nghiên cứu khái niệm sai lầm trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông

Mô hình này cho phép: - Vạch rõ sự tồn tại nhiều quan điểm có thể về cùng một khái niệm, những cách thức xử lý được kết hợp với chúng, sự thích ứng của chúng với lời giải của một lớp nào

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

Nguyễn Thị Ngân Châu

NGHIÊN CỨU KHÁI NIỆM SAI LẦM TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

Nguyễn Thị Ngân Châu

NGHIÊN CỨU KHÁI NIỆM SAI LẦM TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành : Lí luận và PPDH môn Toán

Mã số : 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS LÊ VĂN TIẾN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

LỜI CẢM ƠN



Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Văn Tiến, người

đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn:

Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng KHCN - SĐH, ban chủ nhiệm và giảng viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học vừa qua

Ban giám hiệu và các giáo viên các trường THPT Bình Mỹ, Trường Phổ Thông Thực Hành Sư Phạm, Trường THPT Long Xuyên (An Giang) đã hỗ trợ tôi thực hiện các thực nghiệm đối với giáo viên và thực nghiệm đối với học sinh

Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã luôn chia sẽ cùng tôi những buồn vui và khó khăn trong quá trình học tập

Bên cạnh đó, tôi cũng gửi lời cám ơn đến anh Trần Minh – giáo viên trường THPT Võ Thị Sáu, người đã chia sẽ và góp ý cho tôi rất nhiều

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình tôi, họ luôn động viên, giúp đỡ tôi về mọi mặt

SGVC : Sách giáo viên giải tích 12

SGVN : Sách giáo viên giải tích 12 nâng cao

DANH MỤC CÁC BẢNG



Bảng 3.1: Tóm tắt sự lựa chọn giá trị của biến trong các bài toán 51

Bảng 3.2: Thống kê kết quả thực nghiệm của bài 1 58

Bảng 3.3: Bảng thống kê kết quả thực nghiệm bài 2 60

Bảng 3.4: Thống kê kết quả thực nghiệm của bài 3 60

Bảng 3.5: Số lượng các GV lựa chọn các mức độ nguyên nhân của sai lầm 69

Bảng 3.6: Thống kê cách quản lý sai lầm của GV khi chấm bài kiểm tra 70

Bảng 3.7: Thống kê cách quản lý sai lầm của GV sửa bài tập tại lớp 71

Bảng 3.8: Thống kê cách quan tâm của PH đến việc học của con .78

Bảng 3.9: Thống kê chú ý của PH khi xem bài kiểm tra môn toán của con 78

Bảng 3.10:Thống kê số lượng PH đánh giá nguyên nhân của sai lầm 79

Bảng 3.11:Thống kê cách khắc phục sai lầm của PH 80

M ỤC LỤC



Lời cảm ơn

Danh mục các chữ viết

Danh mục các bảng

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

I Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát 1

II Phạm vi lý thuyết tham chiếu 1

1 Lý thuyết nhân chủng học 2

2 Quan niệm và quy tắc hành động 2

2.1 Quan niệm 2

2.2 Quy tắc hành động 3

III Mục đích nghiên cứu 3

IV Phương pháp nghiên cứu 4

V Tổ chức luận văn 5

Chương 1: SAI LẦM CỦA HỌC SINH NHÌN TỪ GÓC ĐỘ CÁC LÝ THUYẾT VỀ HỌC TẬP 7

1.1 Quan điểm của thuyết hành vi 7

1.1.1 Cơ sở lý luận 7

1.1.2 Quan niệm sai lầm 7

1.13 Phân loại sai lầm 9

1.2 Quan điểm của thuyết kiến tạo 10

1.2.1 Cơ sở lý luận 10

1.2.2 Quan niệm sai lầm 11

1.2.3 Phân loại sai lầm 13

1.3 Quan điểm của didactic toán 13

1.3.1 Cơ sở lý luận 13

1.3.2 Quan niệm sai lầm 14

1.3.3 Phân loại sai lầm 17

Chương 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM LOGARIT 21

2.1 Khái niệm logarit trong sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản 21

2.1.1 Định nghĩa, tính chất của khái niệm logarit 21

2.1.2 Các tổ chức toán học 27

2.1.3 Dự đoán và giải thích nguyên nhân dẫn đến sai lầm 33

2.2 Khái niệm logarit trong sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao 34

2.2.1 Định nghĩa, tính chất của khái niệm logarit 34

2.2.2 Các tổ chức toán học 39

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 45

Chương 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 46

THỰC NGHIỆM 1 47

3.1 Mục đích thực nghiệm 47

3.2 Hình thức thực nghiệm 47

3.3 Phân tích tiên nghiệm (apriori) các câu hỏi thực nghiệm 47

3.3.1 Xây dựng thực nghiệm 47

3.3.2 Nội dung bài toán thực nghiệm 48

3.3.3 Các chiến lược có thể và câu trả lời có thể quan sát 50

3.3.4 Sự lựa chọn giá trị của biến và ảnh hưởng đến các chiến lược 51

3.3.5 Phân tích chi tiết bài toán 55

3.4 ) Phân tích hậu nghiệm 58

THỰC NGHIỆM 2 64

3.5 Mục đích thực nghiệm 64

I – THỰC NGHIỆM CỦA GIÁO VIÊN 64

I.3.6 Nội dung thực nghiệm 64

I.3.7 Phân tích câu hỏi thực nghiệm 67

I.3.8 Phân tích kết quả thực nghiệm 68

II – THỰC NGHIỆM CỦA PHỤ HUYNH HỌC SINH 75

II.3.6 Nội dung thực nghiệm 75

II.3.7 Phân tích câu hỏi thực nghiệm 77

II.3.8 Phân tích kết quả thực nghiệm 78

KẾT LUẬN 842 TÀI LIỆU THAM KHẢO 84

M Ở ĐẦU

 Những ghi nhận ban đầu Câu hỏi xuất phát

 Khung lý thuyết tham chiếu

 Mục đích nghiên cứu

 Phương pháp nghiên cứu

 Cấu trúc luận văn

I Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Là một giáo viên, ai cũng có sự quan tâm đặc biệt đến sai lầm của học sinh trong học tập Thậm chí rất lúng túng không biết xử lí thế nào trước những sai lầm

mà học sinh thường gặp phải, vì nhiều gợi hỏi vẫn rất khó có câu trả lời thỏa đáng, chẳng hạn: Giáo viên nên tìm cách dạy sao cho học sinh ít mắc sai lầm hay cố tình

để họ gặp phải sai lầm càng nhiều càng tốt? Nếu học sinh mắc sai lầm thì giáo viên phải ứng xử thế nào? Nguyên nhân của sai lầm là gì? Nói cách khác, sai lầm có nguồn gốc từ đâu? Sử dụng các sai lầm của học sinh như thế nào trong quá trình họ dạy?

Các chuyên đề được giảng dạy trong chương trình Thạc sĩ “Lí luận và phương pháp dạy học môn toán” ở Trường ĐHSP TP.HCM đã cho tôi thấy rõ hơn rằng có các quan niệm khác nhau về sai lầm Nhưng tôi tự hỏi, những nhân tố bao hàm trong hệ thống dạy học như Giáo viên, Học sinh, Phụ huynh học sinh có quan niệm như thế nào về sai lầm? Các quan niệm này có sự tương đồng và khác biệt nào? Chúng có mối quan hệ nào với nhau không? Đặc biệt, quan niệm về sai lầm của phụ huynh học sinh – với tư cách là người gần gũi nhất với học sinh, ảnh hưởng thế nào trên sai lầm của học sinh cũng như quan niệm của họ về sai lầm?

II Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Nghiên cứu chúng tôi sẽ vận dụng các yếu tố công cụ của lý thuyết didactic toán, với việc vận dụng các yếu tố lý thuyết sau đây:

1 Lý thuyết nhân chủng học

Trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm: “quan

hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân”, “tổ chức toán học”

Mối quan hệ thể chế R(I, O), quan hệ cá nhân R(X, O) được xác định thông qua nghiên cứu các tổ chức toán học Theo Chevallard, mỗi tổ chức toán học là một

bộ phận gồm bốn thành phần [T, 𝜏, 𝜃, Θ], trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, 𝜏 là kỹ thuật cho phép giải quyết T, 𝜃 là công nghệ giải thích cho kỹ thuật 𝜏, là lý thuyết giải thích cho công nghệ

2 Quan ni ệm và quy tắc hành động (Theo [1])

2.1 Quan ni ệm

Ta gọi quan niệm là một mô hình được nhà nghiên cứu xây dựng để phân tích ứng xử nhận thức của học sinh trước một kiểu vấn đề liên quan đến một khái niệm toán học Mô hình này cho phép:

- Vạch rõ sự tồn tại nhiều quan điểm có thể về cùng một khái niệm, những cách thức xử lý được kết hợp với chúng, sự thích ứng của chúng với lời giải của một lớp nào đó các bài toán;

- Phân biệt tri thức mà thầy giáo muốn truyền thụ với những kiến thức thực

tế được học sinh xây dựng

G.Brousseau định nghĩa quan niệm là: “Một tập hợp các quy tắc, cách thực hành, tri thức cho phép giải quyết một cách tương đối tốt một lớp tình huống và vấn

đề, trong khi đó lại tồn tại một lớp tình huống khác mà trong đó quan niệm dẫn đến thất bại, hoặc nó gợi lên những câu trả lời sai, hoặc kết quả thu được một cách khó khăn trong điều kiện bất lợi”

Việc nghiên cứu quan niệm có thể được làm từ hai sự tiếp cận (bổ sung cho nhau):

- Phân tích những chiến lược và sản phẩm của học sinh;

- Nghiên cứu khái niệm về mặt khoa học luận, trong mối liên hệ với các định nghĩa và tính chất khác nhau

2.2 Quy t ắc hành động

Quy tắc hành động là một mô hình được xây dựng nhằm giải thích và chỉ rõ những kiến thức mà học sinh đã sử dụng để đưa ra câu trả lời khi thực hiện một nhiệm vụ xác định Quy tắc hành động này liên quan đến một hay nhiều tính chất

toán học gắn bó chặt chẽ với các quy trình hay câu trả lời của học sinh

Tổng quát hơn, quy tắc hành động là một sự mô hình hóa kiến thức của một

học sinh Những kiến thức này có phạm vi hợp thức của nó Trong phạm vi hợp thức của mình, các kiến thức được vận hành một cách nhất quán và tạo ra kết quả

chính xác Thông thường thì phạm vi hợp thức này không rỗng, thậm chí nó có thể dường như rất rộng đối với học sinh, bởi vì những tình huống mà học sinh gặp lại gia cố thêm cho nó Một câu trả lời sai thường đến từ việc áp dụng một quy tắc hành động ở ngoài phạm vi hợp thức của nó

III M ục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của chúng tôi là tìm câu trả lời cho những câu hỏi nêu trên Điều này dẫn tới hai phương án lựa chọn :

- Phương án 1 : nghiên cứu sai lầm gắn liền với các kiến thức toán học nói chung được giảng dạy từ lớp 10 đến lớp 12

- Phương án 2 : nghiên cứu sai lầm xoay quanh một đối tượng tri thức toán học cụ thể trong chương trình toán THPT

Phương án 1 cho phép một nghiên cứu khá phong phú và toàn diện về sai lầm Tuy nhiên, nó lại gây khó khăn cho việc nghiên cứu quan niệm của giáo viên,

vì có rất ít giáo viên đảm nhận dạy cả ba cấp lớp

Ngược lại, phương án 2 hạn chế phần nào tính đa dạng của sai lầm, nhưng lại đảm bảo tính khả thi và độ sâu sắc trong nghiên cứu quan niệm của giáo viên

Vì những lí do trên, chúng tôi đã quyết định chọn phương án 2 Đối tượng tri thức được chọn là khái niệm logarit Kết quả nghiên cứu sai lầm của học sinh gắn liền với khái niệm logarit sẽ là điểm tựa cho nghiên cứu so sánh quan niệm của giáo viên và phụ huynh về sai lầm

Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu nêu ở mục II, chúng tôi trình bày hệ thống câu hỏi sau đây mà việc tìm câu trả lời hình thành nên mục tiêu của luận văn:

Q1: Khái niệm sai lầm được tiếp cận như thế nào trong các lý thuyết về học tập? Q2: Mối quan hệ thể chế với khái niệm logarit được hình thành và phát triển như thế nào trong chương trình toán phổ thông? Những quy tắc hợp đồng didactic nào

có thể được hình thành giữa GV và HS trong quá trình tiếp cận với khái niệm logarit?

Q3: Những sai lầm nào gắn liền với khái niệm logarit mà học sinh có thể gặp phải khi tiếp cận với khái niệm này?

Q4: Quan niệm của giáo viên, phụ huynh học sinh về sai lầm? Có sự tương đồng và khác biệt nào trong mối quan hệ giữa quan niệm về sai lầm của GV và phụ huynh;

có mối quan hệ nào giữa quan niệm về sai lầm của giáo viên và chính những sai lầm

mà học sinh gặp phải về khái niệm logarit?

IV Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được mục đích nghiên cứu nêu trên, chúng tôi xác định phương pháp nghiên cứu được sơ đồ hóa như sau:

Có thể diễn giải sơ đồ phương pháp nghiên cứu như sau:

- Trước hết, chúng tôi nghiên cứu khái niệm sai lầm thông qua việc phân tích sai lầm của học sinh nhìn từ góc độ các lý thuyết về học tập Nghiên cứu này

NC KHÁI NIỆM SAI LẦM (lý thuyết học tập)

NC QUAN HỆ THỂ CHẾ (khái niệm Logarit)

nhằm tìm hiểu các quan niệm sai lầm, cách xử lý khi phát hiện sai lầm cũng như phân loại các sai lầm theo các quan điểm khác nhau

- Sau khi đã tìm hiểu khái niệm sai lầm, chúng tôi sẽ nghiên cứu thể chế dạy học toán ở Việt Nam liên quan đến khái niệm logarit Qua đó, chúng tôi biết được khái niệm logarit được hình thành và phát triển như thế nào trong chương trình toán phổ thông, những quy tắc hợp đồng didactic được hình thành giữa GV và HS trong quá trình tiếp cận với khái niệm logarit, những sai lầm gắn liền với khái niệm logarit mà học sinh có thể gặp phải khi tiếp cận khái niệm này

- Tiếp theo, chúng tôi đề ra giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của chúng sẽ được kiểm chứng bằng các thực nghiệm Thực nghiệm thứ nhất nhằm kiểm chứng giả thuyết về sai lầm của học sinh được dự đoán khi phân tích quan hệ thể chế với khái niệm logarit; thực nghiệm thứ hai nhằm biết được giáo viên và phụ huynh học sinh có quan niệm như thế nào về sai lầm, có sự tương đồng và khác biệt nào trong quan điểm của họ Các sai lầm của HS được giáo viên sửa chữa và khắc phục ra sao?

V T ổ chức luận văn

Luận văn gồm 5 phần: Phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận chung Phần mở đầu: Trình bày những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát dẫn đến việc lựa chọn đề tài nghiên cứu, mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và tổ chức của luận văn

Chương 1: Sai lầm của học sinh nhìn từ góc độ các lý thuyết về học tập Trong chương này, chúng tôi trình bày quan niệm, cách sửa chữa và phân loại sai lầm trong các lý thuyết về học tập

Chương 2: Mối quan hệ thể chế với khái niệm logarit

Mục đích chương là phân tích chương trình và SGK hiện hành để làm rõ mối quan hệ thể chế đối với khái niệm logarit, đặc biệt là các ràng buộc của thể chế và các quy tắc hợp đồng liên quan đến khái niệm này

Từ kết quả nghiên cứu trong chương một và kết quả phân tích quan hệ thể chế nêu trên chúng tôi sẽ dự đoán các sai lầm và nguồn gốc dẫn đến sai lầm mà học sinh có thể gặp phải khi học tập các kiến thức gắn liền với khái niệm logarit

Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm

Thực nghiệm 1: Nhằm kiểm chứng giả thuyết về sai lầm của học sinh gặp phải khi học tập các kiến thức gắn liền với khái niệm logarit

Thực nghiệm 2: Nghiên cứu quan niệm về sai lầm của GV, Phụ huynh học sinh

Phần kết luận: Trình bày tóm tắt các kết quả đạt được ở chương 1, 2, 3 và mở

ra hướng nghiên cứu mới của luận văn

Chương 1: SAI LẦM CỦA HỌC SINH

 Quan điểm của thuyết hành vi

 Quan điểm của thuyết kiến tạo

 Quan điểm didactic toán

Mục tiêu của chương:

Mục tiêu của chương này là phân tích và tổng hợp một số nghiên cứu về sai lầm của HS nhìn từ góc độ các lý thuyết về học tập nhằm làm rõ các quan niệm khác nhau về sai lầm Cụ thể chúng tôi trả lời cho câu hỏi sau:

Khái niệm sai lầm được tiếp cận như thế nào trong các lý thuyết về học tập?

1.1 Quan điểm của thuyết hành vi

Như vậy, kiến thức là kết quả của sự tích lũy nối tiếp các dữ liệu và việc học được xem như một chuỗi các giai đoạn từ dễ đến khó và như thế là tăng dần mức độ kiến thức

1.1.2 Quan ni ệm sai lầm

Thuyết hành vi quan niệm rằng: “Sai lầm chỉ là phản ánh sự thiếu hụt kiến thức hay sự vô ý” [1, trang 57]

Theo [17], quan niệm cổ điển này xem hoạt động học tập của HS chỉ đơn giản là nghe, nhìn, làm theo mẫu sẵn có Nó không có tính gì đến lịch sử, kiến thức

đã có, quy trình tư duy của chủ thể Do đó, thuyết này quan niệm rằng sai lầm là một hiện tượng tiêu cực, có hại cho việc lĩnh hội kiến thức, cần tránh và nếu gặp thì cần khắc phục Còn nguyên nhân của sai lầm thường được cho là do học sinh mơ

hồ, không nắm vững kiến thức đã học, do thiếu hụt kiến thức, do vô ý, không thận trọng,… Đôi khi lại quy cho giáo viên trình bày không chính xác, dạy quá nhanh hay giải thích không rõ ràng,…

Xu hướng dạy học tương thích với quan niệm trên về sai lầm thường được gọi là “Sư phạm từng bước nhỏ” Theo đó, mục tiêu dạy học một kiến thức được phân nhỏ thành các mục tiêu bộ phận đến lượt nó phân thành các mục tiêu con,…

để làm sao cho HS có thể lĩnh hội kiến thức cần giảng dạy bằng cách đi dần dần, lần lượt từ đơn giản đến phức tạp mà không phạm sai lầm nào Người ta tìm mọi cách

có thể để tránh sai lầm Còn nếu lỡ sai lầm xuất hiện, thì cách giải quyết thông thường là dạy lại, ôn luyện lại hay cung cấp các kiến thức bổ trợ cho đến khi học sinh có được lời giải hay câu trả lời đúng

Chẳng hạn, theo [8], nguyên nhân sai lầm của HS khi giải toán hình học không gian ở lớp 11 là: do không nắm vững các khái niệm, định lý, không nghiên cứu đề bài, tính toán nhầm lẫn, vẽ hình sai,… Biện pháp sửa chữa sai lầm là: truyền thụ đầy đủ và chính xác các khái niệm, định lý; dự đoán và phòng tránh sai lầm; rèn luyện cho HS tránh ngộ nhận trực quan, biết sử dụng các quy tắc suy luận,…

Ngoài ra, theo [11], tác giả khẳng định nguyên nhân của các sai lầm của HS do: hiểu không đầy đủ và chính xác các thuộc tính của các khái niệm toán học, không nắm vững cấu trúc định lý, thiếu các kiến thức cần thiết về logic, không nắm vững thuât giải các bài toán cơ bản Đồng thời, tác giả đề ra năm biện pháp sư phạm như sau: trang bị đầy đủ, chính xác các kiến thức về bộ môn toán; trang bị các kiến thức về phương pháp giải toán, đặc biệt là việc kiểm tra phát hiện lời giải có sai lầm; học sinh được thử thách thường xuyên với những bài toán dễ mắc sai lầm; hình

thành hoạt động học cho học sinh; xây dựng uy tín của giáo viên nhằm tăng cường hiệu quả giáo dục

Bên cạnh đó, những người theo quan điểm này còn nghĩ rằng việc chú ý tới các sai lầm của HS trong giờ học ảnh hưởng xấu đến việc tiếp thu bài giảng Đặc biệt, có người còn đề nghị không viết lời giải sai lên bảng vì sợ rằng điều này sẽ củng cố thêm sai lầm trong tiềm thức của HS Đây là một quan niệm có tính chất máy móc giáo điều, không dựa trên quy luật tiếp thu kiến thức một cách có ý thức của HS Nhiều giáo viên đã cho rằng “cần phải tránh sai lầm hay ít nhất cũng phải sửa sai lầm ngay khi nó xuất hiện”

Trong bài báo tóm tắt công trình của RoLand Charnay, với tiêu đề “GV Toán

và những sai lầm của HS” Các giáo viên được thực nghiệm có quan điểm cổ điển

về sai lầm Họ cho rằng sai lầm do thiếu kiến thức, việc sửa chữa sai lầm chỉ tập trung vào câu trả lời đúng, hoặc giải thích qua loa về sai lầm không hướng tới mục đích tìm nguồn gốc của sai lầm Vì thế, HS có thể mắc lại các sai lầm tương tự

Chính điều này đã làm hạn chế khả năng phát triển tư duy của HS, các em chỉ làm theo khuôn mẫu của GV, mà đôi khi còn không biết vì sao Bởi vì, các em chỉ biết rập khuôn theo lời giải, hướng dẫn của GV, và các em chưa đủ khả năng để hiểu được những sai lầm mà mình đã tạo ra cũng như sai lầm đó có khi vượt qua tầm kiểm soát của các em

1.13 Phân lo ại sai lầm

Theo quan điểm của chủ nghĩa hành vi, có các loại và mức độ sai lầm khác nhau như sau: (trích theo [22, trang 5])

- Do việc làm chủ kiến thức và kỹ năng

- Do tính sẵn có của kiến thức: dùng một kiến thức đã biết trả lời đúng trong một hoàn cảnh xác định

- Do khả năng suy luận và logic: Nó gắn liền với khả năng riêng của mỗi người khi đưa ra câu trả lời

Cách phân loại này trình bày dưới dạng nguyên nhân của sai lầm, và chỉ dừng lại ở sự thừa nhận sai lầm là do sự thiếu hiểu biết hay bất cẩn nơi học sinh, chứ chưa chỉ ra nguồn gốc thực sự của sai lầm

1.2 Quan điểm của thuyết kiến tạo

1.2.1 Cơ sở lý luận

Trong khi các lý thuyết hành vi về học tập không chú ý tới sự tham gia có ý thức của chủ thể vào việc xây dựng những câu trả lời mong đợi, thì ngược lại, quan điểm kiến tạo lại nhấn mạnh vai trò của chủ thể trong việc tìm kiếm những câu trả lời đó

Thuyết kiến tạo về học tập quan niệm rằng trí tuệ của HS không bao giờ trống rỗng Ngay cả khi một đối tượng kiến thức nào đó chưa được giảng dạy, thì

họ cũng đã có những biểu tượng, những dạng thức hành động ngầm ẩn liên quan tới đối tượng kiến thức này Một số biểu tượng có trong cấu trúc trí tuệ của HS tạo nên những điều kiện thuận lợi cho việc học tập kiến thức mới Nhưng cũng có những biểu tượng, dạng thức hành động khá bền vững tạo nên những chướng ngại và thường là nguyên nhân dẫn HS tới những sai lầm

Theo các môn đệ của Piaget, sự kiến tạo tri thức hoạt động theo kiểu thích nghi (đồng hóa và điều ứng) Nghĩa là, khi chủ thể làm việc với những tình huống mới phát sinh từ trong môi trường, nếu họ có thể áp tình huống mới theo mô hình kiến thức sẵn có của mình thì đó là sự đồng hóa Trường hợp kiến thức cũ không còn đáp ứng được yêu cầu (tức là có sự mất cân bằng), khi đó, chủ thể phải điều chỉnh lại kiến thức cũ, hình thành một kiến thức mới và giải quyết được vấn đề đặt

ra Ta nói, chủ thể đã thực hiện sự điều ứng để thiết lập sự cân bằng

Như vậy, Kiến thức được hình thành là do chính chủ thể hành động trong những tình huống nhất định Trong những công trình gần đây, Piaget xem tiến triển của kiến thức là kết quả của sự chỉnh lí giữa các dạng thức đồng hóa và những nội dung mà các dạng thức ấy phải thích nghi thông qua cái ông gọi là sự làm mất cân bằng gia tăng

1.2.2 Quan ni ệm sai lầm

Trên cơ sở đó, những người theo khuynh hướng này đã đưa ra một quan niệm tích cực hơn về sai lầm Theo họ “Sai lầm là sự thể hiện của một kiến thức (tự phát hay đã có từ trước) của học sinh, kiến thức mà cần phá hủy hay làm mất sự ổn định để thay thế nó bằng kiến thức thích ứng hơn” [17]

Như vậy, sai lầm không phải là điều gì saimà chính là sự thể hiện của một kiến thức Quá trình đi đến nó có thể xuất phát từ chính những kiến thức tự phát hay sẵn có của học sinh mà nó không còn thích hợp nữa Khi một sai lầm xuất hiện sẽ thể hiện sự mất cân bằng trong hệ tư duy của chủ thể Việc nhận ra sai lầm, tạo điều kiện thuận lợi để vượt qua nó làm nảy sinh một thế cân bằng gia tăng mới và kiến thức mới được hình thành Vì thế, sai lầm là một bước đệm quan trọng trong quá trình học

Ngoài việc chỉ ra một nguồn gốc căn bản khác của sai lầm thuyết kiến tạo cũng xét đến một số nguồn gốc quan trọng khác như do hạn chế của chủ thể (về tâm

lý, về nhận thức, , hay hậu quả của hợp đồng didactic,…), thuyết kiến tạo còn có cái nhìn tích cực về nó Sai lầm thực sự đóng vai trò quan trọng và cần thiết cho học tập, nhất là khi nó là hậu quả của những chướng ngại hình thành từ kiến thức cũ Do

đó, vấn đề không phải là phòng tránh sai lầm, mà là chủ động tổ chức cho HS gặp sai lầm và sửa chữa nó như thế nào Như G Bachelard [19] nhấn mạnh: “Cần phải

tổ chức dạy học thông qua việc phá hủy một cách có hệ thống các sai lầm”

Mặt khác, trước một sai lầm của HS, nếu như thuyết hành vi đi tìm nguyên nhân từ những kiến thức mà người ta cho rằng HS không nắm vững hay thiếu hụt hoặc từ sự bất cẩn, vụng về,…của chủ thể thì thuyết kiến tạo lại nhấn mạnh vào việc tìm câu trả lời cho những câu hỏi sau (theo [17]):

- Những quy trình (hay dạng thức) hành động nào, những quan niệm nào được HS vận dụng đã góp phần tạo ra sai lầm này?

- Những giả thuyết nào có thể đặt ra về nguồn gốc của những quy trình hay quan niệm đó?

Một điểm khác biệt căn bản khác giữa thuyết hành vi và thuyết kiến tạo nằm

ở cách thức sửa chữa sai lầm Trong khi thuyết hành vi nhấn mạnh vào việc dạy lại, gia tăng luyện tập củng cố và nhấn mạnh vai trò chủ đạo của GV; thuyết kiến tạo chủ trương sửa chữa sai lầm bằng cách đặt HS vào trong những tình huống học tập mới gắn liền với sai lầm đó Tình huống nhắm tới tạo ra ở HS những xung đột nhận thức, cho phép họ tự nhận ra không chỉ sai lầm mà chủ yếu là nhận ra rằng các quy trình hay quan niệm mà họ đã vận dụng sẽ dẫn tới những kết quả mâu thuẫn hay nghịch lí Các tình huống cũng phải tạo thuận lợi cho họ tự phá hủy hay điều chỉnh quy trình, quan niệm cũ của mình để xây dựng kiến thức mới thích ứng hơn

Như vậy, thuyết kiến tạo đặc biệt nhấn mạnh trên vai trò chủ động của chủ thể (người học) trong việc sửa chữa sai lầm Điều này hoàn toàn phù hợp với quan điểm nền tảng của thuyết kiến tạo như V.Glaserfeld đã nhấn mạnh: “Tri thức được tạo nên một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức chứ không phải tiếp thu một cách thụ động từ bên ngoài (…)

Nhận thức là một quá trình thích nghi và tổ chức lại thế giới quan của chính mỗi người Nhận thức không phải là khám phá một thế giới độc lập đang tồn tại bên ngoài ý thức của chủ thể” [trích dẫn lại theo (3)]

Hiện nay, người ta dần chấp nhận rằng sai lầm mắc phải trong quá trình học tập không còn được xem là một trở ngại nữa, điều mà họ quan tâm là học sinh cứ tiếp diễn sai lầm, mặc dù họ đã đưa ra câu trả lời đúng cũng như đã phân tích, giải thích các sai lầm Vì vậy, để khắc phục các sai lầm này cần xây dựng “Tình huống xung đột nhận thức” hay “Những sai lầm có mục đích”, cho phép làm mất ổn định

và dẫn tới phá hủy các kiến thức cũ, địa phượng, bộ phận – nguồn gốc của sai lầm

Từ đó, học sinh biết được nguyên nhân sai lầm của chính bản thân và tự chiếm lĩnh tri thức Với cách dạy này, học sinh sẽ năng động, tích cực, sáng tạo trong quá trình

tự chiếm lĩnh tri thức

Tuy nhiên, để sửa một sai lầm không phải là dễ dàng Bởi vì, các kiến thức

mà học sinh tạo ra thường mang tính địa phương và được liên hệ với các kiến thức khác một cách ngẫu nhiên, tùy tiện Những kiến thức ấy thường có tính tạm thời và

“Không đúng đắn” Hơn nữa, những kiến thức ấy đã được cá thể hóa, vì chúng được sinh ra từ chính hành động của mỗi học sinh và do đó chúng thường kháng cự kịch liệt lại mọi thay đổi Bên cạnh đó, xét về phía giáo viên, để sửa chữa thành công một sai lầm của học sinh cần phải xét tới nguồn gốc của sai lầm, phải so với tính riêng biệt trong từng lĩnh vực nghiên cứu, phải tùy tình huống sư phạm cũng như trình độ hiểu biết… vì theo đó việc giải thích có thể sẽ rất đa dạng

1.2.3 Phân lo ại sai lầm

Theo quan điểm của thuyết kiến tạo, tác giả GODINHO – AMAND A., GODINHO – AMAND S (trích theo [22, trang 6]) phân loại sai lầm như sau:

- Sai lầm gắn liền với hạn chế của HS ở một giai đoạn cụ thể trong sự phát triển trí tuệ: do tác nhân bên trong ảnh hưởng đến quá trình tiếp thu kiến thức của

HS

- Sai lầm được tìm thấy lời giải thích trong quá trình giải bài toán

- Sai lầm đến từ chính kiến thức: Kiến thức cũ đã in sâu trong trí nhớ của HS nên khi tiếp thu kiến thức mới các em còn bị ảnh hưởng bởi kiến thức cũ, chẳng hạn: theo (1), khi nghiên cứu kiến thức số thực của HS chỉ ra sự tồn tại dai dẳng của quan niệm coi số thập phân như cặp số nguyên như 1,2 + 5,9 = 6,11, (0.3)2

= 0,9, (…)

- Sai lầm được giải thích do đặc tính cá nhân của từng HS (về mặt tâm lý – tác nhân bên ngoài)

1.3 Quan điểm của didactic toán

1.3.1 Cơ sở lý luận

Có hai giả thuyết về học tập được thừa nhận trong didactic toán:

Giả thuyết tâm lý: “Chủ thể học bằng cách tự thích nghi (đồng hóa và điều ứng) với một môi trường gây ra những mâu thuẫn, khó khăn, và mất cân bằng”

Giả thuyết nhận thức: “Một môi trường không có chủ ý dạy học (tức là môi trường không được cố ý tổ chức để dạy một tri thức) không đủ để tạo ra cho chủ thể mọi kiến thức mà xã hội muốn chủ thể đó lĩnh hội được”

Học bằng cách tự thích nghi (đồng hóa và điều ứng) chúng ta đã được tìm hiểu ở quan điểm của chủ nghĩa kiến tạo Còn giả thuyết nhận thức thì không công nhận một quá trình học tập dựa trên hoạt động tự phát của học trò trong một môi trường tùy tiện không được thiết kế với dụng ý sư phạm [10, trang 25] Do đó, người thầy phải làm phát sinh ở học sinh những sự thích nghi mong muốn bằng cách lựa chọn những vấn đề thích hợp đặt ra cho người học

Như vậy, quan điểm này dựa trên thuyết kiến tạo nhưng được xem xét ở mức

độ cao hơn, được đặt trong môi trường có chủ ý sư phạm Hơn nữa, những người theo quan điểm didactic toán, điển hình là G.Brousseau đã cho rằng:

“Nghĩa của một kiến thức toán được xác lập không chỉ qua hệ thống các tình huống trong đó kiến thức ấy được nhận thức như một kiến thức toán,…, cũng không phải chỉ qua các tình huống trong đó chủ thể đã gặp kiến thức như là phương tiện giải quyết, mà còn qua tập hợp những quan niệm, những sự lựa chọn cũ bây giờ đã

bị kiến thức ấy bác bỏ, những sai lầm mànó tránh, những lợi ích do nó mang lại, những cách phát biểu mà nó tái lập” [21, 4.2, trang 170]

Điều đó có nghĩa là người học hiểu một kiến thức thông qua việc áp dụng nó vào những tình huống nhất định

1.3.2 Quan ni ệm sai lầm

Theo [1], chúng ta đã đặt vào hai thế đối lập:

Một bên, học thuyết hành vi dựa trên sự củng cố đến từ bên ngoài, được xem

là nhân tố chủ yếu cho sự phát triển kiến thức Học thuyết này coi sai lầm chỉ là sự phản ánh của sự thiếu hiểu biết, sự vô ý hay bất cẩn mà thôi

Bên kia, học thuyết kiến tạo gán cho sai lầm và sự nhận ra sai lầm một vai trò có tính xây dựng trong hoạt động nhận thức, vì khi tạo ra sự mất cân bằng trong

hệ tư duy của chủ thể, việc nhận ra sai lầm tạo điều kiện thuận lợi để vượt qua nó làm nảy sinh một thế cân bằng gia tăng mới và kiến thức mới được hình thành

Nét độc đáo của didactic là đã liên kết được quan điểm kiến tạo và định đề của phái Bachelard [20] – định đề khẳng định rằng trong lịch sử các bộ môn khoa

học, sai lầm không phải là một sự kiện thứ yếu xảy ra trong một quá trình: nó không nằm ngoài kiến thức mà chính là biểu hiện của kiến thức

Bên cạnh đó, Brousseau cũng đưa ra quan điểm về sai lầm của học sinh và đây cũng là quan điểm của didactic toán về sai lầm: “Sai lầm không chỉ đơn giản là

do thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra (…), mà còn là hậu quả một kiến thức trước đây đã từng tỏ ra có ích, đem lại thành công, nhưng bây giờ lại tỏ ra sai hoặc đơn giản là không còn thích hợp nữa” [21]

Như vậy, ngoài những sai lầm nào đó của học sinh mang tính hời hợt, hết sức riêng biệt thì cũng có những sai lầm khác khiến chúng ta phải quan tâm, đó chính là những sai lầm mà không phải ngẫu nhiên học sinh phạm phải, nó là hậu quả của những kiến thức, quan niệm không còn thích hợp nữa

Một đặc trưng khác của sai lầm là, “Những sai lầm ấy, ở cùng một chủ thể, thường liên hệ với nhau trong một nguồn gốc chung: một cách nhận thức, một quan niệm đặc trưng, nhất quán – nếu không muốn nói là đúng đắn, một “Kiến thức” cũ

đã từng đem lại thành công trong một lĩnh vực hoạt động nào đó” [21]

Điều đó giải thích vì sao các sai lầm của cùng một chủ thể thường liên quan với nhau, tạo ra một mạng lưới hệ thống các sai lầm Khi một sai lầm không được sửa chữa kịp thời sẽ kéo theo các sai lầm khác Nghĩa là nó có tính dai dẳng và lặp lại

Ví dụ: theo [1], trong một số công trình nghiên cứu kiến thức về số thực của

học sinh trung học đã chỉ ra sự tồn tại dai dẳng của quan niệm coi số thập phân như

một cặp số nguyên Quan niệm này cho phép giải thích nhiều sai lầm trong các phép

tính trên các số thập phân, chẳng hạn:

1,2 + 5,9 = 6,11 (0,3)2 = 0,9 5,32 = 25,9 12,8 > 12,4 vì 8 > 4

Một trong những công trình đầu tiên tán thành quan điểm của Brousseau [25], Salin đã vạch ra các đặc trưng nhận thức của sai lầm, những đặc trưng được xem là chủ yếu cho sự phát triển của hệ sai lầm trong didactic Ông cho rằng trước một thành quả không phù hợp với mục đích – hoặc do chính học sinh đưa ra, hoặc

do thầy giáo yêu cầu nó, ta có thể nói về “Thất bại” Nhưng việc phân tích theo thuật ngữ sai lầm đòi hỏi phải phân biệt quan điểm của thầy giáo và quan điểm của học sinh Theo ông, những đặc trưng ấy là: “Một mặt, sai lầm là một phương diện của một kiến thức đối với một kiến thức khác (ở cùng một chủ thể, có thể đó là một kiến thức mới đối với kiến thức cũ), mặt khác chỉ có thể hiểu sự tồn tại của một sai lầm nếu như tác động trở lại của môi trường được xem như bằng chứng của một thất bại”

Trong nghiên cứu của mình, Brousseau cho rằng, một số kiến thức sai là cần thiết cho học tập: “Con đường đi của học sinh phải trải qua việc xây dựng (tạm thời)

từ một số kiến thức sai, bởi vì việc ý thức được đặc trưng sai lầm này sẽ là yếu tố cấu thành nên nghĩa của kiến thức mà ta muốn xây dựng cho học sinh” [1, trang 59]

Kế thừa Bachelard [20, trang 13 - 22], Brousseau gọi những điểm buộc phải trải qua này là những chướng ngại khoa học luận - nguyên nhân của tính trơ ỳ, của

sự trì trệ

Để hiểu rõ khái niệm chướng ngại, điều quan trọng là phải phân biệt hai từ dường như đồng nghĩa trong từ điển, đó là khó khăn và chướng ngại Khi một vấn

đề mới được đặt ra, việc giải quyết nó có thể cần hay không cần sự tổ chức lại một

lý thuyết hay sự điều chỉnh quan niệm về một số khái niệm toán học có liên quan

Ta nói rằng có một khó khăn nếu vấn đề được giải quyết mà không đòi hỏi xem xét

lại quan điểm của lý thuyết đang xét hay những quan niệm hiện hành Ta nói có một

chướng ngại nếu vấn đề chỉ được giải quyết sau khi ta đã cấu trúc lại những quan

niệm hay thay đổi quan điểm lý thuyết [9, trang 224]

Người ta đã đưa ra những tiêu chuẩn để xác định một chướng ngại như sau:

- Một chướng ngại là một kiến thức, một quan niệm chứ không phải là một khó khăn hay một sự thiếu kiến thức

- Kiến thức này tạo ra những câu trả lời phù hợp trong một bối cảnh nào đó

mà ta thường gặp

- Nhưng khi vượt ra khỏi bối cảnh này thì nó sản sinh những câu trả lời sai

Để có câu trả lời đúng cho mọi bối cảnh cần phải có một thay đổi đáng kể trong quan điểm

- Hơn nữa, kiến thức này chống lại những mâu thuẫn với nó và chống lại sự thiết lập một kiến thức hoàn thiện hơn Việc có một kiến thức khác hoàn thiện hơn chưa đủ để kiến thức sai này biến mất, mà nhất thiết phải xác định được nó và đưa việc loại bỏ nó vào tri thức mới

- Ngay cả khi chủ thể đã ý thức được sự không chính xác của kiến thức chướng ngại này, nó vẫn tiếp tục xuất hiện dai dẳng và không đúng lúc

Ví dụ: Trong hình học phẳng: hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau Kiến thức này có thể trở thành chướng ngại khi học sinh học hình học không gian

1.3.3 Phân loại sai lầm

J.Colomb đưa ra một phân loại sai lầm như sau (trích theo [26, trang 11]):

- Sai lầm có nguồn gốc từ tri thức tham chiếu (sai lầm quan niệm)

Ví dụ: Theo [17], HS thường biến đổi sai lầm

trị tuyệt đối chỉ cần thêm dấu “-” là được Vì thế, khi yêu cầu tìm , các em cho rằng –x là một số âm Do đó, chỉ cần thêm dấu “-” trước –x thu được kết quả là x

- Sai lầm có nguồn gốc từ tri thức được dạy (chướng ngại didactic như cách gọi của Brouseau)

Ví dụ: đúng hoàn toàn trong tập hợp số tự nhiên Nhưng khi vượt qua khỏi số tự nhiên, xét trong tập hợp số nguyên thì tính chất này sai, nó tạo thành chướng ngại

- Sai lầm có nguồn gốc từ kiến thức của học sinh (quan niệm sai lầm về một khái niệm, chẳng hạn định lí hành động)

Khi học khái niệm logarit HS sử dụng quy tắc hành động sau:

được kiểm chứng ở chương 3

- Sai lầm có nguồn gốc từ việc hiểu nhiệm vụ

- Sai lầm có nguồn gốc từ hợp đồng didactic

Ví dụ: Theo luận văn của Trần Lương Công Khanh phát biểu quy tắc hợp đồng như sau:

“RP3: Thông qua bài học, các ví dụ và các bài tập được giải, giáo viên có trách nhiệm giới thiệu cho HS các kỹ thuật tính tích phân tiêu biểu nhưng không có trách nhiệm kiểm tra tính hợp thức của các kỹ thuật tính tích phân trong phần bình bày lời giải của mình

RE3: HS có trách nhiệm vận dụng những kỹ thuật tính tích phân đã tiếp thu trong bài học, trong luyện tập nhưng không có trách nhiệm kiểm tra tính hợp thức của các kỹ thuật này ”

Vì thế, khi yêu cầu tính tích phân

Các em dùng kỹ thuật đặt

Khi đó,

Tuy tính tích phân I = 1 nhưng thực tế tích phân này không tồn tại

Rõ ràng, đẳng thức chỉ đúng với t > 0 nhưng không đúng với t = 0

Ở đây, HS được đặt vào tính huống ngắt quãng hợp đồng nên dẫn đến sai lầm

- Sai lầm do suy luận

KẾT LUẬN CHƯƠNG I

Phân tích trên cho phép rút ra những điểm chính về sai lầm như sau:

Quan điểm của

để thay thế nó bằng kiến thức thích hợp hơn

Sai lầm không chỉ đơn giản là do thiếu hiểu biết,

mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra (…), mà còn là hậu quả một kiến thức trước đây đã từng tỏ ra

có ích, đem lại thành công, nhưng bây giờ lại

tỏ ra sai hoặc đơn giản là không còn thích hợp nữa Vai

trò

Sai lầm là hiện

tượng tiêu cực, có

hại cho việc lĩnh

hội kiến thức của

học sinh

Sai lầm thực sự đóng vai trò quan trọng và cần thiết cho học tập, nhất là khi nó là hậu quả của những chướng ngại hình thành từ kiến thức

+ Nó có thể có quan hệ

với những sai lầm khác

tạo ra một mạng lưới hay

hệ thống sai lầm

Nguyên nhân của sai lầm không chỉ do kiến thức và tâm lý của học sinh mà còn có sự định hướng của người dạy, tài liệu tham khảo cũng như sách giáo khoa

quyết thông thường

là dạy lại, ôn luyện

lại hay cung cấp

các kiến thức bổ trợ

cho đến khi học

sinh có được lời

giải hay câu trả lời

đúng

Để khắc phục sai lầm, trong dạy học giáo viên xây dựng những tình huống xung đột nhận thức hay sai lầm có mục đích để tạo động cơ thúc đẩy học sinh biết được nguyên nhân sai lầm của chính bản thân và tự chiếm lĩnh tri thức

Để khắc phục sai lầm, trong dạy học giáo viên xây dựng những tình huống xung đột nhận thức hay sai lầm có mục đích để tạo động cơ thúc đẩy học sinh biết được nguyên nhân sai lầm của chính bản thân và tự chiếm lĩnh tri thức

Chương 2: M ỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM LOGARIT

Như đã làm rõ trong phần mở đầu, chúng tôi chọn nghiên cứu sai lầm của học sinh gắn liền với khái niệm logarit như là điểm tựa cho nghiên cứu quan niệm

về sai lầm của giáo viên và phụ huynh

Vì thế, mục tiêu của nghiên cứu trong chương 2 là làm rõ một số đặc trưng

cơ bản của mối quan hệ thể chế với khái niệm logarit – đó là những đặc trưng cho phép dự đoán về các sai lầm mà học sinh có thể phạm phải khi tiếp cận với đối tượng kiến thức này

Cụ thể, chúng tôi sẽ cố gắng tìm câu trả lời cho câu hỏi sau:

Mối quan hệ thể chế với khái niệm logarit được hình thành và phát triển như thế nào trong chương trình toán phổ thông? Những quy tắc hợp đồng didactic nào

có thể được hình thành giữa GV và HS trong quá trình tiếp cận với khái niệm logarit?

Những sai lầm nào gắn liền với khái niệm logarit mà học sinh có thể gặp phải khi tiếp cận với khái niệm này?

Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích sách giáo khoa giải tích lớp 12 (chương trình chuẩn và chương trình nâng cao) Tuy cả hai có cùng nội dung nhưng cũng có một số khác nhau như: cách dẫn vào định nghĩa; cách hình thành các quy tắc; nhiều kiến thức giải tích 12 nâng cao đề cập nhưng giải tích 12

cơ bản lại không nhắc đến Vì thế, chúng tôi quyết định chọn cả hai bộ sách này làm

cơ sở tham chiếu cho việc phân tích

Mục tiêu của đề tài là phân tích những sai lầm của HS khi tiếp cận khái niệm logarit Vì vậy, khi phân tích kiểu nhiệm vụ toán học, chúng tôi quan tâm chủ yếu đến yếu tố kỹ thuật trong các tổ chức toán học liên quan Đồng thời, đưa ra các dự

đoán và giải thích nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó theo quan điểm kiến tạo

2.1 Khái ni ệm logarit trong sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản

2.1.1 Định nghĩa, tính chất của khái niệm logarit

Khái niệm logarit

SGK thừa nhận “Người ta chứng minh được rằng với hai số dương a, b,

𝑎 ≠ 1, luôn tồn tại duy nhất số 𝛼 sao cho 𝑎𝛼 = 𝑏” Như vậy, định nghĩa logarit

hoàn toàn hợp lý, định nghĩa như sau:

“Cho hai s ố dương a, b với 𝑎 ≠ 1 Số 𝛼 thỏa mãn đẳng thức 𝑎𝛼 = 𝑏 được

g ọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏

𝛼 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 ⟺ 𝑎𝛼 = 𝑏 ” Định nghĩa được SGK minh họa qua ví dụ 1 và hoạt động 2 Chúng ta chú ý đến hoạt động 2b “Có các số x, y nào để 3𝑥 = 0; 2𝑦 = −3 hay không?”

Để tìm giá trị x, y chúng ta dùng định nghĩa logarit và điều kiện tồn tại của

biểu thức lấy logarit là dương Hay nói cách khác, không có x, y nào thỏa 3𝑥 =0; 2𝑦 = −3 vì 3𝑥 > 0; 2𝑦 > 0 SGK nêu chú ý “không có logarit của số âm và

s ố 0” Thực chất, hoạt động này như là một phản ví dụ để thấy rõ tính hợp lí, sự

cần thiết của điều kiện b > 0 Ngoài ra, ở ví dụ 1 và hoạt động 2a biểu thức lấy logarit đều là “giá trị số”, không phụ thuộc vào “giá trị biến”

 Logarit c ủa một tích

SGK bắt đầu bằng hoạt động 5 như sau:

“Cho 𝑏1 = 23, 𝑏2 = 25

Logarit c ủa một tích bằng tổng các logarit”

Tương tự hoạt động 7 cũng giúp HS tự phát hiện công thức của logarit một thương

 Logarit c ủa một thương

“Cho ba s ố dương a, 𝑏1, 𝑏2 v ới 𝑎 ≠ 1, ta có

𝑙𝑜𝑔𝑎�𝑏𝑏1

2� = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏1− 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏2

Logarit c ủa một thương bằng hiệu các logarit”

Công thức logarit của một tích SGK hướng dẫn chứng minh rất cụ thể như

chứng minh dựa vào tính chất của lũy thừa Qua đó, càng thể hiện rõ hơn mối quan

hệ của phép lấy logarit và phép nâng lũy thừa

Chúng tôi nhận thấy công thức hoàn toàn được xác định khi b1, b2 > 0 Giả

sử cơ số a của logarit dương, khác 1 và đặt trường hợp “dùng công thức lgarit của

m ột tích, hãy phân tích 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)” thì công thức trên có được vận dụng

ngay không? Ở đây, muốn chú ý đến trường hợp, đặt điều kiện (x - 1)(x + 1) > 0,

cho rằng (x - 1) > 0, (x + 1) > 0 và sử dụng ngay công thức “logairt của một tích

bằng tổng các logarit”, mà quên rằng tích của hai số âm cũng là một số dương Khi

(𝑥 − 1) < 0 và (𝑥 + 1) < 0 thì log𝑎(𝑥 − 1), log𝑎( 𝑥 + 1) không xác định Do đó, chúng tôi dự đoán quy tắc hợp động sau: HS không có trách nhiệm kiểm tra tính

h ợp thức của biểu thức lấy logarit khi sử dụng logarit của một tích

Sau mỗi định lý còn phát biểu thành lời từng công thức, chẳng hạn: “Logarit

c ủa một tích bằng tổng các logarit”, “Logarit của một thương bằng hiệu các logarit” Cách phát biểu này giúp khắc sâu công thức hơn, không cần nhớ một cách máy móc công thức, chỉ cần nhớ cách phát biểu bằng lời của công thức rồi suy ra công thức

Theo chúng tôi, logarit của một tích và logarit của một thương có thể hình thành từ một hoạt động như:

“Cho 𝑏1= 25, 𝑏2 = 23

Tính log𝑎𝑏1+ log𝑎𝑏2; log𝑎𝑏1− log𝑎 𝑏2 và so sánh kết quả với log𝑎(𝑏1𝑏2); log𝑎𝑏𝑏12 tương ứng”

Hoạt động này cũng phát hiện được mối liên hệ giữa logarit một tích và tổng

của các logarit; logarit của một thương và hiệu các logarit Với cách hình thành,

tiết kiệm được thời gian dẫn dắt vào nội dung mới SGVC nhận xét “Có thể kết

h ợp hai hoạt động này thành một hoạt động chung: Tính

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏1+ 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏2; 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏1− 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏2 và so sánh v ới 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏1𝑏2); 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏𝑏12 tương ứng”(trang 80)

 Logarit c ủa một lũy thừa

“Cho hai s ố dương a, b; 𝑎 ≠ 1 Với mọi 𝛼, ta có

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏𝛼 = 𝛼𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏

Logarit c ủa một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số”

Nếu 𝛼 là số nguyên dương thì logarit của một lũy thừa 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏𝛼có thể được hình thành như sau:

Như vậy, logarit của một lũy thừa là hệ quả logarit của một tích khi 𝛼 là số

nguyên dương

Trong tính chất trên, chúng tôi nhận thấy khi b > 0 thì 𝑏𝛼 xác định với mọi 𝛼

Do đó, b > 0 vế trái và vế phải của công thức hoàn toàn xác định Vấn đề được đặt

ra như sau: nếu biểu thức lấy logarit là lũy thừa chẵn của một số âm, chẳng hạn (-3)2, (-5)4 thì áp dụng công thức trên được không? Hay nói cách khác, gặp biểu

thức log𝑎𝑏𝛼(𝛼 là số nguyên dương chẵn) thì HS giải quyết như thế nào? Nên hay không nên nếu SGK bổ sung thêm công thức log𝑎𝑏𝛼 = 𝛼 log𝑎|𝑏| , 𝛼 là số nguyên dương chẵn Công thức này được xem như là hệ quả của công thức logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit cơ số

Bên cạnh đó, kiểu nhiệm vụ rút gọn biểu thức log𝑎𝑏2 + log𝑎2𝑏4(bài tập 3b, trang 68, SGKC) không nhắc đến điều kiện tồn tại của biểu thức logarit Hình như,

thể chế luôn ngầm ẩn điều kiện khi giải quyết kiểu nhiệm vụ này Số mũ ở bài tập 3b là số nguyên dương chẵn, HS có quan tâm đến điều kiện của công thức biến đổi: logarit của một lũy thừa bằng tích số mũ với logarit của cơ số?

Vì vậy, khi vận dụng công thức logarit của một tích, logarit của một lũy thừa thường không quan tâm đến điều kiện của biểu thức lấy logarit như trường hợp tôi

đã nêu ở trên Từ đó, chúng tôi dự đoán quy tắc hợp đồng sau: HS không có trách

nhi ệm kiểm tra tính hợp thức của biểu thức logarit khi sử dụng công thức biến đổi logarit c ủa lũy thừa với mũ là số nguyên dương chẵn

Ngoài ra, Chúng tôi nhận thấy có năm bài liên quan đến kiểu nhiệm vụ tính giá trị biểu thức logarit theo logarit cho trước Nhưng trong đó, bốn bài đã cho a, b

là những giá trị cụ thể, chỉ có một bài là logarit cần tính phụ thuộc giá trị biến,

chẳng hạn:

“Ví d ụ 5: (trang 82, SBTC)

Cho 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 = 𝑝, 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥 = 𝑞, 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏𝑐𝑥 = 𝑟 Hãy tính 𝑙𝑜𝑔𝑐𝑥 theo 𝑝 𝑞 𝑟.”

Biểu thức này không được thể chế quan tâm đến điều kiện xác định của logarit

Mặt khác, ở kiểu nhiệm vụ giải phương trình điều kiện tồn tại của biểu thức

lấy logarit có khi được nhắc đến (ví dụ 2, trang 81, SBTC), có khi không được quan tâm (bài tập 2.14, trang 84, SBTC)

Bên cạnh đó, ở bài tập 2.17(trang 84, SBTC) nhận thấy không có điều kiện

tồn tại của logarit Hình như, thể chế luôn “ngầm ẩn” logarit này luôn luôn xác đinh

Từ những lập luận trên, chúng tôi dự đoán quy tắc hợp đồng như sau: “HS

không có trách nhi ệm kiểm tra tính hợp thức của biểu thức lấy logarit khi sử dụng công th ức logarit”

SGK nêu hoạt động 8 như sau:

“Cho a = 4, b = 64, c = 2 Tính 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 , 𝑙𝑜𝑔𝑐𝑎 , 𝑙𝑜𝑔𝑐𝑏

Tìm một hệ thức liên hệ giữa ba kết quả thu được”

HS tính được log𝑎𝑏 = log464 = 3; log𝑐𝑎 = log24 = 2; log𝑐𝑏 =

log264 = 6 Từ đó, tìm được nhiều hệ thức liên hệ khác nhau như:

log𝑎𝑏 log𝑐𝑎 = log𝑐𝑏; log𝑐𝑎 log𝑎𝑏 = log𝑐𝑏; log𝑐𝑎 = log𝑐 𝑏

log32; log37 =log15 7

log153 Ngoài ra, có thể tính được logarit cơ số 2, 3,…, theo logarit cơ số 10, như log25 =log10 5

log102 Do đó, chỉ cần thiết lập máy tính có chứa phím của logarit với cơ số 10 và cơ số e Đây là một trong những ý nghĩa thực tiễn của công thức đổi cơ số

Ở đây, mục tiêu của bài như sau: “Biết định nghĩa, các quy tắc tính logarit

và công thức đổi cơ số; biết vận dụng logarit để giải toán” Vì vậy, HS được rèn

luyện kỹ năng giải một vài dạng bài tập áp dụng của logarit như: tính giá trị của biểu thức, rút gọn biểu thức, tính logarit theo logarit cho trước, so sánh hai logarit,… nhưng chúng tôi chú ý ví dụ 9 như sau: “So sánh các số log23 và log65”

Vì thể chế không nhắc đến tính chất so sánh hai logarit cùng cơ số Do đó, SGK so sánh hai logarit từ tính chất so sánh hai lũy thừa cùng cơ số SGVC nêu

như sau: “Cần lưu ý rằng ta chưa có tính chất để so sánh các logarit nên phải vận

dụng tính chất của lũy thừa Sau bài 4, có thể yêu cầu HS áp dụng tính chất đơn điệu của hàm số logarit để so sánh trực tiếp như sau: 𝑙𝑜𝑔23 > 𝑙𝑜𝑔22 = 1 =𝑙𝑜𝑔66 > 𝑙𝑜𝑔65”

Tuy thể chế yêu cầu so sánh hai logarit bằng cách vận dụng tính chất so sánh hai lũy thừa Tuy nhiên, lời giải bài tập 4 (trang 68, SGKC) trong SGVC như sau:

“a) log35 > log33 = 1; log74 < log77 = 1

Vậy log35 > log74

b) log0,32 < log0,31 = 0; log53 > log51 = 0

Vậy log0,32 < log53

c) log210 > log28 = log223 = 3 ; log530 < log5125 = log553 = 3

Vậy log210 > log530” (trang 82, SGVC)

Như vậy, GV và HS sử dụng kỹ thuật gì để giải quyết kiểu nhiệm vụ này Đó

là một câu hỏi được đặt ra?

Biểu thức đã cho chứa log𝑎 𝑎𝛼, 𝑎log𝑎𝑏 hoặc có thể biến đổi về logarit chứa

một hoặc hai dạng đó Đối với những biểu thức chứa tổng, hiệu các logarit như

2 log1

36 −12log1

3400 + 3 log1

3 √453 (Ví dụ 1c trang 80, SBTC) sử dụng quy tắc logarit của một tích, logarit của một thương và tính chất log𝑎𝑏𝛼 = 𝛼 log𝑎𝑏 để đưa

về dạng log𝑎𝑎𝛼, 𝑎log𝑎𝑏

Tuy khái niệm logarit và khái niệm nâng lũy thừa là hai phép toán ngược nhau, các tính chất và quy tắc của logarit được chứng minh dựa trên tính chất của lũy thừa Theo luận văn của Nguyễn Thị Tố Như: “Khi làm việc với đối tượng lũy thừa, học sinh thường mắc phải sai lầm do sử dụng các quy tắc hành động” và theo tài liệu hướng dẫn thực hiện chương trình toán 12: “Logarit là một khái niệm mới

m ẻ đối với HS Thực chất, đó là một phép toán, như trước đây ta học các phép toán lượng giác vậy” (Trang 41, [15]) Như vậy, HS có mắc sai lầm nào khi vận dụng

các tính chất và quy tắc của logarit?

Mặt khác, biểu thức lấy logarit luôn là giá trị cụ thể, phụ thuộc vào “giá trị

biến” không có mặt trong bài tập sau nội dung bài Chúng tôi nhận thấy chỉ có một bài ở ôn tập chương II và một ví dụ trong sách bài tập

“Cho 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 3, 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐 = 2 𝐻ã𝑦 𝑡í𝑛ℎ 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 𝑣ớ𝑖:

𝑎) 𝑥 = 𝑎3𝑏2√𝑐 𝑏) 𝑥 =𝑎4𝑐33√𝑏 ” (trang 90, SGKC)

Nếu không được đặt vào tình huống quen thuộc thì sẽ gặp khó khăn gì? Hay nói cách khác, HS có biến đổi logarit của một tổng thành tổng của các logarit

Ngoài ra, logarit của tích bằng tổng các logarit thì các em lại cho rằng logarit của

tổng bằng tích các logarit? Từ những suy luận trên, chúng tôi dự đoán các sai lầm

mà HS có thể gặp phải khi tiếp cận khái niệm logarit như sau:

Quy t ắc 1: log𝑎( 𝑏 + 𝑐) = log𝑎𝑏 + log𝑎𝑐

log𝑎( 𝑏 + 𝑐) = log𝑎𝑏 log𝑎𝑐

Mặt khác, thể chế không hề nhắc đến logn

𝑎𝑏, khi xuất hiện có đồng nhất vai trò như logarit cơ số a của b? logn

𝑎𝑏 là lũy thừa của một logarit, còn log𝑎𝑏𝑛 là

logarit của một lũy thừa Vì cả hai đều có dạng lũy thừa nên có cho rằng logn

𝑎𝑏 =log𝑎𝑏𝑛? Do đó, chúng tôi dự đoán các quy tắc hành động sau:

“Cho 𝛼 = log220 𝐻ã𝑦 𝑡í𝑛ℎ log205 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝛼”

Lời giải mong đợi:

Ta có 𝛼 = log220 = log2(22 5) = 2 log22 + log25 = 2 + log25,

- Công thức đổi cơ số

- Quy tắc và tính chất của logarit

 Nhận xét:

Tính giá trị của logarit theo logarit cho trước về kỹ thuật giải “tương tự” kỹ thuật tính giá trị của biểu thức chứa logarit Nhưng kết quả của kiểu nhiệm vụ này luôn là một biểu thức phụ thuộc vào giá trị của logarit cho trước Nếu cơ số logarit

này cùng cơ số với logarit đã cho thì phân tích biểu thức chứa trong logarit Mặt khác, logarit cần tính có cơ số khác với cơ số của logarit đã cho, dùng công thức đổi

cơ số và log𝑎𝛼𝑏 =𝛼1log𝑎𝑏 để đưa cơ số logarit này về cùng cơ số logarit cho trước

Tính logarit theo logarit đã cho là một nhiệm vụ tương đối “phức tạp” Chúng ta phải tìm ra mối liên hệ giữa cơ số của logarit cần tính và cơ số của logarit

đã cho Nếu cả hai đã cùng cơ số thì chỉ cần phân tích biểu thức chứa trong logarit

Nếu biểu thức này bằng tích một số và một lũy thừa thì có áp dụng công thức logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số? Mặc dù biểu

thức lấy logarit chưa có dạng lũy thừa của một tích Do đó, dự đoán quy tắc hành động sau:

Quy t ắc 4: log𝑎(𝑏𝛼 𝑐) = 𝛼 log𝑎(𝑏𝑐)

T ổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ T 3 : “Rút g ọn biểu thức”

Kỹ thuật 𝝉𝟑: - Các quy tắc và tính chất của logarit

- Công thức đổi cơ số

 Nh ận xét:

Kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ rút gọn biểu thức “tương tự” kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ tính giá trị của biểu thức, khác là kết quả tính toán của biểu thức logarit là

một giá trị cụ thể; còn kết quả của rút gọn biểu thức có thể là biểu thức chứa logarit

hoặc là một giá trị cụ thể Vì thế, số lượng bài liên quan đến kiểu nhiệm vụ này rất

ít, chỉ có một ví dụ (trang 66, SGKC) và một bài tập ở cuối bài logarit (bài tập 3, trang 68, SGKC), không có ví dụ hay bài tập ở SBTC

T ổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ T 4 : “So sánh hai logarit”

T 41 : “So sánh hai logarit 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒃 𝒗à 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒄”

Có hai kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này:

Kỹ thuật 𝝉𝟒𝟏𝟏: - 𝑎log𝑎𝑏, 𝑎log𝑎𝑐

- So sánh 𝑏 = 𝑎log 𝑎 𝑏 với 𝑐 = 𝑎log 𝑎 𝑐

- Tính chất so sánh hai lũy thừa cùng cơ số

Kỹ thuật 𝝉𝟒𝟏𝟐: Tính chất đơn điệu của hàm số logarit

T 42: “So sánh hai logarit 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒃 𝒗à 𝒍𝒐𝒈𝒄𝒅”

Vậy log23 > log65 (trang67, SGKC)

Kỹ thuật 𝝉𝟒𝟐𝟏: - 𝑎log𝑎𝑏, 𝑐log𝑐𝑑

- So sánh 𝑎log 𝑎 𝑏, 𝑎𝑀

- So sánh 𝑐log𝑐𝑑, 𝑐𝑀

- Tính chất so sánh hai lũy thừa cùng cơ số

- So sánh log𝑎𝑏, log𝑐𝑑 với M (M là số trung gian)

Kỹ thuật 𝝉𝟒𝟐𝟐: - So sánh log𝑎𝑏 𝑣à log𝑎𝑡 = 𝑀

- So sánh log𝑐𝑑 𝑣à log𝑐𝑢 = 𝑀

- Tính chất đơn điệu của hàm số logarit

- So sánh log𝑎𝑏, log𝑐𝑑 với M (M là số trung gian)

 Nh ận xét:

Tính chất so sánh hai logarit cùng cơ số không được nêu trong lý thuyết Vì

vậy, có hai kỹ thuật khác nhau để giải quyết kiểu nhiệm vụ này Một là, sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số logarit Hai là, dùng tính chất so sánh hai lũy thừa cùng cơ số, để so sánh hai logarit bằng cách lấy lũy thừa với mũ là một logarit

So sánh hai logarit dùng tính chất đơn điệu của hàm số logarit gọn và dễ hơn dùng tính chất so sánh của hai lũy thừa rất nhiều Mặc dù, SGK không nêu tính

chất so sánh hai logarit nhưng với cách giải bài tập 4 ở SGVC và “mức độ khó dễ”

của hai kỹ thuật Chúng tôi dự đoán giữa giáo viên và học sinh sẽ có một hợp đồng

“tường minh” về so sánh hai logarit như sau: Khi so sánh hai logarit, dùng tính

ch ất đơn điệu của hàm số logarit để so sánh

T ổ chức toán học liên quan đến kiểu nhiệm vụ T 5 : “Gi ải phương trình”

Kỹ thuật 𝝉𝟓: - Biến đổi vế phải về dạng log𝑎𝑐

- Tính chất so sánh hai logarit cùng cơ số

thức Đối với kiểu nhiệm vụ này, chứng minh một cách trực tiếp vế trái bằng vế

phải hoặc biến đổi logarit đã cho và vận dụng thêm các quy tắc, tính chất của logarit

để đưa về điều cần phải chứng minh

2.1.3 D ự đoán và giải thích nguyên nhân dẫn đến sai lầm

Theo học thuyết hành vi nguyên nhân của sai lầm chỉ dừng lại ở việc thừa nhận thiếu hiểu biết, vô ý hay sự bất cẩn, muốn khắc phục sai lầm thì dạy lại, ôn tập lại Trong khi đó, học thuyết kiến tạo tìm hiểu nguồn gốc của sai lầm và khắc phục sai lầm bằng cách tạo tình huống xung đột nhận thức, cụ thể như sau:

 Sai lầm do HS sử dụng quy tắc hành động, định lý hành động:

Quy t ắc 1:

 Sai lầm do sử dụng tính chất phép nhân phân phối phép cộng: Ở đây, logarit cơ số a được xem như một biểu thức, (b + c) là tổng của hai biểu thức Vì