nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát trên vành nửa địa phương chứa nhóm ma trận đường chéo

HỒ CHÍ MINH Nguyễn Bích Vân NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT TRÊN VÀNH NỬA ĐỊA PHƯƠNG CHỨA NHÓM MA TRẬN... HỒ CHÍ MINH Nguyễn Bích Vân NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT TRÊN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Bích Vân

NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT TRÊN VÀNH NỬA ĐỊA PHƯƠNG CHỨA NHÓM MA TRẬN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Bích Vân

NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT TRÊN VÀNH NỬA ĐỊA PHƯƠNG CHỨA NHÓM MA TRẬN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS BÙI XUÂN HẢI

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Bùi Xuân Hải và TS Trần Ngọc Hội đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giảng viên trong khoa Toán-Tin học của trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố

Hồ Chí Minh đã dạy bảo tận tình cho tôi trong quá trình học tập tại khoa

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Tp Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 5 năm 2011

Nguyễn Bích Vân

D n R : nhóm các ma trận đường chéo bậc n trên vành R

[ε1, ,εn]: ma trận đường chéo với ε1, ,εn nằm trên đường chéo chính :

Mục lục

Chương I 7

Kiến Thức Cơ Sở 7

§1 Căn Jacobson 7

§2 Vành Artin 12

§3 Vành nửa đơn Định lý Wedderburn 14

§4 Nhĩm tuyến tính trên vành 17

Chương II 20

Nhóm Con Của Nhóm Tuyến Tính Tổng Quát Chứa Nhóm Ma Trận Đường Chéo 20

§5 Lưới và nhĩm con lưới 20

§6 Bổ đề về phép co 29

§7 Nhĩm con của nhĩm tuyến tính tổng quát chứa nhĩm ma trận đường chéo 46

Lời nói đầu

Mô tả nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quátGL n R( , ) nói chung và nhóm con ấy chứa nhóm ma trận đường chéo nói riêng đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết nhóm cổ điển Năm 1976, Z.I Borevich đã nghiên cứu dàn các nhóm con này và các nhóm con đó đều thỏa một tính chất chung là: mỗi một nhóm con của nhóm GL n R( , ) đều nằm giữa một nhóm con nào đó và chuẩn hóa tử của nó Từ đó, các nhà toán học như N.A Vavilov, Li Sangzhi,

Ba M.X., đã nghiên cứu và mô tả nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát trên các vành cổ điển

Cụ thể: với n≥ , cho 2 GL n R( , ) là nhóm tuyến tính tổng quát trên vành nửa địa phương R và giả sử rằng lớp các trường thặng dư của vành R chứa ít nhất bảy phần tử và D=D n R( , ) là nhóm con đường chéo của nhóm GL n R( , ) Khi đó, Z.I Borevich và N.A Vavilov đã chỉ ra rằng: “ Đối với mọi nhóm

con trung gian H , tồn tại duy nhất một D-lưới bậc n các ideal trong R sao cho

Chương I Kiến Thức Cơ Sở

R = thì R R được gọi là một thể hay một vành chia

Tâm của vành R, được kí hiệu C(R) và định nghĩa như sau:

phéo tốn cộng trong vành R, phép tốn nhân trong 0

R được định nghĩa như sau: ∀x y, ∈R0:x y = y x Một đồng cấu của 0

R sẽ được gọi là một đối đồng cấu của R

M là R- mơđun phải ta gọi tắt là R-mơđun

Định nghĩa 1.1 Với mọi phần tử x trong R-mơđun M, tập hợp

=  được gọi là linh hĩa tử của mơđun M

Nhận thấy ann(M) là ideal hai phía của R

Nếu ann(M)=0 thì M gọi là R-mơđun trung thành

Định nghĩa 1.2 Một R-mơđun M gọi là đơn nếu M ≠0 và M chỉ cĩ hai mơđun con là 0 và chính nĩ

Định nghĩa 1.3 Ta gọi căn Jacobson của vành R, kí hiệu J=J(R), là tập hợp

được cho bởi cơng thức: ( )

M

J =ann M , trong đĩ M chạy khắp các R-mơđun

Mệnh đề 1.4 Mọi ideal phải thực sự của vành R đều nằm trong một ideal

phải tối đại nào đó của vành R

Định lý 1.5 Căn Jacobson của vành R trùng với giao của tất cả những ideal

phải tối đại của vành R

Chứng minh Đặt τ = ∩ρ với ρ chạy khắp các ideal phải tối đại của vành

R Vì ann(M) là ideal phải của R nên ann(M) nằm trong ideal phải tối đại nào

đó với M là R-môđun đơn bất kỳ Suy ra J ⊂ τ

Ngược lại, lấy x∈τ Đặt I ={xy+ y y: ∈R}, dễ dàng chứng minh rằng I là ideal phải của vành R và I=R Thật vậy, nếu I ≠R thì I chứa trong ρ với ρ ideal phải tối đại nào đó Khi đó, x∈ρ và xy+ ∈ kéo theo y ρ y∈ ρ,

∃ ∈ ≠ ≠ Nhưng do mτ là môđun con của môđun đơn M, suy

ra mτ =M Vì vậy ∃ ∈t τ :mt= −m Mặt khác t∈τ nên tồn tại s∈R để

b) Phần tử a∈R được gọi là tựa chính quy phải nếu tồn tại một phần tử

a′∈R sao cho a+ +a′ a a′=0 Chúng ta gọi a′ là tựa nghịch đảo phải của a

c) Phần tử 0≠ ∈a R được gọi là lũy đẳng nếu 2

a = a

Định nghĩa 1.7 Một ideal phải (trái, hai phía) I được gọi là nil ideal phải

(trái, hai phía) nếu mọi phần tử trong I đều lũy linh Một ideal phải (trái, hai phía) I được gọi là ideal phải (trái, hai phía) lũy linh nếu tồn tại số nguyên

dương n để I n = 0 Một ideal phải I được gọi là tựa chính quy phải nếu mọi

phần tử của nó đều tựa chính quy phải

Định lý 1.8 J R là ideal tựa chính quy phải của R và chứa tất cả các ideal ( )

phải tựa chính quy phải của R Hay nói cách khác J R ( ) là ideal tựa chính quy phải duy nhất lớn nhất trong R

Chứng minh Theo Định lý 1.5 ta có J R ( ) là ideal tựa chính quy phải của R

và nếu ρ là ideal phải tựa chính quy phải của R thì ta chứng minh

( )

J R

ρ⊂ Ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử ρ⊄ J R( ) Tức là tồn tại

M là R-môđun đơn sao cho Mρ ≠ Suy ra 0 ∃ ∈m M m, ≠0 :mρ ≠ , mà 0 mρ

là R- môđun con của M, nên mρ =M ⇒ ∃ ∈x ρ:mx= −m Lại do x∈ρ với

ρ là ideal phải tựa chính quy phải của R nên tồn tại

x′∈R x+ +x′ xx′= Suy ra 0=mx+mx′+mxx′= − +m mx′−mx′= − ⇒ =m m 0(mâu thuẫn)

= và I là ideal phải tối đại của R Do J R( )⊂ I

nên I J R( ) được xác định, hơn nữa nó là ideal phải tối đại của R Theo

các ideal phải tối đại của vành R

Bổ đề 1.10 Mọi nil ideal phải hay trái của R đều nằm trong J R ( )

Chứng minh Với mọi a∈ρ trong đó ρ là nil ideal phải của vành R Ta chứng minh a là tựa chính quy phải của R Thật vậy, do a lũy linh nên

Định nghĩa 1.11 Nếu J R( )= thì R 0 gọi là J-nửa đơn

Định lý 1.12 J M n R( ( , ) )=M n J R( , ( ) )

Chứng minh Lấy M là R-môđun đơn

Đặt M n ={ (m m1, 2, ,m n):m i∈M,∀ ∈i {1, n} } Khi đó n

M là M n R -( , )môđun với phép cộng thông thường và phép nhân vô hướng:

0 0 0 0

n n

A=M Suy ra M là n M n R( , )-môđun đơn

Ta chứng minh J M n R( ( , ) )⊂M n J R( , ( ) ) Lấy a=( )a ij ∈J M n R( ( , ) ), suy

ra M a n = ∀0, M n là M n R -( , ) môđun đơn Từ đó, với mọi M là R-môđun đơn, mọi m∈M: (m, ,0) ( )a ij =(0, ,0)⇒ma1i = ∀ ∈0, i {1, ,n}

Bằng cách chứng minh tương tự cho ρ2, ,ρn ⊂ J M n R( ( , ) )

Suy ra ρ1+ + ρn ⊂J M n R( ( , ) ) Do vậy M n J R( , ( ) )⊂ J M n R( ( , ) )

Vậy Định lý được chứng minh xong

Định lý 1.13 x∈J R( ) khi và chỉ khi 1+ax là phần tử khả nghịch trái đối với mọi a∈R

§2 Vành Artin

Định nghĩa 2.1 Vành R gọi là vành Artin phải (trái) nếu bất kỳ tập các ideal

phải (trái) khác rỗng đều có phần tử tối tiểu

Định lý 2.2 Vành R là Artin phải (trái) khi và chỉ khi mọi dây chuyền giảm

của các ideal phải (trái) đều dừng sau hữu hạn bước

Chứng minh Giả sử R là vành Artin và một dây chuyền giảm của các ideal

phải ρ1⊃ ⊃ ρm ⊃ , ta chứng minh dây chuyền đó dừng Xét họ P={ }ρi ,

do R là vành Artin nên P có một phần tử tối tiểu là ρm ∀ ≥ ta có i m

m i

ρ ⊃ ρ Vậy ρm =ρi

Ngược lại, giả sử mọi dây chuyền giảm của các ideal phải đều dừng ta chứng

minh R là vành Artin Lấy P là họ khác rỗng các ideal phải của R Lấy ρ1∈ P

thì hoặc ρ1 tối tiểu hoặc không, nếu ρ1 không tối tiểu thì có ρ2∈P:ρ1⊃ ρ2, thì ρ2 tối tiểu hoặc không, lý luận tương tự ta có được một dây chuyền giảm các ideal phải ρ1⊃ ⊃ ρm ⊃ , theo giả thuyết dây chuyền này dừng ở ρm Khi đó, ρm là phần tử tối tiểu Vậy R là vành Artin

Mệnh đề 2.3 Vành thương của vành Artin là Artin

Chứng minh Giả sử R là vành Artin và I R Xét :p R R

Chứng minh Ta có một dây chuyền giảm các ideal của R: 2 3

J R là ideal lũy linh

Định lý 2.5 Nếu R là vành Artin thì tồn tại một họ hữu hạn {L1, ,L n} các ideal phải tối đại của R sao cho

( )

1

n i i

I là một ideal phải tối đại của R Khi đó, I Q Q∩ ⊂ , nhưng do tính tối tiểu

của Q nên I Q Q ∩ = Suy ra Q I⊂ , kéo theo Q⊂ J R( ), và hiển nhiên ( )

J R ⊂Q Vậy J R( )= Q Vậy Định lý được chứng minh xong

§3 Vành nửa đơn Định lý Wedderburn

Định nghĩa 3.1 Một R-môđun M gọi là xyclic nếu tồn tại phần tử m M∈ sao

cho M =mR , khi đó m được gọi là phần tử sinh của M

Mệnh đề 3.2 Đối với R-môđun M những điều kiện dưới đây là tương đương:

(i) M là mô đun đơn

(ii) M là mô đun xyclic với mọi phần tử khác 0 đều là phần tử sinh (iii) M R

I

≅ đối với một ideal phải tối đại nào đó của R

Bổ đề 3.3 (bổ đề Schur) Một đồng cấu bất kỳ giữa các R-môđun đơn sẽ hoặc

là tầm thường hoặc là đẳng cấu Nói riêng, nếu M là R-môđun đơn thì

Định nghĩa 3.4 Một R-môđun M gọi là môđun nửa đơn nếu nó là tổng trực

tiếp của các R-môđun đơn Một R-môđun M gọi là môđun nửa đơn có độ dài hữu hạn nếu nó là tổng trực tiếp của một số hữu hạn các R-môđun đơn

Định lý 3.5 M là môđun nửa đơn khi và chỉ khi mọi môđun con của M đều là

hạng tử trực tiếp của M

Định nghĩa 3.6 Một vành R gọi là vành nửa đơn nếu nó là R-môđun nửa

đơn Vành R gọi là vành đơn nếu R không có ideal hai phía thực sự khác

không

Hơn nữa ta nhận thấy rằng nếu R là vành nửa đơn thì R là R-môđun nửa đơn

có độ dài hữu hạn Thật vậy, theo Định lý 3.5 ta có R= ⊕i I∈ R i với R i là các

ideal của vành R Khi đó, ta phân tích 1 1 1

= + + ∈ + + suy ra

Định lý 3.7 Vành các ma trận vuông trên thể là vành đơn

Chứng minh Giả sử I là ideal hai phía thực sự khác không của vành

n

rr r

e I

=

=∑ ∈ , kéo theo I =M n T( , ) Vậy M n T( , ) là vành đơn

Định lý 3.8 Vành R là vành nửa đơn khi và chỉ khi R là vành Artin J-nửa

L J R

=

Ngược lại, giả sử R là vành Artin J-nửa đơn Khi đó, theo Định lý 2.5, tồn tại

họ hữu hạn {L1, ,L n} các ideal phải tối đại của R sao cho ( )

1

0

n i i

Từ đó suy ra R là vành nửa đơn

Hệ quả 3.9 Mọi vành Artin nửa đơn đều là tổng trực tiếp của các vành Artin

đơn

Định lý 3.10 Nếu M là R-môđun nửa đơn có độ dài hữu hạn thì End R( )M đẳng cấu với tích trực tiếp của một số hữu hạn những vành ma trận trên thể

Định lý 3.11 (Định lý Wedderburn) Mọi vành nửa đơn R đều đẳng cấu với

một tích trực tiếp của một số hữu hạn những vành ma trận trên thể Nếu R là giao hoán thì R đẳng cấu với tích trực tiếp của một số hữu hạn các trường

Định nghĩa 3.12 Vành R gọi là hữu hạn Dedekind (hay còn gọi là hữu hạn

yếu) nếu mỗi phần tử khả nghịch một phía thì khả nghịch hai phía

Chú ý rằng R hữu hạn Dedekind khi và chỉ khi R J hữu hạn Dedekind Thật

vậy, lấy x R∈ là phần tử khả nghịch hai phía thì x cũng khả nghịch hai phía Ngược lại, nếu x R∈ là phần tử khả nghịch trái, tức là yx= , suy ra 1

1

yx= xy= , dẫn đến xy− ∈ , kéo theo 1 J (xy−1) ( ) (n = −1 n xy− = hay 1) 01

xy= Vậy x R∈ là phần tử khả nghịch hai phía

Định nghĩa 3.13 Vành R gọi là thỏa điều kiện hạng ổn định bằng 1 nếu với

mọi ,x y ∈ mà xR yR R R + = thì tồn tại t R∈ sao cho (x+ yt R) = R

Người ta gọi tắt vành R thỏa điều kiện hạng ổn định bằng 1 là B-vành

Định lý 3.14 Nếu R là B-vành thì R hữu hạn Dedekind

Chứng minh Giả sử a R∈ là phần tử khả nghịch phải, khi đó tồn tại x R∈ sao cho xa=1 Đặt b= −1 ax Với mọi

:

y∈R y = axy+ −y axy =axy+ −(1 ax y) ∈a R+bR Suy ra a R+bR= R

Do đó tồn tại t∈R sao cho u= +a bt là khả nghịch phải Lại do xb=0 nên

r r khả nghịch sao cho r e r1 2 là phần tử lũy đẳng thì R là B-vành

Chứng minh Giả sử ,∀r e∈R rR: +e R=R Ta cần chỉ ra rằng tồn tại một phần tử s∈R sao cho e+ ∈ rs R*

Trường hợp 1: nếu e là một phần tử lũy đẳng thì ta phân tích 1 r= α +eβ với , R

Với i≠ ∀j, i j, ∈{1, n}, α∈ R ta định nghĩa t ij( )α = +e αe ij, t ij( )α gọi là

phép co sơ cấp (elementary transvection)

Ta có t ij( ) ( )−α t ij α = −(e αe ij)(e+αe ij)= +e αe ij −αe ij +ααe e ij ij =e và tương tự t ij( ) ( )α t ij −α =e, suy ra t ij( )α ∈GL n R( , )

Ta kí hiệu E n R( , ):= {t ij( )α :i≠ ∀ ∈j, α R} ≤GL n R( , ) Ta gọi E n R là ( , )

nhóm tuyến tính sơ cấp bậc n trên vành R

Xét các phần tử sinh t ij( )α của nhóm E n R( , ), bằng cách kiểm tra trực tiếp

dễ dàng nhận thấy những mối liên hệ sau đây:

i

d ε là ma trận đường chéo mà có ε nằm ở vị trí ( )i i , và 1 nằm ở tất cả vị trí còn lại

Xét ma trận a =( )a ij ∈M n R( , ), việc nhân ma trận a về bên trái với một

phép co sơ cấp t ij( )α tương đương với việc áp dụng các phép biến đổi sau

đây đối với a: “thay dòng thứ i của ma trận a bởi dòng thứ i cộng với α lần dòng thứ j (α được nhân từ bên trái)” Tương tự, việc nhân ma trận a về bên

phải với một phép co sơ cấp t ij( )α tương đương với việc áp dụng các phép

biến đổi sau đây đối với a: “thay cột thứ j của ma trận a bởi cột thứ j cộng với α lần cột thứ i (α được nhân từ bên phải)”

Định lý 4.1 Mọi ma trận a∈GL n T( , ) đều viết được dưới dạng a=bd n( )µ

với b∈E n T( , ), µ∈ và T là thể T*

Hệ quả 4.2 Vành các ma trận vuông trên thể có hạng ổn định bằng 1

Chứng minh Giả sử a=( )a ij ∈M n T( , ) có hạng là r, với M n T là vành ( , )

các ma trận vuông cấp n trên thể T Áp dụng Định lý 3.16 ta chứng minh

trong M n T ( , ) tồn tại r r1, 2∈GL n T( , ) sao cho r er1 2 là phần tử lũy đẳng Thật vậy, ta phân tích ma trận

M n T là B-vành

Cũng từ đây ta có một nhận xét rằng tích trực tiếp các vành ma trận vuông

trên thể cũng là một B-vành

Chương II Nhóm Con Của Nhóm Tuyến Tính Tổng Quát Chứa

Nhóm Ma Trận Đường Chéo

§5 Lưới và nhĩm con lưới

Định nghĩa 5.1 Cho R là vành cĩ đơn vị Với mỗi số tự nhiên n≥ 2 xét bảng

( )ij ,1 i j, n,

σ = σ ≤ ≤

trong đĩ σij là các ideal của R

Bảng này được gọi là một lưới các ideal bậc n trong R nếu với mọi , ,i j r ta

luơn cĩ σ σir rj ⊂σij

Lưới σ được gọi là D-lưới nếu σii =R,∀ =i 1, 2, ,n

Đối với lưới σ xét tập hợp M( )σ ={a=( )a ij ∈M n R( , ):a ij∈σij,∀i j, } Khi

ấy, M( )σ là vành con của M n R ( , )

Đặt e+M ( )σ ={e+a a: =( )a ij ∈M ( )σ } và e+M( )σ là một tập kín đối với phép nhân

Khi đó, σ là D- lưới ⇔ ∈e M( )σ ⇔ +e M( )σ =M ( )σ

Định nghĩa 5.2 Cho σ là lưới các ideal tùy ý bậc n trong R Nhóm con lớn

nhất của GL n R( , )chứa trong e+M( )σ được gọi là nhóm con lưới của

GL n R ứng với lưới σ , kí hiệu là G( )σ

Đặc biệt, nếu σ là D- lưới thì G( )σ gọi là nhóm con D-lưới

Định lý 5.3 Cho R là vành Khi đó, với mọi σ là lưới các ideal bậc n trong R: G( )σ =GL n R( , )∩ +(e M( )σ ) ( )1 nếu và chỉ nếu với mọi ideal I của R, vành các ma trận vuông trên vành thương R I là hữu hạn Dedekind

Chứng minh Ta chứng minh bằng phản chứng, nghĩa là trong M n( , R )

e ba b

=  − − 

dễ dàng kiểm tra được x có cấp 2n và khả nghịch hai phía với ma trận khả

của ,R M n( , R I) hữu hạn Dedekind

Ngược lại, giả sử mọi ideal I của vành R, vành các ma trận vuông trên vành vành thương R I là hữu hạn Dedekind ta sẽ chứng minh công thức (1) đúng Trước hết ta chứng minh cho trường hợp σ là D-lưới

1 Cố định số nguyên dương , 1m ≤ ≤ − và ideal hai phía I trong vành R m n 1

Xét D-lưới σ =( )σij định bởi σij = I với i ≥ + j m m 1, ≤ và σij = R với các trường hợp còn lại Lấy ma trận a∈GL n R( , )∩M ( )σ Ta viết ma trận a và

ma trận nghịch đảo 1

a− của nó dưới dạng ma trận khối:

Vì a∈M( )σ nên u ≡0(mod I) Hơn nữa x x y u e′ + ′ = và u x′ +z u′ = nên 0

ta suy ra u x′ ≡0(mod I) và x x′ ≡e mod I( ) Lại do M n( , R )

I là hữu hạn Dedekind ta có được xx′ ≡e mod I( ) Do đó, u′=u e′ ≡ u xx ′ ′ ≡ 0.x′ ≡

Để chứng minh (2) thỏa mãn J1 = J2 = 1 ta cần có Bổ đề sau:

Bổ đề Cho J1, J2 là hai tập con rời nhau khác rỗng của tập chỉ số

Chứng minh Bổ đề Theo bước 2 thì Bổ đề đã được chứng minh cho trường

hợp J1 + J2 =n Việc chứng minh Bổ đề bằng phương pháp quy nạp theo giá trị giảm của tổng J1 + J2 Giả sử J1 + J2 < n và Bổ đề đúng với các tập J ′1, J2 rời nhau khác rỗng của tập chỉ số J ={1, ,n} với J1⊂ J ′1 và

J′ = J + Ta sẽ chứng minh Bổ đề này cũng đúng với các tập J1, J2 Để

việc tính toán không quá phức tạp ta chỉ xét trường hợp J1={1, ,p} với

1≤ ≤ − và p n 2 J2 ={ }n Đặt

1 ,

( )1

Tiếp theo ta chứng minh cho trường hợp σ là lưới các ideal bậc n trong vành R Lấy a∈GL n R( , )∩ +(e M( )σ ) Khi đó a ii − ∈1 σii, ∀ ∈i {1, ,n} Với lưới σ ta thay tất cả các ideal σii, ∀ ∈i {1, ,n}, bởi R Khi ấy ta có một

D−lưới τ Vì a∈ +e M( )σ ⊂ +e M ( )τ =M ( )τ nên theo chứng minh cho trường hợp D−lưới ở trên ta nhận được 1 ( )

Định lý được chứng minh xong

Định lý 5.4 Cho R là vành nửa địa phương và σ là lưới các ideal tùy ý trong R Khi đó G( )σ =GL n R( , )∩ +(e M ( )σ )

Chứng minh Theo Định lý 5.3 muốn chứng minh Định lý 5.4 ta chỉ cần

R, M n( , R )

I hữu hạn Dedekind

2) Cho R là vành nửa địa phương (R

J là vành nửa đơn Artin) Nếu J=0 thì R

J ≅R Ta có R=R1⊕ ⊕ R m với R i(∀ =i 1, ,m) là vành Artin đơn Suy