH 56

3.1 Điều kiện cần và đủ cho sự dao động của hệ phương trình vi phân trung hòa 56

3.2 Điều kiện tường minh cho sự dao động của hệ phương trình trung hòa 59

KẾT LUẬN 65

TÀI LIỆU THAM KHẢO 66

DANH M ỤC CÁC KÝ HIỆU

M Ở ĐẦU

Lý thuyết dao động nghiệm của hệ phương trình vi phân có đối số lệch được nghiên cứu rầm rộ trong những năm 80 trở lại đây Càng ngày người ta càng thấy nó có nhiều ứng dụng trong thực tế Đặc biệt trong các lĩnh vực: Vật lý, Sinh học, Sinh lý học, Sinh thái học

Đóng góp nhiều cho lĩnh vực này phải kể đến là Gyori, Ferreira, Arino, Gopalsamy và Ladas Các tác giả nghiên cứu sự dao động nghiệm của hệ phương trình vi phân có đối số lệch theo hướng bắt đầu từ hệ phương trình vi phân có đối số lệch tuyến tính trên cơ sở phương trình đặc trưng của nó Từ

đó với các hệ phương trình cụ thể trong thực tế sẽ được xét dựa vào hệ phương trình tuyến tính hóa của

nó (linearized equation) Chính sự thú vị theo hướng nghiên cứu này đã thu hút chúng tôi nghiên cứu

hệ phương trình vi phân có đối số lệch theo hướng đó Tuy nhiên ở cấp độ của một luận văn Thạc sĩ và

ở trình độ còn nhiều hạn chế của tác giả, chúng tôi chỉ tập trung vào nghiên cứu sự dao động nghiệm của hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính autonomous và hệ phương trình vi phân trung hòa trên cơ sở phương trình đặc trưng của nó Từ đó chúng tôi xây dựng các điều kiện cần cũng như các điều kiện đủ cho lớp các hệ phương trình cụ thể Hơn nữa chúng tôi còn xét đến sự dao động nghiệm của hệ non_autonomous tức là hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính có hệ số và lệch là các hàm số Đặc biệt trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu đến sự dao động nghiệm của hệ phương trình

vi phân đối số lệch Logistic, một dạng của bài toán sinh học, sinh lý học, sinh thái học mà việc xét tính dao động, không dao động của nó thông qua hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính hoa của nó Luận văn được trình bày trong ba chương:

Chương 1, Đây là chương cơ sở của luận văn, chúng tôi trình bày ở đây:

• Các khái niệm và định lý cơ bản về tồn tại nghiệm của hệ phương trình vi phân có đối số lệch

• Tính bị chặn theo hàm mũ của nghiệm

• Các tính chất cơ bản của biến đổi Laplace

• Một số kết quả về dao động nghiệm của phương trình vi phân đối số lệch vô hướng cần cho hai chương sau

Chương 2, Đây là một trong hai chương chính của luận văn Trong phần này chúng tôi trình bày các khái niệm nghiệm dao động, điều kiện cần và đủ cho sự dao động nghiệm của hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính autonomous Từ đó từng bước xây dựng các điều kiện cần cũng như các điều kiện đủ cho từng lớp hệ phương trình cụ thể Các điều kiện cần cho sự dao động của hệ tuyến tính

non_autonomous Sự dao động nghiệm của hệ phương trình Logistic, một trong những ứng dụng quan trọng của hệ phương trình vi phân đối số lệch

Chương 3, Ở chương này chúng tôi trình bày đến sự dao động nghiệm của hệ phương trình đối số lệch tuyến tính tổng quát hơn, đó là hệ phương trình vi phân trung hòa Trên cơ sở phương trình đặc trưng, chúng tôi trình bày điều kiện cần và đủ để tất cả các nghiệm của hệ dao động rồi từ đó thiết lập các điều kiện tường minh cho sự dao động nghiệm của chứng

Để thực hiện luận văn, chúng tôi đã tham khảo các tài liệu liên quan [1], [2], [3], [4], [5] được liệt

kê trong tài liệu tham khảo

Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ SỰ TỒN TẠI NGHI ỆM DUY NHẤT CUA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ ĐỐI

SỐ LỆCH

1.1 Lý thuy ết cơ bản về sự tồn tại nghiệm duy nhất

Xét hệ phương trình vi phân đối số lệch

b Hàm x được gọi là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1.1) và (1.1.5) trên tập I, trong đó I là một trong các tập [t 0 ,T), [t 0 ,T] ho ặc [t 0 , ∞), nếu x là nghiệm của hệ (1.1.1) trên I và thỏa mãn (1.1.5)

c Hàm x được gọi là một nghiệm của hệ (1.1.1) nếu với t 0 ≥ t 0 , x là nghiệm của hệ (1.1.1) trên [t 0 , ∞)

d Hàm x được gọi là một nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1.1) và (1.1.5) nếu x là nghiệm của

hệ (1.1.1) trên [t 0 , ∞) và thỏa (1.1.5)

Bổ đề 1.1.1 (Bất đẳng thức Gronwall) Xét I =[ , )t T0 ⊂  và giả sử

0( ) c ( ) ( ) ,

t

t

u t ≤ +∫ν s u s ds t∈I trong đó c∈+ vµ ,uν ∈C I[ ,+]

0( ) exp ( ) ,

( ) ( , ( ), ( ( )), , ( ( ))) ,

t

n t

t t t t T t

− ≤ <



=  ≥



Lấy t0 ≥  t0 vµ φ ∈ C t t [[ , ],−1 0 m]cho trước thì bài toán giá trị đầu (1.1.7) và (1.1.5) có

nghiệm duy nhất trên [t0,∞)

Hệ quả 1.1.2 Xét hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính autonomous

tl ( t))) khả vi liên tục trên I và X thỏa mãn hệ (1.1.9) trên I

b Hàm x được gọi là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1.9) và (1.1.14) trên tập I, trong đó I là một trong các tập [t 0 ,T), [t 0 ,T] hoặc [t 0 , ∞), nếu x là nghiệm của hệ (1.1.9) trên I và thỏa mãn (1.1.14)

c Hàm x được gọi là một nghiệm của hệ (1.1.9) nếu vớit0 ≥  t0, x là nghiệm của hệ (1.1.9) trên [t 0 , ∞)

d Hàm x được gọi là một nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1.9) và (1.1.14) nếu x là nghiệm của

hệ (1.1.9) trên [t 0 , ∞) và thỏa (1.1.14)

Chú ý 1.1.1 Trong suốt luận văn này, khi chúng ta nói về lý thuyết dao động, một nghiệm của hệ phương trình vi phân đối số lệch sẽ được hiểu theo định nghĩa 1.1.1c Tương tự, một nghiệm của hệ phương trình vi phân trung hòa đối số lệch sẽ được hiểu theo định nghĩa 1.1.2c Tức là, chúng là một nghiêm trên [t 0 , ∞) vớit0 ≥  t0

Định lý 1.1.2 Giả sử rằng (1.1.10), (1.1.11) và (1.1.12) là được thỏa Lấy t0 ≥  t0và

Chứng minh: Lấy T >t0 là số cố định cho trước Ta chỉ cần chứng minh bài toán giá trị đầu (1.1.9) và (1.1.14) có nghiệm duy nhất trên [t0, T] Đặt

Rõ ràng hàm  x t1( ) định nghĩa bởi

 0 1 0

1

( ), ( )

trong đó g, t i và δj thỏa mãn điều kiện (1.1.10) và (1.1.12), f thỏa mãn điều kiện sau:

(H): f C t ∈ [[ , ) 0 ∞ × m× ×  m, m]và với mỗi tập compact ( 1)

φ ∈ −  cho trước, trong đó t -1 được định nghĩa bởi (1.1.13) thì bài toán giá trị đầu

(1.1.16) và (1.1.14) có nghiệm duy nhất trên [t0,∞)

Chứng minh: Lấy T >t 0 là một số cố định cho trước và δ được định nghĩa bởi (1.1.15) Đặt

x t0( ) = φ ( ), t t−1 ≤ ≤ t t0

Khi đó cho t0 ≤ ≤ + t t0 δ bài toán giá trị đầu (1.1.16) và (1.1.14) trở thành

x t ( ) = − g t x t ( , 0( − t1( ) , , t ) x t0( − tl( ) t ) ) + x t0( )0

+ g t x t ( 0, 0( 0 − t1( ) , , t0 ) x t0( 0 − tl( ) t0 ) )

[[ , ), ], 1,2, , [[ , ), ], 0,1,2, ,

m m i

m m j

Hệ quả 1.1.4 Xét hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính autonomous

Với t ∈0  và với mỗiφ ∈ C t t [[ , ],−1 0 m], trong đó

Chứng minh: Bởi áp dụng phương pháp từng bước Lấy δ = t, khi đó trên đoạn [0,δ] bài toán giá trị đầu (1.1.19) và (1.1.21) trở thành

Chứng minh tương tự trên [δ, 2δ] và cứ như thế ta có điều phải chứng minh

1.2 Tính bị chặn theo hàm mũ của nghiệm

Trong phần này chúng ta sẽ chỉ ra rằng mọi nghiệm của hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính autonomous

Từ (1.2.3) ta có

1 1

( ) 1

u t < C ee α vô lý! Vậy ta đã chứng minh được (1.2.4) là đúng Do e là tuy

ý nên từ (1.2.4) thì u t ( ) ≤ Meαtvới t ≥ 0, trong đó

Trong hai chương sau chúng ta sẽ áp dụng biến đổi Laplace để thu được điều kiện cần và đủ cho

sự dao động của tất cả các nghiệm của hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính autonomous theo nghiệm phương trình đặc trưng của nó Trong phần này chúng ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất

cơ bản của biến đổi Laplace mà sẽ cần cho công việc như đã nói ở trên

Lấy x :[0, ) ∞ → là một hàm giá trị thực Biến đổi Laplace của x(t) ký hiệu L[x(t)] hay X(s) xác định bởi

X(s) được định nghĩa cho tất cả các giá trị của biến phức s mà tích phân suy rộng trong (1.3.1)

hội tụ theo nghĩa

0

R st

→∞∫tồn tại và hữu hạn

Tích phân trong (1.3.1) xảy ra một trong ba trường hợp sau:

1) Nó hội tụ cho∀ ∈ s

2) Nó phân kỳ cho∀ ∈ s

Tồn tại σ0∈ sao cho (1.3.1) hội tụ với ∀ ∈ s mà Re s > σ0và phân kỳ với ∀ ∈ s

màRe s > σ0

Khi 3) đúng thì σ0được gọi là hoành độ hội tụ của X(s) Khi 1) đúng ta nói hoành độ hội tụ của

X(s) là σ0 = −∞ Khi 2) đúng ta nói hoành độ hội tụ của X(s) là σ0 = ∞

Bổ đề sau cho ta điều kiện đủ cho sự tồn tại của biến đổi Laplace

Bổ đề 1.3.1 Lấyx C ∈ [[0, ], ] ∞  và giả sử rằng tồn tại các hằng số dương M và α sao cho

( ) t, 0

thì bán kính hội tụ σ0của biến đổi Laplace X(s) của x(t) thỏa

Hơn nữa, X(s) tồn tại và là hàm giải tích theo s màRe s > σ0

Bổ đề sau cho ta biến đổi Laplace của hàm x(t - t) và đạo hàm x(t) theo biến đổi Laplace của

x(t) B ổ đề 1.3.2

a) Lấy x C ∈ [[ , ], ] − ∞  t và σ0 ≤ ∞là hoành độ hội tụ biến đổi Laplace X(s) của x(t), thì biến đổi Laplace của x(t-t) có cùng hoành độ hội tụ và

b) Lấy x C ∈ 1[[0, ], ] ∞  và σ0 ≤ ∞là hoành độ hội tụ biến đổi Laplace X(s)

của x(t), thì biến đổi Laplace của x(t) có cùng hoành độ hội tụ và

1.4 M ột số kết quả về sự dao động của phương trình tuyến tính đổi số lệch vô hướng

Trong mục này chúng ta sẽ nhắc lại một số kết quả về sự dao động nghiệm của phương trình tuyến tính đối số lệch Kết quả này sẽ được dùng để thiết lập một số tính chất về dao động nghiệm của

hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính Mục đích chính của chúng ta trong luận văn này là nghiên cứu về lý thuyết dao động của hệ phương trình nên các kết quả trong phần này chúng ta sẽ không chứng minh mà chỉ trình bày các kết quả Trước khi đi vào các tính chất cụ thể ta xét định nghĩa

Định nghĩa 1.4.1 Lấyx C a ∈ [[ , ], ] ∞  , hàm x được gọi là dao động nếu x có các không điểm lớn tuy ý Tức là, với mọi b > a thì tồn tại c > b sao cho x(c) = 0

Ngược lại X được gọi là không dao động Tức là, x không dao động nếu tồn tại b > a sao cho x(t) ≠0 với mọi t > b

Khi x liên tục, nếu không dao động thì nó phải thực sự dương hay thực sự âm Tức là, tồn tại

T ∈ sao cho x(t) là luôn dương hoặc luôn âm cho t ≥ T

Trong phương trình vi phân tuyến tính, đối của một nghiệm, cũng là một nghiệm của nó Do đó một phương trình vi phân tuyến tính có một nghiệm không dao động thì nghiệm đó là thức sự dương hoặc thực sự âm Tức là dương hay âm với t đủ lớn

Xét phương trình vi phân đối số lệch vô hướng tuyến tính autonomous

thì các mệnh đề sau là tương đương

a) Mọi nghiệm của phương trình (1.4.1) dao động

b) Phương trình đặc trưng (1.4.2) không có nghiệm thực

1

i i

p , t ∈ 

Khi đó các mệnh đề sau là tương đương

(a) Mọi nghiệm của phương trình (1.4.5) dao động

p e

e

là điều kiện đủ cho mọi nghiệm của (1.4.6) dao động

Định lý 1.4.5 Xét phương trình vi phân đối số lệch non_autonomous

0 1

b) Nếu thêm giả thiết rằng với t đủ lớn,

Chương 2 : SỰ DAO ĐỘNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ

ĐỐI SỐ LỆCH

Trong chương này chúng ta xét sự dao động của tất cả các nghiệm của hệ phương trình vi phân đối số lệch Đối với hệ phương trình vi phân có nhiều cách định nghĩa khái niệm dao động của nghiệm Trong luận văn này chúng ta sử dụng hai định nghĩa sau

Định nghĩa 2.0.1 Một nghiệm ( ) [ ( ), ( ), ,1 2 (τ)]T

m

mọi thành phần x i (t) của nghiệm có các không điểm lớn tuy ý Ngược lại nghiệm được gọi là không dao động

Vậy một nghiệm dao động theo định nghĩa 2.0.1, nếu nó dao động từng thành phần và nó không dao động nếu nó có ít nhất một thành phần là thực sự dương hoặc âm Tức là, dương hoặc âm khi t đủ lớn

Lấy x ∈ signum của số thực x định nghĩa bởi

thật sự tầm thường hoặc có ít nhất một thành phần không có signum thật sự là hằng Ngược lại nghiệm được gọi là không dao động

Theo định nghĩa 2.0.2, một nghiệm là không dao động nếu nó không thật sự tầm thường và mọi thành phần xi(t) có signum thực sự là hằng

Trong luận văn này khi ta nói một hàm x(t) là thực sự dương (hoặc âm) thì ta hiểu theo nghĩa là

nó dương (hoặc âm) với t đủ lớn

Vậy nếu ( ) [ ( ), ( ), ,1 2 (τ)]T

m

động theo định nghĩa 2.0.2 Nhưng điều ngược lại thì không đúng Tuy nhiên đối với hệ phương trình

vi phân tuyến tính thuần nhất autonomous thì nó cũng sẽ đúng cho chiều ngược lại như ta sẽ thấy ở định lý 2.1.2 và chú ý 3.1.1

Trong luận văn này, sự dao động của hệ phương trình tuyên tính nhuần nhất autonomous sẽ được hiểu theo định nghĩa 2.0.1 và sự dao động của hệ non_autonomous và/hoặc không tuyến tính sẽ được hiểu theo định nghĩa 2.0.2

Ta thấy rằng đối với phương trình vô hướng thì hai định nghĩa 2.0.1 và 2.0.2 trở thành định nghĩa 1.4.1

2.1 Điều kiện cần và đủ cho sự dao động của hệ phương trình tuyến tính autonomous

Xét hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính autonomous

là phương trình đặc trưng của hệ (2.1.1)

Định lý 2.1.1 Giả sử điều kiện (2.1.2) đúng Khi đó các mệnh đề sau là tương đương

a) Mọi nghiệm của hệ (2.1.1) dao động từng thành phần

b) Phương trình đặc trưng (2.1.3) không có nghiệm thực

(b) ⇒ (a) Giả sử rằng (b) đúng và hệ (2.1.1) có một nghiệm

( ) [ ( ), ( ), , (τ)]T

m

x1(t) là thực sự dương Vì hệ (2.1.1) là autonomous nên ta giả sử rằng x1(t)>0 với t > -t trong đó

Gọi σ0là hoành độ hội tụ củaX s1( ), tức là σ0 = inf{ σ ∈  : X s1( )tồn tại} Từ định lý

1.3.1 ta có σ0 = −∞vì nếu không thì σ0 = slà một điểm kỳ dị của phân số deτ[ ( )]

Từ (2.1.7) và (2.1.8) và từ deτ[ ( )] F s là một đa thức theo các biến s e , −st1, e−st2, , estnnên tồn tại hằng số dương m sao cho

Hay x1(t)=0 khi t ≥ T, vô lý !

Ở đầu chương ta đã nói nếu nghiệm ( ) [ ( ), ( ), ,1 2 (τ)]T

m

theo định nghĩa 2.0.1 thì nó cũng dao động theo định nghĩa 2.0.2 Bởi định lý 2.1.1 ta có kết quả sau

Định lý 2.1.2 Giả sử rằng (2.1.2) được thỏa, các mệnh đề sau là tương đương

a) Mọi nghiệm của hệ (2.1.1) dao động theo định nghĩa 2.0.1 (tức là, dao động từng thanh phần) b) Mọi nghiệm của hệ (2.1.1) dao động theo định nghĩa 2.0.2 (tức là, nó thực sự tầm thường hoặc

có ít nhất một thành phần không có signum thực sự là hằng)

Chứng minh:

(a) ⇒ (b) Là hiển nhiên

(b) ⇒ (a) Giả sử (b) đúng và hệ (2.1.1) có một nghiệm x(t) mà không dao động theo định nghĩa 2.0.1 Bởi định lý 2.1.1 thì phương trình (2.1.2) có một nghiệmλ0 Do đó tồn tại vectơ ξ ≠ 0msao cho x t ( ) = eλ0tξlà một nghiệm của hệ (2.1.1) Nhưng nghiệm này không dao động theo định nghĩa 2.0.2, vô lý ! □

2.2 Điều kiện tường minh cho dao động và không dao động của hệ tuyến tính autonomous

Xét hệ phương trình vi phân đối số lệch

1

n i i

1 ( )

i i

thì mọi nghiệm của hệ (2.2.1) dao động

Chứng minh: Giả sử hệ (2.2.1) có một nghiệm không dao động Theo định lý 2.2.1 phương trình (2.2.2) có nghiệm thựcλ0 Khi đó tồn tại véctơ u ∈  mµ u = 1sao cho

n

i i

P e λ t

µ λ

Vậy ex≥ ex với∀ ∈  x Bổ đề được chứng minh □

Chứng minh đinh lý 2.2.1 Từ (2.2.3) thì (2.2.6) được thỏa mãn Giả sử rằng (2.2.4) đúng và từ (2.2.8) thì

( ( ))

i i

Vậy (2.2.7) đúng Theo bổ đề 2.2.1 ta có Điều phải chứng minh □

Ta nhận thấy rằng theo bất đẳng thức Schwartz thì

1

2 2