Bài giảng đồ họa raster các thuật toán vẽ đường tròn bùi tiến lên

ĐỒ HỌA RASTERCÁC THUẬT TOÁN VẼ ĐƯỜNG TRÒN Giảng viên : Bùi Tiến Lên... Phân loại đường trònĐường tròn tâm O Đường tròn tâm bất kỳ... Tính đối xứng của đường trònĐường tròn có 4 trục đối

ĐỒ HỌA RASTER

CÁC THUẬT TOÁN

VẼ ĐƯỜNG TRÒN

Giảng viên : Bùi Tiến Lên

Phân loại đường tròn

Đường tròn tâm O

Đường tròn tâm bất kỳ

Ứng dụng phép tịnh tiến

Nếu (x, y) thuộc đường tròn tâm O

Thì (x + xc, y + yc) thuộc đường tròn tâm (xc, yc)

O

(xc, yc)

(x, y)

(x+xc, y+yc)

Phương trình đường tròn

2 2

2

x r

y

r y

x

−

=

= +

r

Tính đối xứng của đường tròn

Đường tròn có 4 trục đối xứng

-Trục Ox

-Trục Oy

-Trục phân giác thứ nhất

-Trục phân giác thứ hai

y

phân

giác 1

phâ

n g iác 2

Ứng dụng tính đối xứng

Nếu (x, y) thuộc đường tròn

Thì (-x, y), (x, -y), (-x, -y), (y, x), (-y, x), (y, -x) và (-y, -x) thuộc

đường tròn

O

1 2

3

8 chọn

Vẽ cung một phần tám thứ nhất

Input

r bán kính

Output

{(x1, y1), (x2, y2) … (xn, yn)} “thuộc” cung một phần tám thứ nhất

A

B

Khảo sát cung một phần tám thứ nhất

Mục tiêu khảo sát sự biến thiên của hồnh độ và tung độ

2 3 2 2

2

2 2

2 2

) x r

(

r

- y"

x r

x

- y'

] 2

r [0, x

với x

r y

Hàm

−

=

−

=

∈

−

=

Khảo sát cung 1/8 thứ nhất

Bảng biến thiên

−

"

0 '

y

2

r

r y

2

r

0

x

Đường cong giảm chậm

Thuật tốn trực tiếp

Round(y)

= y

x r

=

y

1 + x

= x

] 2

r [

<

x

Lặp

lại còn điểm

những định

Xác 2

bước

r

=

y

0

=

x

đầu điểm

định Xác

1

bước

1

+

i

2 1 i 2

i 1

+

i

i

1

1

+

−

Thuật toán MidPoint

Dự đoán điểm sáng thứ i+1

B

Thuật toán MidPoint

- Khái niệm bên trong / bên

ngoài đường tròn

- Hàm kiểm tra một điểm bên

trong / bên ngoài đường tròn

F(x, y) = x2 + y2 – r2

- Cách kiểm tra bên trong

bên ngoài

Thuật toán MidPoint

Xây dựng biến fi

Trung điểm M của AB

M(xi + 1, yi – 1/2)

Biến fi

fi = F(M)

fi = F(xi + 1, yi – 1/2)

i

B

A

M

yi-1/2

yi

yi-1

Thuật toán MidPoint

Công thức tính fi

4

1 r

1 y

y x

2 x

i

2 i i

2 i

Công thức tính fi nguyên

2 i

2 i i

2 i

Khi fi không nguyên !

Có hai cách giải quyết để fi thành nguyên

Cách 1

fi < 0 ⇔ kfi < 0

fi ≥ 0 ⇔ kfi ≥ 0 Với k > 0

Cách 2

f < 0 ⇔ [f] < 0

Thuật toán MidPoint

Thuật toán

Bước 1 Xác định điểm đầu tiên

x1 = 0

y1 = r

Bước 2 Xác định những điểm tiếp theo

Lặp xi < yi

fi = …

fi < 0

xi+1 = xi + 1

yi+1 = yi

Thuật toán MidPoint

Cách tính fi cải tiến

f1 = 1 – r

fi < 0

fi+1 = fi + 2xi + 3

fi ≥ 0

fi+1 = fi + 2xi – 2yi + 5