xây dựng hàm green cho phương trình black scholes

3.1 Xây d ựng hàm Green cho phương trình Black-Scholes với các điều kiện biên bị chặn .... 273.2 Xây d ựng hàm Green cho phương trình Black-Scholes với điều kiện biên dạng Dirichlet ....

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

M ục lục

MụC LụC 3

M ở ĐầU 5

KI ếN THứC CƠ Sở 9

1.1 M ột số ký hiệu 9

1.1.1 M ột số không gian hàm cơ bản 9

1.1.2 M ột số hàm số 9

1.2 Phép bi ến đổi Laplace 10

1.2.1 Định nghĩa (Hàm gốc) 10

1.2.2 Định nghĩa (Phép biến đổi Laplace) 10

1.2.3 Định lý (Lerch) 10

1.2.3 Định nghĩa (Phép biến đổi Laplace ngược) 11

1.2.5 Chú ý 11

1.2.6 M ột số tính chất của phép biến đổi Laplace 11

1.2.7 M ột số tính chất của phép biến đổi Laplace ngược 12

1.2.8 B ổ đề 12

1.3 Hàm Green cho phương trình Parabolic 15

1.3.1 Định nghĩa 15

1.3.2 Định lý 15

1.3.3 Nh ận xét 15

1.4 Phép tính ng ẫu nhiên 16

1.4.1 Quá trình ng ẫu nhiên 16

1.4.2 Chuy ển động Brownian hay quá trình Wiener 18

1.4.3 B ộ lọc cho chuyển động Brownian 18

1.4.4 Công th ức Itô - Doeblin 18

PHƯƠNG TRÌNH BLACK - SCHOLES 21

2.1 Sơ lược về thị trường quyền chọn 21

2.2 Xây d ựng phương trình Black- Scholes 22

2.3 Công th ức Black- Scholes trong định giá quyền chọn 26

ựNG HÀM GREEN CHO PHƯƠNG TRÌNH BLACK-SCHOLES 27

3.1 Xây d ựng hàm Green cho phương trình Black-Scholes với các điều kiện biên bị chặn 27

3.2 Xây d ựng hàm Green cho phương trình Black-Scholes với điều kiện biên dạng Dirichlet 36

3.3 Xây d ựng hàm Green cho phương trình Black-Scholes với điều kiện biên dạng hỗn hợp 39

K ẾT LUẬN 46

TÀI LI ệU THAM KHảO 47

M ở đầu

phương trình Black- Scholes và cách xây dựng hàm Green cho phương trình

Phương trình Black - Scholes trong luận văn này được thiết lập từ việc xem

Laplace và phương pháp biến thiên hằng số

Chương 1 trình bày một số kiến thức cần sử dụng cho các phần sau của luận văn

Laplace đưa ra trong Bổ đề (1.2.8) là những kết quả quan trọng sử dụng trực

những nội dung liên quan trực tiếp đến hàm Green cho phương trình Black -

quá trình Itô

Chương 2 có nội dung trọng tâm là giới thiệu một cách xây dựng phương trình Black - Scholes

gới

Trong chương này phần lớn các nội dung người viết tổng hợp từ cách xây dựng

Chương 3 nội dung trọng tâm giới thiệu cách xây dựng hàm Green cho phương

Nội dung trong chương này được tổng hợp từ một bài báo của các tác giả M

phương trình Blach - Scholes bằng cách áp dụng hàm Green để đi đến công

Người viết xin tỏ lòng biết ơn đến các Thầy cô trong khoa Toán, trường Đại

h ọc Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, đã giảng dạy và cung cấp nhiều kiến thức bổ ích trong quá trình h ọc tập Người viết xin gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau Đại

h ọc, trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình h ọc tập tại trường

Người viết xin gửi lời cảm ơn đến anh chị em trong lớp Cao học Giải tích K21 trường Đại học Sư phạm, nhóm Seminar Toán Tài chính ở trường Đại học Khoa h ọc Tự nhiên đã giúp người viết rất nhiều trong quá trình học tập và nghiên c ứu

Người viết xin gửi lời cảm ơn đến Thầy cô Bộ môn Toán, Thầy cô trong Khoa

T ự nhiên, Phòng Tổ chức, BGH trường CĐSP Nha Trang đã trao đổi, góp ý, kuy ến khích và tạo nhiều điều kiện thuân lợi trong thời gian đi học

Cu ối cùng, người viết xin được gửi lời tri ân sâu sắc đến gia đình và những người thân, những người luôn động viên, giúp đỡ trong cuộc sống cũng như trong quá trình h ọc tập và nghiên cứu

Xin trân tr ọng cảm ơn

TP H ồ Chí Minh, ngày 20 tháng 2 năm 2013

Hàm Delta Dirac, ký hiệu δ( )x , là hàm suy rộng thỏa mãn ∞φ δ( ) ( )x x dx φ(0)

, M 0, f( ) Meατ, 0

∃ ∃ > ≤ >

1.2.2 Định nghĩa (Phép biến đổi Laplace)

1.2.3 Định nghĩa (Phép biến đổi Laplace ngược)

( )

F s , 1

( ) ( ),

f τ =L F s− là duy nhất

1.2.6 M ột số tính chất của phép biến đổi Laplace

a V ới mỗi hàm gốc f( )τ v ới chỉ số tăng α0 thì có duy nh ất một hàm ảnh

2erfc( ) x

1

( )2

4

1 Khi dó ( ) ( )[ 2 ]

z s t t

(1 ) 2

z zc c t ac

c a

e

e e dz

τ

τ τ

e

e dz

τ τ

τπτ

+ + ∞ −

= ∫

e τ e ξ d

τ τ

ξπ

1.3 Hàm G reen cho phương trình Parabolic

Phương pháp hàm Green là một phương pháp có nhiều ứng dụng để giải một số phương trình đạo hàm riêng Ý tưởng chính của phương pháp là không giải trực

1.3.1 Định nghĩa

Xét bài toán Cauchy cho phương trình Parabolic

[ ( , ) ( , ) ( , ) ] ( , ) trên (0, ] , ( , 0) ( ) trên (1.1) ( , ) 0 trên [0, ]

[ ( , ) ( , ) ( , ) ] 0 trên (0, ], ( , 0) ( ) tr ên , (1.3) ( , ) 0 trên [0, ].

Với G x T( , −t y T, , ) là hàm Green của bài toán \eqref{b3}.\\

Để thuận lợi cho việc trình bày đôi khi ta dùng ký hiệu hàm Green là

( , , , )

G x t y T hay G x t y( , , )

1.4 Phép tính ng ẫu nhiên

1.4.1 Quá trình ngẫu nhiên

 là σ− đại số các biến cố, nghĩa là

Xét hàm

:

X Ω×T →R

( , )ω t →X( , ),ω t

( )

t

1.4.2 Chuyển động Brownian hay quá trình Wiener

Định nghĩa

i W0 =0,

(i)(Tính tích lũy thông tin) ( )s ⊂( ), 0t ≤ <s t,

1.4.4 Công thức Itô - Doeblin

0 0

[ , ]( ) lim [ ( ) ( ) ] ,

n

j j j

trong đó ∏= { , , , }t t0 1 t n là một phân hoạch với 0= < < < =t0 t1 t n T

Định lý (Công thức Itô - Doeblin cho chuyển động Brownian0

Cho f t x( , ) là hàm có f f t, x, f xx xác định và là những hàm liên tục và W t( ) là

tx tt

f t W t dtdW f t W t dtdt

Mà dW t dW t( )· ( )=dt dt dW t, · ( )=dt dt· =0, nên ta có dạng vi phân của công thức

1( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( ))

2

df t W t = f t W t dt+ f t W t dW t + f t W t dt

Định nghĩa (Quá trình Itô)

ứng Một quá trình Itô là quá trình có dạng:

( ) (0) t ( ) ( ) t ( )

X t = X + ∆∫ u dW u + Θ∫ u du

Định lý (Công thức Itô - Doeblin cho quá trình Itô)}

Cho X t t( ), ≥0, là quá trình Itô f t x( , ) là hàm có f f t, x, f xx xác định và là

f t X t dX t f t X t d X X t

+∫ + ∫

f t X t dt f t X t t dW t f t X t t d t f t X t t dt

Chương 2

Phương trình Black -

Scholes

2.1 Sơ lược về thị trường quyền chọn

Quy ền chọn (option) là một loại chứng khoán phái sinh cho phép người sở hữu

nó có quy ền (nhưng không bắt buộc) được mua hay bán một tài sản (tài sản cơ

s ở) tại một mức giá xác định (strike price) vào một ngày xác định trong tương lai ngay t ại thời điểm thỏa thuận hợp đồng

(call option) cho phép người sở hữu nó được quyền mua một tài sản vào một ngày xác định và tại một mức giá xác định Quyền chọn bán (put option) cho phép người sở hữu nó được quyền bán một tài sản vào một ngày xác định và tại

là ngày đáo hạn (maturity/expiration day)

phiếu Philadelphia (Philadelphia Stock Exchange) bắt đầu giao dịch quyền

Trước yêu cầu phát triển mạnh mẽ của quyền chọn, các nhà khoa học đã đưa ra

định giá quyền chọn, các phái sinh tài chính như: hợp đồng kỳ hạn, hợp đồng giao sau, hoán đổi , mô hình Black - Scholes còn có thể ứng dụng trong một

[9]ư

chính mà M Scholes và R.C.Merton đã được trao giải Nobel kinh tế năm 1997 (khi đó F.Black đã mất) [15, tr.189]

2.2 Xây d ựng phương trình Black- Scholes

trường tiền tệ để hưởng lãi suất cơ bản r (lãi suất phi rủi ro, lãi suất trái phiếu

α σ lần lượt là hệ số kéo theo (drift) và hệ số biến động (volatility)

Do đó

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ))

dX t = ∆ t dS t +r X t − ∆ t S t dt

( )

1( , ( ) ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ) ( )

2

d v t S t =v t S t dt+v t S t dS t + v t S t dS t dS t

2 2

1( , ( )) ( , ( )) ( ) ( ) ( ) ( , ( )) ( )

2

[v t S t t αv t S t S t x v xx t S t σ S t dt] σS t v t S t dW t x

( )

khi và chỉ khi e−rt X t( )=e v t S t−rt ( , ( )),∀ ∈t [0, )T do đó ta cần có điều kiện

2( ) ( , ( )) ( )

2 2

1( )( ) ( ) ( , ( )) ( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ) ( , ( ))

2

t α r S t rv t S t v t S t αS t v t S t σ S t v t S t

rv t S t =v t S t +rS t v t S t + σ S t v t S t ∀ ∈t T

2 2

1( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ), [0, ), 0, (2.7)

2

v t x +rxv t x + σ S t v t x =rv t x ∀ ∈t T x≥

với điều kiện cuối v T x( , )=(x−K)+

điều kiện cuối và điều kiện biên, giá của quyền chọn là nghiệm của bài toán:

2 2

( )

1 ( , )) ( , ) ( ) ( , ) ( , ), [0, ), 0,

2 ( , ) ( ) ,

( , 0) 0, [0, ],

lim{ ( , ) ( )} 0, [0, ]

(2.8)

r T t x

Trong chương sau ta sẽ tìm hàm Green cho bài toán mở rộng hơn (2.8) là bài

toán tìm hàm Green cho phương trình (2.7) với điều kiện cuối tổng quát hơn

2.3 Công th ức Black- Scholes trong định giá

quy ền chọn

dùng để tính giá quyền chọn cổ phiếu (trong phần sau chúng ta sẽ dùng hàm Green để giải nghiệm bài toán này)

Chương 3

phương trình Black-Scholes

3.1 Xây d ựng hàm Green cho phương trình

Black-Scholes v ới các điều kiện biên bị chặn

Trong chương này, để phù hợp với quy ước quen thuộc của lĩnh vực phương

trước Chúng ta sẽ xây dựng hàm Green cho phương trình Black- Scholes dạng

2 2 2

2

( , ) ( , ) ( , )

( , ) 0, (3.1)2

Trong đó S và t tương ứng là giá của tài sản cơ sở (cổ phiếu) tại thời điểm $ t

$ và thỏa mãn điều kiện 0< < ∞ > > −∞S ;T t , v=v S t( , ) là giá của các sản

( )

ro

có

khi 0

Do đó bài toán tìm hàm Green cho phương trình đạo hàm riêng (3.1), với điều

phương trình (3.5) với điều kiện đầu và điều kiện biên là

( , 0) ( ),x (3.6)

u x = f e

| (u −∞ , ) | τ < ∞ , | ( , ) |u ∞ τ < ∞ (3.7)

( ; ) { ( , )} s ( , )

U x s =L u xτ =∫∞ −e τu xτ τd

2 2

( , ) ( , ) ( , ){ u x } { u x } {( 1) u x } { ( , )}

( , ) ( , ){ ( , )} ( , 0) { u x } {( 1) u x } { ( , )},

Phương trình (3.8) là phương trình tuyến tính cấp hai không thuần nhất với hệ

0 ( ; )

( ) ( ) ( ) ( ; )

ω

.Với M s( ), N s( ) vừa tìm được thay vào (3.12) ta có

x x

1/ 2

{ } ( ) 2( )

x

e e

ξ βτ

τπτ

−

− −

=

Vây

( ) ( )

4 1/ 2

( , ) ( ) (3.14)

2( )

x x

điều kiện (3.2), (3.3) là

2 2

2

[ln( )]

ln( ) ( )

2 2 ( ) 1/ 2

0

1 ( , ) ( ) (3.15)

2 2 ( )

2 1/ 2

1 ( , ; ) (3.17)

2 2 2 2 2

2

ln( ) 2( / 2)( ) ln( ) ( / 2) ( ) ( ( ))

2 ( )

2 1/ 2 [2 ( )]

r T t S

Như vậy ta tìm được hàm Green cho phương trình Black- Scholes \eqref{e1}

2

ln( ) ( / 2)( ) ( )

S ử dụng hàm Green để giải nghiệm phương trình Black-Scholes

v S t( , )=∫0∞G S t S f S( , ; ) ( ) 

2

ln( ) ( / 2)( ) ( )

2 ( )

2 1/ 2 ( ) [2 ( )]

r T t S

r T t

T t K

e

σ σ

r T t

T t K

e

T t

σ σπσ

2 ( )

2 1/ 2 [2 ( )]

r T t S

r T t

T t K

e

σ σ

ln( ) ( / 2)( ) suy ra

1( , )

2

u

u T t r T t

r T t S

r T t K

T t

σ σ

σ σ

π

−∞ − − − − − + − − + − −

−

= − ∫

2 2

( ) ln( ) ( / 2)( )

1

.2

r T t u S

r T t K

T t

σ σπ

−∞ − − −+ − −

1 ( , )

S

r T t K

r T t u

T t

σ σ

2

S

r T t u T t K

S

r T t K

r T t u

T t

σ σ

3.2 Xây d ựng hàm Green cho phương trình Scholes v ới điều kiện biên dạng Dirichlet

còn các điều kiện biên thay bằng điều kiện dạng Dirichlet

( , ) 0, ( , ) 0 (3.18)

v S t = v S t =

phương trình (3.5)

2 2

Đặt a=lnS b1, =lnS2 khi đó x, τ thỏa điều kiện a< <x b, 0 < < ∞ τ

Tương tự mục (3.1), áp dụng phép biến đổi Laplace cho phương trình

2 2

được nghiệm phương trình dạng:

( ) ( ) ( ) ( )

.( ) ( ) ( ) 0

b b

a

M s e N s e e

.1

( ) ( ) ( ) 0

a a b

( ) ( ) 0

( ) ( ) ( )

a b b

b b

a b b a a

[

x x a a x b

Hay

( ) ( ) ( )

( ; )

2 [ ]

x b

a b b a a

( ; )

2 [1 ]

x b

b a a b a

n a b

a b n

e e

ω ω

x

b x n b a n a b x a

2( )

{ x n a b x n a b

x b a

/ 2 ( / 2) ln( / ) ( )

/ 2 ( / 2) ln( / ) ( )

( , ) S ( , ; ) ( ) (3.27)

S

v S t =∫ G S t S f S dS  

Trong phần này chúng ta thiết lập hàm Green cho phương trình (3.1), điều kiện

Điều kiện thứ hai trong (3.28) còn gọi là điều kiện hỗn hợp hoặc điều kiện

2 2

Nghiệm của phương trình (3.21) có dạng:

( ) ( | |) 2(% ) ( 2 )

2

1 ( ) , (3.35)( ( ) ) ( )

2

( ) ( ( ) )e s( x) b }f e d

1( , )

2 1/ 2 0

T t D

T t T t S

T t S

M ột số trường hợp đặc biệt của điều kiện biên dạng hỗn hợp

[ln( / )] [ln( / )]

( ( )

2 ( ) 2 ( ) 2

cùng Khi đó ta biến đổi điều kiện (3.28) trở thành

2 1/ 2 0

T t D

T t T t S

Do đó ta suy ra hàm Green cho phương trình Black-Scholes với điều kiện cuối

[ln( / )] [ln( / )] ( )/ 2

K ẾT LUẬN

được nhiều kiến thức mới và thú vị, cách tiếp cận các kiến thức này cũng là

đổi Laplace, mô hình Black- Scholes

Phương pháp tìm hàm Green trong luận văn là một cách đi đến hàm Green cho phương trình Black-Scholes nhanh chóng Những kỹ thuật đề xuất trong nghiên

Người viết rất mong được có điều kiện tiếp tục tìm hiểu những áp dụng cũng như được nghiên cứu các vấn đề liên quan đến luận văn này

Tài li ệu tham khảo

HCM

ĐHSP, Hà Nội

c ủa phương trình đạo hàm riêng, Luận văn Thạc Sỹ Toán học, ĐHSP Hà Nội

[9] F Black, M S Scholes (1973), "The pricing of options and corporate

liabilities",Journal of Political Economics, 81, 637-54

[10] Dean G.Duffy (2001), Green's Function wuth Application, Chapman &

Hall/CRC

[11] G.Evans, J.Blackledge, P.Yardley (2004), Analytic Methods for Partial

Equations, London Springer

[12] M Y Melnikov, Y A Melnikov (2007), "Construction of Green's

functions

for the Black-Scholes equation", Electronic Journal of Differential

Equations, 1, Vol 2007, No 153, pp 1_14

[13] S N Neftci (2000), An Introduction to the Mathematics of Financial

Derivatives, New York: Academic

[14] Joel L Schiff (1999), The Laplace Transform:Theory and Applications,

[15] Steven E.Shreve (2004), Stochastic Calculus for Finance (I, II), Springer

[16] V I Smirnov (1964), A Course of Higher Mathematics, Oxford_New

York:

Pergamon

[17] D Silverman (1999), Solution of the Black-Scholes equation using the

Green's function of the diffusion equation, Manuscript Department of

Physics and Astronomy, University of California