Độ đo Monge-Ampére trên các tập đa cực và phương trình Monge-Ampére phức

Chúng ta sẽ xét lớp , đó là lớp lớn nhất các hàm đa điều hoà dưới không âm được xác định trên miền siêu lồi , mà đối với nó toán tử Monge-Ampère phức xác định tốt lớp đã được Cegrell phá

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG

THÁI NGUYÊN - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các tài liệu trong luận văn là trung thực Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào

Tác giả

Tạ Quang Sỹ

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo, bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và

tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Xin chân thành cảm ơn Trung tâm giáo dục thường xuyên, huyện Mai Châu, tỉnh Hoà Bình cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tháng 7 năm 2015

Tác giả

Tạ Quang Sỹ

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Phương pháp nghiên cứu 2

4 Bố cục của luận văn 2

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Hàm đa điều hoà dưới 3

1.2 Hàm đa điều hoà dưới cực đại 6

1.3 Toán tử Monge-Ampère phức 10

Chương 2 ĐỘ ĐO MONGE-AMPÈRE TRÊN CÁC TẬP ĐA CỰC VÀ PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC 16

2.1 Một vài định nghĩa và kết quả 166

2.2 Một vài kết quả xấp xỉ 19

2.3 Độ đo Ampère trên các tập đa cực và phương trình Monge-Ampère phức 27

KẾT LUẬN 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Xét phương trình Monge-Ampère phức (dd u c )n , trong đó là độ

đo Radon không âm và (dd c.)n là toán tử Monge-Ampère phức Ta biết rằng nếu đặt khối lượng trên tập đa cực, thì nghiệm đối với phương trình

(dd u c )n nói chung là không duy nhất [13] Vì thế câu hỏi về sự tồn tại nghiệm của phương trình luôn nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều người Kết quả đầu tiên thuộc về Lempert L [10] (1983) đạt được trong trường hợp khi giá của độ đo đã cho là điểm đơn Lempert đã xét nghiệm với giá trị biên giải tích thực và với kỳ dị logarit gần với giá của độ đo Tiếp đó, Celic H I., và Poletsky E A [7] (1997) nghiên cứu phương trình Monge-Ampère với

độ đo Dirac A Zeriahi [13] (1997) đã chứng minh rằng phương trình Ampère phức giải được đối với các giá trị biên liên tục Xing Y [12] (1999) đã tổng quát kết quả của Zeriahi A trong trường hợp các giá trị biên đã cho là đồng nhất 0 Xing đã xét các độ đo xác định bởi tổng của tổ hợp tuyến tính của một số đếm được các độ đo Dirac với giá compact và độ đo Monge-Ampère chính qui đã biết Chúng ta sẽ xét lớp , đó là lớp lớn nhất các hàm đa điều hoà dưới không âm được xác định trên miền siêu lồi , mà đối với nó toán tử Monge-Ampère phức xác định tốt lớp đã được Cegrell phát triển và nghiên cứu trong các công trình nền tảng [4] [5] Chúng ta sẽ chứng minh rằng trong lớp năng lượng phương trình Monge-Ampère phức có nghiệm đối với lớp các độ đo kỳ dị rộng hơn so với Zeriahi A và Xing Y

Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài: "Độ đo Monge-Ampère

trên các tập đa cực và phương trình Monge-Ampère phức"

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả trong việc nghiên cứu về toán tử Monge-Ampère trên các tập đa cực và giải phương trình Monge-Ampère trong lớp năng lượng với phần kỳ dị khá lớn

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:

- Nghiên cứu một số tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère

- Nghiên cứu về xấp xỉ hàm đa điều hoà dưới trong lớp năng lượng , toán tử Monge-Ampère trên các tập đa cực và giải phương trình Monge-

Ampère trong

3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp của giải tích hàm hiện đại, các phương pháp của lý thuyết thế vị phức

4 Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn gồm 40 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của

hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên

cứu về về xấp xỉ hàm đa điều hoà dưới trong lớp năng lượng , toán tử

Monge-Ampère trên các tập đa cực và giải phương trình Monge-Monge-Ampère trong

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà dưới

được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mọi tập hợp

: ( )

là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với trên bất kỳ thành phần liên thông nào của Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi

a và b n , hàm u a ( b ) là điều hoà dưới hoặc trùng

trên mỗi thành phần của tập hợp : a b Trong trường hợp này, ta viết u ( ) ( ở đây kí hiệu ( ) là lớp hàm đa điều hoà dưới trong )

Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dưới:

u v

1.1.4 Mệnh đề Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền

bị chặn, tức là nếu là một tập con mở liên thông bị chặn của n và

( )

u PSH , thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z ,

y y

1.1.5 Định nghĩa Tập hợp E n được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm

a E đều có một lân cận V của a và một hàm u ( ) V sao cho

: ( )

1.1.6 Hệ quả Các tập đa cực có độ đo (Lebesgue) không

( ) i Họ ( ) là nón lồi, tức là nếu , là các số không âm và

khác rỗng của Nếu u ( ), v ( ), và lim ( ) ( )

x y v x u y với mỗi y , thì công thức

1.1.9 Định lý Cho là một tập con mở của n

( ) i Cho u v, là các hàm đa điều hoà trong và v 0 Nếu : là lồi, thì v u v ( / ) là đa điều hoà dưới trong

( ) ii Cho u ( ), v ( ), và v 0 trong Nếu :

là lồi và tăng dần, thì v u v ( / )là đa điều hoà dưới trong

( ) iii Cho u v , ( ), u 0 trong , và v 0 trong Nếu

tồn tại hàm đa điều hòa dưới liên tục : ( , 0) sao cho

c z : ( )z c với mọi c 0

1.2 Hàm đa điều hoà dưới cực đại

đa điều hòa dưới cực đại trên và viết u ( ) nếu với mọi tập mở, compact tương đối G và mọi hàm v nửa liên tục trên trên G ,

( )

v G và v u trên G thì v u trên G

Trường hợp n 1 thì tập ( ) trùng với tập các hàm điều hòa trên

Một số tính chất tương đương của tính cực đại :

định sau là tương đương :

( ) i Với mọi tập mở, compact tương đối G và mọi hàm v ( ) G ,

z

u z v z với mọi G thì u v trên G

( ) ii Nếu v ( ) và với 0 tồn tại tập compact K sao cho

1.2.3 Mệnh đề Giả sử là một miền trong n

( ) i Giới hạn của dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới cực đại trong hoặc bằng hoặc là hàm đa điều hòa dưới cực đai trong

( ) ii Nếu u ( ) thì với mọi G tồn tại một dãy giảm các hàm

đa điều hòa dưới cực đại trong hội tụ giảm tới u trên G

Chứng minh ( )i Giả sử { }u j ( ) và u j u trên Giả sử u

không đồng nhất trên Lấy G là tập mở, compact tương đối trong

Giả sử v là hàm nửa liên tục trên G và v ( ) G , v u trên G Khi đó v u j trên G và do đó v u j trên G

( ) ii Do G nên có thể chọn dãy hàm đa điều hòa dưới liên tục v j trên một lân cận của G giảm tới u Đặt ,

j G

u u Khi đó { }u j là dãy giảm các

hàm đa điều hòa dưới liên tục trên G và sử dụng định lý dán, suy ra chúng cực đại trên G Từ ( ) i suy ra u j u

Kết quả sau đây cho thấy mỗi hàm đa điều hòa dưới trên một miền đều

có hàm đa điều hòa dưới cực đại trội hơn trên miền nhỏ hơn compact tương đối trong nó

là một miền chính quy ( như một miền trong 2n mà trên đó bài toán Dirichlet cho lớp hàm điều hòa có lời giải) Khi đó tồn tại uˆ ( ), uˆ u và

ˆ

u u trên \G, uˆ cực đại trên G Nếu u j u thì uˆj uˆ và nếu u liên tục thì uˆ cũng liên tục

Chứng minh Xét u G Khi đó có dãy hàm liên tục { }f j C( G) và

u f f suy ra u j 1 u j trên G Đồng thời u G f j với mọi j

nên u u j trên G với mọi j Đặt lim j

Hàm uˆ thỏa mãn các kết luận của Mệnh đề 1.2.4

điều hòa dưới lớp C2 trong lân cận của Nếu v u trên và

n jk

( )

n jk

z z và B t ( ) là tích phân theo t của nó trên 0,1

Vậy từ bất đẳng thức trên , ma trận B jk xác định dương và vậy thì v u

không có cực đại địa phương trong Vậy v u trong và cho 0 ta được điều chứng minh

Trước khi đi đến kết quả cuối về điều kiện cho tính đa điều hòa dưới cực đại đối với các hàm lớp C2 ta nhắc lại khái niệm sau

Đặt d ,d c i( ) Khi đó dd c 2i Nếu n là tập mở và u C2( ) thì

2 , 1

2

n c

G là tập mở, compact tương đối trong và v ( ), v u trên G Với 0 và 0 đủ bé, xét (v ) Khi đó (v ) là hàm lớp

C trên lân cận của G và (v ) G u G Hơn nữa (v ) là hàm đa điều hòa dưới trên lân cận của G Từ đó

trên G Vậy theo mệnh đề 1.2.5 trên G , (v ) u

Cho , 0 ta được v u trên G và mệnh đề được chứng minh

với dV là yếu có thể tích trong n gọi là toán tử Monge-Ampère Toán tử này

có thể xem như độ đo Radon trên , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C0( ) trên

0

n c

Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn

địa phương trên thì tồn tại dãy

dd u hội tụ yếu tới độ đo Radon trên tức là:

0

m

Hơn nữa không phụ thuộc vào việc chọn dãy u m như trên, ta ký hiệu:

(dd u c )n và gọi là toán tử Monge-Ampère của u

Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampère

tụ yếu tới độ đo Radon Khi đó

a) Nếu G là tập mở thì lim inf j

Từ đó lim sup j

j

c) Viết E IntE E Khi đó

sao cho u v, 0 trên và lim 0

z u z Giả sử T là n 1,n 1 -dòng dương, đóng trên Khi đó vdd u T c udd v T c

Đặc biệt, nếu lim 0

z v z thì vdd u T c udd v T c Chứng minh Chú ý rằng dd u T c và dd v T c là các độ đo Borel dương trên Với 0, đặt u max u, Khi đó u 0 và là hàm đa điều hòa dưới trên và u tăng tới 0 khi giảm về 0 Từ định lí hội tụ đơn điệu

Do lim 0

z u z nên u u 0 là tập compact tương đối trong Lấy

j

u u C và do giả thiết T là n 1,n 1 dòng dương,

đóng trên nên dd u T c là ( , )n n dòng dương, đóng với mọi

Chương 2

ĐỘ ĐO MONGE-AMPÈRE TRÊN CÁC TẬP ĐA CỰC

VÀ PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC

2.1 Một vài định nghĩa và kết quả

Trong chương này ta luôn giả sử là miền siêu lồi bị chặn

2.1.1 Định nghĩa Ta nói rằng hàm đa điều hoà dưới bị chặn xác định trên

thuộc vào 0( 0( )) nếu lim ( ) 0

2.1.2.Định nghĩa Ta nói rằng hàm đa điều hoà dưới xác định trên

thuộc vào ( ( )) nếu với z0 đều tồn tại một lân cận của

0 1

1 0

j dd

Trong chương này ta luôn giả thiết dãy cơ bản j là dãy tăng các tập

con giả lồi chặt của sao cho với mỗi j ta có j j 1 và

1 j

j

Ở đây ký hiệu nghĩa là j là tập compact tương đối trong j 1

hàm u j được xác định bởi u j sup ( ) : u trên C j , ở

đó C j ký hiệu là phần bù của j trong

Cho j là dãy cơ bản và u ( ), u 0, khi đó

( )

j

u và u j u trên Định nghĩa 2.1.3 suy ra u j là dãy

tăng do đó tồn tại lim j

j u hầu khắp nơi trên Từ đó, hàm u xác định bởi

*

j

u u là đa điều hoà dưới trên Hơn nữa, nếu u , thì theo [5]

ta có u , vì u u 0 và theo [3] suy ra u đạt cực đại trên Giả sử

,

u v và , 0, khi đó từ Định nghĩa 2.1.3 suy ra u v u v

và u u Hơn nữa, nếu u v thì u v Từ [3] suy ra

là nón lồi và là tập hợp các hàm trong với trội đa điều hoà dưới cực đại

nhỏ nhất đồng nhất không

2.1.4 Định nghĩa Cho 0, , Ta nói rằng hàm đa điều hoà dưới

u xác định trên thuộc vào lớp ( , ), H H nếu tồn tại hàm

u u C hội tụ điểm đến u trên , khi j

tại dãy giảm u j ,u j 0( )H hội tụ điểm đến u trên , khi j Hơn nữa, nếu H ( ) C ( ), thì dãy giảm u j có thể chọn sao cho

0 ( )

j

Chứng minh Theo Định lý 2.1.5, tồn tại dãy giảm u j ,u j 0 C( ) hội

tụ điểm đến u , khi j Nếu v j max( ,u j H), thì

Bây giờ giả sử H ( ) C ( ) và 0 C( ), không đồng nhất 0

Chọn dãy cơ bản j sao cho với mỗi j , ta có

2

1

2j

trên j

Lấy vj , vj ( )j C ( )j là dãy giảm hội tụ điểm đến u , khi

Khi đó u j ,u j 0( )H C( ) hội tụ điểm đến u trên , khi j

Nhưng u j không cần giảm Lấy u j supk j u k Từ việc xây dựng u j suy ra

tụ điểm đến u trên khi j

Chú ý: Nếu H không bị chặn thì mỗi hàm u j cần phải không bị chặn

2.2 Một vài kết quả xấp xỉ

, thì với mọi j ( ) L ( ), 1 j 0,j 1,2, ,n ta có

Chứng minh Giả sử u ( )H , tức là u ( ) và tồn tại hàm sao

cho H u H Giả sử j là dãy cơ bản trong và j được xác định

như trong Định nghĩa 2.1.3 Từ v H suy ra với 0 ta có bất đẳng thức

u v là hai dãy tăng các

hàm theo thứ tự hội tụ hầu khắp nơi trên đến ( )n

nơi đối với ( c )n

u v dd v Theo định lý hội tụ đơn điệu ta có

đa cực trong và (dd u c )n (dd v c )n Xét hai điều kiện sau:

Nếu một trong hai điều kiện trên được thoả mãn, thì u v trên

Chứng minh Giả sử u v, sao cho (dd u c )n triệt tiêu trên tất cả các tập đa

cực trong và (dd u c )n (dd v c )n

(1)Ngoài ra, giả sử limz (( ( )u z v z( )) 0

với mỗi Lấy 0

Theo Định lý 4.9 trong [11] ta có đánh giá

Như vậy, u 2 v Cho 0 ta được u v trên

(2) Trong trường hợp này giả sử u ( )H và v H Vì u ( ) H nên

tồn tại một hàm sao cho H u H Lấy j

được xác định như trong Định nghĩa 2.1.3 và lấy 0. Tương tự như trong (2.2) ta nhận

được u 2 v j Cho 0 ta được u v trên

là dãy tăng hội tụ đến v hầu khắp nơi trên , khi j Định lý 2.1.5 suy ra tồn tại một dãy giảm k , k 0 C( ) hội tụ điểm đến , khi

j Theo Định lý Stokes, với mỗi s j, ta có

Chứng minh Trước tiên, giả sử u v, 0( )H Theo định nghĩa tồn tại hàm

0 sao cho H u H Với mỗi 0 đủ bé chọn K sao cho trên Từ đó, ta có

Cho 0 ta nhận được (2.7) trong trường hợp u v, 0( )H Áp dụng trường hợp u v, 0( )H kết hợp với Mệnh đề 2.1.6 và Hệ quả 2.2.4 ta được điều phải chứng minh

Hệ quả trực tiếp của Bổ đề 2.2.5 là nguyên lý duy nhất sau đây Định lý 2.2.6, có vai trò quan trọng trong mục 2.3

và ( )(dd u c )n với nào đó không đồng nhất 0 Khi đó

u v trên

(dd c ) ,n với ( ) A 0 đối với mỗi tập đa cực A Khi đó

với mỗi H sao cho (dd H c )n tồn tại hàm xác định duy nhất

( )

u H sao cho (dd u c )n trên

Chứng minh Tính duy nhất của định lý này được suy ra bởi nguyên lý so sánh

trong Hệ quả 2.2.2 Ta sẽ chứng minh sự tồn tại của hàm u ( ) H thoả mãn định lý Thật vậy, từ Định lý 2.1.5 suy ra tồn tại dãy giảm

0

k k

cơ bản trong Với mỗi ,j k , lấy H k j là hàm xác định như trong Định nghĩa 2.1.3, tức là

j